math-as-code

译注：译者英文与数学水平都非常有限，尝试翻译，如有错误请指正。英文原版在此。

这是一份通过对比数学符号和JavaScript代码来帮助开发者更容易了解数学符号的参考。

动机:学术论文可能会吓着自学游戏和图形的程序猿:)

这个指南还没有完成。如果你发现错误或者想要贡献，请open a ticket或发一个 PR。

注意：简洁起见，有些代码示例使用了npm 包。你可以到他们的GitHub repos来查看实现的详细情况。

前言

数学符号可以表示不同的意思，这取决于作者，上下文和所学习的领域（线性代数，集合理论，等等）。这份指南也许不会涵盖符号的所有用法。在某些情况，会引用一些真实材料（博客文章,出版物等等）来演示某个符号的实际用法。

更完整的列表，请看Wikipedia - List of Mathematical Symbols。

简单起见，这里许多的代码示例都操作浮点数值，并不是数字健壮的（numerically robust）。为什么这会是一个问题的更多细节请看Robust Arithmetic Notes 作者是 Mikola Lysenko。

变量名约定
等号 = ≈ ≠ :=
平方根与复数 √ i
点 & 叉 · × ∘
西格玛 Σ - 求和
大写 Pi Π - 序列的积
管道 ||
帽子 â - 单位向量
"属于" ∈ ∉
常见数字集 ℝ ℤ ℚ ℕ
函数 ƒ
撇号 ′
向下取整和向上取整（floor & ceiling） ⌊ ⌉
箭头
逻辑非 ¬ ~ !
区间（intervals）
更多...

变量名约定

有很多命名约定取决于上下文和所学领域，他们并不太一致。然而在一些文献中你会发现变量名遵循一些模式，例如：

s - 斜体小写字母用做标量（例如一个数字）
x - 粗体小写字母用做向量（例如一个2D点）
A - 粗体大写字母用做矩阵（例如一个3D变换）
θ - 斜体小写希腊字母用做常量和特殊变量（例如欧拉角 θ, theta)

本指南也基于这个格式。

等号

有很多符号很像等号 = 。这里有些常见的例子：

= 表示相等（值相同）
≠ 表示不相等（值不同）
≈ 表示约等于（π ≈ 3.14159）
:= 表示定义（A 被定义为 B）

在 JavaScript 中:

// 相等
2 === 3

// 不相等
2 !== 3

// 约等于
almostEqual(Math.PI, 3.14159, 1e-5)

function almostEqual(a, b, epsilon) {
  return Math.abs(a - b) <= epsilon
}

你也许看过 :=， =: 和 = 符号用来表示定义。¹

例如，下边定义 x 为 2kj 的别名。

在 JavaScript 中，我们用 var 来定义变量和提供别名：

var x = 2 * k * j

然而，这里的x值是可变的，仅是当时的一个快照。在某些有预处理器语言中的 #define 语句才比较接近于数学中的定义。

在JavaScript (ES6) 中，更精确的定义，应该有点类似这样：

const f = (k, j) => 2 * k * j

与此不同的是，下边这句表示的是相等：

上边的等式也可以解释为一个断言:

console.assert(x === (2 * k * j))

平方根与复数

一个平方根运算是这种形式:

在编程语言中我们使用 sqrt 函数，像这样：

var x = 9;
console.log(Math.sqrt(x));
//=> 3

复数是形式的表达式，其中是实数部分，是虚数部分。虚数的定义为：

.

JavaScript没有内置复数的功能，但有一些库支持复数算法。例如， mathjs:

var math = require('mathjs')

var a = math.complex(3, -1)
//=> { re: 3, im: -1 }

var b = math.sqrt(-1)
//=> { re: 0, im: -1 }

console.log(math.multiply(a, b).toString())
//=> '1 + 3i'

这个库还支持字符串表达式求值，所以上边的可以写为：

console.log(math.eval('(3 - i) * i').toString())
//=> '1 + 3i'

其他实现：

immutable-complex
complex-js
Numeric-js

点 & 叉

点 · 和叉 × 符号根据上下文的不同有不同的用法。

他们可能看上去很明显，但在进入下一部分之前，理解他们之间微妙的不同是非常重要的。

标量乘法

两个符号都可以表示简单的标量之间的乘法。下边的写法意思相同：

在编程语言中，我们倾向用星号表示相乘：

var result = 5 * 4

通常，使用乘法符号只是为了避免意义模糊（例如两个数字之间的）。这里，我们可以完全省略：

如果这些变量表示的是标量，则代码应该这样写:

var result = 3 * k * j

向量乘法

表示向量和标量之间相乘，或两向量的逐元素相乘（element-wise multiplication），我们不用点 · 或叉 × 符号。这些符号在线性代数中有不同的意思，后边讨论。

让我们用之前的例子，但用在向量上。对于向量的逐元素相乘（element-wise vector multiplication）来说，你可能会看到用一个空心点来表示 Hadamard product。²

某些时候，作者可能会显式定义一个不同的符号，例如圆中点 ⊙ 或实心圈 ● 。³

这是对应的代码，使用数组 [x, y] 来表示2D向量。

var s = 3
var k = [ 1, 2 ]
var j = [ 2, 3 ]

var tmp = multiply(k, j)
var result = multiplyScalar(tmp, s)
//=> [ 6, 18 ]

multiply 和 multiplyScalar 函数应该这样:

function multiply(a, b) {
  return [ a[0] * b[0], a[1] * b[1] ]
}

function multiplyScalar(a, scalar) {
  return [ a[0] * scalar, a[1] * scalar ]
}

同样的，矩阵相乘也不用 · 或 × 符号。矩阵乘法会在后边章节提到.

点乘

点符号 · 可用来表示两向量之间的点乘。由于其值是一个标量，通常被叫做 标量积（scalar product） 。

这在线性代数和3D向量中是非常常见的，代码类似这样：

var k = [ 0, 1, 0 ]
var j = [ 1, 0, 0 ]

var d = dot(k, j)
//=> 0

结果为 0 告诉我们两向量互相垂直. 这是3元素向量的 点乘 函数:

function dot(a, b) {
  return a[0] * b[0] + a[1] * b[1] + a[2] * b[2]
}

叉乘

叉乘符号 × 可以用来表示两向量的叉乘。

在代码中，应该是这样:

var k = [ 0, 1, 0 ]
var j = [ 1, 0, 0 ]

var result = cross(k, j)
//=> [ 0, 0, -1 ]

这里得到结果为 [ 0, 0, -1 ]，这个向量同时垂直于 k 和 j 。

我们的叉乘 cross 函数：

function cross(a, b) {
  var ax = a[0], ay = a[1], az = a[2],
    bx = b[0], by = b[1], bz = b[2]

  var rx = ay * bz - az * by
  var ry = az * bx - ax * bz
  var rz = ax * by - ay * bx
  return [ rx, ry, rz ]
}

向量乘法，叉乘，点乘的其他实现：

gl-vec3
gl-vec2
vectors - 包含 n维实现

西格玛（sigma）

大写希腊字母 Σ (Sigma) 用来表示总和 Summation。换句话说就是对一些数字求和。

这里, i=1 是说从 1 西格玛上边的数字100为止。这些分别为上下边界。 "E" 右边的 i 告诉我们求和的是什么。代码：

var sum = 0
for (var i = 1; i <= 100; i++) {
  sum += i
}

sum 的结果为 5050 。

提示： 对于整数，这个特殊形式可以优化为：

var n = 100 // 上边界
var sum = (n * (n + 1)) / 2

这里有另一个例子，这里的 i ，或 “想要求和的东西” 是不同的：

代码：

var sum = 0
for (var i = 1; i <= 100; i++) {
  sum += (2 * i + 1)
}

sum 的结果为 10200 。

这个符号可被嵌套，非常像嵌套一个 for 循环。你应该先求和最右边的西格玛，除非作者加入括号改变了顺序。然而下边的例子，由于我们处理有限的和，顺序就不重要了。

代码：

var sum = 0
for (var i = 1; i <= 2; i++) {
  for (var j = 4; j <= 6; j++) {
    sum += (3 * i * j)
  }
}

这里，sum 值为 135。

大写 Pi

大写 Pi 或 “大Pi” 与西格玛非常接近，不同的是我们用乘法取得一系列数字的乘积。

看下边：

代码应该类似这样：

var value = 1
for (var i = 1; i <= 6; i++) {
  value *= i
}

value 结果应得到 720。

管道（pipes）

管道符号，就是 竖线（bars），根据上下文不同，可以表示不同意思。下边的是3种常见用途绝对值, 欧几里得模, 和行列式。

这3种特性都是描述对象的 长度（length） 。

绝对值

对于数字 x, |x| 表示 x 的绝对值。代码为：

var x = -5
var result = Math.abs(x)
// => 5

欧几里得模（Euclidean norm）

对于向量 v， ‖v‖ 是 v 的欧几里得模（Euclidean norm）。也叫做向量的 "量级（magnitude）" 或 "长度（length）" 。

通常用双竖线表示来避免与绝对值 符号混淆，但有些时候也会看见单竖线。

这里的例子用数组 [x, y, z] 来表示一个3D向量。

var v = [ 0, 4, -3 ]
length(v)
//=> 5

length 函数：

function length (vec) {
  var x = vec[0]
  var y = vec[1]
  var z = vec[2]
  return Math.sqrt(x * x + y * y + z * z)
}

其他实现：

magnitude - n-dimensional
gl-vec2/length - 2D vector
gl-vec3/length - 3D vector

行列式

对于一个矩阵 A， |A| 表示矩阵 A 的行列式（determinant）。

这是一个计算 2x2 矩阵行列式的例子，矩阵用一个column-major格式的扁平数数组表示。

var determinant = require('gl-mat2/determinant')

var matrix = [ 1, 0, 0, 1 ]
var det = determinant(matrix)
//=> 1

实现：

gl-mat4/determinant - 也可以看 gl-mat3 和 gl-mat2
ndarray-determinant
glsl-determinant
robust-determinant
robust-determinant-2 和 robust-determinant-3，专门 2x2 和 3x3 的矩阵

帽子

在几何里，字母上的 “帽子” 符号用来表示一个单位向量。例如，这是向量 a 的单位向量。

在笛卡尔空间中，单位向量的长度为1。意思是向量的每个部分都在 -1.0 到 1.0 之间。这里我们 归一化（normalize） 一个3D向量为单位向量。

var a = [ 0, 4, -3 ]
normalize(a)
//=> [ 0, 0.8, -0.6 ]

这是 归一化（normalize） 函数，接收一个3D向量参数：

function normalize(vec) {
  var x = vec[0]
  var y = vec[1]
  var z = vec[2]
  var squaredLength = x * x + y * y + z * z

  if (squaredLength > 0) {
    var length = Math.sqrt(squaredLength)
    vec[0] = vec[0] / length
    vec[1] = vec[1] / length
    vec[2] = vec[2] / length
  }
  return vec
}

其他实现：

gl-vec3/normalize 和 gl-vec2/normalize
vectors/normalize-nd (n-dimensional)

属于

集合理论中，“属于”符号 ∈ 和 ∋ 可以被用来描述某物是否为集合中的一个元素。例如：

这里我们有一个数字集 A { 3, 9, 14 } 而且我们说 3 是“属于”这个集合的。

在ES5种一个简单的实现应该这样：

var A = [ 3, 9, 14 ]

A.indexOf(3) >= 0
//=> true

然而，可以用只能保存唯一值的Set，这样更精确。这是ES6的一个特性。

var A = new Set([ 3, 9, 14 ])

A.has(3)
//=> true

反向的 ∋ 意义相同，只是顺序改变：

你可以使用 "不属于" 符号 ∉ 和 ∌ 像这样：

常见数字集

你可能在一些公式中看见一些大黑板粗体字。他们一般是用来描述集合的。

例如，我们可以描述 k 是属于 ℝ 集的一个元素。

下边列出一些常见集和他们的符号。

`ℝ` 实数（real numbers）

大 ℝ 描述 实数（real numbers） 的集合。他们包括整数，有理数，无理数。

JavaScript认为整数和浮点数为相同类型，所以下边将是一个 k ∈ ℝ 的简单测试：

function isReal (k) {
  return typeof k === 'number' && isFinite(k);
}

注意： 实数也是 有限数（finite），非无限的（not infinite）

`ℚ` 有理数（rational numbers）

有理数是可以被表示为分数，或比率（类似⅗）的实数。有理数不能以0作分母。

这意味着所有的整数都是有理数，因为可以看成分母为1。

换句话说无理数就是不能表示为比率的数，例如 π (PI)。

`ℤ` 整数（integers）

一个整数，是没有小数部分的实数。可为正也可以为负。

在JavaScript中的简单测试应该这样：

function isInteger (n) {
  return typeof n === 'number' && n % 1 === 0
}

`ℕ` 自然数（natural numbers）

自然数是正整数或非负整数。取决于所学领域和上下文，集合中可能包含也可能不包含0，所以可以是下边任意一种集合。

{ 0, 1, 2, 3, ... }
{ 1, 2, 3, 4, ... }

前者在计算机科学中更常见，例如：

function isNaturalNumber (n) {
  return isInteger(n) && n >= 0
}

`ℂ` 复数

复数是实数与虚数的组合，被视为2D平面上的一个坐标。更详细的信息请看A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers。

函数

函数是数学的基本特性，其概念很容易转换成代码。

函数把输入输出值联系起来。例如下边是一个函数：

我们可以给函数一个名字。一般来说我们用 ƒ 来描述一个函数，但也可以命名为 A(x) 或其他什么。

在代码中，我们可以给函数命名为 square 写出来应该类似这样：

function square (x) {
  return Math.pow(x, 2)
}

有时函数没有名字，而是直接写出输出值。

在上边的例子中，x 是输入值，y 是输出值，他们是平方的关系。

像编程语言一样，函数也可以有多个参数。他们在数学中被称为 arguments，并且函数接受的参数数量被称为函数的 arity 。

代码：

function length (x, y) {
  return Math.sqrt(x * x + y * y)
}

分段函数

有些函数根据输入值 x 的不同会有不同的关系。

下边的函数 f 根据不同的输入值选择两个不同的“子函数”。

这非常接近于代码中的if / else。右边的条件经常被写为**"for x < 0"** 或 "if x = 0"。如果条件为true，就使用其左边的函数。

在分段函数中，"otherwise" 和 "elsewhere" 类似于代码中的 else 。

function f (x) {
  if (x >= 1) {
    return (Math.pow(x, 2) - x) / x
  } else {
    return 0
  }
}

通用函数

有些函数名在数学中是普遍存在的。在一个程序员的角度看，这些应该类似于编程语言中的“内置”函数（就像JavaScript中的 parseInt ）。

一个例子就是 sgn 函数。这是 正负号 函数，或者叫符号函数。让我们用分段函数来描述它：

代码中，应该这样：

function sgn (x) {
  if (x < 0) return -1
  if (x > 0) return 1
  return 0
}

此函数作为独立的module在这里signum。

其他类似函数的例子还有: sin， cos， tan。

函数符号

在某些著作中，函数可以被更明确的符号定义。例如，让我们回到之前提到的 square 函数。

也可以写为以下形式：

带尾巴的箭头通常意思为“映射到”，如，将x映射到x²

有时，不是很常见，这个符号也用来描述函数的 domain 和 codomain。对 ƒ 更正式的定义可以写为：

函数的 domain 和 codomain 分别跟他的 input 和 output 类型有点像。这里有另一个例子，使用了我们之前输出整数的 sgn 函数。

这里的箭头（没有尾巴）用来映射一个集合到另一个。

在JavaScript和其他动态类型语言中，你也许会用文档和/或运行时检查来解释和验证函数的输入/输出。例子：

/**
 * Squares a number.
 * @param  {Number} a real number
 * @return {Number} a real number
 */
function square (a) {
  if (typeof a !== 'number') {
    throw new TypeError('expected a number')
  }
  return Math.pow(a, 2)
}

有些工具例如flowtype尝试将静态类型带入到JavaScript中。

其他语言，例如Java，允许真正的方法重载（overloading），它们基于函数输入输出的静态类型。这更接近于数学领域：使用不同 domain 的两个函数是不同的。

撇号（prime）

撇号 (′) 通常用在变量名上，用来描述某物很类似，而不用另起个名来描述它。也可以描述经过一些变换后的“下一个值”。

例如，如果我们有一个2D点 (x, y) ，然后旋转它，你会把旋转后的点命名为*(x′, y′)*。或者将矩阵 M 的 转置矩阵 命名为 M′。

在代码中，我们通常的分配一个描述更详细的变量名，例如transformedPosition。

对于一个函数，撇号通常描述为函数的 导函数（derivative） 。导函数会在未来的章节解释。我们来看一个之前的函数：

它的导函数（derivative）可以写为一个带撇号′的函数：

代码：

function f (x) {
  return Math.pow(x, 2)
}

function fPrime (x) {
  return 2 * x
}

使用多个撇号可以用来表示二阶导函数（derivative） ƒ′′ 或三阶导函数（derivative）ƒ′′′ ，之后更高的数字，一般作者会用罗马数字 ƒ^IV 或上标数字 ƒ⁽ⁿ⁾ 表示。

向下取整和向上取整（floor & ceiling）

⌊x⌋ 和 ⌈x⌉ 这种特殊的括号分别用来表示floor 和 ceil 函数。

代码：

Math.floor(x)
Math.ceil(x)

当这两个符号混合⌊x⌉，它通常表示一个取整到最近的整数的函数。

代码：

Math.round(x)

箭头

箭头通常用来表示函数符号。这里还有一些在其他领域中的用法可以看看。

实质蕴含（material implication）

⇒ 和 → 优势被用作表示实质蕴涵（material implication）的逻辑。意思是如果A是true，那么B也是true。

解释为代码应该为：

if (A === true) {
  console.assert(B === true)
}

箭头可以是左右任何方向 ⇐ ⇒，也可以双向⇔。当 A ⇒ B 并且 B ⇒ A，就是他们是相等的：

等式（equality）

在数学中， < > ≤ 和 ≥ 与代码中的使用方法一样：分别为小于, 大于, 小于等于 和 大于等于。

50 > 2 === true
2 < 10 === true
3 <= 4 === true
4 >= 4 === true

偶尔会看到在这些符号上加了一条斜线，来表示不，比如， k 不 "大于" j.

≪ 和 ≫通常用来表示 明显（significant） 不相等。这是说 k 是有数量级（order of magnitude）的大于 j。

在数学中，数量级（order of magnitude） 是相当明确的；不只是“相当大的不同”而已。上边的一个简单例子：

orderOfMagnitude(k) > orderOfMagnitude(j)

下边是我们的 orderOfMagnitude 函数，使用了Math.trunc (ES6)。

function log10(n) {
  // logarithm in base 10
  return Math.log(n) / Math.LN10
}

function orderOfMagnitude (n) {
  return Math.trunc(log10(n))
}

^{Note: This is not numerically robust.}

这里是在ES5下使用math-trunc 的polyfill。

与（conjunction） & 或（disjunction）

另一种箭头在逻辑中的使用是与（conjunction）∧ 和或（disjunction） ∨。他们分别类似于程序员的 AND 和 OR操作。

下边展示了与（conjunction）∧，逻辑中的AND.

在JavaScript中，我们使用 && 假设 k 是一个自然数，那么这个逻辑意味着k等于3：

if (k > 2 && k < 4) {
  console.assert(k === 3)
}

由于双边都相等 ⇔，所以也说明下边成立：

if (k === 3) {
  console.assert(k > 2 && k < 4)
}

下箭头 ∨ 是逻辑或（disjunction），就像 OR 操作符一样。

代码：

A || B

逻辑非（logical negation）

有时候，¬, ~ 和 ! 符号都用来表示逻辑 NOT。例如，只有在A为false的时候，¬A 为true。

这里是一个使用 not 符号简单的例子：

翻译成代码的例子：

if (x !== y) {
  console.assert(!(x === y))
}

注意： 根据上下文的不同，波浪线 ~ 可以有很多种不同的意思。例如，行等价（row equivalence）（矩阵理论）或相同数量级（same order of magnitude） （在等式（equality）章节讨论过）。

区间（intervals）

有时函数会处理被一些值限定范围的实数，这样的约束可以用*区间（interval）*来表示。

例如我们可以表示0和1之间的数，让他们包含或不包含0和1：

不包含0或1：

包含0但不包含1：

不包含0但包含1：

包含0和1：

例如我们指出一个点 x 在3D单位立方体中，我们可以说：

在代码中我们可以用两个元素大小的一维数组表示区间：

var nextafter = require('nextafter')

var a = [nextafter(0, Infinity), nextafter(1, -Infinity)]     // 开区间
var b = [nextafter(0, Infinity), 1]                           // 左闭右开区间
var c = [0, nextafter(1, -Infinity)]                          // 左开右闭区间
var d = [0, 1]                                                // 闭区间

区间与集合运算结合符使用：

交集（intersection） e.g.

并集（union） e.g.

差集（difference） e.g. 还有

代码:

var Interval = require('interval-arithmetic')
var nextafter = require('nextafter')

var a = Interval(3, nextafter(5, -Infinity))
var b = Interval(4, 6)

Interval.intersection(a, b)
// {lo: 4, hi: 4.999999999999999}

Interval.union(a, b)
// {lo: 3, hi: 6}

Interval.difference(a, b)
// {lo: 3, hi: 3.9999999999999996}

Interval.difference(b, a)
// {lo: 5, hi: 6}

见：

next-after
interval-arithmetic

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关于怎样贡献详见 CONTRIBUTING.md。

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MIT, 详见 LICENSE.md。

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变量名约定

等号

平方根与复数

点 & 叉

标量乘法

向量乘法

点乘

叉乘

西格玛（sigma）

大写 Pi

管道（pipes）

绝对值

欧几里得模（Euclidean norm）

行列式

帽子

属于

常见数字集

ℝ 实数（real numbers）

ℚ 有理数（rational numbers）

ℤ 整数（integers）

ℕ 自然数（natural numbers）

ℂ 复数

函数

分段函数

通用函数

函数符号

撇号（prime）

向下取整和向上取整（floor & ceiling）

箭头

实质蕴含（material implication）

等式（equality）

与（conjunction） & 或（disjunction）

逻辑非（logical negation）

区间（intervals）

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`ℝ` 实数（real numbers）

`ℚ` 有理数（rational numbers）

`ℤ` 整数（integers）

`ℕ` 自然数（natural numbers）

`ℂ` 复数