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Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.lean
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Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.lean
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-- Caracterizacion_de_menor_en_ordenes_parciales.lean
-- En los órdenes parciales, a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b.
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 03-enero-2024
-- ---------------------------------------------------------------------
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Demostrar que en un orden parcial
-- a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
-- ----------------------------------------------------------------------
-- Demostración en lenguaje natural
-- ================================
-- Usaremos los siguientes lemas
-- (∀ a, b)[a < b ↔ a ≤ b ∧ b ≰ a] (L1)
-- (∀ a, b)[a ≤ b → b ≤ a → a = b] (L2)
--
-- Por el lema L1, lo que tenemos que demostrar es
-- a ≤ b ∧ b ≰ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
-- Lo haremos demostrando las dos implicaciones.
--
-- (⇒) Supongamos que a ≤ b y b ≰ a. Tenemos que demostrar que
-- a ≠ b. Lo haremos por reducción al absurdo. Para ello, supongamos que
-- a = b. Entonces, b ≤ a que contradice a b ≰ a.
--
-- (⇐) Supongamos que a ≤ b y a ≠ b. Tenemos que demostrar que
-- b ≰ a. Lo haremos por reducción al absurdo. Para ello, supongamos que
-- b ≤ a. Entonces, junto con a ≤ b, se tiene que a = b que es una
-- contradicicción con a ≠ b.
-- Demostraciones con Lean4
-- ========================
import Mathlib.Tactic
variable {α : Type _} [PartialOrder α]
variable (a b : α)
-- 1ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a ≤ b ∧ a ≠ b
rintro ⟨h1 : a ≤ b, h2 : ¬b ≤ a⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h1
. -- ⊢ a ≠ b
rintro (h3 : a = b)
-- ⊢ False
have h4: b = a := h3.symm
have h5: b ≤ a := le_of_eq h4
show False
exact h2 h5
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
rintro ⟨h5 : a ≤ b , h6 : a ≠ b⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h5
. -- ⊢ ¬b ≤ a
rintro (h7 : b ≤ a)
have h8 : a = b := le_antisymm h5 h7
show False
exact h6 h8
-- 2ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a ≤ b ∧ a ≠ b
rintro ⟨h1 : a ≤ b, h2 : ¬b ≤ a⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h1
. -- ⊢ a ≠ b
rintro (h3 : a = b)
-- ⊢ False
exact h2 (le_of_eq h3.symm)
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
rintro ⟨h4 : a ≤ b , h5 : a ≠ b⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h4
. -- ⊢ ¬b ≤ a
rintro (h6 : b ≤ a)
exact h5 (le_antisymm h4 h6)
-- 3ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a ≤ b ∧ a ≠ b
rintro ⟨h1 : a ≤ b, h2 : ¬b ≤ a⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h1
. -- ⊢ a ≠ b
exact fun h3 ↦ h2 (le_of_eq h3.symm)
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
rintro ⟨h4 : a ≤ b , h5 : a ≠ b⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact h4
. -- ⊢ ¬b ≤ a
exact fun h6 ↦ h5 (le_antisymm h4 h6)
-- 4ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a ≤ b ∧ a ≠ b
rintro ⟨h1 : a ≤ b, h2 : ¬b ≤ a⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b
exact ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_of_eq h3.symm)⟩
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
rintro ⟨h4 : a ≤ b , h5 : a ≠ b⟩
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
exact ⟨h4, fun h6 ↦ h5 (le_antisymm h4 h6)⟩
-- 5ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a → a ≤ b ∧ a ≠ b
exact fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_of_eq h3.symm)⟩
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a ≤ b ∧ ¬b ≤ a
exact fun ⟨h4, h5⟩ ↦ ⟨h4, fun h6 ↦ h5 (le_antisymm h4 h6)⟩
-- 6ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
rw [lt_iff_le_not_le]
-- ⊢ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b
exact ⟨fun ⟨h1, h2⟩ ↦ ⟨h1, fun h3 ↦ h2 (le_of_eq h3.symm)⟩,
fun ⟨h4, h5⟩ ↦ ⟨h4, fun h6 ↦ h5 (le_antisymm h4 h6)⟩⟩
-- 7ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
by
constructor
. -- ⊢ a < b → a ≤ b ∧ a ≠ b
intro h
-- h : a < b
-- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b
constructor
. -- ⊢ a ≤ b
exact le_of_lt h
. -- ⊢ a ≠ b
exact ne_of_lt h
. -- ⊢ a ≤ b ∧ a ≠ b → a < b
rintro ⟨h1, h2⟩
-- h1 : a ≤ b
-- h2 : a ≠ b
-- ⊢ a < b
exact lt_of_le_of_ne h1 h2
-- 8ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
⟨fun h ↦ ⟨le_of_lt h, ne_of_lt h⟩,
fun ⟨h1, h2⟩ ↦ lt_of_le_of_ne h1 h2⟩
-- 9ª demostración
-- ===============
example : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b :=
lt_iff_le_and_ne
-- Lemas usados
-- ============
-- #check (le_antisymm : a ≤ b → b ≤ a → a = b)
-- #check (le_of_eq : a = b → a ≤ b)
-- #check (lt_iff_le_and_ne : a < b ↔ a ≤ b ∧ a ≠ b)
-- #check (lt_iff_le_not_le : a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a)
-- #check (lt_of_le_of_ne : a ≤ b → a ≠ b → a < b)