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Si x divide a w, entonces también divide a y(xz)+x²+w² |
José A. Alonso |
Demostrar con Lean4 que si (x) divide a (w), entonces también divide a (y(xz)+x^2+w^2).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (w x y z : ℕ)
example
(h : x ∣ w)
: x ∣ y * (x * z) + x^2 + w^2 :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax] Por la divisibilidad de la suma basta probar que \begin{align} x &\mid yxz \tag{1} \ x &\mid x^2 \tag{2} \ x &\mid w^2 \tag{3} \end{align}
Para demostrar (1), por la divisibilidad del producto se tiene [ x \mid xz] y, de nuevo por la divisibilidad del producto, [ x \mid y(xz)]
La propiedad (2) se tiene por la definición de cuadrado y la divisibilidad del producto.
La propiedad (3) se tiene por la definición de cuadrado, la hipótesis y la divisibilidad del producto.
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (w x y z : ℕ)
-- 1ª demostración
example
(h : x ∣ w)
: x ∣ y * (x * z) + x^2 + w^2 :=
by
have h1 : x ∣ x * z :=
dvd_mul_right x z
have h2 : x ∣ y * (x * z) :=
dvd_mul_of_dvd_right h1 y
have h3 : x ∣ x^2 := by
apply dvd_mul_left
have h4 : x ∣ w * w :=
dvd_mul_of_dvd_left h w
have h5 : x ∣ w^2 := by
rwa [← pow_two w] at h4
have h6 : x ∣ y * (x * z) + x^2 :=
dvd_add h2 h3
show x ∣ y * (x * z) + x^2 + w^2
exact dvd_add h6 h5
-- 2ª demostración
example
(h : x ∣ w)
: x ∣ y * (x * z) + x^2 + w^2 :=
by
apply dvd_add
{ apply dvd_add
{ apply dvd_mul_of_dvd_right
apply dvd_mul_right }
{ rw [pow_two]
apply dvd_mul_right }}
{ rw [pow_two]
apply dvd_mul_of_dvd_left h }
-- 3ª demostración
example
(h : x ∣ w)
: x ∣ y * (x * z) + x^2 + w^2 :=
by
repeat' apply dvd_add
{ apply dvd_mul_of_dvd_right
apply dvd_mul_right }
{ rw [pow_two]
apply dvd_mul_right }
{ rw [pow_two]
apply dvd_mul_of_dvd_left h }
-- Lemas usados
-- ============
-- #check (dvd_add : x ∣ y → x ∣ z → x ∣ y + z)
-- #check (dvd_mul_left x y : x ∣ y * x)
-- #check (dvd_mul_right x y : x ∣ x * y)
-- #check (dvd_mul_of_dvd_left : x ∣ y → ∀ (c : ℕ), x ∣ y * c)
-- #check (dvd_mul_of_dvd_right : x ∣ y → ∀ (c : ℕ), x ∣ c * y)
-- #check (pow_two x : x ^ 2 = x * x)
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 19.