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/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 22.04.0 ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Reescreve, se possível, a expressão 𝐴 de modo que se torne um polinômio na variável 𝑥, onde cada potência de 𝑥 ocorre apenas uma vez. Além disso, simplifica os coeficientes de cada termo em 𝑥.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
Group(A,x):=
block([a,l,simp,Ans],
algebraic:true,
simp:0,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
a:expandwrt(fullratsimp(A,x),x),
l:hipow(a,x),
for i:0 thru l do (
simp:simp+fullratsimp(coeff(a,x,i))*x^i
),
Ans:simp,
algebraic:false,
return(ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
O coeficiente líder do polinômio 𝐴 na variável 𝑥.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
LC(A,x):=
block([a,Ans],
algebraic:true,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
a:Group(A,x),
a:coeff(a,x,hipow(a,x)),
Ans:a,
algebraic:false,return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
O polinômio mônico de 𝐴 na varável 𝑥. Obtido pela divisão de 𝐴 por seu termo líder em 𝑥.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
Mon(A,x):=
block([a,Ans],
algebraic:true,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
a:Group(A/LC(A,x),x),
Ans:a,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Retorna polinômios 𝐴 e 𝐵 tais que 𝑃(𝑢 + 𝐼𝑣) = 𝐴(𝑢,𝑣) + 𝐼𝐵(𝑢,𝑣), com os coeficientes de 𝐴 e 𝐵 pertencentes ao mesmo domínio dos coeficientes de 𝑃.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
Parts(P,z):=
block([u,v,p,Ans],
algebraic:true,
p:subst(u+%i*v,z,P),
Ans:[realpart(p),imagpart(p)],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Gera polinômios inteiros aleatórios. 𝑑𝑒𝑔 é o grau desejado, 𝑙𝑖𝑚 é o limitante para o valor absoluto dos coeficientes e 𝑑𝑜𝑚 é o domínio: naturais ou inteiros.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
RPoly(x,deg,lim,dom):=
block([j,s,Poly,Ans],
algebraic:true,
Poly:0,
for j:0 thru deg do (
s:1,
if random(2)=0 and dom="integers" then s:-1,
Poly:Poly+s*random(lim+1)*x^j
),
if hipow(Poly,x)<deg then Poly:Poly+x^deg,
if Poly=0 then (
Ans:1,
algebraic:false,return(Ans)
),
Ans:Poly,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Retorna o quociente e o resto da divisão de 𝐴 por 𝐵 visto como polinômios em 𝑥.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função PolyDivide(𝐴,𝐵)
2: descrição: Dado um corpo K e 𝐴,𝐵 ∈ K[𝑥] com 𝐵 ̸= 0, retorna 𝑄,𝑅 ∈ K[𝑥] tais que 𝐴 = 𝐵𝑄 + 𝑅, com 𝑅 = 0 ou grau(𝑅) < grau(𝐵).
3: 𝑄 ← 0
4: 𝑅 ← 𝐴
5: enquanto 𝑅 ̸= 0 e 𝛿 ← grau(𝑅) − grau(𝐵) ≥ 0 faça
6: 𝑇 ← cl(𝑅) cl(𝐵) 𝑥 𝛿
7: 𝑄 ← 𝑄 + 𝑇
8: 𝑅 ← 𝑅 − 𝐵𝑇
9: fim enquanto
10: devolve (𝑄,𝑅)
11: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
PDiv(A,B,x):=
block([b,q,r,t,delta,lcB,degB,Ans],
algebraic:true,
q:0,
r:Group(A,x),
b:Group(B,x),
degB:hipow(b,x),
delta:hipow(r,x)-degB,
lcB:LC(b,x),
while r#0 and delta>=0 do (
t:fullratsimp(LC(r,x)/lcB)*x^delta,
q:q+t,
r:r-b*t,
q:Group(q,x),
r:Group(r,x),
delta:hipow(r,x)-degB
),
Ans:[q,r],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Retorna o pseudoquociente e o pseudoresto da divisão de 𝐴 por 𝐵 visto como polinômios em 𝑥.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função PolyPseudoDivide(𝐴,𝐵)
2: descrição: Dado um domínio de integridade 𝐷 e 𝐴,𝐵 ∈ 𝐷[𝑥] com 𝐵 ̸= 0, retorna pquo(𝐴,𝐵) e prem(𝐴,𝐵).
3: 𝑏 ← cl(𝐵)
4: 𝑁 ← grau(𝑅) − grau(𝐵) + 1
5: 𝑄 ← 0
6: 𝑅 ← 𝐴
7: enquanto 𝑅 ̸= 0 e 𝛿 ← grau(𝑅) − grau(𝐵) ≥ 0 faça
8: 𝑇 ← cl(𝑅)𝑥 𝛿
9: 𝑁 ← 𝑁 − 1
10: 𝑄 ← 𝑏𝑄 + 𝑇
11: 𝑅 ← 𝑏𝑅 − 𝐵𝑇
12: fim enquanto
13: devolve (𝑏 𝑁 𝑄,𝑏𝑁 𝑅)
14: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
PPsDiv(A,B,x):=
block([b,q,r,t,delta,lcB,degB,N],
algebraic:true,
q:0,
r:Group(A,x),
b:Group(B,x),
degB:hipow(b,x),
delta:max(hipow(r,x)-degB,-1),
lcB:LC(b,x),
N:delta+1,
while r#0 and delta>=0 do (
t:LC(r,x)*x^delta,
N:N-1,
q:lcB*q+t,
r:lcB*r-b*t,
q:Group(q,x),
r:Group(r,x),
delta:hipow(r,x)-degB
),
q:Group(lcB^N*q,x),
r:Group(lcB^N*r,x),
Ans:[q,r],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Cálculo de mdc de polinômios utilizando a SRP primitiva. Há a possibilidade de se realizar os cálculos módulo 𝑃(𝑧). Isto se mostrará útil especialmente no algoritmo de Rothstein-Trager.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função Euclidean(𝑎,𝑏)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏 ∈ 𝐷, retorna mdc(𝑎,𝑏).
3: enquanto 𝑏 ̸= 0 faça
4: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑎,𝑏) ◁ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟
5: 𝑎 ← 𝑏
6: 𝑏 ← 𝑟
7: fim enquanto
8: devolve 𝑎
9: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
GCD(A,B,x,P,z):=
block([a,b,q,r,Ans],
algebraic:true,
a:Group(A,x),
b:Group(B,x),
if P#0 then (
a:PPsDiv(a,P,z)[2],
b:PPsDiv(b,P,z)[2]
),
while b#0 do (
[q,r]:PPsDiv(a,b,x),
if P#0 then (
r:PPsDiv(num(r),P,z)[2],
if r#0 then r:content(Group(r,x),x)[2]
),
a:b,
b:content(r,x)[2],
if r=0 then b:0
),
a:content(a,x)[2],
if LC(a,x)<0 then (
a:Group((-a),x)
),
Ans:a,
algebraic:false,return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Algoritmo de Euclides estendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função ExtendedEuclidean(𝑎,𝑏)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏 ∈ 𝐷, retorna 𝑠,𝑡,𝑑 ∈ 𝐷 tais que 𝑑 = mdc(𝑎,𝑏) e 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑑.
3: 𝑎1 ← 1
4: 𝑎2 ← 0
5: 𝑏1 ← 0
6: 𝑏2 ← 1
7: enquanto 𝑏 ̸= 0 faça
8: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑎,𝑏) ◁ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟
9: 𝑎 ← 𝑏
10: 𝑏 ← 𝑟
11: 𝑟1 ← 𝑎1 − 𝑞𝑏1
12: 𝑟2 ← 𝑎2 − 𝑞𝑏2
13: 𝑎1 ← 𝑏1
14: 𝑎2 ← 𝑏2
15: 𝑏1 ← 𝑟1
16: 𝑏2 ← 𝑟2
17: fim enquanto
18: devolve (𝑎1,𝑎2,𝑎)
19: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
ExGCD(A,B,x):=
block([a,b,q,r,a1,a2,b1,b2,r1,r2,Ans],
algebraic:true,
a:Group(A,x),
b:Group(B,x),
a1:1,
a2:0,
b1:0,
b2:1,
while b#0 do (
[q,r]:PDiv(a,b,x),
a:b,
b:r,
r1:a1-q*b1,
r2:a2-q*b2,
a1:b1,
a2:b2,
b1:r1,
b2:r2
),
Ans:expand([a1,a2,a]),
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Algoritmo de Euclides semiestendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HalfExtendedEuclidean(𝑎,𝑏)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏 ∈ 𝐷, retorna 𝑠,𝑑 ∈ 𝐷 tais que 𝑑 = mdc(𝑎,𝑏) e 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑑 para algum 𝑡 ∈ 𝐷.
3: 𝑎1 ← 1
4: 𝑏1 ← 0
5: enquanto 𝑏 ̸= 0 faça
6: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑎,𝑏) ◁ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟
7: 𝑎 ← 𝑏
8: 𝑏 ← 𝑟
9: 𝑟1 ← 𝑎1 − 𝑞𝑏1
10: 𝑎1 ← 𝑏1
11: 𝑏1 ← 𝑟1
12: fim enquanto
13: devolve (𝑎1,𝑎)
14: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HExGCD(A,B,x):=
block([a,b,q,r,a1,b1,r1,Ans],
algebraic:true,
a:A,
b:B,
a1:1,
b1:0,
while b#0 do (
[q,r]:PDiv(a,b,x),
a:b,
b:r,
r1:a1-q*b1,
a1:b1,
b1:r1
),
Ans:[a1,a],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Algoritmo de Euclides estendido calculado a partir do semiestendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função ExtendedEuclidean(𝑎,𝑏)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏 ∈ 𝐷, retorna 𝑠,𝑡,𝑑 ∈ 𝐷 tais que 𝑑 = mdc(𝑎,𝑏) e 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑑.
3: (𝑠,𝑑) ← HalfExtendedEuclidean(𝑎,𝑏) ◁ 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑑 para algum 𝑡
4: (𝑡,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑑 − 𝑠𝑎,𝑏) ◁ 𝑟 deve ser 0
5: devolve (𝑠,𝑡,𝑑)
6: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HFExGCD(A,B,x):=
block([a,b,s,r,g,t,Ans],
algebraic:true,
a:A,
b:B,
[s,g]:HExGCD(a,b,x),
[t,r]:PDiv(g-s*A,B,x),
Ans:[s,t,g],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão diofantina do algoritmo de Euclides estendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função ExtendedEuclidean(𝑎,𝑏,𝑐)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐷 e 𝑐 múltiplo de mdc(𝑎,𝑏), retorna 𝑠,𝑡 ∈ 𝐷 tais que 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑐, com 𝑠 = 0 ou 𝜈(𝑠) < 𝜈(𝑏).
3: (𝑠,𝑡,𝑑) ← ExtendedEuclidean(𝑎,𝑏) ◁ 𝑑 = 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏
4: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑐,𝑑) ◁ 𝑐 = 𝑑𝑞 + 𝑟
5: se 𝑟 ̸= 0 então
6: erro: “𝑐 não é múltiplo de mdc(𝑎,𝑏)”
7: fim se
8: 𝑠 ← 𝑞𝑠
9: 𝑡 ← 𝑞𝑡
10: se 𝑠 ̸= 0 e 𝜈(𝑠) ≥ 𝜈(𝑏) então
11: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑠,𝑏) ◁ 𝑠 = 𝑏𝑞 + 𝑟
12: fim se
13: 𝑠 ← 𝑟
14: 𝑡 ← 𝑡 + 𝑞𝑎
15: devolve 𝑠,𝑡
16: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
DioExGCD(A,B,C,x):=
block([s,t,g,q,r,Ans],
algebraic:true,
[s,t,g]:HFExGCD(A,B,x),
[s,t,g]:expand([s,t,g]),
[q,r]:PDiv(C,g,x),
if r#0 then (
algebraic:false,
error("c is not in the ideal generated by a and b")
),
s:q*s,
t:q*t,
[s,t]:expand([s,t]),
if s#0 and hipow(s,x)>=hipow(B,x) then (
[q,r]:PDiv(s,B,x),
s:r,
t:t+q*A
),
Ans:[s,t],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão diofantina do algoritmo de Euclides semiestendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HalfExtendedEuclidean(𝑎,𝑏,𝑐)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐷 e 𝑐 múltiplo de mdc(𝑎,𝑏), retorna 𝑠 ∈ 𝐷 tal que 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑐 para algum 𝑡 ∈ 𝐷, com 𝑠 = 0 ou 𝜈(𝑠) < 𝜈(𝑏).
3: (𝑠,𝑑) ← HalfExtendedEuclidean(𝑎,𝑏) ◁ 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑑 para algum 𝑡 ∈ 𝐷
4: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑐,𝑑) ◁ 𝑐 = 𝑑𝑞 + 𝑟
5: se 𝑟 ̸= 0 então
6: erro: 𝑐 não é múltiplo de mdc(𝑎,𝑏)
7: fim se
8: 𝑠 ← 𝑞𝑠
9: se 𝑠 ̸= 0 e 𝜈(𝑠) ≥ 𝜈(𝑏) então
10: (𝑞,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑠,𝑏) ◁ 𝑠 = 𝑏𝑞 + 𝑟
11: fim se
12: 𝑠 ← 𝑟
13: devolve 𝑠
14: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
DioHExGCD(A,B,C,x):=
block([s,g,q,r,Ans],
algebraic:true,
[s,g]:HExGCD(A,B,x),
[s,g]:expand([s,g]),
[q,r]:PDiv(C,g,x),
if r#0 then (
algebraic:false,
error("c is not in the ideal generated by a and b")
),
s:q*s,
s:expand(s),
if s#0 and hipow(s,x)>=hipow(B,x) then (
[q,r]:PDiv(s,B,x),
s:r
),
Ans:s,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão diofantina do algoritmo de Euclides calculado a partir do semiestendido. Aplicável a domínios euclidianos de polinômios.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função ExtendedEuclidean(𝑎,𝑏)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑏,𝑐 ∈ 𝐷, com 𝑐 múltiplo de mdc(𝑎,𝑏) retorna 𝑠,𝑡 ∈ 𝐷 tais que 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑐, com 𝑠 = 0 ou 𝜈(𝑠) < 𝜈(𝑏).
3: 𝑠 ← HalfExtendedEuclidean(𝑎,𝑏,𝑐) ◁ 𝑠𝑎 + 𝑡𝑏 = 𝑐 para algum 𝑡
4: (𝑡,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑐 − 𝑠𝑎,𝑏) ◁ 𝑟 deve ser 0
5: devolve (𝑠,𝑡)
6: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
DioHFExGCD(A,B,C,x):=
block([s,r,t,Ans],
algebraic:true,
s:DioHExGCD(A,B,C,x),
[t,r]:PDiv(C-s*A,B,x),
Ans:[s,t],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Algoritmo das subresultantes.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função SubResultant(𝐴,𝐵)
2: descrição: Dado um domínio de integridade 𝐷 e 𝐴,𝐵 ∈ 𝐷[𝑥] com 𝐵 = 0 ̸ e grau(𝐴) ≥ grau(𝐵), retorna res(𝐴,𝐵) e a SRP subresultante (𝑅0,𝑅1, . . . ,𝑅𝑘,0) de 𝐴 e 𝐵.
3: 𝑅0 ← 𝐴
4: 𝑅1 ← 𝐵
5: 𝑖 ← 1
6: 𝛾1 ← −1
7: 𝛿1 ← grau(𝐴) − grau(𝐵)
8: 𝛽1 ← (−1)𝛿1+1
9: enquanto 𝑅𝑖 ̸= 0 faça
10: 𝑟𝑖 ← cl(𝑅𝑖)
11: (𝑄,𝑅) ← PolyPseudoDivide(𝑅𝑖−1,𝑅𝑖)
12: 𝑅𝑖+1 ← 𝑅/𝛽𝑖 ◁ esta divisão é sempre exata
13: 𝑖 ← 𝑖 + 1
14: 𝛾𝑖(−𝑟𝑖−1) 𝛿𝑖−1 𝛾 1−𝛿𝑖−1 𝑖−1
15: 𝛿𝑖 ← grau(𝑅𝑖−1) − grau(𝑅𝑖)
16: 𝛽𝑖 ← −𝑟𝑖−1𝛾 𝛿𝑖 𝑖
17: fim enquanto
18: 𝑘 ← 𝑖 − 1
19: se grau(𝑅𝑘) > 0 então
20: devolve (0,(𝑅0,𝑅1, · · · ,𝑅𝑘,0))
21: fim se
22: se grau(𝑅𝑘−1) = 1 então
23: devolve (𝑅𝑘,(𝑅0,𝑅1, · · · ,𝑅𝑘,0))
24: fim se
25: 𝑠 ← 1 ◁ 𝑠 será (−1)𝜎𝑘
26: 𝑐 ← 1 ◁ 𝑠𝑅grau(𝑅𝑘−1)−1 𝑘 𝑐 será 𝜏𝑘
27: para 𝑗 ← 1 até 𝑘 − 1 faça ◁ computa 𝜏𝑘𝑅𝑘
28: se grau(𝑅𝑗−1) for ímpar e grau(𝑅𝑗 ) for ímpar então
29: 𝑠 ← −𝑠
30: fim se
31: 𝑐 ← 𝑐(𝛽𝑗/𝑟1+𝛿𝑗 𝑗 ) grau(𝑅𝑗 ) 𝑟 grau(𝑅𝑗−1)−grau(𝑅𝑗+1) 𝑗 ◁ divisão exata
32: fim para
33: devolve (𝑠𝑐𝑅grau(𝑅𝑘−1) 𝑘 ,(𝑅0,𝑅1 . . . ,𝑅𝑘,0))
34: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
SubRes(A,B,x):=
block([R,i,gamma,delta,Res, beta,pq,pr,r,k,s,c,j,Ans],
algebraic:true,
R:[],
gamma:[],
delta:[],
beta:[],
r:[],
push(Group(B,x),R),
push(Group(A,x),R),
i:2,
push(-1,gamma),
push(hipow(R[1],x)-hipow(R[2],x),delta),
push((-1)^(delta[1]+1),beta),
while R[i]#0 do (
r:endcons(LC(R[i],x),r),
[pq,pr]:PPsDiv(R[i-1],R[i],x),
R:endcons(Group(pr/beta[i-1],x),R),
gamma:endcons((-r[i-1])^delta[i-1]*gamma[i-1]^(1- delta[i-1]),gamma),
delta:endcons(hipow(R[i],x)-hipow(R[i+1],x),delta),
beta:endcons(-r[i-1]*gamma[i]^delta[i],beta),
i:i+1
),
k:i-1,
if hipow(R[k],x)>0 then (
Ans:[0,rest(R,-1)],
algebraic:false,
return(Ans)
),
if hipow(R[k-1],x)=1 then (
Ans:[R[k],rest(R,-1)],
algebraic:false,
return(Ans)
),
s:1,
c:1,
for j:1 thru k-2 do (
if mod(hipow(R[j],x),2)=1 and mod(hipow(R[j+1],x),2)=1 then s:-s,
c:c*(beta[j]/r[j]^(1+delta[j]))^hipow(R[j+1],x) *r[j]^(hipow(R[j],x)-hipow(R[j+2],x))
),
Res:s*c*R[k]^(hipow(R[k-1],x)),
Ans:[Res,rest(R,-1)],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Normaliza o mdc entre dois polinômios para que seu coeficiente líder seja congruente a 1 mod 𝑃(𝑧).
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
Normalize(A,x,P,z):=
block([a,mult,Ans],
algebraic:true,
mult:HExGCD(LC(A,x),P,z)[1],
a:mult*A,
a:PDiv(a,P,z)[2],
a:content(Group(a,x))[2],
Ans:a,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
O mesmo que a função factor do Maxima, porém retorna uma lista com os fatores da fatoração prima do polinômio 𝑄, ao invés de um produto. 𝑒𝑥𝑝𝑎 deve ter valor 𝑡𝑟𝑢𝑒 caso se deseje expandir os fatores.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
LFactor(Q,x,expa):=
block([fac,l,i,c,q,listfac,Ans],
algebraic:true,
listfac:[],
if hipow(Q,x)=0 then (
Ans:[Q],
algebraic:false,
return(Ans)
),
[c,q]:content(Q,x),
q:Group(q,x),
fac:factor(q),
fac:2*fac^3,
if op(fac)="-" then (
c:-c,
fac:-fac
),
l:length(fac),
push(c,listfac),
for i:2 thru l do (
listfac:endcons(second(fac)^(1/3),listfac),
fac:fac/second(fac),
if expa then listfac[i]:Group(listfac[i],x)
),
Ans:listfac,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Fatoração livre de quadrados pelo algoritmo de Yun.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função SquareFree(𝐴)
2: descrição: Dado um domínio de fatoração única 𝐷 com característica 0 e 𝐴 ∈ 𝐷[𝑥], retorna 𝐴1, . . . ,𝐴𝑚 ∈ 𝐷[𝑥] tais que 𝐴 = ∏︁𝑚 𝑘=1 𝐴 𝑘 𝑘 é uma fatoração livre de quadrados de 𝐴.
3: 𝑐 ← cont(𝐴)
4: 𝑆 ← 𝐴/𝑐 ◁ 𝑆 = pp(𝐴)
5: 𝑆 ′ ← 𝑑𝑆/𝑑𝑥
6: 𝑆 − ← mdc(𝑆,𝑆′ )
7: 𝑆 * ← 𝑆/𝑆−
8: 𝑌 ← 𝑆 ′ /𝑆−
9: 𝑘 ← 1
10: enquanto (𝑍 ← 𝑌 − 𝑑𝑆* /𝑑𝑥) ̸= 0 faça ◁ 𝑆* = 𝐴 −𝑘−1 * , 𝑌 ← 𝑌𝑘
11: 𝐴𝑘 ← mdc(𝑆 * ,𝑍) ◁ (2.12)
12: 𝑆 * ← 𝑆 * /𝐴𝑘 ◁ 𝑆* = 𝐴 −𝑘 *
13: 𝑌 ← 𝑍/𝐴𝑘 ◁ 𝑌 = 𝑌𝑘+1
14: 𝑘 ← 𝑘 + 1
15: fim enquanto
16: 𝐴𝑘 ← 𝑆 *
17: devolve (𝑐𝐴1, . . . ,𝐴𝑘)
18: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
SQFR(A,x):=
block([S,Sd,Sf,Y,fac,Z,k,c,dS,Ans],
algebraic:true,
fac:[],
[c,S]:content(A,x),
dS:Group(diff(S,x),x),
Sd:GCD(S,dS,x,0,0),
Sf:Group(S/Sd,x),
Y:Group(dS/Sd,x),
Z:Group(Y-diff(Sf,x),x),
k:1,
while Z#0 do (
fac:endcons(GCD(Sf,Z,x,0,0),fac),
Sf:Group(Sf/fac[k],x),
Y:Group(Z/fac[k],x),
Z:Group(Y-diff(Sf,x),x),
k:k+1
),
fac:endcons(Sf,fac),
fac[1]:Group(c*fac[1],x),
Ans:fac,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Decomposição em frações parciais simples.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função PartialFraction(𝑎,𝑑1, . . . ,𝑑𝑛)
2: descrição: Dado um domínio euclidiano 𝐷 e 𝑎,𝑑1, . . . ,𝑑𝑛 ∈ 𝐷 ∖ {0} com mdc(𝑑𝑖 ,𝑑𝑗 ) = 1 para 𝑖 ̸= 𝑗, retorna 𝑎0,𝑎1, . . . ,𝑎𝑛 ∈ 𝐷 tais que 𝑎 𝑑1 · · · 𝑑𝑛 = 𝑎0 + ∑︁𝑛 𝑖=1 𝑎𝑖 𝑑𝑖 com 𝑎𝑖 = 0 ou 𝜈(𝑎𝑖) < 𝜈(𝑑𝑖) para 𝑖 ≥ 1.
3: (𝑎0,𝑟) ← EuclideanDivision(𝑎,𝑑1, . . . ,𝑑𝑛) ◁ 𝑎 = (𝑑1 · · · 𝑑𝑛)𝑎0 + 𝑟
4: se 𝑛 = 1 então
5: devolve (𝑎0,𝑟)
6: fim se
7: (𝑎1,𝑡) ← ExtendedEuclidean(𝑑2 · · · 𝑑𝑛,𝑑1,𝑟) ◁ 𝜈(𝑎1) < 𝜈(𝑑1)
8: (𝑏0,𝑎2, . . . ,𝑎𝑛) ← PartialFraction(𝑡,𝑑2, . . . ,𝑑𝑛)
9: devolve (𝑎0 + 𝑏0,𝑎1,𝑎2, . . . ,𝑎𝑛)
10: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
PFrac(A,Fac,x):=
block([fac,len,Den,a,a0,r,aux,t,Ans],
algebraic:true,
a:makelist(0,1),
fac:copylist(Fac),
len:length(fac),
Den:product(fac[i],i,1,len),
[a0,r]:PDiv(A,Den,x),
if len=1 then (
Ans:[a0,r],
algebraic:false,
return(Ans)
),
Den:Den/fac[1],
[a[1],t]:DioHFExGCD(Den,fac[1],r,x),
pop(fac),
aux:PFrac(t,fac,x),
push(aux[1],a),
pop(aux),
a:append(a,aux),
Ans:a,
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão original da redução de Hermite.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HermiteReduce(𝐴,𝐷)
2: descrição: Dado um corpo K e 𝐴,𝐷 ∈ K[𝑥] com 𝐷 não nulo e coprimo com 𝐴, retorna 𝑔,ℎ ∈ K(𝑥) tais que 𝐴/𝐷 = 𝑔 ′ + ℎ com ℎ possuindo um denominador livre de quadrados.
3: (𝐷1, . . . ,𝐷𝑚) ← SquareFree(𝐷)
4: (𝑃,𝐴1,𝐴2, . . . ,𝐴𝑛) ← PartialFraction(𝐴,𝐷1,𝐷2 2 , . . . ,𝐷𝑛 𝑛 )
5: 𝑔 ← 0
6: ℎ ← 𝑃 + 𝐴1/𝐷1
7: para 𝑘 ← 2 até 𝑛 tal que grau(𝐷𝑘) > 0 faça
8: 𝑉 ← 𝐷𝑘
9: para 𝑗 ← 𝑘 − 1 até 1 passo −1 faça
10: (𝐵,𝐶) ← ExtendedEuclidean(𝑉 ′ ,𝑉, − 𝐴𝑘/𝑗)
11: 𝑔 ← 𝑔 + 𝐵/𝑉 𝑗
12: 𝐴𝑘 ← −𝑗𝐶 − 𝐵 ′
13: fim para
14: ℎ ← ℎ + 𝐴𝑘/𝑉
15: fim para
16: devolve (𝑔,ℎ)
17: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HermO(A,D,x):=
block([SF,SFExp,PF,g,h,k,V,dV,B,C,j,n,Ans],
algebraic:true,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
SF:SQFR(D,x),
n:length(SF),
SFExp:makelist(SF[i]^i,i,1,n),
PF:PFrac(A,SFExp,x),
g:0,
h:PF[1]+fullratsimp(PF[2])/SF[1],
for k:2 thru n do (
if hipow(SF[k],x)>0 then (
V:SF[k],
dV:diff(V,x),
for j:k-1 thru 1 step -1 do (
[B,C]:DioHFExGCD(dV,V,-expand (fullratsimp(PF[k+1]/j)),x),
g:g+fullratsimp(B)/V^j,
PF[k+1]:-j*C-diff(B,x)
),
h:h+fullratsimp(PF[k+1])/V
)
),
Ans:[g,h],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão quadrática da redução de Hermite.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HermiteReduce(𝐴,𝐷)
2: descrição: Dado um corpo K e 𝐴,𝐷 ∈ K[𝑥] com 𝐷 não nulo e coprimo com 𝐴, retorna 𝑔,ℎ ∈ K(𝑥) tais que 𝐴/𝐷 = 𝑔 ′ + ℎ com ℎ possuindo um denominador livre de quadrados.
3: 𝑔 ← 0
4: (𝐷1, . . . ,𝐷𝑚) ← SquareFree(𝐷)
5: para 𝑖 ← 2 até 𝑚 tal que grau(𝐷𝑖) > 0 faça
6: 𝑉 ← 𝐷𝑖
7: 𝑈 ← 𝐷/𝑉 𝑖
8: para 𝑗 ← 𝑖 − 1 até 1 passo −1 faça
9: (𝐵,𝐶) ← ExtendedEuclidean(𝑈𝑉 ′ ,𝑉, − 𝐴/𝑗)
10: 𝑔 ← 𝑔 + 𝐵/𝑉 𝑗
11: 𝐴 ← −𝑗𝐶 − 𝑈𝐵′
12: fim para
13: 𝐷 ← 𝑈𝑉
14: fim para
15: devolve (𝑔,𝐴/𝐷)
16: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HermQ(A,D,x):=
block([SF,SFExp,a,d,g,h,k,V,dV,U,B,C,j,n,Ans],
algebraic:true,
a:A,
d:D,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
g:0,
SF:SQFR(D,x),
n:length(SF),
for k:2 thru n do (
if hipow(SF[k],x)>0 then (
V:SF[k],
dV:expand(diff(V,x)),
U:expand(fullratsimp(d/V^k)),
for j:k-1 thru 1 step -1 do (
[B,C]:DioHFExGCD(expand(U*dV), V,-expand(fullratsimp(a/j)),x),
g:g+fullratsimp(B)/V^j,
a:expand(fullratsimp(-j*C-U*diff(B,x)))
),
d:U*V)
),
Ans:[g,fullratsimp(a)/d],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Versão linear da redução de Hermite.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HermiteReduce(𝐴,𝐷)
2: descrição: Dado um corpo K e 𝐴,𝐷 ∈ K[𝑥] com 𝐷 não nulo e coprimo com 𝐴, retorna 𝑔,ℎ ∈ K(𝑥) tais que 𝐴/𝐷 = 𝑔 ′ + ℎ com ℎ possuindo um denominador livre de quadrados.
3: 𝑔 ← 0
4: 𝐷 − ← mdc(𝐷,𝐷′ )
5: 𝐷 * ← 𝐷/𝐷−
6: enquanto grau(𝐷 −) > 0 faça
7: 𝐷 −2 ← mdc(𝐷 −,𝐷−′ )
8: 𝐷 −* ← 𝐷 −/𝐷−2
9: (𝐵,𝐶) ← ExtendedEuclidean(−𝐷 *𝐷 −′ /𝐷−,𝐷−* ,𝐴)
10: 𝐴 ← 𝐶 − 𝐵 ′𝐷 * /𝐷−* ◁ novo numerador
11: 𝑔 ← 𝑔 + 𝐵/𝐷−
12: 𝐷 − ← 𝐷 −2 ◁ 𝐷 − = 𝐷 −2
13: fim enquanto
14: devolve (𝑔,𝐴/𝐷* )
15: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HermL(A,D,x):=
block([a,Dd,Dd2,Df,Ddf,degDd,dDd,g,B,C,Ans],
algebraic:true,
a:A,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
g:0,
Dd:GCD(D,diff(D,x),x,0,0),
Df:Group(D/Dd,x),
degDd:hipow(Dd,x),
while degDd>0 do (
dDd:Group(diff(Dd,x),x),
Dd2:GCD(Dd,dDd,x,0,0),
Ddf:Group(Dd/Dd2,x),
[B,C]:DioHFExGCD(Group(-Df*dDd /Dd,x),Ddf,a,x),
a:Group(C-diff(B,x)*Df/Ddf,x),
g:g+fullratsimp(B)/Dd,
Dd:Dd2,
degDd:hipow(Dd,x)
),
Ans:[g,fullratsimp(a)/Df],
algebraic:false,
return(Ans)
)$
/* [wxMaxima: input end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
Método de Horowitz-Ostrogradsky.
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: comment start ]
1: função HorowitzOstrogradsky(𝐴,𝐷)
2: descrição: Dado um corpo K e 𝐴,𝐷 ∈ K[𝑥] com grau(𝐴) < grau(𝐷), 𝐷 não nulo e coprimo com 𝐴, retorna 𝑔,ℎ ∈ K(𝑥) tais que 𝐴/𝐷 = 𝑔 ′ + ℎ com ℎ possuindo um denominador livre de quadrados.
3: 𝐷 − ← mdc(𝐷,𝐷′ )
4: 𝐷 * ← 𝐷/𝐷−
5: 𝑛 ← grau(𝐷 −) − 1
6: 𝑚 ← grau(𝐷 * ) − 1
7: 𝑑 ← grau(𝐷)
8: 𝐵 ← ∑︁𝑛 𝑖=0 𝑏𝑖𝑥 𝑖
9: 𝐶 ← ∑︁𝑚 𝑗=0 𝑐𝑗𝑥 𝑗
10: 𝐻 ← 𝐴 − 𝐵 ′𝐷 * + 𝐵𝐷*𝐷 −′ /𝐷− − 𝐶𝐷− ◁ divisão exata
11: (𝑏0, . . . ,𝑏𝑛,𝑐0, . . . ,𝑐𝑛) ← solucionador(coeficiente(𝐻,𝑥𝑘 ) = 0,0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑑)
12: devolve ∑︁𝑛 𝑖=0 𝑏𝑖𝑥 𝑖 /𝐷−, ∑︁𝑚 𝑖=0 𝑐𝑗𝑥 𝑗 /𝐷*
13: fim função
[wxMaxima: comment end ] */
/* [wxMaxima: input start ] */
HorOstro(A,D,x):=
block([a,Dd,Df,dDd,n,m,d,C,B,dB,H,j,b,c,k,eq,listb, listc,listvar,sol,Rac,Log,Ans],
algebraic:true,
a:A,
eq:[],
linsolvewarn:false,
if A=0 then (
Ans:0,
algebraic:false,
return(Ans)
),
Dd:GCD(D,diff(D,x),x,0,0),
if Dd=1 then (
Ans:[0,A/D],
algebraic:false,
return(Ans)
),
dDd:diff(Dd,x),
Df:Group(D/Dd,x),
n:hipow(Dd,x),
m:hipow(Df,x),
d:m+n-1,
B:sum(b[i]*x^(i-1),i,1,n),
C:sum(c[i]*x^(i-1),i,1,m),
dB:expand(diff(B,x)),
H:Group(A-dB*Df+B*Df*dDd/Dd-C*Dd,x),
for k:0 thru d do eq:endcons(coeff(H,x,k)=0,eq),
listb:makelist(b[i],i,1,n),
listc:makelist(c[i],i,1,m),
listvar:append(listb,listc),
sol:solve(eq,listvar)[1],
Rac:fullratsimp(sum(rhs(sol[i])*x^(i-1),i,1,n))/Dd,
Log:fullratsimp(sum(rhs(sol[i])*x^(i-1-n),i,n+1,n+m))/Df,