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CNS_de_distintos.lean
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CNS_de_distintos.lean
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-- CNS_de_distintos.lean
-- En ℝ, si x ≤ y, entonces y ≰ x ↔ x ≠ y.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 20-diciembre-2023
-- ---------------------------------------------------------------------
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Sean x, y números reales tales que x ≤ y. Entonces, y ≰ x ↔ x ≠ y.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Demostración en lenguaje natural
-- ================================
-- Para demostrar la equivalencia, demostraremos cada una de las
-- implicaciones.
--
-- Para demostrar la primera, supongamos que y ≰ x y que x =
-- y. Entonces, y ≤ x que es una contradicción.
--
-- Para demostrar la segunda, supongamos que x ≠ y y que y ≤
-- x. Entonces, por la hipótesis y la antisimetría, se tiene que x = y
-- lo que es una contradicción.
-- Demostraciones con Lean4
-- ========================
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x y : ℝ}
-- 1ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. show ¬y ≤ x → x ≠ y
{ intro h1
-- h1 : ¬y ≤ x
-- ⊢ x ≠ y
intro h2
-- h2 : x = y
-- ⊢ False
have h3 : y ≤ x := by rw [h2]
show False
exact h1 h3 }
. show x ≠ y → ¬y ≤ x
{ intro h1
-- h1 : x ≠ y
-- ⊢ ¬y ≤ x
intro h2
-- h2 : y ≤ x
-- ⊢ False
have h3 : x = y := le_antisymm h h2
show False
exact h1 h3 }
-- 2ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. show ¬y ≤ x → x ≠ y
{ intro h1
-- h1 : ¬y ≤ x
-- ⊢ x ≠ y
intro h2
-- h2 : x = y
-- ⊢ False
show False
exact h1 (by rw [h2]) }
. show x ≠ y → ¬y ≤ x
{ intro h1
-- h1 : x ≠ y
-- ⊢ ¬y ≤ x
intro h2
-- h2 : y ≤ x
-- ⊢ False
show False
exact h1 (le_antisymm h h2) }
-- 3ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. show ¬y ≤ x → x ≠ y
{ intro h1 h2
exact h1 (by rw [h2]) }
. show x ≠ y → ¬y ≤ x
{ intro h1 h2
exact h1 (le_antisymm h h2) }
-- 4ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. intro h1 h2
exact h1 (by rw [h2])
. intro h1 h2
exact h1 (le_antisymm h h2)
-- 5ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. exact fun h1 h2 ↦ h1 (by rw [h2])
. exact fun h1 h2 ↦ h1 (le_antisymm h h2)
-- 6ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
⟨fun h1 h2 ↦ h1 (by rw [h2]),
fun h1 h2 ↦ h1 (le_antisymm h h2)⟩
-- 7ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
. show ¬y ≤ x → x ≠ y
{ intro h1
-- h1 : ¬y ≤ x
-- ⊢ x ≠ y
contrapose! h1
-- h1 : x = y
-- ⊢ y ≤ x
calc y = x := h1.symm
_ ≤ x := by rfl }
. show x ≠ y → ¬y ≤ x
{ intro h2
-- h2 : x ≠ y
-- ⊢ ¬y ≤ x
contrapose! h2
-- h2 : y ≤ x
-- ⊢ x = y
show x = y
exact le_antisymm h h2 }
-- 8ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≤ y)
: ¬y ≤ x ↔ x ≠ y :=
by
constructor
· -- ⊢ ¬y ≤ x → x ≠ y
contrapose!
-- ⊢ x = y → y ≤ x
rintro rfl
-- ⊢ x ≤ x
rfl
. -- ⊢ x ≠ y → ¬y ≤ x
contrapose!
-- ⊢ y ≤ x → x = y
exact le_antisymm h