Menor_por_intermedio.md

Título	Autor
Si (∃z ∈ ℝ)[x < z < y], entonces x < y.	José A. Alonso

[mathjax]

Demostrar con Lean4 que si \((∃z ∈ ℝ)[x < z < y]\), entonces \(x < y\).

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x y : ℝ)

example : (∃ z : ℝ, x < z ∧ z < y) → x < y :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

Sea \(z\) tal que verifica las siguientes relaciones: \begin{align} x < z \tag{1} \\ z < y \tag{2} \end{align} Aplicando la propiedad transitiva a (1) y (2) se tiene que \[ x < y \]

Demostraciones con Lean4

import Mathlib.Data.Real.Basic
variable (x y : ℝ)

-- 1ª demostración
-- ===============

example : (∃ z : ℝ, x < z ∧ z < y) → x < y :=
by
  rintro ⟨z, h1 : x < z, h2 : z < y⟩
  show x < y
  exact lt_trans h1 h2

-- 2ª demostración
-- ===============

example : (∃ z : ℝ, x < z ∧ z < y) → x < y :=
by
  rintro ⟨z, h1, h2⟩
  exact lt_trans h1 h2

-- 3ª demostración
-- ===============

example : (∃ z : ℝ, x < z ∧ z < y) → x < y :=
fun ⟨_, h1, h2⟩ ↦ lt_trans h1 h2

-- Lemas usados
-- ============

-- variable (a b c : ℝ)
-- #check (lt_trans : a < b → b < c → a < c)

Demostraciones interactivas

Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.

Referencias

• J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 36.