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% !TEX root = ./article.tex
\documentclass{article}
\usepackage{mystyle}
\usepackage{myvars}
%-----------------------------
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
%-----------------------------
% TEXT
%-----------------------------
\section{Distribución Hipergeométrica}
\label{sec:description}
\paragraph{}
La distribución hipergeométrica $X \sim H(n, N, D)$ se corresponde con una distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas. Esta modeliza la situación de obtener $k$ casos favorables, de $n$ observaciones, sobre una población de $N$ individuos, donde $D$ representan la situación de éxito y $N-D$ la de fracaso. Por tanto, modeliza la misma situación que la distribución binomial, solo que en este caso se presupone que cada observación se realiza \textbf{sin reemplazamiento}, mientras que en la distribución binomial se asume reemplazamiento.
\paragraph{}
En las siguientes secciones se demuestra que una distribución hipergeométrica $X \sim H(n, N, D)$ es equivalente a la suma de $n$ distribuciones de bernoulli dependientes entre sí. Por tanto, $X = X_1 + ... + X_i + ... + X_n$ donde $X_i \sim B(\frac{D}{N})$ representa la $i$-ésima observación.
\section{Demostración para $n=2$}
\label{sec:demostration_1}
\paragraph{}
A continuación se demuestra el caso para dos variables\footnote{\label{note1}El proceso de simplificación de cálculo simbólico se ha realizado a través de la plataforma \emph{Wolfram Alpha}.}:
\begin{align}
X &\sim H(2, N, D) \\
X &= X_1 + X_2 \\
X_1 &\sim B(\frac{D}{N}) & X_2 &\sim B(\frac{D}{N})
\end{align}
\begin{align}
P[X_1 = 1] &= \frac{D}{N}\\
P[X_2 = 1] &= P[X_2 = 1 , X_1 = 0] + P[X_2 = 1 , X_1 = 1] \\
&= P[X_2 = 1 \mid X_1 = 0]*P[X_1 = 0] + P[X_2 = 1 \mid X_1 = 1]*P[X_1 = 1] \\
&= ... \\
&= \frac{D}{N-1}*(1-\frac{D}{N}) + \frac{D-1}{N-1}*\frac{D}{N} \\
&= \frac{D}{N}
\end{align}
\clearpage
\section{Demostración para $n=3$}
\label{sec:demostration_1}
\paragraph{}
A continuación se demuestra el caso para tres variables\footref{note1} (nótese caso de que ya haya ocurrido un éxito puede ser tratado de la misma manera sin importar si el éxito se ha dado en $X_1$ o en $X_2$):
\begin{align}
X &\sim H(3, N, D) \\
X &= X_1 + X_2 + X_3 \\
X_1 &\sim B(\frac{D}{N}) & X_2 &\sim B(\frac{D}{N}) & X_3 &\sim B(\frac{D}{N})\\
\end{align}
\begin{align}
P[X_1 = 1] &= \frac{D}{N}\\
P[X_2 = 1] &= P[X_2 = 1 , X_1 = 0] + P[X_2 = 1 , X_1 = 1] \\
&= P[X_2 = 1 \mid X_1 = 0]*P[X_1 = 0] + P[X_2 = 1 \mid X_1 = 1]*P[X_1 = 1] \\
&= \frac{D}{N-1}*(1-\frac{D}{N}) + \frac{D-1}{N-1}*\frac{D}{N} \\
&= \frac{D}{N} \\
P[X_3 = 1] &= P[X_3 = 1 , X_2 = 0 , X_1 = 0 ] + P[X_3 = 1 , X_2 = 0 , X_1 = 1 ] \\
& \quad + P[X_3 = 1 , X_2 = 1 , X_1 = 0 ] + P[X_3 = 1 , X_2 = 1 , X_1 = 1 ] \\
&= P[X_3 = 1 \mid X_2 = 0, X_1 = 0]*P[X_2 = 0,X_1 = 0] \\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 0, X_1 = 1]*P[X_2 = 0,X_1 = 1] \\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 1, X_1 = 0]*P[X_2 = 1,X_1 = 0] \\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 1, X_1 = 1]*P[X_2 = 1,X_1 = 1] \\
&= P[X_3 = 1 \mid X_2 = 0, X_1 = 0]*P[X_2 = 0 \mid X_1 = 0] * P[X_1 = 0]\\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 0, X_1 = 1]*P[X_2 = 0 \mid X_1 = 1] * P[X_1 = 1] \\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 1, X_1 = 0]*P[X_2 = 1 \mid X_1 = 0] * P[X_1 = 0]\\
& \quad + P[X_3 = 1 \mid X_2 = 1, X_1 = 1]*P[X_2 = 1 \mid X_1 = 1] * P[X_1 = 1]\\
&= \frac{D}{N-2}*(1-\frac{D}{N-1}) * (1-\frac{D}{N})\\
& \quad + 2*\frac{D-1}{N-2}*\frac{D}{N-1} * (1-\frac{D}{N})\\
& \quad + \frac{D-2}{N-2}*\frac{D-1}{N-1} * \frac{D}{N}\\
&= ... \\
&= \frac{D}{N}
\end{align}
%-----------------------------
% Bibliographic references
%-----------------------------
\nocite{prob2017}
\bibliographystyle{alpha}
\bibliography{bib}
\end{document}