April_10

Aula 07 - Introdução ao Limite

1. Para quê limite?

• R: Para definirmos os principais operações do CDI: derivação e integração.

2. Noção numérica de Limite

• Considere uma função racional:

	
f(x) = ((2x+1)(x-1))/(x-1)

D(f) = {xER : x != 1}

Cd(f) = R

j(x) = 2x+1;

• A função j não está definida em x = 1.
• Estudo da vizinhaça em torno de x = 1.

x	0	0.5	0.9	0.99
f(x)	1	2	2.8	2.98

x	2	1.5	1.1	1.01
f(x)	5	4	3.2	3.02

3. Construindo o critério de aproximação de Limite:

x = 0.9 => f(x) = 2.8, isto é: x-1 = -0.1 => f(x)-3 = -0.2

x = 0.99 => f(x) = 2.98, isto é: x-1 = -0.01 => f(x)-3 = -0.02

x = 0.999 => f(x) = 2.998, isto é: x-1 = -0.001 => f(x)-3 = -0.002

---

x = 1.1 => f(x) = 3.2, isto é: x-1 = 0.1 => f(x)-3 = 0.2

x = 1.01 => f(x) = 3.02, isto é: x-1 = 0.01 => f(x)-3 = 0.02

x = 1.001 => f(x) = 3.002, isto é: x-1 = 0.001 => f(x)-3 = 0.002

Sitetizando:

|x-1| = 0.1 => |f(x)-3| = 0.2
|x-1| = 0.01 => |f(x)-3| = 0.02
|x-1| = 0.001 => |f(x)-3| = 0.002

Podemos tornar f(x) tão próximo de 3 quanto desejarmos desde que tomemos x suficientemente próximo de 1.

• Def.1 Seja f uma função real definida em um intervalo I, e a pertence I, possivelmente f(a) não definida. Diz-se que L é o limite de f(x) se

0 < |x-a| < delt => |f(x)-L|<E.

• Denotado por:

lim f(x) = L
x->a

lim f(x) = L <=> (Todo E > 0, Existe um delt > 0 : 0 < |x-a| < delt => |f(x)-1| < E)
x->a

4. Propriedades de Limites

• Teorema 1 (Unicidade do Limite) Se lim f(x) = L1 \nx->a e lim f(x) = L2 \nx->a, então L1 = L2.

Demostração: hipótese de redução por absurdo:

L1 != L2