Título | Autor |
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Si r ⊆ s y s ⊆ t, entonces r ⊆ t |
José A. Alonso |
Demostrar con Lean4 que si \(r ⊆ s\) y \(s ⊆ t\), entonces \(r ⊆ t\).
Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by sorry
Demostración en lenguaje natural
[mathjax] 1ª demostración en LN
Tenemos que demostrar que \[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \] Sea \(x\) tal que \[ x ∈ r \] Puesto que \(r ⊆ s\), se tiene que \[ x ∈ s \] y, puesto que \(s ⊆ t), se tiene que \[ x ∈ t \] que es lo que teníamos que demostrar.
2ª demostración en LN
Tenemos que demostrar que \[ (∀ x) [x ∈ r → x ∈ t] \] Sea \(x\) tal que \[ x ∈ r \] Tenemos que demostrar que \[ x ∈ t \] que, puesto que \(s ⊆ t\), se reduce a \[ x ∈ s \] que, puesto que \(r ⊆ s\), se redece a \[ x ∈ r \] que es lo que hemos supuesto.
Demostraciones con Lean4
import Mathlib.Tactic
open Set
variable {α : Type _}
variable (r s t : Set α)
-- 1ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by
intros x xr
-- xr : x ∈ r
have xs : x ∈ s := rs xr
show x ∈ t
exact st xs
-- 2ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by
intros x xr
-- x : α
-- xr : x ∈ r
apply st
-- ⊢ x ∈ s
apply rs
-- ⊢ x ∈ r
exact xr
-- 3ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
fun _ xr ↦ st (rs xr)
-- 4ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
-- by exact?
Subset.trans rs st
-- 5ª demostración
example
(rs : r ⊆ s)
(st : s ⊆ t)
: r ⊆ t :=
by tauto
-- Lemas usados
-- ============
-- #check (Subset.trans : r ⊆ s → s ⊆ t → r ⊆ t)
Demostraciones interactivas
Se puede interactuar con las demostraciones anteriores en Lean 4 Web.
Referencias
- J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 27.