给定一个有 k 个节点的 CFG，迭代算法会更新每个节点 n 的 OUT[n] 值。那么我就可以考虑把这些值定义为一个 k-tuple： $$ (OUT[n_1],OUT[n_2],...,OUT[n_k])\in (V_1\times V_2 \times ...\times V_k) = V^k $$ 则，我们的数据流分析迭代算法框架就可记为$F:V^k \rightarrow V^k$
迭代过程就被记为：
$X_0 = (null, null, ..., null)$ $X_1 = (v_1^1,v_2^1,...,v_k^1) = F(X_0)$ $X_2 = (v_1^2,v_2^2,...,v_k^2) = F(X_1)$ - ...
$X_i = (v_1^i,v_2^i,...,v_k^i) = F(X_{i-1})$ $X_{i+1} = (v_1^i,v_2^i,...,v_k^i) = F(X_{i})$ - 此时我们发现$X_i =X_{i+1}$，意味着$X_i$就是$F$的一个不动点。
在这个框架下，我们就有一些想知道的问题：
- 算法是否确保一定能停止/达到不动点？会不会总是有一个解答？
- 如果能到达不动点，那么是不是只有一个不动点？如果有多个不动点，我们的结果是最优的吗？
- 什么时候我们会能得到不动点？
为了回答这个问题，我们需要先回顾一些数学。
所谓偏序集合（poset），就是一个由集合
- Reflexivity 自反性：x
$\sqsubseteq$ x - Antisymmetry 反对称性：x
$\sqsubseteq$ y, y$\sqsubseteq$ x, 则 x = y - Transitivity 传递性：x
$\sqsubseteq$ y, y$\sqsubseteq$ z, 则 x$\sqsubseteq$ z - 例子：小于等于关系就是一个偏序关系，但小于关系不是偏序关系，它是全序关系。
偏序关系与全序关系的区别在于，全序关系可以让任意两个元素比较，而偏序关系不保证所有元素都能进行比较。
对于偏序集中的某子集 S 来说：
- 若存在元素 u 使得 S 的任意元素 x 有 x
$\sqsubseteq$ u，那么我们说 u 是 S 的上界（Upper bound）。 - 同理，若存在元素 l 使得 S 的任意元素 x 有 l
$\sqsubseteq$ x，那么我们说 l 是 S 的下界（Lower bound）。
然后我们衍生出最小上界和最大下界的概念：
- 在 S 的所有上界中，我们记最小上界（Least upper bound, lub）为$\sqcup S$，满足所有上界 u 对 lub 有：
$\sqcup S \sqsubseteq u$ - 类似地我们也能定义出最大下界（Greatest lower bound, glb）为$\sqcap S$。
当 S 的元素个数只有两个{a, b}时，我们还可以有另一种记法：
- 最小上界：$a \sqcup b$, a join b
- 最大下界：$a \sqcap b$, a meet b
并不是每个偏序集都有 lub 和 glb，但是如果有，那么该 lub, glb 将是唯一的。（可假设存在多个，然后用自反性证明它们是同一个）
给定一个偏序集，如果任意元素 a, b 都有 lub和glb，那么这么偏序集就叫做 格（lattice）。
- 属于 lattice 的：小于等于关系，子集关系
- 不属于 lattice 的：子串关系
如果在此之上更加严格一些，任意集合都存在 lub 和 glb，那么我们说这个 lattice 为“全格（complete lattice）”
- 属于全格的：子集关系
- 不属于全格的：小于等于关系，因为全体正整数没有一个边界
每一个全格都存在着最大元素$\top$ (top)和最小元素$\bot$ (bottom)，他们分别是整个集合的 lub 和 glb。
如果一个 lattice 是有穷的，那么它一定是一个全格。
然而，一个全格不一定是有穷的，例如[0, 1]之间的实数是无穷的，但是期间的小于等于关系可以使其成为全格。
另外还有 Product Lattice，多个 lattice 的笛卡尔积也能形成一个新的 lattice。
需要记住的是：
- product lattice 也是一个 lattice
- 如果 product lattice L是全格的积，那么 L 也是全格。
扩展阅读：如果偏序集任意两元素的上下界仅有其 lub 和 glb，那么称该偏序集为半格（Semilattice）
一个数据流分析框架（D, L, F）由以下元素组成：
- D: 数据流的方向，前向还是后向
- L: 包含了数据值 V 和 meet, join 符号的格
- F: V -> V 的转移方程族
从而，数据流分析可以被视为在 lattice 的值上迭代地应用转移方程和 meet/join 操作符。
回看我们在上面提出的问题：迭代算法在什么条件下可以停机？我们在这里引入不动点定理：
Monotonicity 单调性：如果$x \sqsubseteq y \Rightarrow f(x)\sqsubseteq f(y)$，则说函数f: L -> L 是单调的。
FIxed Point Theorem 不动点定理：给定一个全格$(L,\sqsubseteq)$，如果
-
$f: L \rightarrow L$ 是单调的 -
$L$ 是有穷的（也就是f单调有界+L全格）
那么
-
迭代$f^k(\bot)$可以得到最小不动点（least fixed point）。
-
迭代$f^k(\top)$可以得到最大不动点（greatest fixed point）。
证明：
根据$\bot$和f的定义，我们可以得到：$\bot \sqsubseteq f(\bot)$。
由于 L 是有限的，且 f 单调，根据鸽笼原理，必然存在一个 k 使得$\bot \sqsubseteq f(\bot) \sqsubseteq f^2(\bot)\sqsubseteq ...\sqsubseteq f^k(\bot)\sqsubseteq f^{k+1}(\bot) $，且$f^k(\bot) = f^{k+1}(\bot)$。
假设我们有另一个任意不动点 x，由于 f 是单调的，因此$f(\bot) \sqsubseteq f(x), f^2(\bot) \sqsubseteq f^2(x),...,f^{Fix} = f^k(\bot)\sqsubseteq f^k(x) = x$
可知的确$f^{Fix}$是最小不动点。
通过上面的证明，我们又回答了一个问题：如果我们的迭代算法符合不动点定理的要求，那么迭代得到的不动点，确实就是最优不动点。
以上我们只是定性的描述了是否能得到最优不动点，但是迭代算法怎样才能算是符合了不动点定理的要求呢？接下来介绍关联的方法。
首先，回想 fact 的形式：$(v_1^1,v_2^1,...,v_k^1)$，可以将其视为一个有限 lattice，它的积也是有限 lattice，因此 fact 对应到 finite lattice 是可以的。
然后，我们的迭代函数 F 包括了转移函数 f 和 join/meet 函数，证明 F 是单调的，那么也就能得到
这里分两部分。
- 转移函数，即 OUT = gen U (IN - kill)，显然是单调的。
- 那么 join/meet 函数，我们要证明其单调，就是要证明：$\forall x,y,z\in L, x\sqsubseteq y$，有$x \sqcup z \sqsubseteq y \sqcup z$。
- 由定义，$y \sqsubseteq y \sqcup z$
- 由传递性，$x \sqsubseteq y \sqcup z$
- 则
$y \sqcup z$ 是$x, z$ 的 ub - 又
$x \sqcup z$ 是$x, z$ 的 lub - 因此
$x \sqcup z \sqsubseteq y \sqcup z$ ，证毕。
于是我们就完成了迭代算法到不动点定理的对应。
现在我们要回答本文开头的第三个问题了，什么时候算法停机？
这个问题就很简单了，因为每个 lattice 都有其高度。假设 lattice 的高度为 h，而我们的 CFG 节点数为 k，就算每次迭代可以使一个节点在 lattice 上升一个高度，那么最坏情况下，我们的迭代次数也就是
最后我们再列出这三个问题与其回答：
- 算法是否确保一定能停止/达到不动点？**能！**会不会总是有一个解答？可以！
- 如果能到达不动点，那么是不是只有一个不动点？**可以有很多。**如果有多个不动点，我们的结果是最优的吗？是的！
- 什么时候我们会能得到不动点？最坏情况下，是 lattice 的高度与 CFG 的节点数的乘积。
无论 may 还是 must 分析，都是从一个方向到另一个方向去走。考虑我们的 lattice 抽象成这样一个视图：
例如，对于到达定值分析，下界代表没有任何可到达的定值，上界代表所有定值都可到达。
下界代表 unsafe 的情形，即我们认为无到达定值，可对相关变量的存储空间进行替换。上界代表 safe but useless 的情绪，即认为定值必然到达，但是这对我们寻找一个可替换掉的存储空间毫无意义。
而因为我们采用了 join 函数，那么我们必然会从 lattice 的最小下界往上走。而越往上走，我们就会失去更多的精确值。那么，在所有不动点中我们寻找最小不动点，那么就能得到精确值最大的结果。
反之，在可用表达式分析中，下界代表无可用表达式，上界代表所有表达式都可用。
下界代表 safe but useless 的情形，因为需要重新计算每个表达式，即使确实有表达式可用。而上界代表 unsafe，因为不是所有路径都能使表达式都可用。与 may analysis 一样，通过寻找最大不动点，我们能得到合法的结果中精确值最大的结果。
我们引入 Meet-Over-All-Paths Solution，即 MOP。在这个 solution 中，我们不是根据节点与其前驱/后继节点的关系来迭代计算数据流，而是直接查找所有路径，根据所有路径的计算结果再取上/下界。这个结果是最理想的结果。
可以看到，迭代算法是 s3 对前驱取 join 后进行进行 f3 的转移，而 MOP 算法是对到达 s3 之后，s4 之前的路径结果取 join。
那么迭代算法和 MOP 哪个更精确呢？我们可以证明，$F(x)\sqcup F(y)\sqsubseteq F(x\sqcup y)$：
这表明 MOP 是更为精确的。
但这并没有结束。而如果 F 是可分配的，那么确实可以让偏序符号改为等于号。恰好，gen/kill problem 下，F 确实可分配因此我们能确定，迭代算法的精度与 MOP 相等。
当然有些问题下 F 是不可分配的，如常量传播（Constant Propagation）。
在常量传播分析中，其最大上界是 undefine，因为我们不知道一个变量到底被定义为了什么值。最小下界是 NAC（Not A Constant），而中间就是各种常量。这是因为分析一个变量指向的值是否为常量，那么要么它是同一个值，要么它不是常量。
给定一个 statement s: x = ...，我们定义转移函数$OUT[s]=gen\cup(IN[s]-{(x,_)})$。
其中我们根据赋值号右边的不同，决定不同的 gen 函数：
注意，const + undef -> undef。因为 undef 变成 const 的过程中是降级，而如果 const1 + undef -> const2，那么 undef 变化为 const 时，const2 会发生改变，原来的 const2 与现在的 const2 不具有偏序关系，那么就不满足偏序关系的单调性了。
常量传播是不可分配的。以下图为例：
对于 c，$F(X)\sqcap F(Y) = 10, F(X\sqcap Y) = \text{NAC}$
worklist 是迭代算法的优化。
在 Worklist 算法中，只在基本块的 fact 发生变化处理其相关基本块，不必再在每次有 fact 变化时处理所有的基本块了。
- 理解函数视角下的迭代算法
- 对于 lattice 和 complete lattice 的定义
- 理解不动点定理
- 知道如何用 lattice 来概述 may 和 must analysis
- MOP与迭代算法结果之间的关系
- 常量传播分析
- Worklist 算法