From 69ba8ec61c75af8b7632055fa907abcd85fe9ae3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Th=C3=A9ophile=20Cailliau?= Date: Sun, 2 Jan 2022 23:09:40 +0100 Subject: [PATCH] Fin du rattrapage d'analyse --- integration-07.tex | 12 ++++++ integration.tex | 2 +- src/integration-07.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 96 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 integration-07.tex create mode 100644 src/integration-07.tex diff --git a/integration-07.tex b/integration-07.tex new file mode 100644 index 0000000..2ed607d --- /dev/null +++ b/integration-07.tex @@ -0,0 +1,12 @@ +\documentclass{article} + +\newif\ifsolo +\solotrue +\input{src/preamble.tex} + +\begin{document} + +\input{src/integration-07.tex} + +\printindex +\end{document} diff --git a/integration.tex b/integration.tex index f53723c..2ca8975 100644 --- a/integration.tex +++ b/integration.tex @@ -48,7 +48,7 @@ \pagestyle{main} -\foreach \i in {01, 02, 03, 04, 05, 06} {% +\foreach \i in {01, 02, 03, 04, 05, 06, 07} {% \edef\FileName{integration-\i}% \IfFileExists{\FileName}{% \input{src/\FileName}% diff --git a/src/integration-07.tex b/src/integration-07.tex new file mode 100644 index 0000000..b1339a0 --- /dev/null +++ b/src/integration-07.tex @@ -0,0 +1,83 @@ +\ifsolo + ~ + + \vspace{1cm} + + \begin{center} + \textbf{\LARGE Formule de changement de variables} \\[1em] + \end{center} + \tableofcontents +\else + \chapter{Formule de changement de variables} + + \minitoc +\fi +\thispagestyle{empty} + +\begin{thm} +Soit $U, D$ deux ouverts de $\R^d$ et $\varphi : U \longrightarrow D$ un $\mathcal C^1$-difféomorphisme. Si $f : D \longrightarrow \R_+$ est borélienne, \[ + \int_D f(x)\diff x = \int_U f(\varphi(u))J_{\varphi}(u)\diff u +\] +où \[ + J_\varphi(u)=|\det \diff \varphi_u|\neq 0 +\] +On peut aussi l'écrire \[ + \int_Df(x)\frac{\diff x}{J_\varphi(\varphi^{-1}(x))}=\int_U f(\varphi(u))\diff u +\] +En dimension $1$, on reconnaît \[ + \int_a^b f(x)\diff x = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(u))\varphi'(u)\diff u +\] +avec $\varphi$ strictement monotone et $\mathcal C^1$ +\end{thm} + +\begin{lmm} + Soit $M \in \GL_d(\R)$ et $b \in \R^d$. Alors, si $\varphi(x)=Mx+b$, alors $\forall A \in \mathcal B(\R^d)$, \[ + \lambda(\varphi(A))= |\det M|\lambda(A) + \] +\end{lmm} + +\begin{rem} + C'est vrai même si $M$ n'est pas inversible (l'image est dans un hyperplan affine de mesure nulle) +\end{rem} + +\begin{proof}[Preuve du lemme] + On a que $\varphi(A)= (\varphi^{-1})^{-1}(A)$ or $\varphi^{-1}$ est mesurable donc $\varphi(A)$ est un borélien. Par ailleurs, $A \longmapsto \lambda(\varphi(A))$ est une mesure (la mesure image de $ \lambda$ par $\varphi^{-1}$), et de plus: \[ + \lambda(\varphi(A+a))=\lambda(M(A+a)+b)=\lambda(MA+b)=\lambda(\varphi(A)) + \] + donc $ \lambda \circ \varphi=c\lambda$ pour un $c$ à déterminer. L'invariance par translation permet de supposer $b=0$. + \begin{itemize} + \item Si $M$ est orthogonale, alors $c\lambda(\B(0,1))=\lambda(M\B(0,1))=\lambda(\B(0,1))$ donc $c=1=|\det M|$ + \item Si $ M \in \S_n^{++}$, on peut l'écrire $M=P\Delta \transpose P$ avec $P$ orthogonale et $\Delta = \diag(a_1, \cdots , a_d)$ avec les $a_i>0$. Alors, + \begin{align*} + \lambda\left(MP[0,1]^d\right) &=\lambda\left(P\Delta[0,1]^d\right) \\&=\lambda\left(P\prod_{i=1}^d [0,a_i]\right) \\&= \lambda\left(\prod_{i=1}^d[0,a_i]\right) \\&= a_1\times \cdots \times a_d \\&= |\det\left(M\right)|\\&= |\det\left(M\right)| \lambda\left(P[0,1]^d\right) + \end{align*} + donc $c=|\det M|$ + \item Si $ M \in \GL_d(\R)$, on peut l'écrire $M=PS$ avec $P $ orthogonale et $S$ symétrique définie positive. \[ + \lambda(\varphi(A)) =\lambda(PSA)= \lambda(SA) =|\det(S)| \lambda(A) = |\det(PS)| \lambda(A) + \] + donc $c=|\det M|$ + \end{itemize} +\end{proof} + +\begin{proof}[Idée de preuve dans le cas général] +On se ramène localement au cas affine. Pour cela, on exploite le résultat suivant: Si $K\subset U$ est compact, alors \[ + \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \forall \alpha<\delta, \forall u_0 \in K, \quad (1-\epsilon)J_{\varphi}(u_0) \lambda(C)\leq \lambda(\varphi(C))\leq (1+\epsilon)J_{\varphi}(u_0)\lambda(C) +\] +où $C = u_0+]-\sfrac\alpha2,\sfrac\alpha2[^d$. + +Ensuite, on considère $C_n$ l'ensemble des cubes de la forme \[ +\prod_{i=1}^d ]ki 2^{-n}, (k+1)i2^{-n}[ +\] +On se donne $C_0 \in \mathcal C_{n_0}$, et \[ + \lambda(\varphi(C_0))=\sum_{C\in \mathcal{C}_n, C\subseteq C_0} \lambda(\varphi(C)) +\] +Par le lemme, il existe $n$ tel que \[ +\lambda(\varphi(C_0)) \leq (1+\epsilon) \sum_{C\in \mathcal{C}_n, C\subseteq C_0} J_{\varphi}(u_c)\lambda(C) \leq (1+\epsilon)^2 \sum_{C\in \mathcal{C}_n,C\subseteq C_0} \int_C J_\varphi(u)\diff u = (1+\epsilon)^2 \int_{C_0} J_\varphi(u)\diff u +\] +On minore de la même manière et $\epsilon>0$ étant arbitraire, on conclut que \[ +\lambda(\phi(C_0))= \int_{C_0} J_\varphi(u)\diff u +\] +et donc par le lemme de Dynkin et en approchant par des fonctions simples, \[ +\lambda(\phi(A))= \int_AJ_{\varphi}(u)\diff u +\] +\end{proof}