Suma_de_funciones_acotadas_superiormente.md

Título	Autor
La suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está	José A. Alonso

Demostrar con Lean4 que la suma de dos funciones acotadas superiormente también lo está.

Para ello, completar la siguiente teoría de Lean4:

import src.Suma_de_cotas_superiores
variable {f g : ℝ → ℝ}

-- (acotadaSup f) afirma que f tiene cota superior.
def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

example
  (hf : acotadaSup f)
  (hg : acotadaSup g)
  : acotadaSup (f + g) :=
by sorry

Demostración en lenguaje natural

[mathjax]

Del ejercicio La suma de una cota superior de f y una cota superior de g es una cota superior de f+g usaremos la definición de cota superior (CotaSuperior) y el lema sumaCotaSup.

Puesto que \(f\) está acotada superiormente, tiene una cota superior. Sea \(a\) una de dichas cotas. Análogamentte, puesto que \(g\) está acotada superiormente, tiene una cota superior. Sea \(b\) una de dichas cotas. Por el lema sumaCotaSup, \(a+b\) es una cota superior de \(f+g\). Por consiguiente, \(f+g\) está acotada superiormente.

Demostraciones con Lean4

import src.Suma_de_cotas_superiores

variable {f g : ℝ → ℝ}

-- (acotadaSup f) afirma que f tiene cota superior.
def acotadaSup (f : ℝ → ℝ) :=
  ∃ a, CotaSuperior f a

-- 1ª demostración
example
  (hf : acotadaSup f)
  (hg : acotadaSup g)
  : acotadaSup (f + g) :=
by
  cases' hf with a ha
  -- a : ℝ
  -- ha : CotaSuperior f a
  cases' hg with b hb
  -- b : ℝ
  -- hb : CotaSuperior g b
  have h1 : CotaSuperior (f + g) (a + b) :=
    sumaCotaSup ha hb
  have h2 : ∃ z, CotaSuperior (f+g) z :=
    Exists.intro (a + b) h1
  show acotadaSup (f + g)
  exact h2

-- 2ª demostración
example
  (hf : acotadaSup f)
  (hg : acotadaSup g)
  : acotadaSup (f + g) :=
by
  cases' hf with a ha
  -- a : ℝ
  -- ha : FnUb f a
  cases' hg with b hb
  -- b : ℝ
  -- hb : FnUb g b
  use a + b
  apply sumaCotaSup ha hb

-- 4ª demostración
example
  (hf : acotadaSup f)
  (hg : acotadaSup g)
  : acotadaSup (f + g) :=
by
  rcases hf with ⟨a, ha⟩
  rcases hg with ⟨b, hb⟩
  exact ⟨a + b, sumaCotaSup ha hb⟩

-- 5ª demostración
example :
  acotadaSup f → acotadaSup g → acotadaSup (f + g) :=
by
  rintro ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩
  exact ⟨a + b, sumaCotaSup ha hb⟩

-- 6ª demostración
example :
  acotadaSup f → acotadaSup g → acotadaSup (f + g) :=
fun ⟨a, ha⟩ ⟨b, hb⟩ ↦ ⟨a + b, sumaCotaSup ha hb⟩

-- Lemas usados
-- ============

-- #check (sumaCotaSup : CotaSuperior f a → CotaSuperior g b → CotaSuperior (f + g) (a + b))

Referencias

• J. Avigad y P. Massot. Mathematics in Lean, p. 29.