Найти все функции из $\mathbb{Q}>0$ на $\mathbb{Q}>0$, удовлетворяющие уравнению:
Подставим в \eqref{eq:1} $x = f(z)$, получим:
Поменяв местами в последнем уравнении $y$ и $z$, получим:
Сопоставляя последние два равенства, получаем:
Поскольку $f(y)$ и $f(z)$, можно разделить обе части уравнения на $f(y)f(z)$, что даст:
или
где $C$ – некоторое не зависящее от $x$ положительное рациональное число.
Подставим вместо $x$ в последнее уравнение $f(x)$, получим:
Отсюда и из \eqref{eq:simpleq} можно получить соотношение:
Следующая лемма обобщает это соотношение:
Используя соотношение \eqref{eq:lemeq}, можно представить $f(x)$ в виде:
Поскольку $Cf(x)$ является рациональным числом, его можно представить в виде $Cf(x) = \frac{p}q, (p, q) = 1$. Разложив $p$ и $q$ на простые множители, получаем представление:
Аналогичное представление имеет место и для $\frac{fn + 1(x)}C ∀ n ∈ \mathbb{N}$:
Пусть $q_i$ входит в $fn + 1(x)$ с показателем степени $β_i, |β_i| > 1$. Тогда в представление для $\frac{fn + 1(x)2^n}{C2^n}$ этот множитель входит с показателем по модулю не меньшим, чем $|β_i|⋅2n$. Это означает, что при достаточно большом $n$ показатели степеней множителей числа $\left(\frac{fn + 1(x)}C\right)2^n$ станут по модулю больше любого из показателей $α_1, \ldots, α_n$, т. е. равенства \eqref{eq:funcrepr} выполняться не могут. Это значит, что все части этого равенства равны $1$, т. е. $f(x) = const$.
Подставим $f(x) = C$ в уравнение \eqref{eq:1}:
Найти все функции из $\mathbb{Q}>0$ на $\mathbb{Q}>0$, удовлетворяющие уравнению:
Как и в прошлой задаче, подставим вместо $x\, f(z)$:
Поменяв местами $y$ и $z$, получим:
Приравнивая правые части последних двух уравнений, получаем:
Разделим обе части на $f(y)f(z)$:
Последнее соотношение можно переписать в виде:
Подставим в последнее представление вместо $x$ $f(x)^2$, получим:
По аналогии с предыдущей задачей можно доказать следующую лемму:
В отличие от предыдущей задачи, здесь не удаётся выделить последовательности вида $y^n$, поэтому соображения оттуда здесь не проходят. Вместо этого можно попытаться выделить некую структуру в множестве $E(f)$.
Из \eqref{eq:repr3} в частности следует, что $C^nf(x) ∈ E(f) ∀ n ∈ \mathbb{N}_0, ∀ x ∈ \mathbb{Q}>0$.
Из \eqref{eq:2} следует, что $f(x)f(y) ∈ E(f)$, если $x = t^2$ или $y = t^2$ при некотором $t$.
Из \eqref{eq:repr3} также следует, что значение $f$ в точке $x$ однозначно определяет значения в точках $F_n(x) ∀ n ∈ \mathbb{N}$, а именно $f(F_n(x)) = C^nf(x)$. Поскольку каждое значение $F_n(x)$ однозначно определяется предыдущим, то если $F_i(x) = F_j(y)$, то $Fi + n(x) = Fj + n(y) ∀ n ∈ \mathbb{N}$, т. е. $F_n(x)$ вложено в $F_n(y)$, если $i > j$ и наоборот. Таким образом, $D(f)$ разбивается на не более чем счётное множество подмножеств вида $\{x_i, F_n(x_i)\}, i, n ∈ \mathbb{N}$, которым соответствуют значения $\{Cn - 1f(x_i), i, n ∈ \mathbb{N}\}$.
Что дальше?
Найти все функции из $\mathbb{Q}$ на $\mathbb{Q}$, удовлетворяющие уравнению:
Подставим $y → 2y$ в \eqref{eq:3}:
Поменяем местами $x$ и $y$
Откуда следует, что
Подставим $y → x$ в \eqref{eq:3}:
При $x = y = 0$ получим:
Подставим теперь $x = y = 3f(0)$:
Подставим теперь $x = 0$:
Так как $f(f(y)) = y$, то $f = f-1$, т. е. $f$ – биективное отображение.
Применим к обеим частям \eqref{eq:3} отображение $f$:
Подставим в \eqref{eq:1} $y = 0$:
Из \eqref{eq:purple} и \eqref{eq:blue} следует, что:
Найти функции, удовлетворяющие уравнению:
Для того, чтобы найти решение, выберем класс функций $C$ таких, что $f’(x) ∈ C$ и $f-1(x) ∈ C$. Из классов элементарных функций таким свойством обладает только класс $C = \{Ax^r, A, r ∈ \mathbb{R}\}$. Найдём решение в виде $y = Ax^r ⇒ x = (\frac1Ax)\frac1r = A-\frac1rx\frac1r$. Подставив эту функцию в \eqref{eq:4}, получим:
Чтобы ответить на вопрос о наличии других решений, применим $f(x)$ к обеим частям \eqref{eq:4}:
Зафиксируем некоторую точку $x_0$ и рассмотрим уравнение в точке $x_0 + Δ x$:
Возможно, с общим случаем повезёт больше.
Найти функции, удовлетворяющие уравнению:
Как и в прошлой задаче, попробуем найти решение в виде степенной функции $f(x) = Ax^r$. Для этого нужно для начала выяснить общий вид $f^t$.
Решить в неотрицательных целых числах уравнение:
Будем называть порядком числа $m$ по модулю $n$ минимальное такое $r$, что $m^r ≡ 1 (\mod n)$. Обозначение: $r = \operatorname{ord}_n(m)$.
Из чисел $1, 2, \ldots, 2n$ произвольно выбирают $n + 1$ число. Какова вероятность того, что среди выбранных будут 2 взаимно простых числа?
Подход 1: рассмотреть функцию $F^k_n$ – количество подмножеств размера $k$ множества $1, \ldots, n$ таких, что среди них есть два взаимно простых числа.
Подход 2: рассмотреть случайную величину $ξ_k, k = \overline{1, 2n}$ – количество чисел выборки $m$, таких, что $(m, k) = 1$. В выборке есть два взаимно простых числа тогда и только тогда, когда для некоторого $k$ $ξ_k \geq 1$.
Предположим, что для любых двух чисел $k, d ∈ m$ $(k, d) \geq 2$.
Вычислить интеграл
Решить уравнение
Рассмотрим уравнение
Заметим, что $x⌊ x⌋ ≈ x^2$. Так как $3 < \sqrt{10} < 4$, то для решения верно, что $3 < x < 4$.
Заметим, что $m = ⌊ x⌋ ∈ \mathbb{Z}$. Тогда $x⋅ m = 10 ⇒ x = \frac{10}m$. Это значит, что $3 < \frac{10}m < 4$ или $\frac{10}3 < m < \frac{10}4 ⇒ m = 3$. Это значит, что $\frac{10}3$ может быть решением. Подстановкой убеждаемся, что $x = \frac{10}3$ действительно является решением.
Если $x < 0$, то $-4 < x < -3$. Положив $m = ⌊ x⌋$, находим, что $x = \frac{10}m$, т. е. $-\frac{10}4 < m < -\frac{10}3 ⇒ m = -3$, т. е. решение может быть $x = -\frac{10}3$. Подстановкой убеждаемся, что это не решение.
Заметим, что $\sqrt[4]{2020} ≈ 6.7$. Пусть $x > 0$, тогда $6 < x < 7$. Заметим, что $m = ⌊ x⌊ x⌊ x⌋\rfloor⌋ = m ∈ \mathbb{Z} > 0$, т. е. $x⋅ m = 2020 ⇒ x = \frac{2020}m ⇒ \frac{2020}7 < m < \frac{2020}6$, или $⌈\frac{2020}7⌉ = 289 \leq m \leq 336 = ⌊\frac{2020}6⌋$. Это означает, что возможными решениями будут числа $x ∈ \{\frac{2020}k, k = \overline{289, 336}\}$.
Покажем, что среди этих чисел решений нет. Пусть $x ∈ (6, 7)$. Тогда $⌋ x⌊ = 6$, т. е. $x⌊ x⌋ = 6x < 42 ⇒ ⌊ x⌊ x⌋\rfloor \leq 41$. Оценим левую часть уравнения \eqref{eq:9}:
Таким образом, положительных решений уравнение \eqref{eq:9} не имеет.
Пусть теперь $x < 0$. Тогда $-7 < x < -6, ⌊ x⌊ x⌊ x⌋\rfloor⌋ = m ∈ \mathbb{Z}-$. Так как $x⋅ m = 2020$, то $-\frac{2020}6 < m < -\frac{2020}7$.
Получаем неравенство на $m: -337 \leq m \leq -288$. Перебором можно найти решение $x = -\frac{2020}{305}$, являющееся единственным.
Пусть $S \subseteq \mathbb{N}$ является наименьшим множеством, обладающим следующими свойствами:
-
$2 ∈ S$.
- Если $n^2 ∈ S$, то $n ∈ S$.
- Если $n ∈ S$, то $(n + 5)^2 ∈ S$.
Какие натуральные числа заведомо не входят в $S$?
Из свойств 2 и 3 следует, что если $n ∈ S$, то $(n + 5) ∈ S$. Таким образом, все числа вида $(5k + 2), k ∈ \mathbb{N}$ входят в $S$. Из свойств операций по модулю вытекает, что числа такого вида не являются полными квадратами. В самом деле, если число делится на 5, то его квадрат также делится на 5. Если число при делении на 5 даёт в остатке 1 или 4, то его квадрат при делении на 5 даёт остаток 1. Наконец, если число даёт остаток 2 или 3 при делении на 5, его квадрат даст остаток 4 при делении на 5. В силу третьего правила, квадраты этих чисел также входят в $S$. Таким образом, $S = \{5m + 2, (5n + 2)^2, m ∈ \mathbb{N}_0, n ∈ \mathbb{N}\}$. Соответственно, в $S$ не входят числа вида $5n + 1, 5n + 3$ и числа вида $5n + 4$, не являющиеся квадратами, и число $9$.
Вычислить сумму ряда
Вычислить предел:
Доказать тождество:
Доказательство проведём индукцией по $n$.
База индукции: при $n = 1$ тождество, очевидно, выполняется:
Индуктивный переход: пусть тождество доказано при $n = k$, т. е.
Рассмотрим правую часть \eqref{eq:eq13} при $n = k + 1$:
Раскроем скобки в правой части:
Рассмотрим последовательности $a_n = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3$ и $b_n = (1 + 2 + \ldots +
n)^2$ и их производящие функции $A(x) = ∑n = 0∞a_nx^n, B(x) = ∑n = 0∞b_nx^n$. Для этих последовательностей выполнены соотношения:
Поскольку $\triangle ABC$ равносторонний, $∠ BAC = ∠ ABC = ∠ ACB = 60ˆ$. Далее, $∠ APB = ∠ ACB = 60ˆ$, так как оба угла опираются на дугу $AB$. Аналогично, $∠ CPB = ∠ CAB = 60ˆ$, так как оба этих угла опираются на дугу $CB$. См. рисунок \ref{pic:14-2}.
Найти $∠ AED$ в треугольнике на рисунке \ref{pic:15-1}.
Найдём углы $∠ CAB$ и $∠ CBA$:
Найти все функции $f: \mathbb{R} → \mathbb{R}$ такие, что:
Доказать, что любое число, оканчивающееся на 133, имеет простой делитель больше 7.