338. 比特位计数.md

338. 比特位计数

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶:

• 给出时间复杂度为**O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)**内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

思路

Dp: res[i] = res[ i & ( i - 1 )] +1;

对于所有的数字，只有两类：

奇数：二进制表示中，奇数一定比前面那个偶数多一个 1，因为多的就是最低位的 1。 举例： 0 = 0 1 = 1 2 = 10 3 = 11 偶数：二进制表示中，偶数中 1 的个数一定和除以 2 之后的那个数一样多。因为最低位是 0，除以 2 就是右移一位，也就是把那个 0 抹掉而已，所以 1 的个数是不变的。 举例： 2 = 10 4 = 100 8 = 1000 3 = 11 6 = 110 12 = 1100 另外，0 的 1 个数为 0，于是就可以根据奇偶性开始遍历计算了。

代码

动态规划

var countBits = function(num) {
  let res = [0];
  for(let i = 1; i <= num; i ++) {
    if (i % 2) {
       res[i] = res[i-1] + 1
    } else {
      res[i] = res[i/2]
    }
  }
  return res;
};

动态规划-位运算

var countBits = function(num) {
  let res = [0];
  for(let i = 1; i <= num; i ++) {
    res[i] = res[i & (i-1)] + 1
  }
  return res;
};

复杂度分析

时间复杂度 $O(N)$

空间复杂度 $O(N)$