Producto_funcion_par_e_impar.lean

-- Producto_funcion_par_e_impar.lean
-- El producto de una función par por una impar es impar
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 17-octubre-2023
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-- Demostrar que el producto de una función par por una impar es impar.
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-- Demostración en lenguaje natural
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-- Supongamos que f es una función par y g lo es impar. Tenemos que
-- demostrar que f·g es imppar; es decir, que
--    (∀ x ∈ ℝ) (f·g)(x) = -(f·g)(-x)
-- Sea x ∈ ℝ. Entonces,
--    (f·g) x = f(x)g(x)
--            = f(-x)g(x)       [porque f es par]
--            = f(-x)(-g(-x))   [porque g es impar]
--            = -f(-x)g(-x))
--            = -(f·g)(-x)

-- Demostraciones con Lean4
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import Mathlib.Data.Real.Basic

variable (f g : ℝ → ℝ)

-- (esPar f) expresa que f es par.
def esPar (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = f (-x)

-- (esImpar f) expresa que f es impar.
def esImpar  (f : ℝ → ℝ) : Prop :=
  ∀ x, f x = - f (-x)

-- 1ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  have h1 : f x = f (-x) := h1 x
  have h2 : g x = -g (-x) := h2 x
  calc (f * g) x
       = f x * g x            := rfl
     _ = (f (-x)) * g x       := congrArg (. * g x) h1
     _ = (f (-x)) * (-g (-x)) := congrArg (f (-x) * .) h2
     _ = -(f (-x) * g (-x))   := mul_neg (f (-x)) (g (-x))
     _ = -(f * g) (-x)        := rfl

-- 2ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
    _  = f (-x) * -g (-x)   := by rw [h1, h2]
    _  = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [mul_neg]
    _  = -(f * g) (-x)      := rfl

-- 3ª demostración
example
  (h1 : esPar f)
  (h2 : esImpar g)
  : esImpar (f * g) :=
by
  intro x
  calc (f * g) x
       = f x * g x          := rfl
     _ = -(f (-x) * g (-x)) := by rw [h1, h2, mul_neg]
     _ = -((f * g) (-x))    := rfl

-- Lemas usados
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-- variable (a b : ℝ)
-- #check (mul_neg a b : a * -b = -(a * b))