From 8b1dc58a676f1d5c082a6e03b93b9527a8e3a7f2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ITCharge Date: Tue, 31 Dec 2024 18:00:09 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E6=9B=B4=E6=96=B0=20=E5=9B=BE=E7=9A=84?= =?UTF-8?q?=E5=AE=9A=E4=B9=89=E5=92=8C=E5=88=86=E7=B1=BB=20=E7=9B=B8?= =?UTF-8?q?=E5=85=B3=E5=86=85=E5=AE=B9?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../08.Graph/01.Graph-Basic/01.Graph-Basic.md | 107 ++++++++++-------- 1 file changed, 61 insertions(+), 46 deletions(-) diff --git a/Contents/08.Graph/01.Graph-Basic/01.Graph-Basic.md b/Contents/08.Graph/01.Graph-Basic/01.Graph-Basic.md index 7cd2bae7..04c7c98e 100644 --- a/Contents/08.Graph/01.Graph-Basic/01.Graph-Basic.md +++ b/Contents/08.Graph/01.Graph-Basic/01.Graph-Basic.md @@ -1,13 +1,13 @@ ## 1. 图的定义 -> **图（Graph）**：由顶点的非空有限集合 $V$ （由 $n > 0$ 个顶点组成）与边的集合 $E$（顶点之间的关系）构成的结构。其形式化定义为 $G = (V, E)$。 +> **图（Graph）**：由顶点集合 $V$ 与边集合 $E$（顶点之间的关系）构成的数据结构。图的形式化定义为 $G = (V, E)$。 -- **顶点（Vertex）**：图中的数据元素通常称为顶点，在下面的示意图中我们使用圆圈来表示顶点。 -- **边（Edge）**：图中两个数据元素之间的关联关系通常称为边，在下面的示意图中我们使用连接两个顶点之间的线段来表示边。边的形式化定义为：$e = \langle u, v \rangle$，表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边，其中 $u$ 称为起始点，$v$ 称为终止点。 +- **顶点（Vertex）**：图中的基本元素，通常称为顶点，表示对象或节点。顶点的集合 $V$ 是有限非空集合，包含 $n > 0$ 个顶点。如下面的示意图所示，通常我们使用圆圈来表示顶点。 +- **边（Edge）**：顶点之间的关系或连接。边的形式化定义为：$e = \langle u, v \rangle$，表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边，其中 $u$ 称为起始点，$v$ 称为终止点。如下面的示意图所示，通常我们使用连接两个顶点的线段来表示边。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220307145142.png) -- **子图（Sub Graph）**：对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$，如果存在 $V^{'} \subseteq V$，$E^{'} \subseteq E$，则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。在下面的示意图中我们给出了一个图 $G$ 及其一个子图 $G^{'}$。特别的，根据定义，$G$ 也是其自身的子图。 +- **子图（Sub Graph）**：对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$，如果满足 $V^{'} \subseteq V$，$E^{'} \subseteq E$，则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。直观的说，子图是由原图的一部分顶点和边组成的，同时边的两端顶点必须属于子图的顶点集合 $V^{'}$。特别地，根据定义，图 $G$ 本身也是其一个子图。在下图中，我们展示了一个图 $G$ 及其子图 $G^{'}$。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317163120.png) @@ -15,106 +15,121 @@ ### 2.1 无向图和有向图 -按照边是否有方向，我们可以将图分为两种类型：「无向图」和「有向图」。 +根据边是否具有方向性，图可以分为两种类型：「无向图」和「有向图」。 -- **无向图（Undirected Graph）**：如果图中的每条边都没有指向性，则称为无向图。例如朋友关系图、路线图都是无向图。 -- **有向图（Directed Graph）**：如果图中的每条边都具有指向性，则称为有向图。例如流程图是有向图。 +> **无向图（Undirected Graph）**：如果图中每条边都没有方向性，则称为无向图。例如，表示朋友关系或者城市间双向行驶的路线图常用无向图建模。 在无向图中，每条边都是由两个顶点组成的无序对。例如下图左侧中的顶点 $v_1$ 和顶点 $v_2$ 之间的边记为 $(v_1, v_2)$ 或 $(v_2, v_1)$。 -在有向图中，有向边也被称为弧，每条弧是由两个顶点组成的有序对，例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧，记为 $\langle v_1, v_2 \rangle$，$v_1$ 被称为弧尾，$v_2$ 被称为弧头，如下图所示。 +> **有向图（Directed Graph）**：如果图中的每条边都具有方向性，则称为有向图。例如，表示任务流程的流程图或网络请求的依赖图是典型的有向图。 + +在有向图中，有向边（又称弧）是由两个顶点组成的有序对，例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧，记为 $\langle v_1, v_2 \rangle$，$v_1$ 被称为弧尾，$v_2$ 被称为弧头，如下图所示。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220307160017.png) -如果无向图中有 $n$ 个顶点，则无向图中最多有 $n \times (n - 1) / 2$ 条边。而具有 $n \times (n - 1) / 2$ 条边的无向图称为 **「完全无向图（Completed Undirected Graph）」**。 +如果图中有 $n$ 个顶点，则根据图的类型，其边（或弧）的最大数量可以定义如下： + +- **无向图中边的最大数量**：在无向图中，任意两个顶点之间最多存在一条边，因此最多可以有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边。具有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边的无向图称为 **「完全无向图（Completed Undirected Graph）」**。 -如果有向图中有 $n$ 个顶点，则有向图中最多有 $n \times (n - 1)$ 条弧。而具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 **「完全有向图（Completed Directed Graph）」**。 +- **有向图中边的最大数量**：在有向图中，任意两个顶点之间可以存在一对方向相反的弧，因此最多可以有 $n \times (n - 1)$ 条弧。具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 **「完全有向图（Completed Directed Graph）」**。 -如下图所示，左侧为包含 $4$ 个顶点的完全无向图，右侧为包含 $4$ 个顶点的完全有向图。 +下图展示了两个示例：左侧为包含 $4$ 个顶点的完全无向图，右侧为包含 $4$ 个顶点的完全有向图。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220308151436.png) 下面介绍一下无向图和有向图中一个重要概念 **「顶点的度」**。 -- **顶点的度**：与该顶点 $v_i$ 相关联的边的条数，记为 $TD(v_i)$。 +> **顶点的度**：与该顶点 $v_i$ 相关联的边的数量，记为 $TD(v_i)$。 -例如上图左侧的完全无向图中，顶点 $v_3$ 的度为 $3$。 +- **无向图中顶点的度**：在无向图中，顶点的都是与该顶点相连的边的数量。例如，在上图左侧的完全无向图中，顶点 $v_3$ 的度为 $3$，因为有 $3$ 个其他的顶点与 $v_3$ 相连接。 -而对于有向图，我们可以将顶点的度分为 **「顶点的出度」** 和 **「顶点的入度」**。 +- **有向图中顶点的度**：在有向图中，顶点的度可以分为「出度」和「入度」两个部分。 + - **出度（Out Degree）**：以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数，记为 $OD(v_i)$。 + - **入度（In Degree）**：以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数，记为 $ID(v_i)$。 -- **顶点的出度**：以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数，记为 $OD(v_i)$。 -- **顶点的入度**：以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数，记为 $ID(v_i)$。 -- 有向图中某顶点的度 = 该顶点的出度 + 该顶点的入度，即 $TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。 +在有向图中，顶点 $v_i$ 的度是该点出度和入度之和，即：$TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。 -例如上图右侧的完全有向图中，顶点 $v_3$ 的出度为 $3$，入度为 $3$，顶点 $v_3$ 的度为 $3 + 3 = 6$。 +例如，在上图右侧的完全有向图中，顶点 $v_3$ 的出度为 $3$，入度为 $3$，因此顶点 $v_3$ 的度为 $3 + 3 = 6$。 ### 2.2 环形图和无环图 - **「路径」** 是图中的一个重要概念，对于图 $G = (V, E)$，如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2},… , v_{i_m}$，使得 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), …, (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$（即他们都是图 G 的边，对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, …, \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$），则称该顶点序列为顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径，其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点，$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。 +> **路径** ：图中的一个重要概念，对于图 $G = (V, E)$，如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2}, …, v_{i_m}$，并且每对相邻的顶点都有图中的边连接，即 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), …, (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$（对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, …, \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$），则称该顶点序列为从顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径，其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点，$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。 -简单来说，如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边，到达顶点 $v_{i_m}$，则称顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间有一条路径，其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。 +简而言之，如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边到达顶点 $v_{i_m}$，则称这两个顶点之间有一条路径，其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。 -- **环（Circle）**：如果一条路径的起始点和终止点相同（即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ），则称这条路径为「回路」或者「环」。 +- **环（Circle）**：如果一条路径的起始点和终止点相同（即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ），则称这条路径为「回路」或「环」。 - **简单路径**：顶点序列中顶点不重复出现的路径称为「简单路径」。 -而根据图中是否有环，我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。 +根据图中是否有环，我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。 - **环形图（Circular Graph）**：如果图中存在至少一条环路，则该图称为「环形图」。 - **无环图（Acyclic Graph）**：如果图中不存在环路，则该图称为「无环图」。 -特别的，在有向图中，如果不存在环路，则将该图称为「有向无环图（Directed Acyclic Graph）」，缩写为 DAG。因为有向无环图拥有为独特的拓扑结构，经常被用于处理动态规划、导航中寻求最短路径、数据压缩等多种算法场景。 +在有向图中，如果不存在环路，则将该图称为「有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）」。有向无环图因其独特的拓扑结构，广泛应用于诸如动态规划、最短路径问题、数据压缩等算法场景。 -如下图所示，分别为：无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。其中有向环形图中的顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。 +下图展示了四种图的类型：无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。在有向环形图中，顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。 ![环形图和无环图](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317115641.png) ### 2.3 连通图和非连通图 -#### 2.3.1 连通无向图和连通分量 +#### 2.3.1 连通无向图 -在无向图中，如果从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 有路径，则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。 +在无向图中，如果存在一条从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 的路径，则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。 -- **连通无向图**：在无向图中，如果图中任意两个顶点之间都是连通的，则称该图为连通无向图。 -- **非连通无向图**：在无向图中，如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径，则该图称为非连通无向图。 +- **连通无向图**：如果无向图中任意两个顶点之间都是连通的（即任意两个顶点之间都有路径连接），则称该图为「连通无向图」。 +- **非连通无向图**：如果无向图中存在至少一对顶点之间没有任何路径连接，则称该图为「非连通无向图」。 -如下图所示，左侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的，所以该图为连通无向图。右侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 都是连通的，但是 $v_1$ 和 $v_5$、$v_6$ 之间不存在任何路径，则该图为非连通无向图。 +下图展示了两种情况： + +- 在左侧图中，顶点 $v_1$ 与所有其他顶点 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的，因此该图为连通无向图。 +- 在右侧图中，顶点 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 是连通的，但与 $v_5$、$v_6$ 没有任何路径连接，因此该图为非连通无向图。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317163249.png) -下面介绍一下无向图的「连通分量」概念。有些无向图可能不是连通无向图，但是其子图可能是连通的。这些子图称为原图的连通子图。而无向图的一个极大连通子图（不存在包含它的更大的连通子图）则称为该图的「连通分量」。 +#### 2.3.2 无向图的连通分量 + +在无向图中，某些图可能不是连通的，但它们的子图可能是连通的。这样的子图称为「连通子图」。对于其中某个连通子图，如果不存在任何包含他的更大连通子图，则该连通子图称为「连通分量」。 -- **连通子图**：如果无向图的子图是连通无向图，则该子图称为原图的连通子图。 -- **连通分量**：无向图中的一个极大连通子图（不存在包含它的更大的连通子图）称为该图的连通分量。 -- **极⼤连通⼦图**：无向图中的一个连通子图，并且不存在包含它的更大的连通子图。 +- **连通子图**：如果无向图的子图是连通的，则该子图称为连通子图。 +- **连通分量**：无向图中的一个极大连通子图（不存在任何包含它的更大的连通子图）称为该图的连通分量。 +- **极⼤连通⼦图**：无向图中的一个连通子图，且不存在包含它的更大的连通子图。 -例如上图中右侧的非连通无向图，其本身是非连通的。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的，并且不存在包含它的更大的连通子图了，所以该子图是原图的一个连通分量。同理，顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图也是原图的一个连通分量。 +例如，上图右侧的非连通无向图中，尽管整体图是非连通的，但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的，并且不存在任何包含它的更大的连通子图，因此该子图是原图的一个连通分量。类似地，顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边也构成了原图的另一个连通分量。 -#### 2.3.2 强连通有向图和强连通分量 +#### 2.3.3 强连通有向图 -在有向图中，如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 有路径，并且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径，则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是连通的。 +在有向图中，如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 存在路径，且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径，则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是「强连通」的。 -- **强连通有向图**：如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$，从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 都有路径，则称该图为强连通有向图。 -- **非强连通有向图**：如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径，则该图称为非强连通有向图。 +- **强连通有向图**：如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 都满足从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 均有路径，则称该图为「强连通有向图」。 +- **非强连通有向图**：如果图中存在至少一对顶点之间没有路径连接（即无法相互到达），则称该图为「非强连通有向图」。 -如下图所示，左侧图中任意两个顶点之间都有路径，则左侧图为强连通有向图。右侧图中顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点，则右侧图为非强连通有向图。 +下图展示了两种情况： + +- 左侧图中，任意两个顶点之间都存在路径，因此该图为强连通有向图。 +- 右侧图中，顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点，因此该图为非强连通有向图。 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317133500.png) -与无向图类似，有向图的一个极大强连通子图称为该图的 **强连通分量**。 +#### 2.3.4 有向图的强连通分量 + +在有向图中，「强联通分量」是指其内部任意两个顶点之间都强连通的极大强连通子图。以下是具体定义： -- **强连通子图**：如果有向图的子图是连通有向图，则该子图称为原图的强连通子图。 +- **强连通子图**：有向图的一个子图，且该子图中任意两个顶点都是强连通的。 +- **极⼤强连通⼦图**：如果一个强联通子图不能被包含在任何更大的强连通子图中，则称其为极大强连通子图。 - **强连通分量**：有向图中的一个极⼤强连通⼦图，称为该图的强连通分量。 -- **极⼤强连通⼦图**：有向图中的一个强连通子图，并且不存在包含它的更大的强连通子图。 -例如上图中，右侧的非强连通有向图，其本身不是强连通的（顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点）。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图（即上图的左侧图）是强连通的，并且不存在包含它的更大的强连通子图了，所以该子图是原图的一个强连通分量（即上图中的左侧图是右侧图的强连通分量）。同理，顶点 $v_7$ 构成的子图也是原图的一个强连通分量。 +举个例子来解释一下。 + +例如，上图右侧的非强连通有向图，其本身不是强连通的（因为顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点）。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与它们之间的边构成了一个强连通子图（即上图的左侧图），且不存在包含它的更大的强连通子图，因此这是右侧图的一个强连通分量。类似地，顶点 $v_7$ 构成了一个只有一个顶点的强连通子图，因此它自身也是右侧图的一个强连通分量。 ### 2.4 带权图 -有时，图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，还需要表示这一关系的具体细节。这时候我们需要在边上带一些数据信息，这些数据信息被称为 **权**。在具体应用中，权值可以具有某种具体意义，比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。 +有时，图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，还需要表示这一关系的具体细节。有时候我们需要给边赋予一些数据信息，这些数据信息被称为 **权**。在具体应用中，权值可以具有某种具体意义，比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。 -- **带权图**：如果图的每条边都被赋以⼀个权值，这种图称为带权图。 -- **网络**：带权的连通⽆向图称为⽹络。 +- **带权图**：如果图的每条边都被赋以⼀个权值，则该图称为带权图。权值通常表示一个非负实数，但在某些场景下也可以是负数。 +- **网络**：带权的连通⽆向图被称为⽹络。 在下面的示意图中，我们给出了一个带权图的例子。