reference-fi.txt

MathMD -- Matemaattinen merkkikieli
===================================

Yleistä
-------

Realiluvut:
* Luvut merkitään yhteen kirjoitetuin numeroin.
* Pidemmät luvut voi ryhmitellä listeillä kolmen numeron sarjoihin.
* Desimaaliosa erotetaan tavalliseen tapaan pilkulla.
* Etumerkit:
  * Negatiivinen luku merkitään viivalla (esimerkiksi -1).
  * Vastaavasti positiivisen luvun positiivisuutta voi korostaa lisäämällä plus-merkin (esim +1).
  * Plus-miinus -etumerkki merkitään loogisesti yhdistämällä etumerkit (esimerkiksi +-1)
  * Etumerkit ja luvut kirjoitetaan yhteen.
* Murtoluvut merkitään jakolaskuina, koska näillä ei ole mitään eroa.
* Vastaavasti sekaluvun voi ilmaista plussalla. Esimerkiksi kolme kokonaista ja yksi neljäsosa on 3+1/4.
* Jos haluaa korostaa, että kyseessä on murto- tai sekaluku, sen voi kirjoittaa yhteen ja ympäröidä välein.
* Prosentit eli sadasosat merkitään prosenttimerkillä % ja promillea eli tuhannesosia merkinnällä :%.

Muuttujat ja symbolit:
* Yksinkertaiset muuttujat ilmaistaan tavallisin kirjaimin.
* Erikoissumbolit voidaan ilmaista aina sanallisesti.
  * Sanallisissa muodoissa suositaan englannin kieltä.
* Sanallisia muotoja voi lyhentää käyttämällä
  * yleisesti tunnettuja lyhenteitä tai
  * tapauskohtaisesti määriteltyjä lyhenteitä
* Lyhyet lyhenteet merkitään \-etuliitteellä selkeyden vuoksi.
* Ylä- ja alaindeksejä voi olla millä tahansa symbolilla.
  * Alaindeksi merkitään alaviivalla ja yläindeksi potenssimerkillä.
  * Jos symbolilla on sekä ala- että yläindeksi, suositaan järjestystä, jossa alaindeksi kirjoitetaan ensin.
  * Yhtä merkkiä pidemmät ala- ja yläindeksit ilmaistaan aaltosulkeiden sisällä.
* Joskus saman merkityksisiä muuttujia erotetaan toisistaan koristelemalla ne erilaisilla lisämerkeillä kuten hattu-merkillä.
  * Yleensä itse koristelutapa ei ole merkityksellinen, joten merkin voi korvata jollain muulla.
  * Koristelussa pyritään suosimaan merkkejä, joita käytetään muutoin vähän (esimerkiksi x', x` tai x", mutta ei x^ tai x~)

Välien käytöstä:
* Välien tarkoituksena on selkiyttää ja ryhmitellä kaavoja.
* Turhia välejä on syytä välttää, sillä ne pidentävät kokonaisuuksia.
* Tarkkoja sääntöjä ei anneta, sillä selkeyden määrittely eri tilanteissa olisi hankalaa.
* On kuitenkin syytä huomioida seuraavat ohjeistukset:
  * ei välejä sulkujen sisäpuolelle
  * väli operaattorin molemmille puolille tai sitten ei kummallekaan
  * ei välejä jokaisen merkin ympärille, koska muuten välin merkitys katoaa


Kreikkalaiset aakkoset
----------------------

aakkonen | symboli
------------------
alpha    | ~a
beta     | ~b
gamma    | ~c
delta    | ~d
epsilon  | ~e
zeta     | ~z
eta      | ~g
theta    | ~h
iota     | ~i
kappa    | ~k
lambda   | ~l
mu       | ~m
nu       | ~n
xi       | ~q
omicron  | ~o
pi       | ~p
rho      | ~r
sigma    | ~s
tau      | ~t
upsilon  | ~u
phi      | ~f
chi      | ~x
psi      | ~y
omega    | ~w

Aritmeettisia operaatioita
--------------------------

* Summa: x+y
* Erotus: x-y
* Tulo: x y, x*y
* Osamäärä: x/y
* Potenssi: x^y
* Itseisarvo: |x|
* Yhtäsuuruus: x = y
* Erisuuruus: x != y
* Likimäärin, noin: x ~= y
* Pienempi kuin: x < y
* Pienempi tai yhtäsuuri kuin: x <= y
* Suurempi kuin: x > y
* Suurempi tai yhtäsuuri kuin: x >= y
* Paljon pienempi kuin: x << y
* Paljon suurempi kuin: x >> y

Aritmeettisia funktioita
------------------------

* neliöjuuri: sqrt(x), \2rt(x), rt2(x)
* kuutiojuuri: cbrt(x), \3rt(x), rt3(x)
* n:s juuri: \nrt(x), (x)^(1/n)
* eksponenttifunktio: e^x
* logaritmi: log x
* a-kantainen logaritmi: log_a x
* luonnollinen logaritmi: ln x

Reaaliluvut
-----------

* ääretön: infty, \8
* plus ääretön: +infty, +\8
* miinus ääretön: -infty, -\8
* lähin kokonaisluku: round x 
* pienin kokonaisluku, joka >= x: ceil x
* suurin kokonaisluku, joka <= x: floor x
* x on y:n tekijä: x | y
* x ei ole y:n tekijä: x !| y

Kompleksiluvut
--------------

* Imaginääriyksikkö, (0, 1) \in \C: i
* Kompleksiluku (x, y): x+yi
* Luvun z = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti: barz = x - iy
* Luvun z pituus eli moduli: |z|
* Luvun z:n imaginaariosa: Im z
* Luvun z:n reaaliosa: Re z
* Luvun z vaihekulma eli argumentti: arg z

Loogisia operaatioita
---------------------

Operaatio     | Merkintä
------------------------
ja            | a & b
tai           | a | b
negaatio      | !a
implikaatio   | a --> b, b <-- a
ekvivalenssi  | a <--> b


Joukko-oppi
-----------

Joukon määrittely:
* Tyhjä joukko: {}, \0
* Yksiö: {x_1}
* Kaksio: {x_1,x_2}
* Joukko luetteloimalla: {x_1,x_2,...,x_n}
* Niiden alkioiden x joukko, joille pätee p(x): {x | p(x)}
* Niiden joukon A alkioiden x joukko, joille pätee p(x): {x \in A | p(x)}
* Joukon A alkioiden x kuvajoukko funktiolle f: {f(x) | x in A}
  * Esim. parillisten kokonaislukujen joukko: {2x | x in \Z}
* Suljettu väli: [a,b]
* Avoin väli: ]a,b[
* Puoliavoin väli:
  * oikealta avoin väli: [a,b[
  * vasemmalta avoin väli: ]a,b]

Numeerisia joukkoja:
* Kokonaisluvut: \Z 
* Luonnolliset luvut, positiiviset kokonaisluvut: \N
* Ei-negatiiviset kokonaisluvut: NN_0
* Realiluvut: \R 
* Rationaaliluvut: \Q 
* Irrationaaliluvut: \R \m \Q 
* Kompleksiluvut: \C
* Algebralliset luvut: \A 

Operaatioita:
* Kuuluu joukkoon: x \in A
* Ei kuuluu joukkoon: x !\in A
* Osajoukko: A \sub B, A \sub= B, B \sup A, B \sup= A
* Aito osajoukko: A \sub!= B
* Ei osajoukko: A !\sub B
* Komplementti: A^c
* Avoin osajoukko: A \subo B
* Suljettu osajoukko: A subc B
* Pienin yläraja: \sup A
* Suurin alaraja: \inf A
* Pienin luku: \min A
* Suurin luku: \max A
* Alkioiden lukumäärä: n(A)
* Ristitulo: A \x B
* Yhdiste: A \u B
* Leikkaus: A \i B
* Erotus: A \m B
* Mahtavuus, joukon koko: |A|

Kvanttoreista:
* Olemassaolo: exists x, \e x 
* Ei ole olemassa: !exists, !\e x 
* Yksikäsitteisyys: exists! x, \e! x 
* Universaali, kaikilla: forall x, \a x 
* On olemassa x, jolle pätee p(x): \e x p(x)
* Kaikilla x:n arvoilla pätee p(x): \a x p(x)

Kuvaukset ja funktiot
---------------------

* Kuvaus: f: A -> B 
* Kuvautuu: x |-> f(x) 
* Käänteiskuvaus: f^(-1) 
* Funktioiden yhdiste: f@g 
* Funktion f kuva: fA 
* Alkion x kuva: f{x} 

Todennäkösyyslaskenta
---------------------

Todennäköisyyslaskennasta ja jakaumista:
* satunnaismuuttuja: X 
* A:n todennäköisyys: P(A) 
* A:n todennäköisyys ehdollinen B:llä: P(A | B) 
* A:n komplementtitapahtuma: A^c 
* x:n keskiarvo: mean(x)
* X:n odotusarvo: EX, E(X), ~m_X 
* X:n keskihajonta: DX, D(X), ~s_X 
* X:n varianssi: D^2(X), \sigma^2_X
* normaalijakauma: N(~m,~s^2)
* normitettu normaalijakauma: N(0,1)
* verrannollinen: x ~~ y, x propto y
* noudattaa jakaumaa: X ~ Y 


Geometria
---------

Geometrian symboleja:
* Yhdensuuntaiset: l parallel m, l || m 
* Ei yhdensuuntaiset: l nparallel m, l |\| m 
* Kohtisuorat: l \perp m, l -|- m 
* Kuviot yhdenmuotoiset: a sim b, a ~ b 
* Kuviot yhtenevät: a cong b, a ~= b 
* Kulma: angle ABC, kulma ABC 

Vektorimerkintöjä:
* Suuntajana, vektori: <AB> 
* Vektori: <a>
* Vektorin pituus, normi: ||a||, ||<a>||
* Pistetulo: a . b
* Ristitulo: a times b, a \x b
* Sisätulo: <x,y>
* Saman suuntaiset: a >|> b
* Vastakkaissuuntaiset: a >|< b
* x:n suuntainen yksikkövektori: x^@, x/||x||


Vektorit ja matriisit
---------------------

Moniulotteiset muuttujat erotellaan joskus yksiulotteisista joko lisäämällä muuttujan 
päälle nuoli tai käyttämällä paksunnettua fonttia. Monessa tapauksessa
tällainen erottelu on tarpeetonta ja tulee ilmi muutenkin.

Täsmällisin tapa esitellä vektori tai matriisi on kertoa millaiseen joukkoon se kuuluu. Esimerkiksi tavallinen yksiulotteinen realiluku ilmoitetaan kuuluvaksi 
realilukujoukkoon: x in \R. Vastaavasti n-ulotteiset realivektorit kuuluvat joukkoon \R^n. 
Matriisien joukko puolestaan ilmaistaan dimensioiden ristitulona. 
Esimerkiksi m-rivinen ja n-sarakkeinen matriisi kuuluu joukkoon \R^(m \x n).
Vaaka- ja pystysuuntaiset vektorit on mahdollista erotella sanallisesti.
Ne voi myös ilmaista matriiseina. 
Esimerkiksi kolmiulotteinen vaakavektori kuuluu joukkoon \R^(1 \x 3), ja kaksiulotteinen pystyvektori \R^(2 \x 1).

Vektorit ja matriisit voidaan myös kirjoittaa auki niin, että alkiot ovat näkyvillä. Tähän tarkoitukseen käytetään hakasulkuja. Alkiot erotellaan toisistaan 
välilyönnein tai pilkuin. Rivin päättyminen ilmaistaan puolipistein. Joksus on myös kuuvavampaa tai helpompaa jakaa matriisi usealle riville, jolloin allekkaiset 
alkiot saadaan näkyviin allekkain.

Esimerkkejä:
* n-ulotteinen vektori: olkoon x in \R^n
* n-ulotteinen vaakavektori: olkoon x in \R^n vaakavektori
* m \x n -matriisi: olkoon A in \R^(m \x n)
* vaakavektori luettelemalla: [x, y, z], [x y z]
* pystyvektori luetelemalla: [x; y; z]
* 2x2-neliömatriisi luettelemalla: [a b; c d]
* transpoosi: x^T
* käänteismatriisi: A^(-1)

Derivointi
----------

Derivaattoista ja derivaattafunktioiista käytetään eri notaatioita yhteydestä riippuen.

Funktion f:
* derivaattafunktio: Df, f^(1), f'
* toinen derivaattafunktio: D^2f, f^(2), f''
* n:s derivaattafunktio: D^nf, f^(n)
* derivaatta pisteessä x: f'(x), Df(x), f^(1)(x)
* toinen derivaatta pisteessä x: f''(x), D^2f(x), f(2)(x)
* n:s derivaatta pisteessä x: D^nf(x), f^(n)(x)
* derivaatta x:n suhteen: Dx f, D_x f, df/dx
* toinen derivaatta x:n suhteen: D^2_x f, D^2x f, d^2f/dx^2 
* derivaatta x:n suhteen pisteessä a: df(a)/dx, df/dx(a)
* toinen derivaatta x:n suhteen pisteessä a: D^2_x f(a), d^2f(a)/dx^2, d^2f/dx^2(a)

Huom: Notaatiossa f^(1), f^(2). ..., f^(n) sulut ovat tärkeät. Niillä erotetaan derivaatat ja esimerkiksi f^2 sekä f^{-1} toisistaan.


Indeksijoukolliset operaattorit
-------------------------------

Osassa operaatiosta tarkasteltavaksi otetaan jokin joukko muuttujan arvoja.
Mustavalkomerkinnöissä indeksijoukko tai väli ilmaistaan usein ylä- ja alaindeksien avulla.
Tämä on kelvolinen merkintätapa, mutta tekee merkinnöistä usein monimutkaisia useiden sulkujen takia.


Esimerkkejä vahtoehtoisista ilmaisutavoista:
* Summa: ~S{n=1->\8} 2^(-n) = 1
* Tulo $n$:nnestä ensimmäisestä kokonaisluvusta eli luvun n kertoma: ~P{i=1->n} i = 1*2*...*n = n!
* Integraali funktiosta f väliltä [a,b]: int{a,b} f(x) dx
* Integraali funktiosta f joukon V yli: int_V f dx
* Yhdiste kaikista luonnollisen luvun sisältävistä yksiöistä on luonnollisten lukujen joukko: \u{i=1->\8} {i} = \N
* Kaikkien välien [0,x] leikkaus kaikilla positiivisilla realiluvuilla x on: \i{x in \R_+} [0,x] = \0

Raja-arvot
----------

Raja-arvojen merkintä on hyvin samanlainen mustavalkomerkinnän ja latex-syntaksin kanssa.

Jos funktion f raja-arvo pisteessä x_0 on a, niin sanomme, että f(x) -> a, kun x -> x_0
eli raja-arvo a = lim(x->x_0) f(x).

Toispuoleisissa raja-arvoissa pistettä x_0 lähestytään tietystä suunnasta, jota merkitään etumerkillä.
Funktion f oikean puoleinen (+-etumerkki) raja-arvo pisteessä x_0 on lim(x->x_0+) f(x).

Integraalit
-----------

* Määräämätön integraali: funktion f integraali muuttujan x suhteen on int f(x) dx
* Määrätty integraali: funktion f integraali muuttujan x suhteen väliltä [a,b] on int{a,b} f(x) dx
* Integraali yli käyrän C: int_C f ds
* Integraali yli suljetun käyrän C: oint_C f ds

Kombinaatiot, binomikerroin
---------------------------

Kombinatorisessa matematiikassa kombinaatio on joukon osajoukko ja k-kombinaatio puolestaan tasan k alkiota sisältävä osajoukko.
Binomikerroin ilmaisee k-kombinaatioiden määrän n-alkioisessa joukossa.
Binomikerrointa merkitään sulkeilla ja välilyönnillä: (n k).
Totutusti se lausutaan muodossa: "n yli k:n".
Binomikertoimen kaava on: (n k) = n!/(k!(n-k)!), mussä merkintä n! kuvaa luvun n kertomaa.
Jos binomikeroimen n- tai k-muuttujien tilalla halutaan esittää pidempi kaava, tämän voi sulkea sulkujen sisään (esimerkiksi: (n (k-1))).