-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean
71 lines (55 loc) · 1.5 KB
/
Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
-- Unicidad_del_elemento_neutro_en_los_grupos.lean
-- Unicidad del elemento neutro en los grupos
-- José A. Alonso Jiménez <https://jaalonso.github.io>
-- Sevilla, 10-mayo-2024
-- ---------------------------------------------------------------------
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Demostrar que un grupo sólo posee un elemento neutro.
-- ---------------------------------------------------------------------
-- Demostración en lenguaje natural
-- ================================
-- Sea e ∈ G tal que
-- (∀ x)[x·e = x] (1)
-- Entonces,
-- e = 1.e [porque 1 es neutro]
-- = 1 [por (1)]
-- Demostraciones con Lean4
-- ========================
import Mathlib.Algebra.Group.Basic
variable {G : Type} [Group G]
-- 1ª demostración
-- ===============
example
(e : G)
(h : ∀ x, x * e = x)
: e = 1 :=
calc e = 1 * e := (one_mul e).symm
_ = 1 := h 1
-- 2ª demostración
-- ===============
example
(e : G)
(h : ∀ x, x * e = x)
: e = 1 :=
by
have h1 : e = e * e := (h e).symm
exact self_eq_mul_left.mp h1
-- 3ª demostración
-- ===============
example
(e : G)
(h : ∀ x, x * e = x)
: e = 1 :=
self_eq_mul_left.mp (h e).symm
-- 4ª demostración
-- ===============
example
(e : G)
(h : ∀ x, x * e = x)
: e = 1 :=
by aesop
-- Lemas usados
-- ============
-- variable (a b : G)
-- #check (one_mul a : 1 * a = a)
-- #check (self_eq_mul_left : b = a * b ↔ a = 1)