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0077.组合.md

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第77题. 组合

力扣题目链接

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:
输入: n = 4, k = 2
输出:
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]

也可以直接看我的B站视频：带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合）

思路

本题这是回溯法的经典题目。

直接的解法当然是使用for循环，例如示例中k为2，很容易想到 用两个for循环，这样就可以输出 和示例中一样的结果。

代码如下：

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

输入：n = 100, k = 3 那么就三层for循环，代码如下：

int n = 100;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        for (int u = j + 1; u <= n; n++) {
            cout << i << " " << j << " " << u << endl;
        }
    }
}

如果n为100，k为50呢，那就50层for循环，是不是开始窒息。

此时就会发现虽然想暴力搜索，但是用for循环嵌套连暴力都写不出来！

咋整？

回溯搜索法来了，虽然回溯法也是暴力，但至少能写出来，不像for循环嵌套k层让人绝望。

那么回溯法怎么暴力搜呢？

上面我们说了要解决 n为100，k为50的情况，暴力写法需要嵌套50层for循环，那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题。

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

此时递归的层数大家应该知道了，例如：n为100，k为50的情况下，就是递归50层。

一些同学本来对递归就懵，回溯法中递归还要嵌套for循环，可能就直接晕倒了！

如果脑洞模拟回溯搜索的过程，绝对可以让人窒息，所以需要抽象图形结构来进一步理解。

我们在关于回溯算法，你该了解这些！中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构（N叉树），用树形结构来理解回溯就容易多了。

那么我把组合问题抽象为如下树形结构：

77.组合

可以看出这个棵树，一开始集合是 1，2，3，4， 从左向右取数，取过的数，不在重复取。

第一次取1，集合变为2，3，4 ，因为k为2，我们只需要再取一个数就可以了，分别取2，3，4，得到集合[1,2] [1,3] [1,4]，以此类推。

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围。

图中可以发现n相当于树的宽度，k相当于树的深度。

那么如何在这个树上遍历，然后收集到我们要的结果集呢？

图中每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。

相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来，就可以求得 n个数中k个数的组合集合。

在关于回溯算法，你该了解这些！中我们提到了回溯法三部曲，那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。

回溯法三部曲

  • 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

其实不定义这两个全局遍历也是可以的，把这两个变量放进递归函数的参数里，但函数里参数太多影响可读性，所以我定义全局变量了。

函数里一定有两个参数，既然是集合n里面取k的数，那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数，为int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。

为什么要有这个startIndex呢？

每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

从下图中红线部分可以看出，在集合[1,2,3,4]取1之后，下一层递归，就要在[2,3,4]中取数了，那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢，靠的就是startIndex。

77.组合2

所以需要startIndex来记录下一层递归，搜索的起始位置。

那么整体代码如下：

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)
  • 回溯函数终止条件

什么时候到达所谓的叶子节点了呢？

path这个数组的大小如果达到k，说明我们找到了一个子集大小为k的组合了，在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

如图红色部分：

77.组合3

此时用result二维数组，把path保存起来，并终止本层递归。

所以终止条件代码如下：

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}
  • 单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程，在如下图中，可以看出for循环用来横向遍历，递归的过程是纵向遍历。

77.组合1

如此我们才遍历完图中的这棵树。

for循环每次从startIndex开始遍历，然后用path保存取到的节点i。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点 
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

可以看出backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了，撤销本次处理的结果。

关键地方都讲完了，组合问题C++完整代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点 
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

还记得我们在关于回溯算法，你该了解这些！中给出的回溯法模板么？

如下：

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

对比一下本题的代码，是不是发现有点像！ 所以有了这个模板，就有解题的大体方向，不至于毫无头绪。

总结

组合问题是回溯法解决的经典问题，我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子，就是n为100，k为50的话，直接想法就需要50层for循环。

从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。

然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构，可以直观的看出搜索的过程。

接着用回溯法三部曲，逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。

剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的。

在遍历的过程中有如下代码：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.push_back(i);
    backtracking(n, k, i + 1);
    path.pop_back();
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢？

来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

这么说有点抽象，如图所示：

77.组合4

图中每一个节点（图中为矩形），就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话，都没有意义，都是无效遍历。

所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

注意代码中i，就是for循环里选择的起始位置。

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {

接下来看一下优化过程如下：

  1. 已经选择的元素个数：path.size();

  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

为什么有个+1呢，因为包括起始位置，我们要是一个左闭的集合。

举个例子，n = 4，k = 3， 目前已经选取的元素为0（path.size为0），n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。

从2开始搜索都是合理的，可以是组合[2, 3, 4]。

这里大家想不懂的话，建议也举一个例子，就知道是不是要+1了。

所以优化之后的for循环是：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

优化后整体代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝总结

本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化，这个优化如果不画图的话，其实不好理解，也不好讲清楚。

所以我依然是把整个回溯过程抽象为一棵树形结构，然后可以直观的看出，剪枝究竟是剪的哪里。

其他语言版本

Java：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

Python2:

class Solution(object):
    def combine(self, n, k):
        """
        :type n: int
        :type k: int
        :rtype: List[List[int]]
        """
        result = []
        path = []
        def backtracking(n, k, startidx):
            if len(path) == k:
                result.append(path[:])
                return

            # 剪枝， 最后k - len(path)个节点直接构造结果，无需递归
            last_startidx = n - (k - len(path)) + 1
            result.append(path + [idx for idx in range(last_startidx, n + 1)])

            for x in range(startidx, last_startidx):
                path.append(x)
                backtracking(n, k, x + 1)  # 递归
                path.pop()  # 回溯

        backtracking(n, k, 1)
        return result

Python

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res = []
        path = []
        def backtrack(n, k, StartIndex):
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
                return
            for i in range(StartIndex, n + 1):
                path.append(i)
                backtrack(n, k, i+1)
                path.pop()
        backtrack(n, k, 1)
        return res

剪枝：

class Solution:
    def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]:
        res=[]  #存放符合条件结果的集合
        path=[]  #用来存放符合条件结果
        def backtrack(n,k,startIndex):
            if len(path) == k:
                res.append(path[:])
                return
            for i in range(startIndex,n-(k-len(path))+2):  #优化的地方
                path.append(i)  #处理节点
                backtrack(n,k,i+1)  #递归
                path.pop()  #回溯，撤销处理的节点
        backtrack(n,k,1)
        return res

javascript

剪枝：

let result = []
let path = []
var combine = function(n, k) {
  result = []
  combineHelper(n, k, 1)
  return result
};
const combineHelper = (n, k, startIndex) => {
  if (path.length === k) {
    result.push([...path])
    return
  }
  for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length) + 1; ++i) {
    path.push(i)
    combineHelper(n, k, i + 1)
    path.pop()
  }
}

Go

var res [][]int 
func combine(n int, k int) [][]int {
   res=[][]int{}
   if n <= 0 || k <= 0 || k > n {
		return res
	}
    backtrack(n, k, 1, []int{})
	return res
}
func backtrack(n,k,start int,track []int){
    if len(track)==k{
        temp:=make([]int,k)
        copy(temp,track)
        res=append(res,temp)
    }
    if len(track)+n-start+1 < k {
			return
		}
    for i:=start;i<=n;i++{
        track=append(track,i)
        backtrack(n,k,i+1,track)
        track=track[:len(track)-1]
    }
}

剪枝：

var res [][]int 
func combine(n int, k int) [][]int {
   res=[][]int{}
   if n <= 0 || k <= 0 || k > n {
		return res
	}
    backtrack(n, k, 1, []int{})
	return res
}
func backtrack(n,k,start int,track []int){
    if len(track)==k{
        temp:=make([]int,k)
        copy(temp,track)
        res=append(res,temp)
    }
    if len(track)+n-start+1 < k {
			return
		}
    for i:=start;i<=n;i++{ 
        track=append(track,i)
        backtrack(n,k,i+1,track)
        track=track[:len(track)-1]
    }
}

C

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;

void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
    //当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
    if(pathTop == k) {
        //path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
        //因此创建新的数组存储path中的值
        int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
        int i;
        for(i = 0; i < k; i++) {
            temp[i] = path[i];
        }
        ans[ansTop++] = temp;
        return ;
    }

    int j;
    for(j = startIndex; j <=n ;j++) {
        //将当前结点放入path数组
        path[pathTop++] = j;
        //进行递归
        backtracking(n, k, j + 1);
        //进行回溯，将数组最上层结点弹出
        pathTop--;
    }
}

int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //path数组存储符合条件的结果
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    //ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
    pathTop = ansTop = 0;

    //回溯算法
    backtracking(n, k, 1);
    //最后的返回大小为ans数组大小
    *returnSize = ansTop;
    //returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
    int i;
    for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    //返回ans二维数组
    return ans;
}

剪枝：

int* path;
int pathTop;
int** ans;
int ansTop;

void backtracking(int n, int k,int startIndex) {
    //当path中元素个数为k个时，我们需要将path数组放入ans二维数组中
    if(pathTop == k) {
        //path数组为我们动态申请，若直接将其地址放入二维数组，path数组中的值会随着我们回溯而逐渐变化
        //因此创建新的数组存储path中的值
        int* temp = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
        int i;
        for(i = 0; i < k; i++) {
            temp[i] = path[i];
        }
        ans[ansTop++] = temp;
        return ;
    }

    int j;
    for(j = startIndex; j <= n- (k - pathTop) + 1;j++) {
        //将当前结点放入path数组
        path[pathTop++] = j;
        //进行递归
        backtracking(n, k, j + 1);
        //进行回溯，将数组最上层结点弹出
        pathTop--;
    }
}

int** combine(int n, int k, int* returnSize, int** returnColumnSizes){
    //path数组存储符合条件的结果
    path = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
    //ans二维数组存储符合条件的结果数组的集合。（数组足够大，避免极端情况）
    ans = (int**)malloc(sizeof(int*) * 10000);
    pathTop = ansTop = 0;

    //回溯算法
    backtracking(n, k, 1);
    //最后的返回大小为ans数组大小
    *returnSize = ansTop;
    //returnColumnSizes数组存储ans二维数组对应下标中一维数组的长度（都为k）
    *returnColumnSizes = (int*)malloc(sizeof(int) *(*returnSize));
    int i;
    for(i = 0; i < *returnSize; i++) {
        (*returnColumnSizes)[i] = k;
    }
    //返回ans二维数组
    return ans;
}

Swift

func combine(_ n: Int, _ k: Int) -> [[Int]] {
    var path = [Int]()
    var result = [[Int]]()
    func backtracking(start: Int) {
        // 结束条件，并收集结果
        if path.count == k {
            result.append(path)
            return
        }

        // 单层逻辑
        // let end = n
        // 剪枝优化
        let end = n - (k - path.count) + 1
        guard start <= end else { return }
        for i in start ... end {
            path.append(i) // 处理结点
            backtracking(start: i + 1) // 递归
            path.removeLast() // 回溯
        }
    }

    backtracking(start: 1)
    return result
}