![P5377 [THUPC2019] 鸽鸽的分割 题解](/gallery/covers/20231026.jpg)
简要题意
连结圆上 $n$ 个点，求最多能够把圆分成几个部分。
+前置知识
欧拉公式：$F(ace)=E(dge) - V(ertex)+2$
+人话：$\text{多边形面数} = \text{边数} - \text{顶点数} + 2$
+思路
将一个圆折叠成一个多面体，你可以进行一些奇妙的空间变换来达到这一点。
+那么我们最后会多出一个底面。
+因此在我们的这个圆中 $F(n)=E-V+1$
+求 $V$
圆上已经有了 $n$ 个点。我们要使得圆内不存在三线共点的情况。
+那么考虑每次选择四个顶点画出一个四边形的两条对角线。
+于是又会生成 $C_{n}^{4}$ 个顶点。可以证明已经考虑完全了，于是有
+$$
V = n + C_{n}^{4}
$$
求 $E$
原有 $C_{n}^{2}$ 条边，且圆环上的 $n$ 个点互相连接构成 $n$ 条边。
+每多一个交点会增加两条多边形边。又有 $2\times C_{n}^{4}$ 条。
+$$
E = n + C_{n}^{2} + 2\times C_{n}^{4}
$$
最后，我们展开这个逆天的柿子：
+$$
\begin{aligned}
F(n) &= E - V + 1 \
&= n + C_{n}^{2} + 2\times C_{n}^{4} - n - C_{n}^{4} + 1 \
&= C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + 1 \
&= \dfrac{n(n - 1)}{2} + \dfrac{n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}{4\times 3 \times 2} + 1 \
&= \dfrac{x^4}{24} - \dfrac{x^3}{4} + \dfrac{23x^2}{24} - \dfrac{3x}{4} + 1
\end{aligned}
$$
去 OEIS 上校验结果，正确。
+
