Найти $\frac{∂ x}{∂\mu}$ при $μ = 0$ для решения задачи
$$x’ = \frac{x}t + μ te-x, x(1) = 1$$
Продифференцируем задачу по $μ$, обозначив $u = \frac{∂ x}{∂\mu}$:
Подставляя $μ = 0$, найдём:
Теперь подставим $μ = 0$ в начальное уравнение системы, чтобы найти $x$:
Подставим полученное выражение для $x$ в (1):
Это линейное ОДУ первого порядка, общее решение однородного уравнения имеет вид:
$$u = Ct, ∀ C$$
Найдём решение неоднородного уравнения в виде $u = C(t)t$:
Тогда $u = Ct - te-t, ∀ C$.
Вспоминая, что $u(1) = 0$, найдём окончательно, что $u(t) = \frac{t}e - \frac{t}{e^t}$.
Найти решение уравнения в виде степенного ряда до 4 степени:
Ищем решение в виде: $y = a_0 + a_1(x - 1) + a_2(x - 1)^2 + a_3(x - 1)^3 + a_4(x - 1)^4 + \ldots$. Тогда
$$y’ = a_1 + 2a_2(x - 1) + 3a_3(x - 1)^2 + 4a_4(x - 1)^3 + \ldots,$$
$$y^3 = a_0^3 + 3a_0^2a_1(x - 1) + (3a_0^2a_2 + 3a_0a_1^2)(x - 1)^2 + (a_3 + 6a_0a_1a_2 + a_1^3)(x - 1)^3 + \ldots$$
Подставив это в начальное уравнение, получим:
Или:
Т. е. разложение имеет вид:
$$y = 1 + (x - 1) + \frac{3}2(x - 1)^2 + \frac{17}6(x - 1)^3 + \frac{77}{24}(x - 1)^4 + \ldots$$
0:58:06
Исследовать на устойчивость нулевое решение:
Для начала линеаризуем систему:
$$\tg(z - y) - 2x = -2x - y + z + o(ρ)$$
$$\sqrt{9 - 12x} - 3e^y = 3\sqrt{1 - \frac{4}3x} - 3(1 + y + o(ρ)) = 3 - \frac{3}2\frac{4}3x - 3 - 3y + o(ρ) = -2x - 3y + o(ρ)$$
Найдём собственные значения этой системы:
В данном случае есть два положительных собственных значения $λ = 1$ и $λ = 3(1 + \sqrt 2)$,
поэтому система является неустойчивой.
1:25:30
Исследовать на устойчивость по определению:
Решим уравнение:
$$2ty’ = y - y^3 ⇒ \frac{2dy}{y - y^3} = \frac{dt}t$$
$$\frac{2}{y - y^3} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y - 1} + \frac{C}{y + 1} =
\frac{A(y^2 - 1) + B(y^2 + y) + C(y^2 - y)}{y + 1}$$
$$∫\frac{2dy}{y - y^3} = -2∫\frac{dy}y + ∫\frac{d(y - 1)}{y - 1} +
∫\frac{d(y + 1)}{y + 1} = ln\left(C\frac{y^2 - 1}{y^2}\right), C ≠ 0$$
$$∫\frac{dt}t = ln t$$
$$\frac{y^2 - 1}{y^2} = Ct ⇒ \frac{1}{y^2} = 1 - Ct, C ≠ 0 ⇒
y = \sqrt{\frac{1}{1 - Ct}}, C ≠ 0$$
При делении на $y - y^3$ мы не учли функции $y = 0$ и $y = ± 1$. Все три функции также
являются решениями.
Граничному условию $y(1) = 0$ удовлетворяет только нулевое решение. Найдём решение, отвечающее
граничному условию $y(1) = δ, 0 < δ < 1$:
$$\sqrt{\frac{1}{1 - C}} = δ ⇒ C = 1 - \frac{1}{δ^2}$$
Этому значению $C$ соответствует функция:
$$y = \sqrt{\frac{δ^2}{δ^2 - (δ^2 - 1)t}}$$
Эта функция является убывающей на $\mathbb{R}_+$, поэтому $y(t) < y(0) = δ ∀ t$.
Поэтому $∀ ε > 0 ∃ δ = ε: |yδ(t) - 0| < ε\, ∀ t$,
т. е. решение является устойчивым. Более того, оно асимптотически устойчиво, так как $limt → ∞y(t) = 0$.