Título | Autor |
---|---|
En ℝ, si x ≠ 0 entonces x < 0 ó x > 0. |
José A. Alonso |
[mathjax]
Demostrar con Lean4 que en ℝ, si \(x ≠ 0\) entonces \(x < 0\) ó \(x > 0\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x : ℝ}
example
(h : x ≠ 0)
: x < 0 ∨ x > 0 :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
Usando el siguiente lema \[ (∀ x y ∈ ℝ)[x < y ∨ x = y ∨ y < x] \] se demuestra distinguiendo tres casos.
Caso 1: Supongamos que \(x < 0\). Entonces, se verifica la disyunción ya que se verifica su primera parte.
Caso 2: Supongamos que \(x = 0\). Entonces, se tiene una contradicción con la hipótesis.
Caso 3: Supongamos que \(x > 0\). Entonces, se verifica la disyunción ya que se verifica su segunda parte.
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Data.Real.Basic
variable {x : ℝ}
-- 1ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≠ 0)
: x < 0 ∨ x > 0 :=
by
rcases lt_trichotomy x 0 with hx1 | hx2 | hx3
. -- hx1 : x < 0
left
-- ⊢ x < 0
exact hx1
. -- hx2 : x = 0
contradiction
. -- hx3 : 0 < x
right
-- ⊢ x > 0
exact hx3
-- 2ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≠ 0)
: x < 0 ∨ x > 0 :=
Ne.lt_or_lt h
-- 3ª demostración
-- ===============
example
(h : x ≠ 0)
: x < 0 ∨ x > 0 :=
by aesop
-- Lemas usados
-- ============
-- variable (y : ℝ)
-- #check (lt_trichotomy x y : x < y ∨ x = y ∨ y < x)
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 39.