Festkoerper-Halbleiter-Bauelementephysik.tex

% Document Class ===============================================================
\documentclass[fs, footer]{latex4ei}

% DOCUMENT_BEGIN ===============================================================
\begin{document}

% Split in 4 Columns ===========================================================
\begin{multicols*}{4}

% TITLE ========================================================================
\fstitle{Festkörper- Halbleiter-\\ Bauelementephysik}

%====================================
% Konstanten und Basisgleichungen |
%====================================
% Alle häufig gebrauchten Konstanten und Basisgleichungen

\section{Mathematische Grundlagen}
\sectionbox{
\subsection{Sinus, Cosinus \quad $\sin^2(x) \bs + \cos^2(x) = 1$}
%\begin{center}
%\includegraphics[width=4.4cm]{./img/sinus.pdf}
%\end{center}

\setlength{\tabcolsep}{4pt}
\tablebox{
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}c|c|c|c|c||c|c|c|c@{}} \ctrule
$x$ & $0$ & $\pi / 6$ & $\pi / 4$ & $\pi / 3$ & $\frac{1}{2}\pi$ & $\pi$ & $1\frac{1}{2}\pi$ & $2 \pi$ \\
$\scriptstyle{ \varphi }$ & $\scriptstyle{0^\circ}$ & $\scriptstyle{30^\circ}$ & $\scriptstyle{45^\circ}$ & $\scriptstyle{60^\circ}$ & $\scriptstyle{90^\circ}$ & $\scriptstyle{180^\circ}$ & $\scriptstyle{270^\circ}$ & $\scriptstyle{360^\circ}$ \\ \cmrule
$\sin$ & $0$ & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt{2}}$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
$\cos$ & $1$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $\frac{1}{\sqrt 2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\     
$\tan$ & $0$ & $\frac{\sqrt{3}}{3}$ &	$1$	&	$\sqrt{3}$ & $\pm \infty$ & $0$ & $\mp \infty$ & $0$\\ \cbrule
\end{tabular*} }\\
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	Additionstheoreme &  Stammfunktionen\\
 	$\cos (x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$ & $\int x \cos(x) \diff x = \cos(x) + x \sin(x)$\\
 	$\sin (x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$ & $\int x \sin(x) \diff x = \sin(x) - x \cos(x)$\\
 	$\sin 2x = 2 \sin x \cos x $  & $\int \sin^2(x) \diff x = \frac12 \bigl(x - \sin(x)\cos(x) \bigr)$\\ 
 	$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$  & $\int \cos^2(x) \diff x = \frac12 \bigl(x + \sin(x)\cos(x) \bigr)$\\
 	$\sin(x) = \tan(x)\cos(x)$ & $\int \cos(x)\sin(x) = -\frac12 \cos^2(x)$ \\
 	\multicolumn{2}{l}{$\sin ( x \pm y ) = \sin x \; \cos y \pm \sin y \; \cos x$}\\
 	\multicolumn{2}{l}{$\cos ( x \pm y ) = \cos x \; \cos y \mp \sin x \; \sin y$}\\
\end{tabular*}
}

\sectionbox{
	\subsection{Integrale $\int e^x\;\mathrm{d} x = e^x = (e^x)'$}
	\tablebox{
	\renewcommand{\arraystretch}{1.6} 
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\hspace{5mm}}c@{\extracolsep\fill}c@{\extracolsep\fill}c@{\hspace{5mm}}} \ctrule
		$F(x)$ & $f(x)$ & $f'(x)$ \\ \cmrule
		$\frac{1}{q+1}x^{q+1}$ & $x^q$ & $qx^{q-1}$ \\
		\raisebox{-0.2em}{$\frac{2\sqrt{ax^3}}{3}$} & $\sqrt{ax}$ & \raisebox{0.2em}{$\frac{a}{2\sqrt{ax}}$}\\
		$x\ln(ax) -x$ & $\ln(ax)$ & $\textstyle \frac{a}{x}$\\
		%e^x & e^x & e^x \\
		$\frac{1}{a^2} e^{ax}(ax- 1)$ & $x \cdot e^{ax}$ & $e^{ax}(ax+1)$ \\
		$\frac{a^x}{\ln(a)}$ & $a^x$ & $a^x \ln(a)$ \\
		$-\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\cos(x)$\\ \cbrule
	\end{tabular*} }\\
	
	$\int e^{at} \sin(bt) \diff t = e^{at} \frac{a \sin(bt) + b \cos(bt)}{a^2 + b^2}$\\
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	$\int \frac{\diff t}{\sqrt{at+b}} = \frac{2 \sqrt{at+b}}{a}$ & $\int t^2 e^{at} \diff t = \frac{(ax-1)^2+1}{a^3} e^{at}$\\
	$\int t e^{at} \diff t = \frac{at-1}{a^2} e^{at}$ & $\int x e^{ax^2} \diff x = \frac{1}{2a} e^{ax^2}$\\
	\end{tabular*}
}
	
\sectionbox{
\subsection{Exponentialfunktion und Logarithmus}
\begin{tabular*}{\columnwidth}{l@{\extracolsep\fill}ll}
	$a^x = e^{x \ln a}$ & $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ & $\ln x \le x -1$\\
	$\ln(x^{a}) = a \ln(x)$ & $\ln(\frac{x}{a}) = \ln x - \ln a$ & $\log(1) = 0$\\
\end{tabular*}
}
\section{Einheiten}
%\sectionbox{
%\subsection{SI-Einheiten}
%\symbolbox{

%}
%}
\sectionbox{
\topicbox{SI-Präfixe}{
	\begin{tabular}{ccl|ccl}
	Symbol & Vorsatz & Faktor & Symbol & Vorsatz & Faktor \\
	Y&Yotta&$10^{24}$& d &Dezi&$10^{-1}$\\
	Z&Zetta&$10^{21}$& c &Zenti&$10^{-2}$\\
	E&Exa&$10^{18}$& m & Milli&$10^{-3}$\\
	P&Peta&$10^{15}$& $\mu$ & Mikro&$10^{-6}$\\
	T&Tera&$10^{12}$& n &Nano&$10^{-9}$\\
 	G&Giga&$10^9$& p &Piko&$10^{-12}$\\
	M&Mega&$10^6$& f &Femto&$10^{-15}$\\
	k&Kilo&$10^3$& a &Atto&$10^{-18}$\\
	h&Hekto&$10^2$& z & Zepto&$10^{-21}$\\
	da&Deka&$10^1$ & y &Yokto&$10^{-24}$\\
	\end{tabular}
}
}
\iffalse
\section{Konstanten und Basisgleichungen}
\sectionbox{
\topicbox{Naturkonstanten}{
	\begin{tabular}{rl}
		Lichtgeschwindigkeit & $\mathrm{c}_0 = \SI{299 792 458}{\meter\per\second}$\\
		Elementarladung & $\mathrm{e}  = \SI{1.602 177e-19}{\coulomb}$\\
		\textsc{Planck}-Konst. & $h = \SI{6,626 069 57e-34}{\joule\second}$\\
								& $\hbar = \frac{h}{2 \pi} = \SI{1.05457e-34}{\joule\second}$ \\
		Elektr. Feldkonst. & $\varepsilon_0 = \SI{8.854 188e-12}{\farad\per\meter}$\\
		Magn. Feldkonst. & $\mu_0 = 4\pi \times \SI{e-7}{\henry\per\meter}$\\
		\textsc{Avogadro}-Konst. & $N_A = \SI{6.022 141e23}{\per\mole}$\\
		Atomare Masse & $\mathrm{u} = \SI{1.660 539e-27}{\kilogram}$\\
		Elektronenmasse & $m_e = \SI{9,109 383e-31}{\kilogram}$\\
		Protonenmasse & $m_p = \SI{1,674 927e-27}{\kilogram}$\\
		Neutronenmasse & $m_n = \SI{1,672 622e-27}{\kilogram}$\\
		%Feinstruktur & $\alpha^{-1} = \num{137,035 999}$\\
		\textsc{Boltzmann}-Konst. & $k_b = \SI{1.380 655e-23}{\joule\per\kelvin}$\\
		allg. Gaskonstante & $R = k_b N_A= 8,3144 \frac{\text{J}}{\text{mol} \text{ K}}$ \\
	\end{tabular}
	}
}
\fi
% SECTION ====================================================================================
\section{Aufbau der Materie}
%=============================================================================================
\sectionbox{
\paragraph{Planck'sches Postulat} In der Quantenmechanik kann der harmonische Oszillator mit der Schwingungsfrequenz f nur diskrete Energiewerte annehmen:\\
$E_n = hf\left(n + \frac{1}{2}\right) = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right)$
\paragraph{Heisenberg'sche Unschärferelation} Ort und Impuls (bzw. Energie und Zeit) können nicht gleichzeitig scharf definiert werden.\\
$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ und $\Delta t \cdot \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}$
\paragraph{Welle-Teilchen-Dualismus} Materie kann sowohl Eigenschaften von Teilchen als auch von Wellen haben.
}
\sectionbox{
\subsection{Quanten}
Hierbei wird die Materie als Menge von Teilchen betrachtet.\\
Sie haben eine Energie E und einen Impuls p sowie eine Masse m.
\paragraph{Das Photon} Für das Photon gilt:\\
$E_{\ir ph}=f\cdot h= \hbar \cdot \omega = \frac{hc}{\lambda} = m_{\text{ph}}c^2$ \\
$m_{\text{ph}} = \frac{\hbar \omega}{c^2}$  \qquad\qquad $p_{\text{ph}} = m_{\text{ph}} \cdot c = \frac{h}{\lambda}$
}

\sectionbox{
	\subsection{Materiewellen}
\subsubsection{Allgemeine Wellenfunktion $\Psi(\vec{r},t) = C \cdot e^{\i(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$}
Im eindimensionalen Fall: 
$\Psi(x,t) = C \cdot e^{\i(\omega t - kx)}$

\tablebox{
		\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
		\ctrule
	Größe & Beziehung \\ \cmrule
	Energie & $E = \frac{1}{2}mv^2 = \hbar \omega$ \\
	De-Broglie-Wellenlänge & $\lambda = \frac{h}{p}$ \\
	Impuls & $\vec{p} = m \vec{v} = \hbar \vec{k}$ \\
	Kreisfrequenz & $\omega = 2 \pi f = \frac{\hbar}{2m} k^2$ \\
	Phasengeschwindigkeit & $v_{\text{ph}} = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{v_{\text{Teilchen}}}{2}$ \\
	Wellenzahl & $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ \\
		\ctrule
		\end{tabular*}
	}
\subsubsection{Das Wellenpaket}
Der bewegten Korpuskel wird eine im Raum begrenzte Wellenfunktion zugeordnet, die sich aus der Überlagerung einzelner Wellen zu einem Wellenpaket ergibt. Ein Teilchenstrom entspricht der Folge einzelner Wellenpakete.

% Teilchenstrom entspricht Folge einzelner Wellenpakete.
$\Psi(\vec{r},t) = \int\limits_{k_0 - \Delta k}^{k_0 + \Delta k}{C(k) \cdot e^{\i (\omega t - \vec{k} \vec{r})} \diff k}$

Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets:

$v_{\text{gr}} = \frac{\diff \omega}{\diff k} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m} = v_{\ir Teilchen}$

Phasengeschwindigkeit $v_{\text{ph}} = \frac{\omega}{k}$
} 


\sectionbox{
	\subsection{Die Schrödingergleichung}
Beschreibt die Dynamik der quantenmech. Zustände eines Systems.
\subsubsection*{Allgemeine Schrödingergleichung:}
$E = E_{\ir kin} + V_{\ir pot} = \frac{p^2}{2m} + V$ \qquad mit $p = \i \hbar \nabla \Psi$
\begin{center}
	\boxed{-\i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi ( \vec r , t ) = - \frac{\hbar^2}{2m} \lpo \Psi (\vec r, t) + V(\vec{r},t) \cdot \Psi (\vec r, t)}
\end{center} 

\subsubsection*{Zeitunabhängige Schrödingergleichung:} 
\begin{center}
	\boxed{- \frac{\hbar^2}{2m} \Delta \Psi (\vec r) = (E-V) \Psi(\vec r)}
\end{center} 

\paragraph{Herleitung} 	Durch den Separationsansatz $\Psi(\vec{r},t) = \Psi(\vec{r})\Phi(t)$ lässt sich die Zeitabhängigkeit abtrennen.
\paragraph{Aufenthaltswahrscheinlichkeit} $\diff w(\vec{r}) = \Psi^*(\vec{r},t) \cdot \Psi(\vec{r},t) \cdot \diff \tau$
% Falls E > V: \Psi = e^{\i k \omega t} (Oszillierende E-Funktion) 
% Falls E < V: \Psi = e^{\alpha + \i \beta} (Abklingende E-Funktion) 
% Klausur: Unendlicher Potentialtopf $E = $
\paragraph{Normierungsbedingung:} 
$\int\limits_{\text{Volumen}}^{}{\Psi^* \Psi \diff r'} = 1$ \qquad $\Ra C_i = \sqrt{\frac{2}{L_i}}$
 \\ 

	\cookbox{Herleitung der Schrödingergleichung}{
	\item Aus De-Broglie-Beziehungen: 
		$\omega = \frac{\hbar}{2m} k^2 \lra \hbar \omega = \frac{\hbar^2}{2m} k^2$
		\item Multipliziere beide Seiten mit $\Psi$ und ersetze $\omega \ra \frac{\partial}{\partial t}$ sowie $k^2 \ra \div \grad$ \quad
			es folgt: $-\i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\vec{r},t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \vec{\Delta} \Psi(\vec{r},t)$
		\item In einem Kraftfeld $\vec{F}(\vec{r},t)$ mit $\vec{F}(\vec{r},t) = - \grad V(\vec{r},t)$ gilt:\\
			$E = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{r},t)$ \qquad mit $p = \i \hbar \nabla \Psi$
		\item Die allg. Schrödingergleichung folgt aus Multiplikation mit $\Psi$ und den Operatoren $E \ra -\i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$ und $\frac{p^2}{2m} \ra - \frac{\hbar^2}{2m} \lpo$ 
}
} 
\sectionbox{
\subsection{Potentialtopf} % Siehe Lösung Tutorübung 2
\begin{center}
	\includegraphics[width=5cm]{./img/potentialtopf.png}  \\ 
\end{center}
	\cookbox{Schrödingergleichung (im eindimensionalen Potentialtopf)}{
		\item Seperation: Ist das Potential zeitunabhängig? Wenn ja $\Ra v(\vec r, t) \ra v(\vec r)$
		\item Bereichseinteilung: 
			\subitem  $x < a$
			\subitem $a < x < b$ (im Topf)
			\subitem $b < x$
		\item Aufstellen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung
		\item Ansatz: $\Psi(x) = A e^{\j kx} + B e^{-\j kx}$ oder $A \sin(kx) + B\cos(kx)$
		\item Bestimme Koeffizienten $A, B$ und $k$ über die Randbedingungen
		\item Amplitude aus der Normierungsbedingung bestimmen
		\item Einsetzen und Umformen
		$E = \frac{k^2 \pi^2}{2 m a^2} n^2$ mit $k = \frac \pi a n$
		}
		
\subsubsection*{$\delta$-Dim., unendl., zeitinvar. Potentialtopf: $i=\eset{x,y,...,\delta}$}
	
Lösung der DGL:
$\Psi(\vec r) = \sqrt{\frac{2^\delta}{ \prod L_i }} \prod\limits_{i=1}^\delta \sin(k_i \cdot r_i)$

Energie:  $E_n = \frac{\hbar^2}{2m} \cdot \sum k_i^2$
\subsubsection*{für $\delta = 1$ (eindimensionaler PT)}
\boxed{ E_n = \frac{\hbar^2}{2m} k_n^2 = \frac{h^2 n^2}{8 m L^2} = E_1 n^2 } \quad \boxed{k_n = \frac{n \pi}{L} }
\boxed{ E_nml = \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)}{2m} = \frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}(n^2+m^2+l^2) }
}
% Endlicher Potentialtopf: $k^2 = \frac{2m(E - V)}{\hbar^2}$




\sectionbox{
	\subsection{Moleküle - Bindungstypen}
\tablebox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}lll@{}}
	\ctrule
			Bindung & Eigenschaften & Energie \\\cmrule
	Ionisch & Elektronaustausch, stark, starr & $\SI{3.4}{\electronvolt}$ \\
	Kovalent & Gemeinsame Elektronen & \\
	Metallisch & "`Elektronensee"' &  \\
	Dipol & Coulombkräfte von Partialladungen  & \\
	\ctrule
	\end{tabular*}
}

\subsubsection{Ionische Bindung }
	\underline{Voraussetzung}: unterschiedliche Atome,leicht zu ionisieren

\cookbox{Ionisierung}{
		\item Anion und Kation ziehen sich an bis auf einen Abstand der Ionenmittelpunkte: $r_0=(r_{\text{Y}^-}+r_{\text{X}^+})$
    	\item Dabei wird die Energie frei: $E_{\ir el}= \int\limits_\infty^{r_0} \frac{-e^2}{4\pi\epsilon_0r^2 }\diff r= \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0r_0}$
%    	\item Bindungsenergie beträgt $\frac{\SI{3,4}{\electronvolt}}{\text{Ionenpaar}}$ oder $328\frac{\text{kJ}}{\text{Mol}}$
		\item Coulombanziehung nicht gerichtet $\rightarrow$ positive und negative Ionen lagern so dicht aneinander wie möglich $\rightarrow$ Ionenkristall (nicht verformbar)
		\item Elektronen sind an den Ionen lokalisiert $\rightarrow$ keine freien Elektronen vorhanden $\ra $ Isolator
		\item Differenz der Elektronegativität meist $\Delta E>1.7$
		\item Gesamtbilanz der der Ionischen Bindung\\
			X + $E_X \rightarrow \text X^+ + \e^-$\\
			Y + $\e^- \rightarrow \text Y^- + E_Y$\\
			$\text X^+ + \text Y^- \rightarrow \text{XY} + E_{\ir el}$\\
			$E_{\ir ges} = -E_X + E_Y + E_{\ir el}$\\
}

\subsubsection{Kovalente Bindung}
	Spinabsättigung der äußeren Elektronenschale durch \textbf{gemeinsame Elektronen}
  
	\begin{itemize}
    	\item Valenz-Elektronen zwischen den Atomen lokalisiert
		\item keine Kugelsymmetrische Ladungsverteilung mehr im Atom
		\item Die Anzahl der Elektronen mit umgepaartem Spin zeigt an wie vielfache kovalente Bindungen eingegangen werden können
		\item treten bei und zwischen Elementen der IV. bis VII. Hauptgruppe (+H) auf
		\item gerichtete Bindungen $\rightarrow$ mögliche Kristallstrukturen werden eingeschränkt
		\item Differenz der Elektronegativität meist $\Delta E<1.7$
		\item kovalente gebundene Kristalle sind üblicherweise schlechte Leiter 
	\end{itemize}


\subsubsection{Metallische Bindung}
	Sonderfall der kovalenten Bindung, bei der die Valenz-Elektronen nicht lokalisiert sind.
	\begin{itemize}
    	\item Vorwiegend Elemente mit nur wenigen Außenelektronen
		\item freie Elektronen $\ra $ hohe elektrische Leitfähigkeit, hohe Wärmeleitfähigkeit
		\item Bindung nicht gerichtet $\rightarrow$ hohe Packungsdichte 
		\item Bindungen mit gleich- und ungleichartigen Metallen eingegangen werden
		\item Metallische Bindung ist schwächer als die ionische oder kovalente Bindung
		\item Bindungsstärke hängt von der Zahl der Leitungselektronen ab
	\end{itemize}
	
\subsubsection{Dipolbindung}
	\begin{itemize}
		\item zwischen Molekülen mit permanentem Dipolmoment $\rightarrow$ Moleküle mit positiver und negativer Ladung 
		\item Dipole ordnen sich im Dipolfeld der Nachbaratome so an, dass möglichst geringe Abstand und durch die Coulombkräfte gebunden werden 
    \end{itemize}

\subsubsection{Van-der-Waals-Bindung:} 
        \begin{itemize}
        		\item Atome/Moleküle haben kein permanentes Dipolmoment 
				\item Bindung zwischen Dipolen durch statistische Fluktuationen der Ladungsschwerpunkte.
				\item Sehr schwache Bindung
		\end{itemize}
\subsubsection{Wasserstoffbrückenbindung}
	\underline{Vorraussetzung:} Äußere Schale $>$ vier Elektronen, zwischen 2 Atomen.
		\begin{itemize}
				\item Bindungen über Wasserstoffbrücken der Form A-H-A
				\item Das H-Atom geht eine kovalente Bindung mit Atom der Sorte A ein und gibt sein Elektron ab. Das Proton bleibt fest an Reaktionspartner gebunden und bindet nun zusätzlich das andere negative Atom
				\item Bindungsenergie ist gering $(\SI{0,1}{\electronvolt})$    
 		\end{itemize}
}





\sectionbox{
	\subsection{Das Periodensystem (Siehe Seite 4)}	
\tablebox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	\ctrule
		Hauptquantenzahl &
$n = 1, 2, \ldots (= $ K, L, \ldots - Schale $)$ \\
Nebenquantenzahl &
$l = 0, \ldots, n-1$ (= s,p,d,f - Zuständen)\\
Magnetische Quantenzahl &
$m = -l, -l +1, \ldots, l -1 , l$\\
Spinquantenzahl &
$s = \pm \frac{1}{2}$ \\ 
	\ctrule
	\end{tabular*}
}
	Zu jedem Wert n gehören $n^2$ Zustände durch Variation von $l$ und $m$. Außerdem ist jeweils ein Spin $s = \pm \frac 1 2$ möglich.\\
	\textbf{Entartungsgrad:} Kombination der QZ mit gleicher Energie: $2 n^2$
}


%=======================================================================
\sectionbox{
	\subsection{Atome - Hundsche Regeln}
Legen fest, nach welchem Schema jedes einzelne Orbital eines Atoms mit Elektronen besetzt wird.
\begin{enumerate}
\item Die Spins werden möglichst parallel ausgerichtet: $\abs{\sum s_i} = \max$
\item Gesamtdrehinmpuls $\abs{L} = \abs{\sum m_i} = \max$
\item Falls die Schale weniger als halbvoll ist:
	\begin{itemize}
		\item Bahndrehimpuls und Spin antiparallel
		\item Gesamtdrehimpuls $J$: $\abs{J} = \abs{\abs{L} - \abs{S}}$
	\end{itemize}
	Falls die Schale mehr als halbvoll ist:
\begin{itemize}
		\item Bahndrehimpuls und Spin parallel
		\item Gesamtdrehimpuls $J$: $\abs{J} = \abs{\abs{L} + \abs{S}}$
	\end{itemize}
\end{enumerate}
Merke: Volle Schalen liefern keinen Beitrag zu $S$, $L$ und $J$
\paragraph{Pauli-Prinzip:}
Alle Elektronen unterscheiden sich in mindestens einer Quantenzahl
\begin{center}
	\includegraphics[width = 2cm]{./img/klechkovski.pdf}
\end{center}
{ \fboxsep0.2em
\begin{tabular}{c|ccc}
${}_{\color{red}\displaystyle \boldsymbol{n}}\!{\LARGE \diagdown}\!{}^{\color{blue}\displaystyle \boldsymbol{l}}$ & \color{blue}$0 =\textbf{s}$ & \color{blue}$1 = \textbf{p}$ & \color{blue}$2 = \textbf{d}$\\ \mrule
& $m = 0$ & $m=-1,0,1$ & $m=-2,-1,0,1,2$\\
\color{red}1:K & \fbox{$\uparrow\downarrow$} & \\[0.2em]
\color{red}2:L & \fbox{$\uparrow\downarrow$} & \fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\\[0.2em]
\color{red}3:M & \fbox{$\uparrow\downarrow$} & \fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$} & \fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\fbox{$\uparrow\downarrow$}\\
\end{tabular} }
} 

% SECTION ====================================================================================
\section{Mechanische Eigenschaften von Festkörpern}
% ============================================================================================
\symbolbox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep}ll@{}}
		$a_0$ & Gitterkonstante ($ \approx \SI{e-10}{\meter}$) \\
		$N$ & Anzahl Atome in EZ (Flächenatome: $\frac{1}{2}$, Kantenatome: $\frac{1}{4}$,\\
		& Eckatome: $\frac{1}{8}$)
	\end{tabular*}


}

\sectionbox{
	\subsection{Dichte}	
Dichte: $\rho = \frac{\diff m}{\diff V} = \frac{m P}{\frac{4}{3} \pi r^3} = \frac{m N}{a_0^3} = \frac{1}{V} 
\frac{N}{N_A} A_r$

$\ra A_r$ in $\si{\kg}$ Umrechnen!

Packungsdichte: $P = \frac{\text{Volumen (Atome)}}{\text{Volumen (Einheitszelle)}} = \frac{N \frac{4}{3} r^3 \pi}{V_{EZ}}$
}

\sectionbox{
	\subsection{Kristallstrukturen}
\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}lll@{}}
	$\underset{\text{simple cubic}}{\text{\large SC/PK}}$ & $\underset{\text{body-centered cubic}}{\text{\large BCC/KRZ}}$ & $\underset{\text{face-centered cubic}}{\text{\large FCC/KFZ (dichteste)}}$\\ \mrule
	\includegraphics[width = 1.6cm]{./img/sc.pdf} & \includegraphics[width = 1.6cm]{./img/bcc.pdf} & \includegraphics[width = 1.6cm]{./img/fcc.pdf}\\
	$P = \frac{\pi}{6} \approx 0.52$ & $P = \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \approx 0.68$ & $P = \frac{\sqrt{2}\pi}{6} \approx 0.74$\\[0.5em]
	$r_{\ir A} = \frac{\sqrt{4}}{4} a_0$ & $r_{\ir A} = \frac{\sqrt{3}}{4} a_0$ & $r_{\ir A} = \frac{\sqrt{2}}{4} a_0$\\[0.5em]
	KZ $=6$ & KZ $=8$ & KZ $=12$\\

	$\underset{\text{hexagonal}}{\text{\large HCP (dichteste)}}$ & \large Tetraeder & \large Diamant\\ \mrule
	$P = \frac{\pi}{3 \sqrt{2}} \approx 0.74$ & $P = \frac{\pi \sqrt{3}}{16} \approx 0.34$ & $P = \frac{\pi \sqrt{3}}{16} \approx 0.34$\\
	$V_{\ir hex} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 h$ & $V_{\ir Tetra} = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$ & $V_{\ir Diamant} = a_0^3$\\
	KZ $=6,12$ & KZ $=4$ & KZ $=4$\\ \\
\end{tabular*}
	 KZ: \textbf{K}oordinations\textbf{z}ahl (Zahl der nächsten Nachbarn)\\
	 Polymorphie: Ein Stoff hat mehrere Kristallgitterstrukturen.\\
}

\sectionbox{
	\subsection{Elastische Verformung}
\parbox{2.8cm}{ $\ma \epsilon = \mat{ \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} }$ }
\parbox{1.5cm}{ \textbf{Dehnung} \\
	$\epsilon_{xx} = \frac{\partial u_x}{\partial x}$ \\
	$\epsilon_{yy} = \frac{\partial u_y}{\partial y}$ \\ 
	$\epsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z}$
 }
\parbox{2.2cm}{ \textbf{Scherdeformation} \\
	$\epsilon_{xy} = \frac{\partial u_x}{\partial y} +  \frac{\partial u_y}{\partial x}$ \\
	$\epsilon_{yz} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y}$ \\ 
	$\epsilon_{xz} = \frac{\partial u_x}{\partial z}+  \frac{\partial u_z}{\partial x}$
}

\subsubsection*{Verallgemeinertes Hooksches Gesetz}
\boxed{\ma \sigma = \tensor C \ma \varepsilon} mit $\tensor C$ ist 81 Komponenten Elastizitätstensor 4. Stufe\\
Kompressionsmodul $K = - V_0 \frac{\diff p}{\diff V} \overset{\text{isotrop}}{=} \frac{E}{3-6\nu}$ \quad Metall $\nu \approx 0.3$\\ 
\\
\textbf{Mikroskopische Ebene:} Bindungskräfte zwischen Atomen\\
Potential $V(r) = - \underbrace{\frac{\alpha}{r^n}}_{\text{anziehend}} + \underbrace{\frac{\beta}{r^m}}_{\text{abstoßend}}$ \qquad $m > n$\\ 
Zw. atomare Kraft $F(r) = - \frac{d V(r)}{dr}$ im GG-Fall $F(r = r_0) = 0$ \\[0.5em]

Akustische Wellen in Festkörpern: $v_{||} = \sqrt{\frac{c}{\rho}}$ \qquad $v_{\perp} = \sqrt{\frac{\mu}{\rho}}$\\
Gitterschwingungen / Phononen: (Für kleine $k$, $\omega_1$ optisch, $\omega_2$ akustisch)\\
$\omega_1 = \sqrt{2 c (\frac{1}{M_1} + \frac{1}{M_2})}$ \qquad $\omega_2 = ka\sqrt{ \frac{2 c}{M_1 + M_2}}$
}


% SECTION ====================================================================================
\section{Thermische Eigenschaften von Festkörpern}
% ============================================================================================
	\symbolbox{ 
		\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}lll@{}}
		Druck & $[p]$ & $\si{\newton\per\meter\squared}$ \\
		Seebeck-Ko. & $[S]$ & $\si{\micro\volt\per\kelvin}$\\
		Wärmeleitf. & $[\lambda]$ & $\si{\watt\per\meter\kelvin}$ \\
		Wärmemenge & $[Q]$ & $\si{\joule} = \si{\watt\second}$\\
		Wärmekapazität & $[C]$ & $\si{\joule \per \kelvin}$ \\
		Wärmeleitwert &$[G]$ & $\si{\kelvin \per \watt}$\\
		Innere Energie & $[U]$  & $\si{\joule}$\\
		spez. Wärmekapazität & $[c_{\ir m}]$ & $\si{\joule \per \kelvin \kg}$
	\end{tabular*}
	}
	
\sectionbox{
Wärmekapazität $C = \frac{\partial U}{\partial T} = c n = c_{\ir m} \cdot m = c_{\ir m} \rho V$

Innere Energie $U = 3 N k_{\ir B} T$ \qquad\quad für 1 mol: $\Delta U = \Delta T c_m$

Spezifische Wärme für hohe Temp. $c_m = 3R = \SI{24.9}{\joule\per\mol\kelvin}$

Wärmemenge $Q = CT$ \quad Wärmestrom $\dot Q = -\lambda \grad(T) A = C \dot T$
Wärmestromdichte $w = \frac{\dot Q}{A} = \frac{\Delta Q}{A \Delta t} = n v c \Delta T = -\lambda \grad(T)$

Phononen: $\lambda_{\ir ph} = \frac{1}{3} C_{\ir ph} v_{\ir Schall} l_{\ir ph}$ \quad Elektronen $\lambda_{\ir el} = \frac{1}{3} C_{\ir el} v_{\ir el} l_{\ir el}$

Mittlere freie Weglänge $l = v \tau$ \qquad\quad $C_{\text{el}} \approx 6n k_B^2 \frac{T}{E_F}$

}

\sectionbox{
		\subsection{Freies Elektronengas}
	Zustandsdichte 3D: \boxed{ D(E) = \frac{1}{V} \frac{\diff Z}{\diff E} = \sqrt[2]{\left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^3} \frac{\sqrt{E}}{2 \pi^2 }}\\
	2D : $D = \frac{m^*}{\pi \hbar^2 a}$ \qquad 1D: $D = \frac{\sqrt{2m^*}}{\pi \hbar a^2} \frac{1}{\sqrt{E - E_{x,j} - E_{z,j}}}$\\
	Elektronendichte: $n = \int_0^\infty D(E)f(T,E)dE \overset{T=0}{=}\int_0^{E_F} D(E)dE $\\
	bei $0K$: $n = (\frac{2m}{\hbar})^{\frac{3}{2}} \frac{2}{6\pi^2}E_F^{\frac{3}{2}}$ \quad $E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{\frac{2}{3}}$\\ \\
	Effektive Masse: \quad \quad \quad \quad \quad Wärmeleitfähigkeit: \\ 
	\boxed{\frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\diff^2 E(k)}{\diff k^2} } \quad \quad $\lambda_{\ir el} = \frac 1 3 C_{\ir el} v_{\ir el} l_{\ir el}$\\ 
	Energieeigenwerte: $E_{nml} = \frac{\hbar^2 \vec k^2}{2 m_e^*} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2 m_e^* L^2} (n^2 + m^2 + l^2)$\\
	\\
	Wiedemann-Franzsches Gesetz: \\$\frac{\lambda}{\sigma_{\ir el} T} = L := \frac{\pi^2 k^2_{\ir B}}{3 e^2} = \SI{2.44e-8}{\volt^2\per\kelvin^2}$ \quad ($L:$ Lorentzzahl)
}

\subsection{Energiebänder}
Bestimmung einer Relation zwischen Wellenzahl k und Energie E durch Schrödingergleichung und periodische Randbedingungen\\
$\cos(ka) = \underbrace{\cos(ga) + \frac{m\beta a}{\hbar^2} \frac{\sin(ga)}{ga}}_{-1 \leq \hdots \leq 1}$ mit $g = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$\\
Nur bestimme Bereiche/Werte für $ga$ sind erlaubt $\Rightarrow$ Energiebänder\\
Physikalische Deutung: stehende Welle, keine fortschreitende Ausbreitung in eine Raumrichtung\\
\subsection{Reziproker Raum (k-Raum)}
$\vec a_1^* = 2\pi \frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{\vec a_1(\vec a_2 \times \vec a_3)}$ \quad $\vec a_2^* = 2\pi \frac{\vec a_3 \times \vec a_1}{\vec a_1(\vec a_2 \times \vec a_3)}$ \quad $\vec a_3^* = 2\pi \frac{\vec a_1 \times \vec a_2}{\vec a_1(\vec a_2 \times \vec a_3)}$ \\
Reziproker Gittervektor: $\vec G = h\vec a_1^* + k\vec a_2^* + l\vec a_3^*$ mit $h, k, l \in \N$\\ \\
Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind invariant ggü. Verschiebung um reziproken Gittervektor.\\
\textbf{Brillouinzone}: Einheitszelle des reziproken Gitters (1. Zone enthält gesamte Information)\\
Metalle, HL, Isolatoren: je nach Füllung der erlaubten Bänder bzw. nach dem Bandabstand

\columnbreak

% SECTION ====================================================================================	
\section{Elektrische Eigenschaften von Festkörpern}
%============================================================================================
\symbolbox{ Spez. Wid. $[\rho] = \si{\ohm\meter}$ \quad Leitfäh. $[\sigma] = \si{\per\ohm\meter}$ \quad $[\mu] = \si{\meter\squared\per\volt\second}$ }
\\ \\ 
\sectionbox{
			\subsection{Ladungstransport}
		Je kleiner $a_0$, desto flacher die Potentialbarrieren zwischen den Atomen, desto breiter werden die Energiebänder.
	
		\begin{tabular}{lll}
			& Freies Teilchen & Eingesperrtes Teilchen\\
			$v_{\text{gr}}$ & $\frac{\hbar}{m} k$ & $\frac{1}{\hbar} \frac{\diff E(k)}{\diff k}$\\
			$v_{\text{ph}}$ & $\frac{E}{p}$ &
		\end{tabular}
}
	\sectionbox{
			
		\subsection{Drude-Modell}
		(Driftgeschwindigkeit und normale Masse)\\
		$\vec j = -en\vec v_d = \sigma\vec E = en\mu\vec E$\\
		$\sigma = ne\mu$ mit Beweglichkeit $\mu = \frac{e\tau}{m}$\\
		$R = \rho \frac{l}{A} = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}$ 
		
		\subsection{Sommerfeld}
		(Fermigeschwindigkeit und effektive Masse)\\
		%TODO Bild von B.
		
		\subsection{Halleffekt}
		$m\dot v = -e(\vec \epsilon + \vec v_d \times \vec B) - m \frac{\vec v_d}{\tau}$\\
		Zyklotronfrequenz: $\omega_c = \frac{eB}{m}$\\
		Hallkonstante: $R_H = \frac{\epsilon_y}{j_xB} = -\frac{1}{ne}$\\
		Hallspannung: $U_H = R_HBj_xb = R_HB\frac{I_x}{d}$\\

		Elektronen verbinden sich zu Cooper-Paaren

	}		
				
		\textbf{Piezoelektrizität}: Mechanische Verformung erzeugt elektrische Spannung in Kristallen.\\

% SECTION ====================================================================================
\section{Thermoelektrische Effekte}
%=============================================================================================
\symbolbox{
	\begin{tabular}{lll}
		elektrische Leitfähigkeit 	& $[\sigma]$ 	& $\si{\siemens \per \meter}$\\
		Wärmeleitfähigkeit			& $[\lambda]$ & $\si{\watt \per \meter \kelvin}$\\
		Seebeck-Koeffizient 		& $[S]$		& $\si{\micro \volt \per \kelvin}$
	\end{tabular} 
}
\sectionbox{
	Durch thermische Teilchenbewegung entsteht eine Diffusionsstromdichte:\\
\boxed{ j_{\ir diff} = -e(n_1 v_{1x} - n_2 v_{2x}) = e \frac{\diff}{\diff T} (D_n \cdot n) \frac{\diff T}{\diff x}}\\
Diffusionskoeffizient $D_n = v_x l_x = v_x^2 \tau$, Fermigeschw. $v_x^2 = \frac{1}{3} v_{\ir F}^2$\\ 
Effektive Teilchengeschw. $\frac{1}{2} m^* v^2 = \frac{1}{2} k_{\ir B} T$ \quad $n_{\ir eff} = D(E_F)\cdot 2k_BT$

Seebeck Koeffizient:\\
\boxed{ S := - \frac{e}{\sigma} \frac{\diff}{\diff T} (D_n \cdot n) } \quad \boxed{\Delta U = S \cdot \Delta T}
}
	\sectionbox{
		\subsection{Peltier-Effekt}
		Aufgeprägter Strom wird benutzt, um Wärme zu transportieren\\
	Wärmestromdichte \boxed{ w = \Pi \cdot j} \qquad Peltierkonstante: $\Pi = S \cdot T$\\
	Gütezahl $Z = |\Delta S|^2 \cdot \frac{\sigma}{\lambda}$ mit Gütefaktor $\Delta S = \Pi_1 - \Pi_2$
	}
	
	\sectionbox{
		
	\subsection{Supraleitung}
	Starke Abnahme des Widerstands um Faktor $\le 10^{-14}$ bei einer Sprungtemperatur $T_c$
	
	
	Kritisches Magnetisches Feld: $H_c = H_0 (1 - (\frac{T}{T_C})^2)$
	
	Londongl. $\vec E = \lambda_{\ir L} \dot{\vec j_{\ir s}}$ \qquad $\rot \vec j_s = - \frac{1}{\lambda_L}\vec B$
	
	Londonsche Eindringtiefe $\Lambda_{\ir L} = \sqrt{\frac{\lambda_{\ir L}}{\mu_0}}$ \qquad  $\lambda_{\ir L} = \frac{m}{n_{\ir s} e^2}$

	}
		

\columnbreak
% SECTION ====================================================================================	
\section{Halbleiter}\label{sec:halbleiter}
%=============================================================================================
	\textbf{Definition}: Festkörper, der bei $T=0\ir K$ ein Isolator ist, aber unterhalb der Schmelztemperatur eine endliche Leitfähigkeit hat\\	
	\textbf{Extrinsischer HL}: Elektronische Eigenschaften dominiert durch $e^-$ bzw. $p^+$, welche durch Fremdatome zugeführt werden (Dotierung)\\
	\textbf{Intrinsischer HL}: Elektronische Eigenschaften durch thermisch generierte Ladungsträger bestimmt\\	
	\symbolbox{
	\begin{tabular}{ll}
		Valenzbandenergie & $E_{\rm V}$\\
		Leitungsbandenergie & $E_{\rm L}$\\
		Bandlückenenergie & $E_{\rm G} = E_{\rm L} - E_{\rm V}$\\
		Fermi-Energie & $E_{\rm F} = k_{\ir B} T_{\ir F} = \frac{\hbar^2}{2m_{\ir e}}(3\pi^2 n)^{2/3}$\\
		Fermi-Temperatur & $T_F = \frac{\hbar^2}{2 m_e k_b} ( 3 \pi^2 n)^{2/3}$
	\end{tabular} }\\
	\\
	\sectionbox{
		Fermi-Verteilung für Elektronen:\\
	\boxed{f_{e}(E,T) = \text{\Large 1} {\boldsymbol{\bigg/}} \left(1 + \exp\left(\frac{E-E_F}{k_B T}\right) \right) } \qquad $v_F = \sqrt{\frac{2E_F}{m}}$\\
	$f_h(E,T) = 1 - f_e(E,T)$\\
	$E_{\ir F}$: Energieniveau mit Besetzungswahrsch. $0.5$ im thermischen Gleichgewicht.
	Bei $T = \SI{0}{\kelvin}$ entspricht $E_{\ir F}$ dem maximalen Energiezustand eines Elektrons.\\
	$E_{\rm i} = \frac{E_{\rm V} + E_{\rm L}}{2} + \frac{k_{\ir B} T}{2} \ln\left(\frac{N^*_{\ir V}}{N^*_{\ir L}}\right)$ (intrinsisches Ferminiveau)\\
	$E_F = E_L - k_BT\ln\left(\frac{N_L}{N_D}\right)$ (vollständige Ionisierung) \\
	
	
	\boxed{\sigma = n_i e \mu_n + p_i e \mu_p} \qquad $\vec v = \pm \mu \vec E$ \qquad $\underset{\text{Ladungsneutralität}}{n-n_0 = p-p_0}$\\
	mit $\underset{\text{GGW}}{n p = n_i^2}$ gilt: $0 = n^2 e \mu_n - \sigma n + n_i^2 e \mu_p$ \\ 
	}
	
	%Zusatzformel: $E_{\ir g}(T) = E_{\ir g}(T = 0) - \frac{\alpha T^2}{T+\beta}$\\
	
	\sectionbox{
		\subsection{Effektive Masse}
	$m^* = \frac{\hbar^2}{\frac{\diff^2 E(k)}{\diff k^2}} = \sqrt[3]{m_{||}^* m_\perp^{*2}}$ \qquad
	$m_{\ir h}^* = \left(m^{*\frac{3}{2}}_{\ir hl} + m^{*\frac{3}{2}}_{\ir hh}\right)^{\frac{2}{3}}$	
	%\includegraphics[width = 3cm]{./img/bandstruktur.jpg}\\
	%\includegraphics[width = \columnwidth]{./img/energyband.pdf}\\
	%$E_{F,\text{intr}} \approx \frac{1}{2} E_{\ir G}$ \qquad (Metall: $E_{\ir F}$ liegt im Band!)\\
	}
	
	\symbolbox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}lll@{}}
		Fermi-Verteilung &$f_e$ & $ [\si{1}]$\\
		Elektronen/Löcherdichte& $n,p$ & $ [\si{\per\centi\meter\tothe{3}}]$\\
		Zustandsdichte & $D_{\ir L/V}$ & $ [\si{\per\centi\meter\cubed\electronvolt}]$\\
		effkt. Zustandsdichte Leitungsband & $N_L^*$  & $ [\si{\per\meter\cubed}]$\\
		effkt. Zustandsdichte Valenzband & $N_V^*$ & $ [\si{\per\meter\cubed}]$
	\end{tabular*}
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}ll@{}}
			Intrinsische Ladungsträgerdichte & $n_i = \sqrt{N_L^* N_V^*} e^{- \frac{E_G}{2 k_b T}}$ \\ 
	\end{tabular*}

	}
	
\sectionbox{
		\tablebox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{\extracolsep\fill}ll@{}}
	\ctrule
	\textbf{Leitungsband} & \textbf{Valenzband}\\ \cmrule
	Elektronendichte & Löcherdichte\\
	$n = \int\limits_{E_{\ir L}}^\infty D_{\ir L} \cdot f_e \diff E$ & $p = \int\limits_{-\infty}^{E_{\ir V}} D_{\ir V} \cdot f_h \diff E$\\[2em]
	Zustandsdichte  & Zustandsdichte\\
	$D_{\ir L} = \frac{(2 m_n^*)^{3/2}}{2 \pi^2 \hbar^3} \sqrt{E-E_{\ir L}}$ & $D_{\ir V} = \frac{(2 m_p^*)^{3/2}}{2 \pi^2 \hbar^3} \sqrt{E_{\ir V} - E}$\\[2em]
	Effektive Zustandsdichte & Effektive Zustandsdichte\\	
	$N^*_{\ir L} = 2 \left( \frac{m_n^* k_{\ir B} T}{2 \pi \hbar^2}\right)^{3/2}$ & $N^*_{\ir V} = 2 \left( \frac{m_p^* k_{\ir B} T}{2 \pi \hbar^2}\right)^{3/2}$\\
	$n = N^*_{\ir L} \exp\left(-\frac{E_{\ir L} - E_{\ir F}}{k_{\ir B}\cdot T}\right)$ & $p = N^*_{\ir V} \exp\left(-\frac{E_{\ir F} - E_{\ir V}}{k_{\ir B}\cdot T}\right)$ \\ 
	\cbrule
	\end{tabular*}
	}
}


	\emphbox{
	Boltzmann-Näherung: \hfill $f_e(E,T) \approx \exp\left(-\frac{E-E_F}{k_B T}\right)$\\[0.5em]
	Damit gilt: \hfill $n \cdot p = n^2_{\ir i} = N^*_{\ir L} \cdot N^*_{\ir V} \cdot e^{-\frac{E_{\ir g}}{k_{\ir B} T}} $\\[0.5em]
	Dotierungs-Bilanzgleichung: \hfill $n + N_{\ir A}^{-} = p + N_{\ir D}^{+}$\\[0.5em]
	Leitfähigkeit: \hfill $\sigma = n \cdot e \cdot \mu_n + p \cdot e \cdot \mu_p $\\
	}

	\sectionbox{
	\subsection{Dotierung von Halbleitern}		
	\includegraphics[width = 5cm]{./img/ndotiert.pdf}
	\tablebox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{l@{\extracolsep\fill}l} \ctrule
	n-Dotierung $+1e^-$ & p-Dotierung $+1h^+$\\ \cmrule
	Donator aus \rom{V}(-wertig) & Akzeptor aus \rom{III}(-wertig)\\
	$N_{\ir A} = 0$ & $N_{\ir D} = 0$\\[1em]
	$N_D^+ = \frac{N_D}{g\exp\left(\frac{E_F-E_0}{k_BT}\right)+1}$ & $N_A^- = \frac{N_A}{g\exp\left(\frac{E_A-E_F}{k_BT}\right)+1}$\\
	$N_D^+ \approx N_D$ (vollständig Ionisiert) & $g = 2, e^-; g=4, p^+$\\
	\cbrule
	\end{tabular*}\\
	}
	Amphoter: Sowohl n- als auch p-Dotierung. Bei \rom{III}-\rom{V} HL: \rom{IV}
	}

	\sectionbox{
		\subsection{Diffusionsströme}
		$j_{n\!/\!p}^{\ir diff} = e D_{n\!/\!p} \frac{\diff {n\!/\!p}}{\diff x}$ \qquad Einstein Beziehung: $D_{n\!/\!p} = \frac{k_{\ir B} T}{e} \mu_{n\!/\!p}$\\
		$j_{\ir drift} = -env_{\ir drift} = \sigma_{\ir n,p}\epsilon$ \qquad $I=Aj$
	}	
	

	
% SECTION ====================================================================================	
\section{Dielektrische Eigenschaften}
% ============================================================================================
\symbolbox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}lll@{}}
		Polarisation $[P] = \si{\ampere\second\per\meter\squared}$ & Polarisierbarkeit $[\alpha] = \si{\meter^3}$\\
		Äußeres Feld $\vec E_{\ir lok}$ & Induziertes Gegenfeld $\vec E_{\ir in}$\\
	\end{tabular*}
	}	
Unter Einfluss eines elektr. Feldes werden positive und negative Ladungen in entgegengesetzte Richtungen verschoben.
	\sectionbox{
	
	$\varepsilon_r = \varepsilon'_r + \i \varepsilon''_r = \abs{\varepsilon_r} e^{\i \delta}$ \qquad \qquad $\varepsilon' = n'^2 - k'^2$
	\includegraphics[width = 6cm]{./img/reldie.pdf}
	}
\sectionbox{
\subsection{Polarisation (S. 144)}
	Dielektr. Verschiebung $\vec D = \varepsilon_r\varepsilon_0 \vec E = \varepsilon_0 \vec E (1+\chi^{\ir el}) = \varepsilon_0 \vec E + \vec P$\\
	Dipolmoment \boxed{\vec p = \varepsilon_0 \alpha \vec E_{\ir lok}} \qquad Polarisation \boxed{ \vec P = N \vec p }\\
	Claudius-Mosotti-Gleichung: $\frac{\alpha N_v}{3} = \frac{\varepsilon_r -1}{\varepsilon_r +2} \Ra  \epsilon_r = 1 + \frac{\alpha N}{1 - \frac{\alpha N }{3}}$
	
	Suszeptibilität $\chi^{\ir el} = \varepsilon_r - 1 = \frac{\alpha N}{1- \frac{\alpha N}{3}}$
	
	\subsubsection*{Elektronische Polarisation} Elektronenhülle verschiebt sich durch äußeres Feld\\
	$p = \varepsilon_0\alpha\varepsilon_{\ir lok} = \frac{e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-\i\gamma\omega} \varepsilon_{\ir lok}$ mit $\omega_0 = \sqrt{\frac{c}{m}}$\\
	$\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2-\frac{n\e^2}{3\varepsilon_0 m}}$ \qquad $\varepsilon'(w) = 1 + \frac{n\e^2}{\varepsilon_0 m}\frac{\omega_1^2-\omega^2}{(\omega_1^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}$\\
	
	
	
	\subsubsection*{Ionische Polarisation} Ionen werden durch äußeres Feld verschoben\\
	$p = q u(t) = \frac{q^2}{\mu}\frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-\i\omega\gamma} \varepsilon_{\ir lok}$ \qquad $\varepsilon(\omega) = 1 + \frac{P}{\varepsilon_0\varepsilon}$\\
	Gesamtpolarisation: $P(t) = nqu(t)+n\varepsilon_0\alpha\varepsilon_{\ir lok}(t)$\\
	\subsubsection*{Orientierungspolarisation} Permanente Dipole werden durch E-Feld ausgerichtet.\\
	statisch: $p_0=np\cdot \overline{\cos\Theta} \approx np \frac{p\varepsilon}{3k_BT}$
}

% SECTION ====================================================================================	
\section{Magnetische Eigenschaften}
% ============================================================================================
	\symbolbox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}lll@{}}
		Magnetische Flussdichte & $\vec B$ &  $[\si{\tesla}=\si{\volt\second\per\meter\squared}]$ \\
		Magnetische Feldstärke &  $\vec H = \vec M$ & $[\si{\ampere\per\meter}]$\\
		Bahndrehimpuls  & $\vec L$ & $[\si{\volt\ampere\second\squared}]$ \\
		Magnetisches Moment & $\vec m$ & $[ \si{\ampere\meter\squared}]$\\
		magn. Quantenzahl &$m$ od. $M$ \\ 
		Spinquantenzahl &$S$ \\
		gyromagnetisches Verhältnis & $g$ \\
		Gesamtdrehimpuls &$\vec J$ & $[\si{\tesla}=\si{\volt\second\per\meter\squared}]$ \\
		Magnetische Suszepitbilität & $\chi^m$
	\end{tabular*}
	}
\emphbox{
Bohrsches Magneton: $\mu_{\ir B} = \frac{e \hbar}{2 m_{\ir e}} = \SI{9.274e-24}{\ampere\meter\squared}$	
}
	
\sectionbox{
\tablebox{
	\begin{tabular*}{\columnwidth}{@{}lll@{}}
	\ctrule
& Dielektrika & Magnetika\\
\cmrule
Polarisation & $\vec P = \varepsilon_0 \chi \vec E_{\ir netto}$ & $\vec J = \mu_0 \vec M$\\
Flussdichte &$\vec D = \varepsilon_0 \vec E_{\ir netto} + \vec P$ & $\vec B = \mu_0 \vec H + \vec J$\\	
\cbrule
\end{tabular*}
}

\vspace{10pt}

Gesamtdrehimpuls $J = L + S$

permanentes mag. Dipolmoment $M_z = g (- \mu_B ) J$

Magnetische Suszeptibilität $\chi^m = \mu_r - 1 = \frac{1}{\mu_0} \frac{J}{H} = \frac{M}{H}$

Magnetische Flussdichte $\vec B = \mu_r \mu_0 \vec H = \mu_0 \vec H + \vec J = \mu_0(\vec H + \vec M)$
}

\sectionbox{
		\subsection*{Elementare Dipole:}
		Mechanischer Drehimpuls $\vec L = \vec r \times m_0 \vec v = m_0 r^2 \vec \omega$\\
		Magnetisches Moment $\vec m = I \vec A = -\frac{1}{2} e r^2 \vec \omega = - \frac{e}{2m_0} \vec L$\\
		g-Faktor:  $g = 1+ \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)}$\\ 
		Spezial: $S=0 \Ra g=1$ (unreal) \qquad $L=0 \Ra g=2$
}
			
	\sectionbox{
		\subsection*{Diamagnetismus ($\mu_{\ir r} < 1$)}
	Wirkung der Lorentzkraft. Immer aktiv, wird aber von Para- und Ferromag. überlagert. Temperatur\textbf{un}abhängig.\\
	$\chi_{\ir dia}^{\ir m} = \frac{\vec M}{\vec H} = - \frac{NZ^* e^2 \ol{r^2} \mu_0}{6m_{\ir e}}$ \qquad $\vec M = N\cdot\vec m$
	}
	
	\sectionbox{
		\subsection*{Paramagnetismus ($\mu_{\ir r} > 1$)}
	Material besitzt magnetische Dipolmomente. (Unvollständige Elektronenschalen)\\
	Orientierungsstatistische Verteilung durch Temperatur\\
	Curiesches Gesetz: $\chi_{\ir para}^{\ir m} = \frac{N \mu_0 g^2 J(J+1)\mu_{\ir B}^2}{3 k_{\ir B} T}$
	}
	\sectionbox{
			
	\subsection*{Leitungselektronen ($\mu_{\ir r} \gg 1$)}
	praktisch temperaturabhängig\\
		\parbox{2.2cm}{ $\chi_{\ir para,le}^{\ir m} = \frac{3}{2} \frac{n\mu_0\mu_{\ir B}^2}{k_{\ir B} T_{\ir F}}$
		
		$\chi_{\ir dia,le}^{\ir m} = - \frac{1}{3} \chi_{\ir para,le}^{\ir m}$} $\Bigg\} \chi_{\ir le}^{\ir m} = \chi_{\ir para,le}^{\ir m} + \chi_{\ir dia,le}^{\ir m} = \frac{n\mu_0\mu_{\ir B}^2}{k_{\ir B} T_{\ir F}}$

	(mit $n = \frac{\text{freie } e}{V{\ir ez}}$)
	}

	\sectionbox{
		\subsection*{Ferromagnetismus ($\mu_r \gg 1$) $\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$} 
		Ausrichtung der elementaren Dipolmomente im Gitter. Wirkung nur bis Curie-Temp. \\ $E_A = -\mu_0 \int_{V_{Ww}} \vec H_G \vec H_A \diff V$
	
	Curie-Weiss-Gesetz: $\chi^{\ir m} = \frac{C}{T - \Theta}$ mit $\Theta = \frac{E_{\ir F}}{k_{\ir b}} = \frac{\mu_0\mu}{B_a}$
	
	Hystereseverluste $w_v = \oint B \diff H$
	}
	\sectionbox{
		\subsection*{Antimagnetismus $\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow\uparrow\downarrow$} 
		gekoppelte, antiparallele Ausrichtung.
	}
\sectionbox{
		\subsection*{Ferimagnetismus $\Uparrow\downarrow\Uparrow\downarrow\Uparrow\downarrow$} 
		In eine Richtung stärkere Magnetisierung\\ hohe Magnetisierung, aber schlechter Leiter.
	
$\vec m = I A$ ist antiparallel zu $\vec L$
}

\section{pn-Übergang}
%TODO Bild Kap 10 Folie 8
Elektronen- Löcherdichtenstrom: $j_{\ir n,p} = \underset{\ir Drift}{en\mu_{\ir n,p}\varepsilon} \pm \underset{\ir Diffusion}{\e D_{\ir n,p} \frac{\partial {\ir n,p}}{\partial x}}$\\
Diffusionskoeffizient: $D = \frac{k_BT\mu}{\e}$ \qquad Beweglichkeit: $\mu=\frac{\e\tau}{m}$\\
stromloser Fall $\Leftrightarrow$ konstante Fermienergie: $\frac{\partial E_F}{\partial x}$\\
$j_n = n\cdot\e\cdot\grad E_{\ir f,n}$ \qquad $j_p = p\cdot\e\cdot\grad E_{\ir f,p}$\\
Ladungsträgerdichte: siehe \ref{sec:halbleiter}: Effektive Zustandsdichte\\
Diffusionsspannung: $U_D = \frac{k_BT}{\e}\ln\left(\frac{n_{\ir n0}}{n_{\ir p0}}\right)=\frac{k_BT}{\e}\ln\left(\frac{p_{\ir p0}}{p_{\ir n0}}\right)$\\
Diffusionsspannung Verarmungszone: $U_D = \frac{1}{2}\varepsilon_m(w_n + w_p)$ mit $\abs{\varepsilon_m} = \frac{\e N_0\omega_n}{\varepsilon\varepsilon_0}$\\
$w_n = \sqrt{\frac{2\varepsilon\varepsilon_0N_AU_D}{\e N_D(N_A+N_D)}}$ \qquad $w_p = \sqrt{\frac{2\varepsilon\varepsilon_0N_DU_D}{\e N_A(N_A+N_D)}}$\\
\textbf{unsymmetrischer pn-Übergang} - Näherung durch:\\
$\ir p^+\ir n$-Übergang: $N_A \gg N_D$ \qquad $\ir n^+\ir p$-Übergang: $N_D \gg N_A$\\
Potentialverlauf: $U(x) = \frac{\e N_D}{2\varepsilon\varepsilon_0}(x-\omega_n)^2$\\
Anlegen einer Spannung: Ersetzen von $U_D$ durch $U_D-U$\\
$U > 0$ in "Durchlassrichtung": RLZ verkleinert sich\\
Sperrschichtkapazität: $c_S = \frac{\varepsilon\varepsilon_0}{\omega(U)}$\\
Quasi-Fermi-Niveau: $E_{\ir F,n}, E_{\ir F,p}$\qquad In RLZ: $\e U = E_{\ir F,n} - E_{\ir F,p}$\\
Profil der Löcherdichte (analog für Elektronendichte):\\ $p_n(x) - p_{\ir n0} = p_{\ir n0}\left(\exp\left(\frac{\e U}{k_BT}\right)-1\right)\exp\left(\frac{-(x-w_n)}{\sqrt{D_p\tau_p}}\right)$\\
%TODO Bild Kap 10 Folie 43
\section{Feldeffekt-Transistoren (FET-Transistoren, u-gest.)}
%TODO Bild Kap 11 Folie 11
$U(x)$: Spannung ggü. Source (x=0) \quad $U_{\ir ds}$: Drain-Source-Spannung\\
$U_{\ir gs} + U(x) = - U_g(x)$\\
$I_d = \frac{\e n\mu_nbd}{l}\left(U_{\ir ds}-\frac{2}{3\sqrt{U_p+U_D}}\left[(U_D+U_{\ir gs}+U_{\ir ds})^{3/2}-(U_D+U_{\ir gs})^{3/2}\right]\right)$\\
\textbf{Anlaufbereich:}\\
Drainstrom: $I_d \approx c_i\mu_n\frac{b}{l}\left(U_{\ir gs}-U_T-\frac{U_{\ir ds}}{2}\right)U_{\ir ds}$\\
Kanalleitwert: $\frac{\partial I_d}{\partial U_{\ir ds}}|_{\ir U_{\ir gs}} = \frac{\e n\mu_nbd}{l}\left[1-\frac{1}{\sqrt{U_p+U_D}}(U_D+U_{\ir gs}+U_{\ir ds})^{1/2}\right]$\\
Steilheit: $g_m =\frac{\partial I_d}{\partial (-U_{\ir gs})}|_{\ir U_{\ir ds}} =  \frac{\e n\mu_nbd}{l\sqrt{U_p+U_D}}\left[(U_D+U_{\ir gs}+U_{\ir ds})^{1/2}-(U_D+U_{\ir gs})^{1/2}\right]$\\
\textbf{Sättigungsbereich:}\\
Steilheit: $g_m = -\frac{\e n\mu_nbd}{l}\left(\sqrt{\frac{U_D+U_{\ir gs}}{U_p+U_D}}-1\right)$
%TODO ab Kap 11 Folie 25
\subsection{Bänderschema (pMOS)}
$U_g<0$: neg. Spannung am Gate $\rightarrow$ pos. RLZ im HL: Anreicherung (Bandverbiegung nach oben)\\
$U_g>0$: neg. RLZ im HL: Verarmung (Bandverbiegung nach unten)\\
$U_g\gg 0$: RLZ erreicht durch zunehmende Verarmung Maximalwert (Bandverbiegung wird so stark, dass sich $E_F$ so nah an $E_L$ befindet wie an $E_V$ tief im HL (Inversion, n-leitender Charakter)\\
\begin{tabular}{r|l}
Bandverbiegung: $W_s<0$ & Akkumulation\\
$W_S=0$ & Flachband-Fall\\
$\frac{\e U_{\ir gi}}{2}>W_S>0$ & Verarmung\\
$W_S=\frac{\e U_{\ir gi}}{2}$ & "Midgap" (intrinsisch)\\
$\e U_{\ir gi}U_{\ir gi}>W_S>\e U_{\ir gi}$ & Schwache Inversion\\
$W_S\geq \e U_{\ir gi}=\e U_{\ir gi}$ & Starke Inversion\\
\end{tabular}
\subsection{Kapatität einer MOS-Struktur: Ladung}
$Q=-\sqrt{2\epsilon\epsilon_0k_0Tp_0}\left[\frac{n_0}{p_0}\left(\exp\left(\frac{W_S}{k_bT}\right)-\frac{W_S}{k_BT}-1\right)+\exp\left(-\frac{W_S}{k_BT}\right)+\frac{W_S}{k_BT}-1\right]^\frac{1}{2}$\\
$W_S$: max. Bandwölbung (an der Isolator-HL-Grenzfläche
%TODO Bild S.37 Kap.11
Diff. Kapazität (stationärer Fall):\\
$s_s = -\e\frac{\diff Q}{\diff W_S}$\\
%TODO Bild S.40 Kap.11
\subsection{MOSFET}
$I_d=-Q_n(x)\mu_nb\frac{\diff U}{\diff x}$\\
$U_{\ir dsSaett} = U_{\ir gs}-U_{\ir gi}+\frac{\epsilon\epsilon_0\e N_A}{c_i^2}\left(1-\sqrt{1+\frac{2c_i^2U_{\ir gs}}{\epsilon\epsilon_0\e N_A}}\right)$\\
\section{Bipolartransistoren (i-gest.)}
%TODO Bild S.14 Kap.12
Durchlasspolung $\rightarrow \ir p^+$ werden in Basis injiziert ($I_{ep}$) und $\e^-$ von B nach E ($I_{en}$)\\
Sperrpolung $\rightarrow$ meiste $\ir p^+$ von C nach B diffundieren ($I_{cp}$)\\
thermisch aktivierte $\e^-$ von C nach B diff. ($I_{cn}$)\\
\textbf{Voraussetzung:} sehr kleine Basisweite im Vergleich zur Diffusionslänge ($L_p \gg d_b$) $\Rightarrow I_{bb} = I_{ep} - I_{cp} \rightarrow 0$ \\
Kompensation von Rekombination durch Bereitstellung von $\e^-$ ($I_{bb}$)\\
Stromverstärkung = Transportfaktor $\cdot$ Emitterergiebigkeit\\
$\alpha = \beta_T\gamma \leq 1$\qquad
$\beta_T = \frac{\text{C-B-Übergang erreichender Elektronenstrom}}{\text{von E in B injizierter Elektronenstrom}}$\\
$\alpha = \frac{\ir Kollektorstrom}{\ir Emitterstrom}$\qquad
$\gamma = \frac{\text{in die Basis injizierter Elektronenstrom}}{\text{gesamter Emitterstrom}}$\\

Große Spannungsverstärkung (Basis-Schaltung): $U_L = \alpha I_eR_L = \alpha u_{\ir eb} \frac{R_L}{r}$\\
Vereinfachtes Kleinsignal-ESB:\\
Auffassung des Transistors als Vierpol\\
$\mat{h_{11} & h_{12} \\ h_{21} & h_{22} } \mat{i_1 \\ u_2} = \mat{u_1 \\ i_2}$\\
Emitterschaltung (Näherung $\alpha r_c \gg r_e$):\\
$\underset{\ir Eingangswiderstand bei kurzgeschl. Ausgang}{h_{12} = \frac{u_1}{i_1}\big|_{u_2=0} = -\frac{\partial U_{eb}}{\partial I_b}\big|_{U_{ce}} \approx r_b+\frac{r_e}{1-\alpha}}$ \ \\
$\underset{\ir Leerlauf-Spannungsr"uckgewinnung}{h_{12} = \frac{u_1}{u_2}\big|_{i_1=0} = -\frac{\partial U_{eb}}{\partial U_{ce}}\big|_{I_b} \approx \frac{r_e}{r_c(1-\alpha)}}$ \\
$\underset{\ir Kurzschluss-Stromverst"arkung}{h_{21} = \frac{i_2}{i_1}\big|_{u_2=0} = -\frac{\partial I_c}{\partial I_b}\big|_{U_{ce}} \approx \frac{\alpha}{1-\alpha}}$\\
$\underset{\ir Leerlauf-Ausgangsleitwert}{h_{22} = \frac{i_2}{u_2}\big|_{i_1=0} = -\frac{\partial I_c}{\partial U_{ce}}\big|_{I_b} \approx \frac{1}{r_c(1-\alpha)}}$\\
% Ende der Spalten
\end{multicols*}

% Dokumentende
% ======================================================================
\end{document}