这是数学专栏的第一篇文章，数学专栏会记录我对数学相关的心得。
为什么数学专栏的名字叫 “数学之美” 呢？因为数学拥有逻辑自洽的美，反之，如果体会不到美，就会觉得很枯燥。
这次要介绍的手动算根号就非常能体现数学之美。
这次研究的问题是 “如何手动算根号”。
我们都知道，平方很好算，但算根号很难。虽然算根号可以通过计算器按出来，但数学上也有优雅的方法快速得到算根号的近似值，掌握了手动算根号的原理，你可以得到以下两个提升：
- 学会用心算方式算根号，不用再依赖计算器
- 对数学之美的感受 +100
首先，a + b 的平方展开式如下：
比如我们要对 82 算根号，假设：
那么：
带入 a + b 的平方展开式：
等式左边的值已经得到，接下来如果通过某种办法求出了等式右边 a 和 b，那么根据假设的定义：
根号 82 的值直接就可以通过 a + b 得到。
等式右边还是比较复杂，需要进一步简化。
假设我们只寻找 a 远大于 b 的组合，那么这个组合下，2ab 更加远大于 b^2，所以可以把 b^2 舍去，得到：
有突破口了，接下来思考，如果 a 特别大，比如等于 1 亿可以吗？
假设 a 是特别大的正数，但 a + b 等于根号 82，必然导致 b 也是一个很大的负数，这样 2ab 就是负数，而 b^2 是一个很大的正数，就不满足 2ab 远大于 b^2 的前提条件了。
所以 a 必须是一个尽可能大，但又要保证 b 依然是正数的值。
根据
我们只要找到一个数的平方接近 82，但不大于 82 的数字，作为 a 即可，那就是 9 的平方 81 嘛。
那么 a 等于 9 确定下来了，易得 b=1/18，所以：
按一下计算器会发现根号 82 的值是 9.05538513814，非常接近。
根据推导结论，我们可以记住以下口诀：
对于任意数字算根号，比如对数字 n 算根号，先找到一个数，这个数的平方最接近并小于根号内的数字，比如求根号 82，先找到 9 作为 a，接下来根据下面公式得到 b:
最后计算 a + b 得到的结果就是对 n 算根号的近似值。
假设计算根号 2，只能把 a 拆成 1，但这不满足 a 远大于 b，此时可以把数字乘以 100，这样把得到的结果除以 10 即可。
比如计算根号 2，先计算根号 200。
200 可以把 a 设定为 14（平方是 196），那么 b 的值为：
那么根号 2 的值就是 (14 + 0.142) / 10 = 1.4142
在推导过程中，数学之美体现在以下几个点：
1. 利用平方展开式
这是最本质的问题，即遇到一个难以心算根号的数字时，如果将要求的值转化为已知值的计算，问题就迎刃而解。
对任意根号数字来说，其平方都很好算，以及找到最接近该数字的平方值也很好算，满足这些要素的就是平方展开式，所以利用平方展开式是最巧妙的一步。
2. 假设 a 远大于 b
如果让 a 远大于 b，可以极大简化求 b 的过程，虽然这也是这个方案结果是近似值的原因，但总的来说是利大于弊的。
3. 找不到极大的 a，就创造条件
当条件不满足拆出极大的 a 时，将数据乘以 100，不仅必然保证了极大 a 的出现，而且还利用了 100 的根号很容易计算的特性，巧妙的将人类不可解的问题转化为人类可解问题。
我们通过平方展开式学到了手动对任意正数开根号，如果哪天忘记公式了，也可以根据平方展开式重新推导一遍，这样就永远不会忘记啦。