From be88125ca90a950b3175f26d78110bb6cc4efb9f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: DariCari <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 12 Mar 2024 15:19:44 +0100
Subject: [PATCH 01/18] update for WS23/24

Additions: spezielle orthogonale Matrizen, Kompression, Rekursive Folgen, Definitheit & Quadratische Funktionen
Changes: minor additions and changes in 1., 2.3, 4.5, 8., 9., 10., 11.2
---
 Lineare-Algebra.tex | 148 ++++++++++++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 114 insertions(+), 34 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 1adf610..2839d61 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -98,8 +98,7 @@ \subsection{Allgemeines} % (fold)
 \left| \sprod{x}{y} \right| \le \| x\| \cdot \| y\|
 \end{array}\end{math}\\
 $\mathbb{K}$ steht für $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$\\
-$\mathbb{I}_n$ ist die $nxn$-Einheitsmatrix.
-
+$\mathbb{I}_n$ ist die $nxn$-Einheitsmatrix. \qquad$e_i$ ist der i-te Einheitsvektor.
 \subsection{Matrizen}
 % ----------------------------------------------------------------------
 Die Matrix $A=(a_{ij}) \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen mit Index $i$ und $n$ Spalten mit Index $j$.
@@ -128,7 +127,7 @@ \subsubsection{Transponieren}
 $(A+B)^\top=A^\top+B^\top$\qquad $(A\cdot B)^\top=B^\top\cdot A^\top$\qquad \\
 $(\lambda A)^\top=\lambda A^\top$ \qquad \qquad \qquad $(A^\top)^\top=A$\\
 \\
-$A\in \mathbb K^{n\times n}$ ist symmetrisch, falls $A=A^\top$\qquad ($\Rightarrow$ diagbar)\\
+$A\in \mathbb K^{n\times n}$ ist symmetrisch, falls $A=A^\top$ ($\Rightarrow$ orth. diagbar)\\
 $A\in \mathbb K^{n\times n}$ ist schiefsymmetrisch, falls $A=-A^\top$\\
 $A\in \mathbb K^{n\times n}$ ist orthogonal (Spalten-/Zeilenvektoren=ONB), falls:\\
 $AA^\top=\mathbb{I}_n \quad \Leftrightarrow \quad A^\top=A^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad \det A=\pm 1$\\
@@ -154,15 +153,19 @@ \subsubsection{Inverse Matrix von $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
 
 \subsubsection{Rang einer Matrix $A\in \mathbb K^{m\times n}$}
 {\tiny (N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)}\\ \\
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \textbf{Bringe A auf ZSF} \\
 Rang (Zeilrang) $\rang(A)$: Anzahl N0-Zeilen \\     
 Zeilenraum $\row(A)$: Erzeugnis der Zeilen, $\text{Basis}(\row(A)) = \{\text{ N0-Zeilen }\}$ \\
 Kern: $\Kern(A) = \dme{x \in \mathbb K^n}{Ax= 0}$ \\
 Dimensionsformel: $\rang(A) + \mathrm{dim}(\Kern(A)) = n$ \\
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \textbf{Bringe A auf Spaltenstufenform (transponieren, ZSF)} \\
 Spaltenrang: Anzahl der N0-Spalten\\
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
+\end{minipage}
 \subsubsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
@@ -195,8 +198,9 @@ \subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 \subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
 
 \begin{itemize}\itemsep0pt
-\item $|A|=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $j$-ter Spalte
-\item $|A|=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $i$-ter Zeile
+\item $|A|=\sum\limits_{i/j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
+Entwicklung nach $i$-ter Zeile/$j$-ter Spalte
+%\item $|A|=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $i$-ter Zeile
 \item $\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
 \item $\begin{vmatrix}\lambda_1&&* \\ &\ddots& \\ 0&&\lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\cdot \ldots\cdot \lambda_n = \begin{vmatrix} \lambda_1&&0  \\  &\ddots& \\  *&&\lambda_n \end{vmatrix}$
 \item $A=B \cdot C \quad \Rightarrow \quad |A|=|B| \cdot |C|$
@@ -309,19 +313,34 @@ \subsubsection{Orthogonalität}
 \item \textbf{Orthonormalsystem}, wenn $B$ Orthogonalssystem u. $\forall v\in B: \norm{v}=1$
 \item \textbf{Orthonormalbasis(ONB)},  wenn $B$ Orthonormalsystem u. Basis von V ist
 \end{itemize}
-\textbf{Matrix $A$ heißt orthogonal}, wenn $A^\top A = \mathbb{I}_n$
-\begin{itemize}\itemsep0pt
+Eine \textbf{quadratische Matrix $A$ heißt orthogonal}, wenn $A^\top A = \mathbb{I}_n$
+\begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}}
+\begin{itemize}
 \item $A^{-1}=A^\top $
 \item $\det{A}=\pm1$
 \item Spalten bilden ONB
 \item Zeilen bilden ONB
-\item $\norm{Av}=\norm{v}$
-\end{itemize}\itemsep0pt
+\item $\|Av\|=\|v\|$ % Using \norm for the norm
+\end{itemize}
+&
+\begin{itemize}
+\item Drehmatrix mit Drehung um den Ursprung:\ \
+$\begin{pmatrix}
+\cos(\alpha) & -\sin(\alpha)\\
+\sin(\alpha) & \cos(\alpha)
+\end{pmatrix}$
+\item (Dreh-)Spiegelmatrix mit Spiegelung an der Geraden $y=tan(\frac{\alpha}{2})\cdot x$:\ \
+$\begin{pmatrix}
+\cos(\alpha) & \sin(\alpha)\\
+\sin(\alpha) & -\cos(\alpha)
+\end{pmatrix}$
+\end{itemize}
+\end{tabular}
 \textbf{Orthonormalisierungsvefahren einer Basis $\{v_1,\ldots,v_n\}$ nach Gram-Schmidt}
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
-\item $b_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}$ \qquad (Vektor mit vielen 0en oder 1en)
-\item $b_{2}= \frac{c_2}{\norm{c_2}}$\ \ mit \ \ $c_2=v_2-\frac{\sprod{v_2}{v_1}}{\sprod{v_1}{v_1}}\cdot v_1$
-\item $b_{3}= \frac{c_3}{\norm{c_3}}$\ \ mit \ \ $c_3=v_3-\frac{\sprod{v_3}{v_1}}{\sprod{v_1}{v_1}} \cdot v_1-\frac{\sprod{v_3}{c_2}}{\sprod{c_2}{c_2}}\cdot c_2$
+\item $b_1=\frac{c_1}{\|c_1\|}$\ \ mit \ \ $c_1=v_1$ \ \ (Vektor mit vielen 0en oder 1en)
+\item $b_{2}= \frac{c_2}{\norm{c_2}}$\ \ mit \ \ $c_2=v_2-\frac{\sprod{v_2}{c_1}}{\sprod{c_1}{c_1}}\cdot c_1$
+\item $b_{3}= \frac{c_3}{\norm{c_3}}$\ \ mit \ \ $c_3=v_3-\frac{\sprod{v_3}{c_1}}{\sprod{c_1}{c_1}} \cdot c_1-\frac{\sprod{v_3}{c_2}}{\sprod{c_2}{c_2}}\cdot c_2$
 \end{enumerate}
 \textbf{Erweitern einer ONB von $V$ auf eine ONB des $\mathbb{R}^n$}
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
@@ -481,34 +500,37 @@ \subsection{QR-Zerlegung}
 $A = QR$, wobei $Q$ orthogonal und R oben dreieckig.\\
 \textbf{Vorgehen}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
- \item $Q$ berechnen durch Gram-Schmidt mit den Spalten von $A$, beginnend bei der ersten
- \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich durch Umstellen der jeweiligen Gram-Schmidt Gleichungen auf die Spalten von $A$
+ \item $Q$ berechnen durch Gram-Schmidt mit den Spalten von $A$, \textbf{beginnend bei der ersten}
+ \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich aus den Gram-Schmidt Gleichungen wie folgt: $r_{i,i}=||c_i||^2$ und $r_{i,j}=\frac{\langle v_j,c_i \rangle}{r_{i,i}}$
  \item Alternativ gilt: $R = Q^TA$
 \end{itemize}
 
 \subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 Für $Ax = b$ lautet die
 \textbf{Normalengleichung}
-$A^TAx = A^Tb$\\
+$A^TAx^* = A^Tb$\\
+\\
+\textbf{Lösen} durch Gauß oder Umstellen: $x^* = (A^TA)^{-1}A^Tb$\\
+Für  $A=QR$ lautet die Lösung $x^* = R^{-1}Q^Tb$\\
 $\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (existiert immer).
 
 \subsection{Singulärwertzerlegung}
-Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $U$, $S$ und $V$ geschrieben
+Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $V$, $\Sigma$ und $W$ geschrieben
 \begin{equation*}
-A=USV^\top
+A=V\Sigma W^\top
 \end{equation*}
-mit $U\in \mathbb{R}^{m\times m}$, $S\in \mathbb{R}^{m\times n}$ und $V\in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
-$U$ und $V$ sind orthogonal, $S$ ist eine Diagonalmatrix.
+mit $V\in \mathbb{R}^{m\times m}$, $\Sigma\in \mathbb{R}^{m\times n}$ und $W\in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
+$V$ und $W$ sind orthogonal, $\Sigma$ ist eine Diagonalmatrix.
 \subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 Gegeben: $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
-\item Bestimme alle Eigenwerte $\lambda_j$ und Eigenvektoren $v_j$ der Matrix $A^\top A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ und ordne sie \\ $\lambda_1\ge\lambda_2\ge \dots \ge \lambda_r>\lambda_{r+1}=\dots=\lambda_n=0$ mit $r\le n$
-\item Bestimme eine ONB des $\mathbb{R}^n$ aus den Eigenvektoren $v_j$ und erhalte $V=\begin{pmatrix} 
-v_1 &\dots & v_n
+\item Bestimme alle Eigenwerte $\lambda_j$ und Eigenvektoren $w_j$ der Matrix $A^\top A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ und ordne sie \\ $\lambda_1\ge\lambda_2\ge \dots \ge \lambda_r>\lambda_{r+1}=\dots=\lambda_n=0$ mit $r\le n$
+\item Bestimme eine ONB des $\mathbb{R}^n$ aus den Eigenvektoren $w_j$ und erhalte $W=\begin{pmatrix} 
+w_1 &\dots & w_n
 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{n\times n}$
 \item Die Singulärwerte sind $\sigma_j=\sqrt{\lambda_j}$ \qquad $j=1,\dots,\min\{m,n\}$
 \begin{equation*}
-S=\begin{pmatrix}
+\Sigma=\begin{pmatrix}
 \sigma_1 & & & 0 & \dots & 0\\
  & \ddots & &  \vdots &  &  \vdots\\
 & & \sigma_m & 0 & \dots & 0\\
@@ -516,7 +538,7 @@ \subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 \qquad m<n
 \end{equation*}
 \begin{equation*}
-S=\begin{pmatrix}
+\Sigma=\begin{pmatrix}
 \sigma_1 & & \\
  & \ddots & \\
 & & \sigma_n \\
@@ -526,32 +548,90 @@ \subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{m\times n}
 \qquad m>n
 \end{equation*}
-\item Bestimme $u_1,\dots,u_r$ aus $u_i=\frac{1}{\sigma_j}Av_j$ für alle $j=1,\dots,r$ (alle $\sigma_j\ne 0$)
-\item Falls $r<m$ ergänze $u_1,\dots,u_r$ zu einer ONB, bzw. zu $U=\begin{pmatrix}
-u_1 & \dots & u_m
+\item Bestimme $v_1,\dots,v_r$ aus $v_i=\frac{1}{\sigma_j}Aw_j$ für alle $j=1,\dots,r$ (alle $\sigma_j\ne 0$)
+\item Falls $r<m$ ergänze $v_1,\dots,v_r$ zu einer ONB, bzw. zu $V=\begin{pmatrix}
+v_1 & \dots & v_m
 \end{pmatrix}$
 orthogonal.
-\item $A=USV^\top$
+\item $A=V\Sigma W^\top$
 \end{enumerate}
-
-\subsection{Lineare Differentialgleichungen}
+\subsubsection{Kompression}
+\begin{itemize}\itemsep0pt
+\item Rang k Matrix $A_{(k)}=V\Sigma_{(k)}W^\top$. Die Matrix $\Sigma_{(k)}$ enthält nur die Singulärwerte $\sigma_1, ...,\sigma_k$. ($\sigma_{k+1}, ...,\sigma_{n/m}$ mit 0 ersetzen).\\
+\item Frobenius-Norm $|| A ||_F = \sqrt[]{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} {a^{2}_{i,j}}}$\\
+\item Es gilt: $|| A-A_{(k)} ||_F \leq || A-B ||_F$ mit $B$ als eine beliebige Matrix des $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit $rang(B) \leq rang(A_{(k)}) = k$
+\item Speicheraufwand einer Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$: $rang(A) \cdot (m+n)$
+\end{itemize}
+\subsection{Lineare Differentialgleichungen und Rekursive Folgen}
 \subsubsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
 Gegeben: $y'(t) = \lambda y(t)$, mit $y(0) = c$\\
 Lösung: $y(t) = ce^{\lambda t}$ mit $c \in \mathbb R$\\
 \subsubsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
-Gegeben: $y'(t) = Ay$, mit $y_1(0) = c_1 , ..., y_n(0) = c_n$\\ 
-Wobei $A \in \mathbb R^{nxn}, c_1, ..., c_n \in \mathbb R, y,y'\in\mathbb R^n$.\\
+Gegeben: $y'(t) = Ay$, mit $y_1(0) , ..., y_n(0)$\\ 
+Wobei $A \in \mathbb R^{nxn}, y_1(0) , ..., y_n(0) \in \mathbb R, y,y'\in\mathbb R^n$.\\
 Lösung:\\
 \begin{enumerate}
 	\item Eigenwerte und Eigenvektoren von $A$ bestimmen.
 	\item $\begin{pmatrix}
-	x_1(t)\\
+	y_1(t)\\
 	\vdots\\
-	x_n(t) \\
+	y_n(t) \\
 	\end{pmatrix}
 	= c_1e^{\lambda_1t}v_1+...+c_ne^{\lambda_nt}v_n$.
 	\item Anfangswerte einsetzen und Werte für $c_1$, bis $c_n$ bestimmen.
 \end{enumerate}
+\subsubsection{Rekursive Folgen}
+Gegeben: $x_{n+1} = {\alpha} x_n + {\beta} x_{n-1}$, Anfangswerte: $x_0$, $x_1$\\
+Lösung:\\
+\begin{enumerate}
+	\item Matrix A bestimmen. 
+	\begin{equation*}
+	A=\begin{pmatrix}
+	{\alpha}&{\beta}\\
+	1&0
+	\end{pmatrix}
+	\end{equation*}
+	\item LGS aufstellen.
+	\begin{equation*}
+	\begin{pmatrix}
+	x_{n+1}\\
+	x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+	{\alpha}&{\beta}\\
+	1&0
+	\end{pmatrix}
+	\begin{pmatrix}
+	x_{n}\\
+	x_{n-1}\end{pmatrix}
+	\end{equation*}
+	\item Diagonalisieren: $A=SDS^{-1}$
+	\item Anfangswerte $x_0, x_1$ einsetzen und $x_n$ berechnen
+	\begin{equation*}
+	\begin{pmatrix}
+	x_{n+1}\\
+	x_{n}\end{pmatrix}=SD^{n}S^{-1}
+	\begin{pmatrix}
+	x_{1}\\
+	x_{0}\end{pmatrix}
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
+\subsection{Definitheit und Quadratische Funktionen}
+\subsubsection{Definitheit}
+Eine symmetrische Matrix $A \in\mathbb R^{n\times n}$ mit den Eigenwerten (EW) $\lambda_1, ..., \lambda_n$ heißt:
+\begin{itemize}\itemsep0pt
+\item positiv definit: EW positiv $<=> v^{\top}Av> 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n\backslash \{0\}$
+\item negativ definit: EW negativ $<=> v^{\top}Av< 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n\backslash \{0\}$
+\item positiv semidefinit: EW $\geq 0 <=> v^{\top}Av\geq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
+\item negativ semidefinit: EW $\leq 0 <=> v^{\top}Av\leq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
+\end{itemize}
+\subsubsection{Quadratische Funktionen}
+\textbf{Form:} $f(x)=x^{\top}Ax+b^{\top}x+c = \langle x,Ax \rangle + \langle b,x \rangle + c$\\
+Berechnen von Extrempunkten:
+\begin{itemize}\itemsep0pt
+\item positiv definit: Minimum bei $x^{*}=-\frac{1}{2}A^{-1}b$
+\item negativ definit: Maximum bei $x^{*}=-\frac{1}{2}A^{-1}b$
+\item positiv/negativ semidefinit: Existenz von Extremum hängt von Lösbarkeit des LGS $2Ax=-b$ ab. (nicht eindeutig!)
+\end{itemize}
+
 \end{multicols*}
 % Ende der Spalten
 

From 9d0ddf8afa76398ea91072b5d5f1b14709c6b0af Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: DariCari <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 13 Mar 2024 09:56:23 +0100
Subject: [PATCH 02/18] add more understandable description in 2.8

---
 Lineare-Algebra.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 2839d61..f0cff12 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -198,8 +198,8 @@ \subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 \subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
 
 \begin{itemize}\itemsep0pt
-\item $|A|=\sum\limits_{i/j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
-Entwicklung nach $i$-ter Zeile/$j$-ter Spalte
+\item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
+Entwicklung nach $j$-ter Spalte oder $i$-ter Zeile
 %\item $|A|=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $i$-ter Zeile
 \item $\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
 \item $\begin{vmatrix}\lambda_1&&* \\ &\ddots& \\ 0&&\lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\cdot \ldots\cdot \lambda_n = \begin{vmatrix} \lambda_1&&0  \\  &\ddots& \\  *&&\lambda_n \end{vmatrix}$

From 85c5eebceecd44225c7e8dbef9d9c792238bd400 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: DariCari <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 27 Mar 2024 13:44:59 +0100
Subject: [PATCH 03/18] add rezept in 9.

---
 Lineare-Algebra.tex | 17 +++++++++++++++--
 1 file changed, 15 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index f0cff12..3e9b46b 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -504,7 +504,6 @@ \subsection{QR-Zerlegung}
  \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich aus den Gram-Schmidt Gleichungen wie folgt: $r_{i,i}=||c_i||^2$ und $r_{i,j}=\frac{\langle v_j,c_i \rangle}{r_{i,i}}$
  \item Alternativ gilt: $R = Q^TA$
 \end{itemize}
-
 \subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 Für $Ax = b$ lautet die
 \textbf{Normalengleichung}
@@ -513,7 +512,21 @@ \subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 \textbf{Lösen} durch Gauß oder Umstellen: $x^* = (A^TA)^{-1}A^Tb$\\
 Für  $A=QR$ lautet die Lösung $x^* = R^{-1}Q^Tb$\\
 $\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (existiert immer).
-
+\subsubsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
+Gegeben: mehrere Punkte ($x_i, y_i$) im Koordinatensystem\\
+Gesucht: Koeffizienten $\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c}$ für $f(x)=\mathtt{a}\cdot x^2+\mathtt{b}\cdot x+\mathtt{c}\cdot 1=y$\\
+\textbf{Vorgehen:}
+\begin{enumerate}
+\item $b = (y_1, y_2, \dots)^\top$ \qquad $A = \begin{pmatrix}
+x_1^2 & x_1 & 1 \\[3pt]
+x_2^2 & x_2 & 1 \\[3pt]
+\vdots & \vdots & \vdots
+\end{pmatrix}$ \\
+\textit{Für eine lineare Funktion erste Spalte von $A$ streichen}
+\item Lösungsvektor $x^*$ mithilfe von $A$ und $b$ berechnen
+\item $x^*=(\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c})^\top \rightarrow \ f(x)=\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}x+\mathtt{c}$
+\end{enumerate}
+%\textbf{Lineare Funktion $(bx+c)$:} erste Spalte von $A$ streichen. $x^*=(\mathtt{b}, \mathtt{c})^\top$
 \subsection{Singulärwertzerlegung}
 Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $V$, $\Sigma$ und $W$ geschrieben
 \begin{equation*}

From 53b309d21295683009bc3f3a2b34b42ac7f73f74 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 1 Apr 2024 15:08:04 +0200
Subject: [PATCH 04/18] update template + add orth. diag

---
 .../ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml   |   1 -
 .github/workflows/ci.yml                      |  32 ++-
 .github/workflows/update.yml                  |  38 ++++
 .gitignore                                    |   2 +
 Lineare-Algebra.tex                           | 200 ++++++++----------
 scripts/__init__.py                           |   0
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 scripts/update_files.py                       |  42 ++++
 write-gitid.sh                                |  11 +-
 11 files changed, 288 insertions(+), 115 deletions(-)
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 create mode 100644 scripts/requirements.txt
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 create mode 100644 scripts/update_files.py

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@@ -1,6 +1,5 @@
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@@ -2,34 +2,56 @@ name: CI
 
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+        python-version: '3.12.2'
+    - name: Install dependencies
+      run: |
+        python -m pip install --upgrade pip
+        pip install -r scripts/requirements.txt
+    - name: Run pytest
+      run: pytest
+
   build:
     runs-on: ubuntu-latest
     container: makeappdev/uselatex:latest
     steps:
       - uses: actions/checkout@v4
+        with:
+          fetch-depth: 0
+          
+      - name: Configure Git safe directory with GITHUB_WORKSPACE
+        run: git config --global --add safe.directory $GITHUB_WORKSPACE
+        
       - name: Build
         run: |
           cmake --version; pdflatex --version
           mkdir -p build && cd build
           cmake ..
           make
+
       - name: Prepare Deployment
-        if: github.ref == 'refs/heads/master'
+        if: github.ref == 'refs/heads/master' || github.ref == 'refs/heads/main'
         run: |
           mkdir -p export
           echo "# This branch is for deployment only" >> export/README.md
           cp build/*.pdf export
           cp build/git.id export
+
       - name: Deploy
-        if: github.ref == 'refs/heads/master'
+        if: github.ref == 'refs/heads/master' || github.ref == 'refs/heads/main'
         uses: JamesIves/github-pages-deploy-action@v4.5.0
         with:
           branch: gh-pages
diff --git a/.github/workflows/update.yml b/.github/workflows/update.yml
new file mode 100644
index 0000000..9fe823a
--- /dev/null
+++ b/.github/workflows/update.yml
@@ -0,0 +1,38 @@
+name: Update README and LaTeX Build File
+
+on:
+  workflow_dispatch:
+
+jobs:
+  update-and-create-pr:
+    runs-on: ubuntu-latest
+
+    steps:
+      - name: Checkout repository
+        uses: actions/checkout@v4
+      
+      - name: Set up Python
+        uses: actions/setup-python@v4
+        with:
+          python-version: '3.12.2'
+      
+      - name: Run update script
+        run: python scripts/update_files.py
+      
+      - name: Configure Git
+        run: |
+          git config user.name "github-actions[bot]"
+          git config user.email "41898282+github-actions[bot]@users.noreply.github.com"
+      
+      - name: Commit changes to a new branch
+        run: |
+          git checkout -b changes/${{ github.run_id }}
+          git add .
+          git commit -m "Apply automated updates"
+          git push -u origin changes/${{ github.run_id }}
+      
+      - name: Create Pull Request
+        env:
+          GITHUB_TOKEN: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }}
+        run: |
+          gh pr create --base main --head changes/${{ github.run_id }} --title "Specify project URLs and CMake project" --body "Please review the changes applied by the automated script."
diff --git a/.gitignore b/.gitignore
index a4539ab..6751f5c 100644
--- a/.gitignore
+++ b/.gitignore
@@ -112,3 +112,5 @@ sympy-plots-for-*.tex/
 # xindy
 *.xdy
 StochastischeSignale.pdf
+git.id
+*.DS_Store
diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index f533822..a3043e1 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -5,65 +5,36 @@
 % ======================================================================	
 
 % Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
-\documentclass[6pt,a4paper]{scrartcl}
+\documentclass[ngerman, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
+\title{Lineare Algebra}
+\author{Lukas Kompatscher}
+\myemail{lukas.kompatscher@tum.de}
+\mywebsite{www.latex4ei.de}
 
 % Pakete laden
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-\usepackage[german]{babel}		% Deutsche Sprache
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-\usepackage{esint}				% erweiterte Integralsymbole
-\usepackage{multicol}			% ermöglicht Seitenspalten  
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+\usepackage{setspace}
   
 % Seitenlayout und Ränder:
-\usepackage{geometry}
-\geometry{a4paper,landscape, left=6mm,right=6mm, top=0mm, bottom=3mm,includeheadfoot} 
-
-%Kopf- und Fußzeile
-\usepackage{fancyhdr}
-\pagestyle{fancy}
-\fancyhf{}
-
-   \fancyfoot[C]{\textbf{Lineare Algebra} von Lukas Kompatscher (\href{mailto:lukas.kompatscher@tum.de}{lukas.kompatscher@tum.de})}
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-   \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} %untere Linie
-
-   \fancyfoot[R]{Stand: \today \qquad \thepage}
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-	
-% Schriftart SANS für bessere Lesbarkeit bei kleiner Schrift
-\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} 
-
+\titlespacing*{\section}{0pt}{2pt}{2pt}
+\titlespacing*{\subsection}{.5pt}{1pt}{2pt}
+\setstretch{1.2}
+\titleformat*{\section}{\large\bfseries}
+\titleformat*{\subsection}{\normalsize\bfseries}
 
 % Custom Commands
-\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
 \newcommand{\me}[1]{\ensuremath{\left\{#1\right\}}}
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 \makeatletter
-\newcommand{\Ra}[0]{\ensuremath{\Rightarrow}}
-\newcommand{\ra}[0]{\ensuremath{\rightarrow}}
 \newcommand{\gk}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
-\newcommand{\sprod}[2]{\ensuremath{%
-  \setbox0=\hbox{\ensuremath{#2}}
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 %Custom functions
 \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
 \DeclareMathOperator{\im}{im}
-\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
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 \DeclareMathOperator{\col}{col}
 \DeclareMathOperator{\row}{row}
@@ -75,18 +46,19 @@
 % Dokumentbeginn
 % ======================================================================
 \begin{document}
+
+\IfFileExists{git.id}{\input{git.id}}{}
+\ifdefined\GitRevision\mydate{\GitNiceDate\ (git \GitRevision)}\fi
+\ifdefined\GitIssuesURL
+  \ifdefined\setissueslinkurl
+    \setissueslinkurl{\GitIssuesURL} % Set the actual URL
+  \fi
+\fi
+
 %\section{}
 % ----------------------------------------------------------------------
-
-% Aufteilung in Spalten
-\begin{multicols*}{4}
-\parbox{2.3cm}{
-	\includegraphics[height=2cm]{./img/Logo.pdf}
-}
-\parbox{4cm}{
-	\huge{\textbf{Lineare Algebra}}
-}
-\subsection{Allgemeines} % (fold)
+\maketitle
+\section{Allgemeines} % (fold)
 \label{sub:allgemeines}
 
 Dreiecksungleichung \qquad \qquad \qquad
@@ -99,21 +71,20 @@ \subsection{Allgemeines} % (fold)
 \end{array}\end{math}\\
 $\mathbb{K}$ steht für $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$\\
 $\mathbb{I}_n$ ist die $nxn$-Einheitsmatrix. \qquad$e_i$ ist der i-te Einheitsvektor.
-\subsection{Matrizen}
+\section{Matrizen}
 % ----------------------------------------------------------------------
 Die Matrix $A=(a_{ij}) \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen mit Index $i$ und $n$ Spalten mit Index $j$.
 
-\subsubsection{Allgemeine Rechenregeln}
-\textbf{Merke:} Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.)\\
-
+\subsection{Allgemeine Rechenregeln}
+\textbf{Merke:} Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.)
 \begin{tabular}{ll}	
 	1)  $A+0=A$ & 2)  $1 \cdot A=A$ \\
 	3)  $A+B=B+A$ & 4) $A \cdot B \ne B \cdot A$ (im Allg.) \\
 	5)  $(A+B)+C=A+(B+C)$ & 6) $\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$\\ 
-\end{tabular}
+\end{tabular}\\
 Multiplikation von $A\in \mathbb K^{m\times r}$ und $B\in \mathbb K^{r\times n}$: $AB\in\mathbb K^{m\times n}$
 
-\subsubsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
+\subsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
 $A \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen $z_i\in \mathbb K^n$
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item Vertauschen von Zeilen
@@ -121,7 +92,7 @@ \subsubsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
 \item Addition des $\lambda$-fachen der Zeile $z_i$ zur Zeile $z_j$
 \end{itemize}
 
-\subsubsection{Transponieren}
+\subsection{Transponieren}
 $A=(a_{ij})\ \in \mathbb K^{m\times n}$ gilt: $A^\top=(a_{ji})\ \in \mathbb K^{n\times m}$\\
 \textbf{Regeln:}\\
 $(A+B)^\top=A^\top+B^\top$\qquad $(A\cdot B)^\top=B^\top\cdot A^\top$\qquad \\
@@ -134,8 +105,8 @@ \subsubsection{Transponieren}
 $A\in \mathbb C^{n\times n}$ ist hermitesch, falls $A=\overline{A}^\top$  \quad (kmplx. konj. u. transp.)
 
 
-\subsubsection{Inverse Matrix von $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
-Für die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A$ gilt: $A^{-1}A=\mathbb{I}_n$\\
+\subsection{Inverse Matrix}
+Für die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A\in \mathbb K^{n\times n}$ gilt: $A^{-1}A=\mathbb{I}_n$\\
 $(A^{-1})^{-1}=A$ \qquad $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ \\
 $(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top$\\
 \\
@@ -151,8 +122,9 @@ \subsubsection{Inverse Matrix von $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
 -c & a
 \end{pmatrix}$
 
-\subsubsection{Rang einer Matrix $A\in \mathbb K^{m\times n}$}
-{\tiny (N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)}\\ \\
+\subsection{Rang einer Matrix}
+$A\in \mathbb K^{m\times n}$ 
+{(N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)}\\ \\
 \begin{minipage}{\columnwidth}
 \textbf{Bringe A auf ZSF} \\
 Rang (Zeilrang) $\rang(A)$: Anzahl N0-Zeilen \\     
@@ -166,7 +138,7 @@ \subsubsection{Rang einer Matrix $A\in \mathbb K^{m\times n}$}
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
 \end{minipage}
-\subsubsection{Matrixpotenzen}
+\subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
 \begin{itemize}
@@ -184,7 +156,7 @@ \subsubsection{Matrixpotenzen}
 	\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
 
-\subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
+\subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das LGS $Ax=b$ kurz $(A|b)$ mit $A\in \mathbb K^{m\times n}$, $x\in \mathbb K^n$, $b\in \mathbb K^m$ hat $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte.\\
 \\
 \textbf{Lösbarkeitskriterium:}\\
@@ -195,8 +167,8 @@ \subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das homogene LGS: $(A|0)$ hat stets die triviale Lösung $0$\\
 Summen und Vielfache der Lösungen von $(A|0)$ sind wieder Lösungen.
 
-\subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
-
+\subsection{Determinante}
+$A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
 Entwicklung nach $j$-ter Spalte oder $i$-ter Zeile
@@ -218,20 +190,21 @@ \subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
 \end{itemize}
 \textbf{Vereinfachung für Spezialfall $A\in \mathbb K^{2\times 2}$}\\
 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
-
-\subsubsection{Äquivalente Aussagen für $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
+\subsection{Hauptsatz invertierbarer quadratischer Matrizen}
 \begin{tabular}{ll}
 	1)  $A$ ist invertierbar & 2) $\dim(\col(A))=\dim(\row(A))=n$\\
 	3)  $\Kern(A)={0}$ & 4) Die strenge ZSF von $A$ ist $\mathbb{I}_n$\\
-	5) $\det(A)\ne0$ & 6) Zeilen/Spalten von $A$ linear unabhängig\\
-	7) $Ax=b$ hat eine & 8) 0 ist kein Singulärwert von $A$\\\ \ \ \ eindeutige Lösung $\forall b\in\mathbb{R}^n$ & 9) Lineare Abbildung ist bijektiv\\
-	10)  $\rang(A)=n$ & 11) 0 ist kein Eigenwert von $A$\\
-
-\end{tabular}
-
-\subsection{Vektoren}
+	5) $\det(A)\ne0$ & 6) Zeilen/Spalten von $A$ linear unabh.\\
+	7) $Ax=b$ hat eine & 8) $0$ ist kein Singulärwert von $A$\\\ \ \ \ eindeutige Lösung $\forall b\in\mathbb{R}^n$ & 9) Lineare Abbildung ist bijektiv\\
+	10)  $\rang(A)=n$ & 11) $0$ ist kein Eigenwert von $A$\\
+	12) $\col(A)=\mathbb{R}^n$ & 13) $A$ ist Produkt elementarer Matrizen\\
+\end{tabular}\\ \\
+\textit{Ist eine dieser Aussagen wahr, so sind alle Aussagen wahr!}
+\section{Vektoren}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 Ein Vektor ist ein $n$-Tupel reeller oder komplexer Zahlen, also ein Element aus dem $\mathbb K^n$.
-\subsubsection{Skalarprodukt $\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb R$} 
+\subsection{Skalarprodukt}
+$\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb R$ 
 	\begin{enumerate}\itemsep0pt
 	\item Linear: $\langle u,v+w \rangle=\langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle \land \langle u,\lambda v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$ 
 	\item Symmetrisch: $\langle v,w \rangle=\langle w,v \rangle$
@@ -248,8 +221,8 @@ \subsubsection{Skalarprodukt $\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb
 $v = \proj_a(v) + \proj_{a^\perp}(v) \Rightarrow \proj_{a^\perp}(v) = v - \proj_a(v)$\\
 \textbf{Winkel} \quad 	$\cos \phi = \frac{\sprod{a}{b}}{\norm{a} \norm{b}} $ \qquad
 $\phi = \arccos \enbrace{ \frac{\sprod{a}{b} }{\norm{a} \norm{b} } }$
-
-\subsubsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
+\end{minipage}
+\subsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
 $a\times b=\left( \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{matrix}\right)$\qquad $a,b\ \in \mathbb R^3$\\
 \\
 $a\times b \perp a,b$ \qquad (falls $a\times b=0\ \Leftrightarrow\ a,b$\ linear abhängig)\\
@@ -261,7 +234,7 @@ \subsubsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
 $[a,b,c]:=\langle  a\times b, c\rangle=\det (a,b,c)\mathrel{\widehat{=}}$\ Volumen des Spates.\\
 $[a,b,c]>0\ \Leftrightarrow\ a,b,c$\ bilden Rechtssystem \\ $[a,b,c]=0\ \Leftrightarrow\ \{a,b,c\}$\ linear abhängig
 
-\subsection{Vektorräume (VR)}
+\section{Vektorräume (VR)}
 % --------------------------------------------------------------
 Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt $K$-Vektorraum über dem Körper $\mathbb K$. \\
 \textbf{Bedingung $(u,v,w\in V \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R})$}
@@ -276,14 +249,15 @@ \subsection{Vektorräume (VR)}
 \item $(\lambda \mu)v = \lambda(\mu v)$
 \item $1v=v$
 \end{enumerate}\itemsep0pt
-\subsubsection{Untervektorraum (UVR) $U\subset V (u,v\in U \quad \lambda\in\mathbb{R})$}
+\subsection{Untervektorraum (UVR)}
+$U\subset V (u,v\in U \quad \lambda\in\mathbb{R})$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item $U\ne \emptyset \qquad (0\in U)$
 \item $u+v\in U$
 \item $\lambda u \in U$
 \end{enumerate}
 
-\subsubsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
+\subsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
 \label{sub:basis}
  Eine Teilmenge $B\subset V$ heißt Basis von $V$, wenn gilt:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -291,12 +265,12 @@ \subsubsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
 	\item $B$ ist linear unabhängig
 \end{itemize}    
 
-\subsubsection{Dimension}
+\subsection{Dimension}
 $n=\dim(V)=\abs{B} = $ Mächtigkeit von $B$\\
 Mehr als $n$ Vektoren aus $V$ sind stets linear abhängig. \\
 Für jeden UVR $U \subset V$ gilt: $\dim (U) \le \dim (V)$ 
 
-\subsubsection{Linearkombination}
+\subsection{Linearkombination}
 Jeder Vektor $v\in\mathbb{K}^n$ kann als Linearkombination einer Basis $B=\{b_1, \dots, b_n\} \subset \mathbb{K}^n$ dargestellt werden
 \begin{equation*}
 v=\lambda_1 b_1 + \dots + \lambda_n b_n \Rightarrow \text{Gauß} \ \Big(b_1 \ b_2 \ b_3 \ |\ v\ \Big)
@@ -305,7 +279,7 @@ \subsubsection{Linearkombination}
 Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus: \\
 $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0$ folgt, dass $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$
 
-\subsubsection{Orthogonalität}
+\subsection{Orthogonalität}
 $B\subset V$ heißt
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item \textbf{Orthogonalsystem}, wenn $\forall v,w\in B: v\perp w$
@@ -315,7 +289,7 @@ \subsubsection{Orthogonalität}
 \end{itemize}
 Eine \textbf{quadratische Matrix $A$ heißt orthogonal}, wenn $A^\top A = \mathbb{I}_n$
 \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}}
-\begin{itemize}
+\begin{itemize}\itemsep6pt
 \item $A^{-1}=A^\top $
 \item $\det{A}=\pm1$
 \item Spalten bilden ONB
@@ -366,7 +340,7 @@ \subsubsection{Orthogonalität}
 \item $\proj_U(v)=\lambda_1 b_1 +\dots +\lambda_r b_r$
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Norm}
+\section{Norm}
 \textbf{Norm von Vektoren}
 $\norm{a}=\sqrt{\sprod{a}{a}} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}$\\
 $\forall v, w \in \mathbb{R}^n$:
@@ -375,7 +349,8 @@ \subsection{Norm}
 \item $\norm{v+w}\le \norm{v} + \norm{w}$
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Lineare Abbildungen}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+\section{Lineare Abbildungen}
 Abbildung $f:V\rightarrow W$ ist linear, wenn
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item $f(0)=0$
@@ -386,7 +361,8 @@ \subsection{Lineare Abbildungen}
 \textbf{Injektiv}, wenn aus $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$\\
 \textbf{Surjektiv}: $\forall y\in W \ \exists x\in V:f(x)=y$\\ \quad (Alle Werte aus $W$ werden angenommen.)\\
 \textbf{Bijektiv}(Eineindeutig): $f$ ist injektiv und surjektiv $\Rightarrow$ $f$ umkehrbar.
-\subsubsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
+\end{minipage}
+\subsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
 Gegeben: Vektorraum $V \in\mathbb{R}^n$, $v \in V$.\\
 Gesucht: $[v]_B$ (Koordinaten von $v$ bezüglich der Basis $B$).
 \begin{enumerate}
@@ -394,7 +370,7 @@ \subsubsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
 	\item Löse das LGS $Bx = v$.
 	\item $[v]_B = x$.
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
+\subsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 Lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ \\
 Abbildungsmatrix spaltenweise:
 $[f] = \begin{pmatrix}f(e_1) & \dots & f(e_n)
@@ -430,17 +406,17 @@ \subsubsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 \item $f$ bijektiv, wenn $[f]$ invertierbar
 \item $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow f$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist surjektiv
 \end{itemize}
-\subsubsection{Transformationsmatrix}
+\subsection{Transformationsmatrix}
 Transformationsmatrix der Koordinaten von $B$ zu $C$: $_CT_B$\\
 \textbf{Regeln und Berechnung:}
-\begin{itemize}
+\begin{itemize}\itemsep2pt
 	\item $_{\mathbb{I}_n}T_B = T_B$: Vektoren der Basis $B$
 	\item $_CT_B = {_CT} \cdot T_B$
 	\item $(_CT_B)^{-1} = {_BT_C}$
 	\item $[v]_C = {_CT_B}\cdot[v]_B$
 	\item $C=B\cdot {_CT_B}$
 \end{itemize}
-\subsection{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
+\section{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
 Gegeben: Quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
 Gilt $Av = \lambda v$ mit $v\ne 0$, so nennt man
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -465,7 +441,7 @@ \subsection{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
 \item Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte und ist diagonalisierbar.
 \item Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte: $\det(A)=\lambda_1\dots\lambda_n$
 \end{itemize}
-\subsubsection{Rezept: Diagonalisieren}
+\subsection{Rezept: Diagonalisieren}
 Gegeben: $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item Bestimme das charakteristische Polynom von $A$
@@ -496,7 +472,15 @@ \subsubsection{Rezept: Diagonalisieren}
 D=B^{-1}AB \ \Leftrightarrow \ A=BDB^{-1}
 \end{equation*}
 \end{enumerate}
-\subsection{QR-Zerlegung}
+\subsection{Orthogonale Diagonalisierbarkeit}
+Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist orthogonal diagonalisierbar.
+\begin{equation*}
+D=Q^{T}AQ \ \Leftrightarrow \ A=QDQ^{T}
+\end{equation*}
+Um $Q$ zu erhalten zuerst die Eigenvektoren zum selben Eigenwert orthonormalisieren (Gram-Schmidt).
+Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal und müssen nur noch normiert werden.
+\section{QR-Zerlegung}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 $A = QR$, wobei $Q$ orthogonal und R oben dreieckig.\\
 \textbf{Vorgehen}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -504,7 +488,8 @@ \subsection{QR-Zerlegung}
  \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich aus den Gram-Schmidt Gleichungen wie folgt: $r_{i,i}=||c_i||^2$ und $r_{i,j}=\frac{\langle v_j,c_i \rangle}{r_{i,i}}$
  \item Alternativ gilt: $R = Q^TA$
 \end{itemize}
-\subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
+\end{minipage}
+\section{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 Für $Ax = b$ lautet die
 \textbf{Normalengleichung}
 $A^TAx^* = A^Tb$\\
@@ -512,7 +497,7 @@ \subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 \textbf{Lösen} durch Gauß oder Umstellen: $x^* = (A^TA)^{-1}A^Tb$\\
 Für  $A=QR$ lautet die Lösung $x^* = R^{-1}Q^Tb$\\
 $\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (existiert immer).
-\subsubsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
+\subsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
 Gegeben: mehrere Punkte ($x_i, y_i$) im Koordinatensystem\\
 Gesucht: Koeffizienten $\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c}$ für $f(x)=\mathtt{a}\cdot x^2+\mathtt{b}\cdot x+\mathtt{c}\cdot 1=y$\\
 \textbf{Vorgehen:}
@@ -522,19 +507,19 @@ \subsubsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
 x_2^2 & x_2 & 1 \\[3pt]
 \vdots & \vdots & \vdots
 \end{pmatrix}$ \\
-\textit{Für eine lineare Funktion erste Spalte von $A$ streichen}
+\textit{Falls lineare Funktion gesucht: erste Spalte von $A$ streichen}
 \item Lösungsvektor $x^*$ mithilfe von $A$ und $b$ berechnen
 \item $x^*=(\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c})^\top \rightarrow \ f(x)=\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}x+\mathtt{c}$
 \end{enumerate}
 %\textbf{Lineare Funktion $(bx+c)$:} erste Spalte von $A$ streichen. $x^*=(\mathtt{b}, \mathtt{c})^\top$
-\subsection{Singulärwertzerlegung}
+\section{Singulärwertzerlegung}
 Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $V$, $\Sigma$ und $W$ geschrieben
 \begin{equation*}
 A=V\Sigma W^\top
 \end{equation*}
 mit $V\in \mathbb{R}^{m\times m}$, $\Sigma\in \mathbb{R}^{m\times n}$ und $W\in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
 $V$ und $W$ sind orthogonal, $\Sigma$ ist eine Diagonalmatrix.
-\subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
+\subsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 Gegeben: $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item Bestimme alle Eigenwerte $\lambda_j$ und Eigenvektoren $w_j$ der Matrix $A^\top A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ und ordne sie \\ $\lambda_1\ge\lambda_2\ge \dots \ge \lambda_r>\lambda_{r+1}=\dots=\lambda_n=0$ mit $r\le n$
@@ -568,18 +553,18 @@ \subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 orthogonal.
 \item $A=V\Sigma W^\top$
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Kompression}
+\subsection{Kompression}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
-\item Rang k Matrix $A_{(k)}=V\Sigma_{(k)}W^\top$. Die Matrix $\Sigma_{(k)}$ enthält nur die Singulärwerte $\sigma_1, ...,\sigma_k$. ($\sigma_{k+1}, ...,\sigma_{n/m}$ mit 0 ersetzen).\\
+\item Rang k Matrix $A_{(k)}=V\Sigma_{(k)}W^\top$. Die Matrix $\Sigma_{(k)}$ enthält nur die Singulärwerte $\sigma_1, ...,\sigma_k$.\qquad ($\sigma_{k+1}, ...,\sigma_{n/m}$ mit 0 ersetzen).\\
 \item Frobenius-Norm $|| A ||_F = \sqrt[]{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} {a^{2}_{i,j}}}$\\
 \item Es gilt: $|| A-A_{(k)} ||_F \leq || A-B ||_F$ mit $B$ als eine beliebige Matrix des $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit $rang(B) \leq rang(A_{(k)}) = k$
 \item Speicheraufwand einer Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$: $rang(A) \cdot (m+n)$
 \end{itemize}
-\subsection{Lineare Differentialgleichungen und Rekursive Folgen}
-\subsubsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
+\section{Lineare Differentialgleichungen \& Rekursive Folgen}
+\subsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
 Gegeben: $y'(t) = \lambda y(t)$, mit $y(0) = c$\\
 Lösung: $y(t) = ce^{\lambda t}$ mit $c \in \mathbb R$\\
-\subsubsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
+\subsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
 Gegeben: $y'(t) = Ay$, mit $y_1(0) , ..., y_n(0)$\\ 
 Wobei $A \in \mathbb R^{nxn}, y_1(0) , ..., y_n(0) \in \mathbb R, y,y'\in\mathbb R^n$.\\
 Lösung:\\
@@ -593,7 +578,7 @@ \subsubsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
 	= c_1e^{\lambda_1t}v_1+...+c_ne^{\lambda_nt}v_n$.
 	\item Anfangswerte einsetzen und Werte für $c_1$, bis $c_n$ bestimmen.
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Rekursive Folgen}
+\subsection{Rekursive Folgen}
 Gegeben: $x_{n+1} = {\alpha} x_n + {\beta} x_{n-1}$, Anfangswerte: $x_0$, $x_1$\\
 Lösung:\\
 \begin{enumerate}
@@ -627,8 +612,8 @@ \subsubsection{Rekursive Folgen}
 	x_{0}\end{pmatrix}
 	\end{equation*}
 \end{enumerate}
-\subsection{Definitheit und Quadratische Funktionen}
-\subsubsection{Definitheit}
+\section{Definitheit und Quadratische Funktionen}
+\subsection{Definitheit}
 Eine symmetrische Matrix $A \in\mathbb R^{n\times n}$ mit den Eigenwerten (EW) $\lambda_1, ..., \lambda_n$ heißt:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item positiv definit: EW positiv $<=> v^{\top}Av> 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n\backslash \{0\}$
@@ -636,7 +621,7 @@ \subsubsection{Definitheit}
 \item positiv semidefinit: EW $\geq 0 <=> v^{\top}Av\geq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
 \item negativ semidefinit: EW $\leq 0 <=> v^{\top}Av\leq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
 \end{itemize}
-\subsubsection{Quadratische Funktionen}
+\subsection{Quadratische Funktionen}
 \textbf{Form:} $f(x)=x^{\top}Ax+b^{\top}x+c = \langle x,Ax \rangle + \langle b,x \rangle + c$\\
 Berechnen von Extrempunkten:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -645,7 +630,6 @@ \subsubsection{Quadratische Funktionen}
 \item positiv/negativ semidefinit: Existenz von Extremum hängt von Lösbarkeit des LGS $2Ax=-b$ ab. (nicht eindeutig!)
 \end{itemize}
 
-\end{multicols*}
 % Ende der Spalten
 
 
diff --git a/scripts/__init__.py b/scripts/__init__.py
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
diff --git a/scripts/requirements.txt b/scripts/requirements.txt
new file mode 100644
index 0000000..fe79a98
--- /dev/null
+++ b/scripts/requirements.txt
@@ -0,0 +1,2 @@
+pyfakefs==5.3.5
+pytest==8.1.1
diff --git a/scripts/tests/__init__.py b/scripts/tests/__init__.py
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
diff --git a/scripts/tests/test_update_files.py b/scripts/tests/test_update_files.py
new file mode 100644
index 0000000..efbc556
--- /dev/null
+++ b/scripts/tests/test_update_files.py
@@ -0,0 +1,75 @@
+import pytest
+from scripts.update_files import check_tex_file_exists, update_readme_content, update_cmake_content
+from pathlib import Path
+import os
+
+@pytest.fixture
+def fake_base_path(fs):
+    """Fixture to create a base path and mock environment variable."""
+    base_path = Path("/test/project")
+    fs.create_dir(base_path)
+    os.environ['GITHUB_REPOSITORY'] = 'user/correct_title'
+    return base_path
+
+def test_check_tex_file_exists__file_does_not_exist__should_raise(fake_base_path, fs):
+    repo_name = "correct_title"
+    fs.create_file(fake_base_path / f"{repo_name}.tex")
+    check_tex_file_exists(repo_name, fake_base_path)
+    
+    with pytest.raises(FileNotFoundError):
+        check_tex_file_exists("nonexistent_repo", Path(fake_base_path))
+
+def test_update_readme_content(fake_base_path, fs):
+    initial_readme_content = """
+    # WrongTitle
+    Some content in the README file.
+    [![Actions Status](https://github.com/latex4ei/WrongCheatsheetTemplate/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/latex4ei/WrongCheatsheetTemplate)
+    ## Section
+    More details here.
+    """.strip()
+    fs.create_file(fake_base_path / "README.md", contents=initial_readme_content)
+    repo_name = "correct_title"
+    github_repository = 'user/correct_title'
+    
+    updated_content = update_readme_content(initial_readme_content, repo_name, github_repository)
+    
+    expected_content = """
+    # correct_title
+    Some content in the README file.
+    [![Actions Status](https://github.com/user/correct_title/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/user/correct_title)
+    ## Section
+    More details here.
+    """.strip()
+    assert updated_content == expected_content, "README.md content was not updated correctly."
+
+def test_update_cmake_content(fake_base_path, fs):
+    initial_cmake_content = """
+    cmake_minimum_required(VERSION 3.12)
+    project(WrongProjectName NONE)
+    # Add the main LaTeX document
+    add_latex_document(
+        CheatsheetTemplate.tex
+        AnotherDoc.tex
+        FORCE_PDF
+        IMAGE_DIRS img
+        DEPENDS writegitid
+    )
+    """.strip()
+    fs.create_file(fake_base_path / "CMakeLists.txt", contents=initial_cmake_content)
+    repo_name = "correct_title"
+
+    updated_content = update_cmake_content(initial_cmake_content, repo_name)
+    
+    expected_content = """
+    cmake_minimum_required(VERSION 3.12)
+    project(correct_title NONE)
+    # Add the main LaTeX document
+    add_latex_document(
+        correct_title.tex
+        AnotherDoc.tex
+        FORCE_PDF
+        IMAGE_DIRS img
+        DEPENDS writegitid
+    )
+    """.strip()
+    assert updated_content == expected_content, "CMakeLists.txt content was not updated correctly."
diff --git a/scripts/update_files.py b/scripts/update_files.py
new file mode 100644
index 0000000..ab0c3e1
--- /dev/null
+++ b/scripts/update_files.py
@@ -0,0 +1,42 @@
+from pathlib import Path
+import re
+import os
+import sys
+
+def check_tex_file_exists(repo_name: str, base_path: Path):
+    """Check if a .tex file with the same name as the repository exists."""
+    tex_file_path = base_path / f"{repo_name}.tex"
+    if not tex_file_path.exists():
+        msg = f"No .tex file found with the name {tex_file_path.name}. File name must match repo name."
+        raise FileNotFoundError(msg)
+
+def update_readme_content(content: str, repo_name: str, github_repository: str) -> str:
+    """Updates the README.md content."""
+    content = re.sub(r'^# .+', f'# {repo_name}', content, count=1, flags=re.MULTILINE)
+    actions_status_line = f'[![Actions Status](https://github.com/{github_repository}/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/{github_repository})'
+    return re.sub(r'\[!\[Actions Status\].*', actions_status_line, content)
+
+def update_cmake_content(content: str, repo_name: str) -> str:
+    """Updates the CMakeLists.txt content."""
+    content = re.sub(r'project\(([^ ]*)', f'project({repo_name}', content, count=1)
+    return re.sub(r'^( *)[^\s#].*?\.tex', r'\1' + f'{repo_name}.tex', content, flags=re.MULTILINE, count=1)
+
+def main(github_repository: str):
+    repo_name = Path(github_repository).name
+    base_path = Path(__file__).parent.parent
+
+    check_tex_file_exists(repo_name, base_path)
+    
+    readme_path = base_path / 'README.md'
+    cmake_path = base_path / 'CMakeLists.txt'
+    
+    readme_content = readme_path.read_text()
+    updated_readme_content = update_readme_content(readme_content, repo_name, github_repository)
+    readme_path.write_text(updated_readme_content)
+    
+    cmake_content = cmake_path.read_text()
+    updated_cmake_content = update_cmake_content(cmake_content, repo_name)
+    cmake_path.write_text(updated_cmake_content)
+
+if __name__ == "__main__":
+    main(os.getenv('GITHUB_REPOSITORY'))
diff --git a/write-gitid.sh b/write-gitid.sh
index 85d217d..b441cae 100755
--- a/write-gitid.sh
+++ b/write-gitid.sh
@@ -11,4 +11,13 @@ fi
 
 GITREV=$(git rev-list HEAD --count)
 echo "\\def\\GitRevision{$GITREV}"> git.id
-git show -s --format=%ci | xargs -I var_d $DATEBIN -d "var_d" +\\def\\GitNiceDate{%-d.\ %B\ %Y\ um\ %H:%M\ Uhr} >> git.id
+git show -s --format=%ci | xargs -I var_d $DATEBIN -d "var_d" +\\def\\GitNiceDate{%-d.\ %B\ %Y} >> git.id
+
+# Get the repository's remote URL
+REPO_URL=$(git remote get-url origin)
+
+# Convert SSH URL to HTTPS URL and append /issues for the issues page
+# This also ensures it works for URLs ending with .git and without
+ISSUES_URL=$(echo $REPO_URL | sed -e 's/^git@github\.com:/https:\/\/github\.com\//' -e 's/\.git$//' -e 's/$/\/issues/')
+
+echo "\\def\\GitIssuesURL{$ISSUES_URL}" >> git.id

From 2a9a4041ae03e0d37d3ce8bbf5ba92c0503ac656 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 1 Apr 2024 15:08:04 +0200
Subject: [PATCH 05/18] update template + add orth. diag

Update Lineare-Algebra.tex
---
 .../ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml   |   1 -
 .github/workflows/ci.yml                      |  32 ++-
 .github/workflows/update.yml                  |  38 +++
 .gitignore                                    |   2 +
 Lineare-Algebra.tex                           | 219 +++++++++---------
 scripts/__init__.py                           |   0
 scripts/requirements.txt                      |   2 +
 scripts/tests/__init__.py                     |   0
 scripts/tests/test_update_files.py            |  75 ++++++
 scripts/update_files.py                       |  42 ++++
 write-gitid.sh                                |  11 +-
 11 files changed, 302 insertions(+), 120 deletions(-)
 create mode 100644 .github/workflows/update.yml
 create mode 100644 scripts/__init__.py
 create mode 100644 scripts/requirements.txt
 create mode 100644 scripts/tests/__init__.py
 create mode 100644 scripts/tests/test_update_files.py
 create mode 100644 scripts/update_files.py

diff --git a/.github/ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml b/.github/ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml
index e994e5e..95b8d1e 100644
--- a/.github/ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml
+++ b/.github/ISSUE_TEMPLATE/inhaltlicher_fehler.yaml
@@ -1,6 +1,5 @@
 name: Inhaltlicher Fehler
 description: Hilf uns Fehler zu Verbessern
-title: ''
 labels: [bug]
 assignees: []
 
diff --git a/.github/workflows/ci.yml b/.github/workflows/ci.yml
index 6b70f6d..ff9e20c 100644
--- a/.github/workflows/ci.yml
+++ b/.github/workflows/ci.yml
@@ -2,34 +2,56 @@ name: CI
 
 on:
   push:
-    branches: [ master ]
+    branches: [ master, main ]
   pull_request:
-    branches: [ master ]
-
+    branches: [ master, main ]
   # Allows you to run this workflow manually from the Actions tab
   workflow_dispatch:
 
 jobs:
+  test:
+    runs-on: ubuntu-latest
+    steps:
+    - uses: actions/checkout@v4
+    - name: Set up Python
+      uses: actions/setup-python@v4
+      with:
+        python-version: '3.12.2'
+    - name: Install dependencies
+      run: |
+        python -m pip install --upgrade pip
+        pip install -r scripts/requirements.txt
+    - name: Run pytest
+      run: pytest
+
   build:
     runs-on: ubuntu-latest
     container: makeappdev/uselatex:latest
     steps:
       - uses: actions/checkout@v4
+        with:
+          fetch-depth: 0
+          
+      - name: Configure Git safe directory with GITHUB_WORKSPACE
+        run: git config --global --add safe.directory $GITHUB_WORKSPACE
+        
       - name: Build
         run: |
           cmake --version; pdflatex --version
           mkdir -p build && cd build
           cmake ..
           make
+
       - name: Prepare Deployment
-        if: github.ref == 'refs/heads/master'
+        if: github.ref == 'refs/heads/master' || github.ref == 'refs/heads/main'
         run: |
           mkdir -p export
           echo "# This branch is for deployment only" >> export/README.md
           cp build/*.pdf export
           cp build/git.id export
+
       - name: Deploy
-        if: github.ref == 'refs/heads/master'
+        if: github.ref == 'refs/heads/master' || github.ref == 'refs/heads/main'
         uses: JamesIves/github-pages-deploy-action@v4.5.0
         with:
           branch: gh-pages
diff --git a/.github/workflows/update.yml b/.github/workflows/update.yml
new file mode 100644
index 0000000..9fe823a
--- /dev/null
+++ b/.github/workflows/update.yml
@@ -0,0 +1,38 @@
+name: Update README and LaTeX Build File
+
+on:
+  workflow_dispatch:
+
+jobs:
+  update-and-create-pr:
+    runs-on: ubuntu-latest
+
+    steps:
+      - name: Checkout repository
+        uses: actions/checkout@v4
+      
+      - name: Set up Python
+        uses: actions/setup-python@v4
+        with:
+          python-version: '3.12.2'
+      
+      - name: Run update script
+        run: python scripts/update_files.py
+      
+      - name: Configure Git
+        run: |
+          git config user.name "github-actions[bot]"
+          git config user.email "41898282+github-actions[bot]@users.noreply.github.com"
+      
+      - name: Commit changes to a new branch
+        run: |
+          git checkout -b changes/${{ github.run_id }}
+          git add .
+          git commit -m "Apply automated updates"
+          git push -u origin changes/${{ github.run_id }}
+      
+      - name: Create Pull Request
+        env:
+          GITHUB_TOKEN: ${{ secrets.GITHUB_TOKEN }}
+        run: |
+          gh pr create --base main --head changes/${{ github.run_id }} --title "Specify project URLs and CMake project" --body "Please review the changes applied by the automated script."
diff --git a/.gitignore b/.gitignore
index a4539ab..6751f5c 100644
--- a/.gitignore
+++ b/.gitignore
@@ -112,3 +112,5 @@ sympy-plots-for-*.tex/
 # xindy
 *.xdy
 StochastischeSignale.pdf
+git.id
+*.DS_Store
diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index f533822..d14957c 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -5,88 +5,59 @@
 % ======================================================================	
 
 % Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
-\documentclass[6pt,a4paper]{scrartcl}
+\documentclass[ngerman, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
+\title{Lineare Algebra}
+\author{Lukas Kompatscher}
+\myemail{lukas.kompatscher@tum.de}
+\mywebsite{www.latex4ei.de}
 
 % Pakete laden
-\usepackage[utf8]{inputenc}		% Zeichenkodierung: UTF-8 (für Umlaute)   
-\usepackage[german]{babel}		% Deutsche Sprache
-\usepackage{multicol}			% Spaltenpaket
-\usepackage{amsmath}
-\usepackage{amssymb}
-\usepackage{esint}				% erweiterte Integralsymbole
-\usepackage{multicol}			% ermöglicht Seitenspalten  
-\usepackage{wasysym}			% Blitz
-\usepackage{graphicx}
-\usepackage[colorlinks=true, urlcolor=black]{hyperref}
+\usepackage{setspace}
   
 % Seitenlayout und Ränder:
-\usepackage{geometry}
-\geometry{a4paper,landscape, left=6mm,right=6mm, top=0mm, bottom=3mm,includeheadfoot} 
-
-%Kopf- und Fußzeile
-\usepackage{fancyhdr}
-\pagestyle{fancy}
-\fancyhf{}
-
-   \fancyfoot[C]{\textbf{Lineare Algebra} von Lukas Kompatscher (\href{mailto:lukas.kompatscher@tum.de}{lukas.kompatscher@tum.de})}
-   \renewcommand{\headrulewidth}{0.0pt} %obere Linie ausblenden
-   \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} %untere Linie
-
-   \fancyfoot[R]{Stand: \today \qquad \thepage}
-   \fancyfoot[L]{Homepage: www.latex4ei.de - Fehler bitte sofort melden.}
-	
-% Schriftart SANS für bessere Lesbarkeit bei kleiner Schrift
-\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} 
-
+\titlespacing*{\section}{0pt}{2pt}{2pt}
+\titlespacing*{\subsection}{.5pt}{1pt}{2pt}
+\setstretch{1.1}
+\titleformat*{\section}{\large\bfseries}
+\titleformat*{\subsection}{\normalsize\bfseries}
+\colorlet{col_section}{black}
 
 % Custom Commands
-\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
 \newcommand{\me}[1]{\ensuremath{\left\{#1\right\}}}
 \newcommand{\dme}[2]{\ensuremath{\left\{#1\,\vert\,#2 \right\}}}
-\newcommand{\abs}[1]{\ensuremath{\left\vert#1\right\vert}}
 \newcommand{\un}[1]{\; \unit{#1} }
 \newcommand{\unf}[2]{\;\left[ \unitfrac{#1}{#2} \right]}
-\newcommand{\norm}[2][\relax]{\ifx#1\relax \ensuremath{\left\Vert#2\right\Vert}\else \ensuremath{\left\Vert#2\right\Vert_{#1}}\fi}
 \newcommand{\enbrace}[1]{\ensuremath{\left(#1\right)}}
 \newcommand{\nira}[1]{\ensuremath{\overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}}}
 \newcommand{\os}[2]{\ensuremath{\overset{#1}{#2}}}
 \makeatletter
-\newcommand{\Ra}[0]{\ensuremath{\Rightarrow}}
-\newcommand{\ra}[0]{\ensuremath{\rightarrow}}
 \newcommand{\gk}[1]{\ensuremath{\left\lfloor#1\right\rfloor}}
-\newcommand{\sprod}[2]{\ensuremath{%
-  \setbox0=\hbox{\ensuremath{#2}}
-  \dimen@\ht0
-  \advance\dimen@ by \dp0
-  \left\langle #1\rule[-\dp0]{0pt}{\dimen@},#2\right\rangle}}
   
 %Custom functions
 \DeclareMathOperator{\arccot}{arccot}
 \DeclareMathOperator{\im}{im}
-\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
 \DeclareMathOperator{\rang}{rang}
 \DeclareMathOperator{\col}{col}
 \DeclareMathOperator{\row}{row}
 \DeclareMathOperator{\Kern}{kern}
 \DeclareMathOperator{\proj}{proj}
 
-
-
 % Dokumentbeginn
 % ======================================================================
 \begin{document}
+
+\IfFileExists{git.id}{\input{git.id}}{}
+\ifdefined\GitRevision\mydate{\GitNiceDate\ (git \GitRevision)}\fi
+\ifdefined\GitIssuesURL
+  \ifdefined\setissueslinkurl
+    \setissueslinkurl{\GitIssuesURL} % Set the actual URL
+  \fi
+\fi
+
 %\section{}
 % ----------------------------------------------------------------------
-
-% Aufteilung in Spalten
-\begin{multicols*}{4}
-\parbox{2.3cm}{
-	\includegraphics[height=2cm]{./img/Logo.pdf}
-}
-\parbox{4cm}{
-	\huge{\textbf{Lineare Algebra}}
-}
-\subsection{Allgemeines} % (fold)
+\maketitle
+\section{Allgemeines} % (fold)
 \label{sub:allgemeines}
 
 Dreiecksungleichung \qquad \qquad \qquad
@@ -99,21 +70,20 @@ \subsection{Allgemeines} % (fold)
 \end{array}\end{math}\\
 $\mathbb{K}$ steht für $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$\\
 $\mathbb{I}_n$ ist die $nxn$-Einheitsmatrix. \qquad$e_i$ ist der i-te Einheitsvektor.
-\subsection{Matrizen}
+\section{Matrizen}
 % ----------------------------------------------------------------------
 Die Matrix $A=(a_{ij}) \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen mit Index $i$ und $n$ Spalten mit Index $j$.
 
-\subsubsection{Allgemeine Rechenregeln}
-\textbf{Merke:} Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.)\\
-
+\subsection{Allgemeine Rechenregeln}
+\textbf{Merke:} Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.)
 \begin{tabular}{ll}	
 	1)  $A+0=A$ & 2)  $1 \cdot A=A$ \\
 	3)  $A+B=B+A$ & 4) $A \cdot B \ne B \cdot A$ (im Allg.) \\
 	5)  $(A+B)+C=A+(B+C)$ & 6) $\lambda (A+B) = \lambda A + \lambda B$\\ 
-\end{tabular}
+\end{tabular}\\
 Multiplikation von $A\in \mathbb K^{m\times r}$ und $B\in \mathbb K^{r\times n}$: $AB\in\mathbb K^{m\times n}$
 
-\subsubsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
+\subsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
 $A \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen $z_i\in \mathbb K^n$
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item Vertauschen von Zeilen
@@ -121,7 +91,7 @@ \subsubsection{Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)}
 \item Addition des $\lambda$-fachen der Zeile $z_i$ zur Zeile $z_j$
 \end{itemize}
 
-\subsubsection{Transponieren}
+\subsection{Transponieren}
 $A=(a_{ij})\ \in \mathbb K^{m\times n}$ gilt: $A^\top=(a_{ji})\ \in \mathbb K^{n\times m}$\\
 \textbf{Regeln:}\\
 $(A+B)^\top=A^\top+B^\top$\qquad $(A\cdot B)^\top=B^\top\cdot A^\top$\qquad \\
@@ -134,8 +104,8 @@ \subsubsection{Transponieren}
 $A\in \mathbb C^{n\times n}$ ist hermitesch, falls $A=\overline{A}^\top$  \quad (kmplx. konj. u. transp.)
 
 
-\subsubsection{Inverse Matrix von $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
-Für die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A$ gilt: $A^{-1}A=\mathbb{I}_n$\\
+\subsection{Inverse Matrix}
+Für die inverse Matrix $A^{-1}$ von $A\in \mathbb K^{n\times n}$ gilt: $A^{-1}A=\mathbb{I}_n$\\
 $(A^{-1})^{-1}=A$ \qquad $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ \\
 $(A^\top)^{-1}=(A^{-1})^\top$\\
 \\
@@ -151,8 +121,9 @@ \subsubsection{Inverse Matrix von $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
 -c & a
 \end{pmatrix}$
 
-\subsubsection{Rang einer Matrix $A\in \mathbb K^{m\times n}$}
-{\tiny (N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)}\\ \\
+\subsection{Rang einer Matrix}
+$A\in \mathbb K^{m\times n}$ 
+{(N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)}\\ \\
 \begin{minipage}{\columnwidth}
 \textbf{Bringe A auf ZSF} \\
 Rang (Zeilrang) $\rang(A)$: Anzahl N0-Zeilen \\     
@@ -166,7 +137,7 @@ \subsubsection{Rang einer Matrix $A\in \mathbb K^{m\times n}$}
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
 \end{minipage}
-\subsubsection{Matrixpotenzen}
+\subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
 \begin{itemize}
@@ -184,7 +155,7 @@ \subsubsection{Matrixpotenzen}
 	\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
 
-\subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
+\subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das LGS $Ax=b$ kurz $(A|b)$ mit $A\in \mathbb K^{m\times n}$, $x\in \mathbb K^n$, $b\in \mathbb K^m$ hat $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte.\\
 \\
 \textbf{Lösbarkeitskriterium:}\\
@@ -195,8 +166,8 @@ \subsubsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das homogene LGS: $(A|0)$ hat stets die triviale Lösung $0$\\
 Summen und Vielfache der Lösungen von $(A|0)$ sind wieder Lösungen.
 
-\subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
-
+\subsection{Determinante}
+$A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
 Entwicklung nach $j$-ter Spalte oder $i$-ter Zeile
@@ -218,20 +189,21 @@ \subsubsection{Determinante von $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$}
 \end{itemize}
 \textbf{Vereinfachung für Spezialfall $A\in \mathbb K^{2\times 2}$}\\
 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
-
-\subsubsection{Äquivalente Aussagen für $A\in \mathbb K^{n\times n}$}
+\subsection{Hauptsatz invertierbarer quadratischer Matrizen}
 \begin{tabular}{ll}
 	1)  $A$ ist invertierbar & 2) $\dim(\col(A))=\dim(\row(A))=n$\\
 	3)  $\Kern(A)={0}$ & 4) Die strenge ZSF von $A$ ist $\mathbb{I}_n$\\
-	5) $\det(A)\ne0$ & 6) Zeilen/Spalten von $A$ linear unabhängig\\
-	7) $Ax=b$ hat eine & 8) 0 ist kein Singulärwert von $A$\\\ \ \ \ eindeutige Lösung $\forall b\in\mathbb{R}^n$ & 9) Lineare Abbildung ist bijektiv\\
-	10)  $\rang(A)=n$ & 11) 0 ist kein Eigenwert von $A$\\
-
-\end{tabular}
-
-\subsection{Vektoren}
+	5) $\det(A)\ne0$ & 6) Zeilen/Spalten von $A$ linear unabh.\\
+	7) $Ax=b$ hat eine & 8) $0$ ist kein Singulärwert von $A$\\\ \ \ \ eindeutige Lösung $\forall b\in\mathbb{R}^n$ & 9) Lineare Abbildung ist bijektiv\\
+	10)  $\rang(A)=n$ & 11) $0$ ist kein Eigenwert von $A$\\
+	12) $\col(A)=\mathbb{R}^n$ & 13) $A$ ist Produkt elementarer Matrizen\\
+\end{tabular}\\ \\
+\textit{Ist eine dieser Aussagen wahr, so sind alle Aussagen wahr!}
+\section{Vektoren}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 Ein Vektor ist ein $n$-Tupel reeller oder komplexer Zahlen, also ein Element aus dem $\mathbb K^n$.
-\subsubsection{Skalarprodukt $\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb R$} 
+\subsection{Skalarprodukt}
+$\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb R$ 
 	\begin{enumerate}\itemsep0pt
 	\item Linear: $\langle u,v+w \rangle=\langle u,v \rangle + \langle u,w \rangle \land \langle u,\lambda v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle$ 
 	\item Symmetrisch: $\langle v,w \rangle=\langle w,v \rangle$
@@ -248,8 +220,8 @@ \subsubsection{Skalarprodukt $\langle v,w \rangle: V\times V \rightarrow \mathbb
 $v = \proj_a(v) + \proj_{a^\perp}(v) \Rightarrow \proj_{a^\perp}(v) = v - \proj_a(v)$\\
 \textbf{Winkel} \quad 	$\cos \phi = \frac{\sprod{a}{b}}{\norm{a} \norm{b}} $ \qquad
 $\phi = \arccos \enbrace{ \frac{\sprod{a}{b} }{\norm{a} \norm{b} } }$
-
-\subsubsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
+\end{minipage}
+\subsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
 $a\times b=\left( \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{matrix}\right)$\qquad $a,b\ \in \mathbb R^3$\\
 \\
 $a\times b \perp a,b$ \qquad (falls $a\times b=0\ \Leftrightarrow\ a,b$\ linear abhängig)\\
@@ -261,7 +233,7 @@ \subsubsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
 $[a,b,c]:=\langle  a\times b, c\rangle=\det (a,b,c)\mathrel{\widehat{=}}$\ Volumen des Spates.\\
 $[a,b,c]>0\ \Leftrightarrow\ a,b,c$\ bilden Rechtssystem \\ $[a,b,c]=0\ \Leftrightarrow\ \{a,b,c\}$\ linear abhängig
 
-\subsection{Vektorräume (VR)}
+\section{Vektorräume (VR)}
 % --------------------------------------------------------------
 Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt $K$-Vektorraum über dem Körper $\mathbb K$. \\
 \textbf{Bedingung $(u,v,w\in V \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R})$}
@@ -276,14 +248,15 @@ \subsection{Vektorräume (VR)}
 \item $(\lambda \mu)v = \lambda(\mu v)$
 \item $1v=v$
 \end{enumerate}\itemsep0pt
-\subsubsection{Untervektorraum (UVR) $U\subset V (u,v\in U \quad \lambda\in\mathbb{R})$}
+\subsection{Untervektorraum (UVR)}
+$U\subset V (u,v\in U \quad \lambda\in\mathbb{R})$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item $U\ne \emptyset \qquad (0\in U)$
 \item $u+v\in U$
 \item $\lambda u \in U$
 \end{enumerate}
 
-\subsubsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
+\subsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
 \label{sub:basis}
  Eine Teilmenge $B\subset V$ heißt Basis von $V$, wenn gilt:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -291,12 +264,12 @@ \subsubsection{Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)} % (fold)
 	\item $B$ ist linear unabhängig
 \end{itemize}    
 
-\subsubsection{Dimension}
+\subsection{Dimension}
 $n=\dim(V)=\abs{B} = $ Mächtigkeit von $B$\\
 Mehr als $n$ Vektoren aus $V$ sind stets linear abhängig. \\
 Für jeden UVR $U \subset V$ gilt: $\dim (U) \le \dim (V)$ 
 
-\subsubsection{Linearkombination}
+\subsection{Linearkombination}
 Jeder Vektor $v\in\mathbb{K}^n$ kann als Linearkombination einer Basis $B=\{b_1, \dots, b_n\} \subset \mathbb{K}^n$ dargestellt werden
 \begin{equation*}
 v=\lambda_1 b_1 + \dots + \lambda_n b_n \Rightarrow \text{Gauß} \ \Big(b_1 \ b_2 \ b_3 \ |\ v\ \Big)
@@ -305,7 +278,7 @@ \subsubsection{Linearkombination}
 Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus: \\
 $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0$ folgt, dass $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$
 
-\subsubsection{Orthogonalität}
+\subsection{Orthogonalität}
 $B\subset V$ heißt
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item \textbf{Orthogonalsystem}, wenn $\forall v,w\in B: v\perp w$
@@ -315,7 +288,7 @@ \subsubsection{Orthogonalität}
 \end{itemize}
 Eine \textbf{quadratische Matrix $A$ heißt orthogonal}, wenn $A^\top A = \mathbb{I}_n$
 \begin{tabular}{p{0.45\linewidth}p{0.45\linewidth}}
-\begin{itemize}
+\begin{itemize}\itemsep6pt
 \item $A^{-1}=A^\top $
 \item $\det{A}=\pm1$
 \item Spalten bilden ONB
@@ -366,7 +339,7 @@ \subsubsection{Orthogonalität}
 \item $\proj_U(v)=\lambda_1 b_1 +\dots +\lambda_r b_r$
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Norm}
+\section{Norm}
 \textbf{Norm von Vektoren}
 $\norm{a}=\sqrt{\sprod{a}{a}} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}$\\
 $\forall v, w \in \mathbb{R}^n$:
@@ -375,7 +348,8 @@ \subsection{Norm}
 \item $\norm{v+w}\le \norm{v} + \norm{w}$
 \end{enumerate}
 
-\subsection{Lineare Abbildungen}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+\section{Lineare Abbildungen}
 Abbildung $f:V\rightarrow W$ ist linear, wenn
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item $f(0)=0$
@@ -386,7 +360,8 @@ \subsection{Lineare Abbildungen}
 \textbf{Injektiv}, wenn aus $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$\\
 \textbf{Surjektiv}: $\forall y\in W \ \exists x\in V:f(x)=y$\\ \quad (Alle Werte aus $W$ werden angenommen.)\\
 \textbf{Bijektiv}(Eineindeutig): $f$ ist injektiv und surjektiv $\Rightarrow$ $f$ umkehrbar.
-\subsubsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
+\end{minipage}
+\subsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
 Gegeben: Vektorraum $V \in\mathbb{R}^n$, $v \in V$.\\
 Gesucht: $[v]_B$ (Koordinaten von $v$ bezüglich der Basis $B$).
 \begin{enumerate}
@@ -394,7 +369,7 @@ \subsubsection{Koordinatenvektor bezüglich einer Basis $B$}
 	\item Löse das LGS $Bx = v$.
 	\item $[v]_B = x$.
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
+\subsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 Lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ \\
 Abbildungsmatrix spaltenweise:
 $[f] = \begin{pmatrix}f(e_1) & \dots & f(e_n)
@@ -430,17 +405,18 @@ \subsubsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 \item $f$ bijektiv, wenn $[f]$ invertierbar
 \item $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow f$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist surjektiv
 \end{itemize}
-\subsubsection{Transformationsmatrix}
+\subsection{Transformationsmatrix}
 Transformationsmatrix der Koordinaten von $B$ zu $C$: $_CT_B$\\
 \textbf{Regeln und Berechnung:}
-\begin{itemize}
+\begin{itemize}\itemsep2pt
 	\item $_{\mathbb{I}_n}T_B = T_B$: Vektoren der Basis $B$
 	\item $_CT_B = {_CT} \cdot T_B$
 	\item $(_CT_B)^{-1} = {_BT_C}$
 	\item $[v]_C = {_CT_B}\cdot[v]_B$
 	\item $C=B\cdot {_CT_B}$
 \end{itemize}
-\subsection{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+\section{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
 Gegeben: Quadratische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
 Gilt $Av = \lambda v$ mit $v\ne 0$, so nennt man
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -465,7 +441,8 @@ \subsection{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
 \item Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte und ist diagonalisierbar.
 \item Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte: $\det(A)=\lambda_1\dots\lambda_n$
 \end{itemize}
-\subsubsection{Rezept: Diagonalisieren}
+\end{minipage}
+\subsection{Rezept: Diagonalisieren}
 Gegeben: $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item Bestimme das charakteristische Polynom von $A$
@@ -496,45 +473,60 @@ \subsubsection{Rezept: Diagonalisieren}
 D=B^{-1}AB \ \Leftrightarrow \ A=BDB^{-1}
 \end{equation*}
 \end{enumerate}
-\subsection{QR-Zerlegung}
-$A = QR$, wobei $Q$ orthogonal und R oben dreieckig.\\
+\subsection{Orthogonale Diagonalisierbarkeit}
+Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist orthogonal diagonalisierbar.
+\begin{equation*}
+D=Q^{T}AQ \ \Leftrightarrow \ A=QDQ^{T}
+\end{equation*}
+\textbf{Vorgehen}
+\begin{itemize}
+\item Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmten
+\item Eigenvektoren zum selben Eigenwert orthonormalisieren (Gram-Schmidt)
+\item Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind bereits orthogonal (ggf. noch normieren)
+\item $Q=(b_1 \ \dots b_n)$ setzt sich aus den orthonormalen EV zusammen. \\
+$D=\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte.
+\end{itemize}
+\section{QR-Zerlegung}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+$A = QR$, wobei $Q$ orthonormale Spalten hat und $R$ oben dreieckig ist.\\
 \textbf{Vorgehen}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
  \item $Q$ berechnen durch Gram-Schmidt mit den Spalten von $A$, \textbf{beginnend bei der ersten}
  \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich aus den Gram-Schmidt Gleichungen wie folgt: $r_{i,i}=||c_i||^2$ und $r_{i,j}=\frac{\langle v_j,c_i \rangle}{r_{i,i}}$
  \item Alternativ gilt: $R = Q^TA$
 \end{itemize}
-\subsection{Kleinstes-Quadrate-Problem}
+\end{minipage}
+\section{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 Für $Ax = b$ lautet die
 \textbf{Normalengleichung}
 $A^TAx^* = A^Tb$\\
 \\
 \textbf{Lösen} durch Gauß oder Umstellen: $x^* = (A^TA)^{-1}A^Tb$\\
 Für  $A=QR$ lautet die Lösung $x^* = R^{-1}Q^Tb$\\
-$\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (existiert immer).
-\subsubsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
+$\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (gibt es immer).
+\subsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
 Gegeben: mehrere Punkte ($x_i, y_i$) im Koordinatensystem\\
 Gesucht: Koeffizienten $\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c}$ für $f(x)=\mathtt{a}\cdot x^2+\mathtt{b}\cdot x+\mathtt{c}\cdot 1=y$\\
-\textbf{Vorgehen:}
+\textbf{Vorgehen}
 \begin{enumerate}
 \item $b = (y_1, y_2, \dots)^\top$ \qquad $A = \begin{pmatrix}
 x_1^2 & x_1 & 1 \\[3pt]
 x_2^2 & x_2 & 1 \\[3pt]
 \vdots & \vdots & \vdots
 \end{pmatrix}$ \\
-\textit{Für eine lineare Funktion erste Spalte von $A$ streichen}
+\textit{Falls Ausgleichsgerade gesucht: erste Spalte von $A$ streichen}
 \item Lösungsvektor $x^*$ mithilfe von $A$ und $b$ berechnen
 \item $x^*=(\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c})^\top \rightarrow \ f(x)=\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}x+\mathtt{c}$
 \end{enumerate}
 %\textbf{Lineare Funktion $(bx+c)$:} erste Spalte von $A$ streichen. $x^*=(\mathtt{b}, \mathtt{c})^\top$
-\subsection{Singulärwertzerlegung}
+\section{Singulärwertzerlegung}
 Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $V$, $\Sigma$ und $W$ geschrieben
 \begin{equation*}
 A=V\Sigma W^\top
 \end{equation*}
 mit $V\in \mathbb{R}^{m\times m}$, $\Sigma\in \mathbb{R}^{m\times n}$ und $W\in \mathbb{R}^{n\times n}$.\\
 $V$ und $W$ sind orthogonal, $\Sigma$ ist eine Diagonalmatrix.
-\subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
+\subsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 Gegeben: $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
 \item Bestimme alle Eigenwerte $\lambda_j$ und Eigenvektoren $w_j$ der Matrix $A^\top A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ und ordne sie \\ $\lambda_1\ge\lambda_2\ge \dots \ge \lambda_r>\lambda_{r+1}=\dots=\lambda_n=0$ mit $r\le n$
@@ -568,18 +560,20 @@ \subsubsection{Rezept: Singulärwertzerlegung}
 orthogonal.
 \item $A=V\Sigma W^\top$
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Kompression}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+\subsection{Kompression}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
-\item Rang k Matrix $A_{(k)}=V\Sigma_{(k)}W^\top$. Die Matrix $\Sigma_{(k)}$ enthält nur die Singulärwerte $\sigma_1, ...,\sigma_k$. ($\sigma_{k+1}, ...,\sigma_{n/m}$ mit 0 ersetzen).\\
+\item Rang k Matrix $A_{(k)}=V\Sigma_{(k)}W^\top$. Die Matrix $\Sigma_{(k)}$ enthält nur die Singulärwerte $\sigma_1, ...,\sigma_k$.\qquad ($\sigma_{k+1}, ...,\sigma_{n/m}$ mit 0 ersetzen).\\
 \item Frobenius-Norm $|| A ||_F = \sqrt[]{\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} {a^{2}_{i,j}}}$\\
 \item Es gilt: $|| A-A_{(k)} ||_F \leq || A-B ||_F$ mit $B$ als eine beliebige Matrix des $\mathbb{R}^{m\times n}$ mit $rang(B) \leq rang(A_{(k)}) = k$
 \item Speicheraufwand einer Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$: $rang(A) \cdot (m+n)$
 \end{itemize}
-\subsection{Lineare Differentialgleichungen und Rekursive Folgen}
-\subsubsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
+\end{minipage}
+\section{Lineare Differentialgleichungen \& Rekursive Folgen}
+\subsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
 Gegeben: $y'(t) = \lambda y(t)$, mit $y(0) = c$\\
 Lösung: $y(t) = ce^{\lambda t}$ mit $c \in \mathbb R$\\
-\subsubsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
+\subsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
 Gegeben: $y'(t) = Ay$, mit $y_1(0) , ..., y_n(0)$\\ 
 Wobei $A \in \mathbb R^{nxn}, y_1(0) , ..., y_n(0) \in \mathbb R, y,y'\in\mathbb R^n$.\\
 Lösung:\\
@@ -593,7 +587,7 @@ \subsubsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
 	= c_1e^{\lambda_1t}v_1+...+c_ne^{\lambda_nt}v_n$.
 	\item Anfangswerte einsetzen und Werte für $c_1$, bis $c_n$ bestimmen.
 \end{enumerate}
-\subsubsection{Rekursive Folgen}
+\subsection{Rekursive Folgen}
 Gegeben: $x_{n+1} = {\alpha} x_n + {\beta} x_{n-1}$, Anfangswerte: $x_0$, $x_1$\\
 Lösung:\\
 \begin{enumerate}
@@ -627,8 +621,8 @@ \subsubsection{Rekursive Folgen}
 	x_{0}\end{pmatrix}
 	\end{equation*}
 \end{enumerate}
-\subsection{Definitheit und Quadratische Funktionen}
-\subsubsection{Definitheit}
+\section{Definitheit und Quadratische Funktionen}
+\subsection{Definitheit}
 Eine symmetrische Matrix $A \in\mathbb R^{n\times n}$ mit den Eigenwerten (EW) $\lambda_1, ..., \lambda_n$ heißt:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item positiv definit: EW positiv $<=> v^{\top}Av> 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n\backslash \{0\}$
@@ -636,7 +630,7 @@ \subsubsection{Definitheit}
 \item positiv semidefinit: EW $\geq 0 <=> v^{\top}Av\geq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
 \item negativ semidefinit: EW $\leq 0 <=> v^{\top}Av\leq 0,\quad\forall v \in\mathbb R^n$
 \end{itemize}
-\subsubsection{Quadratische Funktionen}
+\subsection{Quadratische Funktionen}
 \textbf{Form:} $f(x)=x^{\top}Ax+b^{\top}x+c = \langle x,Ax \rangle + \langle b,x \rangle + c$\\
 Berechnen von Extrempunkten:
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -645,7 +639,6 @@ \subsubsection{Quadratische Funktionen}
 \item positiv/negativ semidefinit: Existenz von Extremum hängt von Lösbarkeit des LGS $2Ax=-b$ ab. (nicht eindeutig!)
 \end{itemize}
 
-\end{multicols*}
 % Ende der Spalten
 
 
diff --git a/scripts/__init__.py b/scripts/__init__.py
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
diff --git a/scripts/requirements.txt b/scripts/requirements.txt
new file mode 100644
index 0000000..fe79a98
--- /dev/null
+++ b/scripts/requirements.txt
@@ -0,0 +1,2 @@
+pyfakefs==5.3.5
+pytest==8.1.1
diff --git a/scripts/tests/__init__.py b/scripts/tests/__init__.py
new file mode 100644
index 0000000..e69de29
diff --git a/scripts/tests/test_update_files.py b/scripts/tests/test_update_files.py
new file mode 100644
index 0000000..efbc556
--- /dev/null
+++ b/scripts/tests/test_update_files.py
@@ -0,0 +1,75 @@
+import pytest
+from scripts.update_files import check_tex_file_exists, update_readme_content, update_cmake_content
+from pathlib import Path
+import os
+
+@pytest.fixture
+def fake_base_path(fs):
+    """Fixture to create a base path and mock environment variable."""
+    base_path = Path("/test/project")
+    fs.create_dir(base_path)
+    os.environ['GITHUB_REPOSITORY'] = 'user/correct_title'
+    return base_path
+
+def test_check_tex_file_exists__file_does_not_exist__should_raise(fake_base_path, fs):
+    repo_name = "correct_title"
+    fs.create_file(fake_base_path / f"{repo_name}.tex")
+    check_tex_file_exists(repo_name, fake_base_path)
+    
+    with pytest.raises(FileNotFoundError):
+        check_tex_file_exists("nonexistent_repo", Path(fake_base_path))
+
+def test_update_readme_content(fake_base_path, fs):
+    initial_readme_content = """
+    # WrongTitle
+    Some content in the README file.
+    [![Actions Status](https://github.com/latex4ei/WrongCheatsheetTemplate/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/latex4ei/WrongCheatsheetTemplate)
+    ## Section
+    More details here.
+    """.strip()
+    fs.create_file(fake_base_path / "README.md", contents=initial_readme_content)
+    repo_name = "correct_title"
+    github_repository = 'user/correct_title'
+    
+    updated_content = update_readme_content(initial_readme_content, repo_name, github_repository)
+    
+    expected_content = """
+    # correct_title
+    Some content in the README file.
+    [![Actions Status](https://github.com/user/correct_title/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/user/correct_title)
+    ## Section
+    More details here.
+    """.strip()
+    assert updated_content == expected_content, "README.md content was not updated correctly."
+
+def test_update_cmake_content(fake_base_path, fs):
+    initial_cmake_content = """
+    cmake_minimum_required(VERSION 3.12)
+    project(WrongProjectName NONE)
+    # Add the main LaTeX document
+    add_latex_document(
+        CheatsheetTemplate.tex
+        AnotherDoc.tex
+        FORCE_PDF
+        IMAGE_DIRS img
+        DEPENDS writegitid
+    )
+    """.strip()
+    fs.create_file(fake_base_path / "CMakeLists.txt", contents=initial_cmake_content)
+    repo_name = "correct_title"
+
+    updated_content = update_cmake_content(initial_cmake_content, repo_name)
+    
+    expected_content = """
+    cmake_minimum_required(VERSION 3.12)
+    project(correct_title NONE)
+    # Add the main LaTeX document
+    add_latex_document(
+        correct_title.tex
+        AnotherDoc.tex
+        FORCE_PDF
+        IMAGE_DIRS img
+        DEPENDS writegitid
+    )
+    """.strip()
+    assert updated_content == expected_content, "CMakeLists.txt content was not updated correctly."
diff --git a/scripts/update_files.py b/scripts/update_files.py
new file mode 100644
index 0000000..ab0c3e1
--- /dev/null
+++ b/scripts/update_files.py
@@ -0,0 +1,42 @@
+from pathlib import Path
+import re
+import os
+import sys
+
+def check_tex_file_exists(repo_name: str, base_path: Path):
+    """Check if a .tex file with the same name as the repository exists."""
+    tex_file_path = base_path / f"{repo_name}.tex"
+    if not tex_file_path.exists():
+        msg = f"No .tex file found with the name {tex_file_path.name}. File name must match repo name."
+        raise FileNotFoundError(msg)
+
+def update_readme_content(content: str, repo_name: str, github_repository: str) -> str:
+    """Updates the README.md content."""
+    content = re.sub(r'^# .+', f'# {repo_name}', content, count=1, flags=re.MULTILINE)
+    actions_status_line = f'[![Actions Status](https://github.com/{github_repository}/workflows/CI/badge.svg)](https://github.com/{github_repository})'
+    return re.sub(r'\[!\[Actions Status\].*', actions_status_line, content)
+
+def update_cmake_content(content: str, repo_name: str) -> str:
+    """Updates the CMakeLists.txt content."""
+    content = re.sub(r'project\(([^ ]*)', f'project({repo_name}', content, count=1)
+    return re.sub(r'^( *)[^\s#].*?\.tex', r'\1' + f'{repo_name}.tex', content, flags=re.MULTILINE, count=1)
+
+def main(github_repository: str):
+    repo_name = Path(github_repository).name
+    base_path = Path(__file__).parent.parent
+
+    check_tex_file_exists(repo_name, base_path)
+    
+    readme_path = base_path / 'README.md'
+    cmake_path = base_path / 'CMakeLists.txt'
+    
+    readme_content = readme_path.read_text()
+    updated_readme_content = update_readme_content(readme_content, repo_name, github_repository)
+    readme_path.write_text(updated_readme_content)
+    
+    cmake_content = cmake_path.read_text()
+    updated_cmake_content = update_cmake_content(cmake_content, repo_name)
+    cmake_path.write_text(updated_cmake_content)
+
+if __name__ == "__main__":
+    main(os.getenv('GITHUB_REPOSITORY'))
diff --git a/write-gitid.sh b/write-gitid.sh
index 85d217d..b441cae 100755
--- a/write-gitid.sh
+++ b/write-gitid.sh
@@ -11,4 +11,13 @@ fi
 
 GITREV=$(git rev-list HEAD --count)
 echo "\\def\\GitRevision{$GITREV}"> git.id
-git show -s --format=%ci | xargs -I var_d $DATEBIN -d "var_d" +\\def\\GitNiceDate{%-d.\ %B\ %Y\ um\ %H:%M\ Uhr} >> git.id
+git show -s --format=%ci | xargs -I var_d $DATEBIN -d "var_d" +\\def\\GitNiceDate{%-d.\ %B\ %Y} >> git.id
+
+# Get the repository's remote URL
+REPO_URL=$(git remote get-url origin)
+
+# Convert SSH URL to HTTPS URL and append /issues for the issues page
+# This also ensures it works for URLs ending with .git and without
+ISSUES_URL=$(echo $REPO_URL | sed -e 's/^git@github\.com:/https:\/\/github\.com\//' -e 's/\.git$//' -e 's/$/\/issues/')
+
+echo "\\def\\GitIssuesURL{$ISSUES_URL}" >> git.id

From 787fb4c670cf998fa866a79c24b74baaac8d8812 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Thu, 4 Apr 2024 14:01:18 +0200
Subject: [PATCH 06/18] Add Sarrus to 2.8

---
 Lineare-Algebra.tex | 34 +++++++++++++++++++++++++++++++---
 1 file changed, 31 insertions(+), 3 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index d14957c..13c7260 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -13,6 +13,8 @@
 
 % Pakete laden
 \usepackage{setspace}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix, positioning}
   
 % Seitenlayout und Ränder:
 \titlespacing*{\section}{0pt}{2pt}{2pt}
@@ -69,7 +71,7 @@ \section{Allgemeines} % (fold)
 \left| \sprod{x}{y} \right| \le \| x\| \cdot \| y\|
 \end{array}\end{math}\\
 $\mathbb{K}$ steht für $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$\\
-$\mathbb{I}_n$ ist die $nxn$-Einheitsmatrix. \qquad$e_i$ ist der i-te Einheitsvektor.
+$\mathbb{I}_n$ ist die $n\times n$-Einheitsmatrix. \qquad$e_i$ ist der i-te Einheitsvektor.
 \section{Matrizen}
 % ----------------------------------------------------------------------
 Die Matrix $A=(a_{ij}) \in \mathbb K^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen mit Index $i$ und $n$ Spalten mit Index $j$.
@@ -137,6 +139,7 @@ \subsection{Rang einer Matrix}
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
 \end{minipage}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
@@ -154,7 +157,7 @@ \subsection{Matrixpotenzen}
 	0 & \ldots & \lambda_k^n \\
 	\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
-
+\end{minipage}
 \subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das LGS $Ax=b$ kurz $(A|b)$ mit $A\in \mathbb K^{m\times n}$, $x\in \mathbb K^n$, $b\in \mathbb K^m$ hat $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte.\\
 \\
@@ -172,6 +175,29 @@ \subsection{Determinante}
 \item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
 Entwicklung nach $j$-ter Spalte oder $i$-ter Zeile
 %\item $|A|=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $i$-ter Zeile
+\item Determinante einer $3\times 3$-Matrix:
+\[\det(A)=
+\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
+    \matrix (m) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] {
+        a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+        a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+        a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
+    };
+    \matrix (extended) [matrix of math nodes, right=0.05cm of m.east, anchor=west] {
+        a_{11} & a_{12} \\
+        a_{21} & a_{22} \\
+        a_{31} & a_{32} \\
+    };
+    
+    \draw[thin, red] (m-1-1.north west) -- (m-3-3.south east);
+    \draw[thin, red] (m-1-2.north west) -- (extended-3-1.south east);
+    \draw[thin, red] (m-1-3.north west) -- (extended-3-2.south east);
+    \draw[thin, blue] (m-1-3.north east) -- (m-3-1.south west);
+    \draw[thin, blue] (extended-1-1.north east) -- (m-3-2.south west);
+    \draw[thin, blue] (extended-1-2.north east) -- (m-3-3.south west);
+\end{tikzpicture}
+\]
+$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$
 \item $\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
 \item $\begin{vmatrix}\lambda_1&&* \\ &\ddots& \\ 0&&\lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\cdot \ldots\cdot \lambda_n = \begin{vmatrix} \lambda_1&&0  \\  &\ddots& \\  *&&\lambda_n \end{vmatrix}$
 \item $A=B \cdot C \quad \Rightarrow \quad |A|=|B| \cdot |C|$
@@ -340,7 +366,7 @@ \subsection{Orthogonalität}
 \end{enumerate}
 
 \section{Norm}
-\textbf{Norm von Vektoren}
+\textbf{Euklidische Norm von Vektoren}
 $\norm{a}=\sqrt{\sprod{a}{a}} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}$\\
 $\forall v, w \in \mathbb{R}^n$:
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
@@ -405,6 +431,7 @@ \subsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 \item $f$ bijektiv, wenn $[f]$ invertierbar
 \item $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow f$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist surjektiv
 \end{itemize}
+\ \\
 \subsection{Transformationsmatrix}
 Transformationsmatrix der Koordinaten von $B$ zu $C$: $_CT_B$\\
 \textbf{Regeln und Berechnung:}
@@ -587,6 +614,7 @@ \subsection{Lösen eines Systems linearer Differentialgleichungen}
 	= c_1e^{\lambda_1t}v_1+...+c_ne^{\lambda_nt}v_n$.
 	\item Anfangswerte einsetzen und Werte für $c_1$, bis $c_n$ bestimmen.
 \end{enumerate}
+\ \\
 \subsection{Rekursive Folgen}
 Gegeben: $x_{n+1} = {\alpha} x_n + {\beta} x_{n-1}$, Anfangswerte: $x_0$, $x_1$\\
 Lösung:\\

From b7686183290790d2bb21e99619b8a8e9cf08e55d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 5 Apr 2024 14:51:16 +0200
Subject: [PATCH 07/18] add Beweise + formatting

Update Lineare-Algebra.tex
---
 Lineare-Algebra.tex | 81 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++---------
 1 file changed, 66 insertions(+), 15 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 13c7260..0c764f3 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -139,7 +139,7 @@ \subsection{Rang einer Matrix}
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
 \end{minipage}
-\begin{minipage}{\columnwidth}
+%\begin{minipage}{\columnwidth}
 \subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
@@ -157,7 +157,7 @@ \subsection{Matrixpotenzen}
 	0 & \ldots & \lambda_k^n \\
 	\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
-\end{minipage}
+%\end{minipage}
 \subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das LGS $Ax=b$ kurz $(A|b)$ mit $A\in \mathbb K^{m\times n}$, $x\in \mathbb K^n$, $b\in \mathbb K^m$ hat $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte.\\
 \\
@@ -172,12 +172,14 @@ \subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 \subsection{Determinante}
 $A\in \mathbb K^{n\times n}$: $\det(A)=|A|$
 \begin{itemize}\itemsep0pt
-\item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\ 
+\item $|A|=\sum\limits_{i\text{ oder }j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \\
 Entwicklung nach $j$-ter Spalte oder $i$-ter Zeile
 %\item $|A|=\sum\limits_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot |A_{ij}|$ \qquad Entwicklung n. $i$-ter Zeile
+\item Determinante einer $2\times 2$-Matrix: \\
+$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
 \item Determinante einer $3\times 3$-Matrix:
 \[\det(A)=
-\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
+\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5]
     \matrix (m) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] {
         a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
         a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
@@ -213,8 +215,8 @@ \subsection{Determinante}
 \item Zeile/Spalte mit $\lambda$ multiplizieren, $|A|$ um Faktor $\lambda$ größer
 \item Addition des $\lambda$-fachen der Zeile X zur Zeile Y ändert $|A|$ nicht 
 \end{itemize}
-\textbf{Vereinfachung für Spezialfall $A\in \mathbb K^{2\times 2}$}\\
-$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
+%\textbf{Vereinfachung für Spezialfall $A\in \mathbb K^{2\times 2}$}\\
+%$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
 \subsection{Hauptsatz invertierbarer quadratischer Matrizen}
 \begin{tabular}{ll}
 	1)  $A$ ist invertierbar & 2) $\dim(\col(A))=\dim(\row(A))=n$\\
@@ -262,18 +264,26 @@ \subsection{Kreuzprodukt (Vektorprodukt)}
 \section{Vektorräume (VR)}
 % --------------------------------------------------------------
 Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ heißt $K$-Vektorraum über dem Körper $\mathbb K$. \\
-\textbf{Bedingung $(u,v,w\in V \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R})$}
-\begin{enumerate}\itemsep0pt
+\textbf{Bedingung $(u,v,w\in V \quad \lambda,\mu \in \mathbb{R})$}\\ \\
+\begin{tabular}{ll}
+\begin{minipage}{.5\columnwidth}
+\begin{itemize}\itemsep0pt
 \item $v+w\in V$ \qquad $\lambda v \in V$
 \item $u+(v+w)=(u+v)+w$
 \item $0\in V: v+0=v$
 \item $v'\in V: v+v'=0$
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+&
+\begin{minipage}{.5\columnwidth}
+\begin{itemize}\itemsep0pt
 \item $v+w=w+v$
 \item $\lambda(v+w)=\lambda v + \lambda w$
 \item $(\lambda + \mu)v=\lambda v +\mu v $
 \item $(\lambda \mu)v = \lambda(\mu v)$
-\item $1v=v$
-\end{enumerate}\itemsep0pt
+\end{itemize}\itemsep0pt
+\end{minipage}
+\end{tabular}
 \subsection{Untervektorraum (UVR)}
 $U\subset V (u,v\in U \quad \lambda\in\mathbb{R})$
 \begin{enumerate}\itemsep0pt
@@ -368,11 +378,9 @@ \subsection{Orthogonalität}
 \section{Norm}
 \textbf{Euklidische Norm von Vektoren}
 $\norm{a}=\sqrt{\sprod{a}{a}} =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}$\\
-$\forall v, w \in \mathbb{R}^n$:
-\begin{enumerate}\itemsep0pt
-\item $\norm{\lambda v}=\abs{\lambda}\norm v$
-\item $\norm{v+w}\le \norm{v} + \norm{w}$
-\end{enumerate}
+$\forall v, w \in \mathbb{R}^n$:\\
+1. $\norm{\lambda v}=\abs{\lambda}\norm v$
+\qquad 2. $\norm{v+w}\le \norm{v} + \norm{w}$
 
 \begin{minipage}{\columnwidth}
 \section{Lineare Abbildungen}
@@ -667,6 +675,49 @@ \subsection{Quadratische Funktionen}
 \item positiv/negativ semidefinit: Existenz von Extremum hängt von Lösbarkeit des LGS $2Ax=-b$ ab. (nicht eindeutig!)
 \end{itemize}
 
+\begin{minipage}{\columnwidth}
+\section{Wichtige Zusammenhänge}
+\subsection{Rang}
+\begin{itemize}
+	\item $\rang(A)<n \rightarrow$ Es gibt freie Variablen
+	\item $rang(A)=dim(col(A))=dim(row(A))$
+	\item $rang(A)=rang(A^\top)$
+	\item $rang(A)+dim(kern(A))=n$
+	\item $rang(AB)\leq rang(A) \leq n$
+\end{itemize}
+\end{minipage}
+\subsection{Kern}
+\begin{itemize}
+	\item $kern(A)=\{x\in \mathbb{R}^n: Ax=0\}$
+	\item $kern(A)=kern(A^\top A)$
+	\item $kern(A^\top) = kern(AA^\top )$
+	\item $dim(kern(A))=\text{\#freie Variablen}$
+\end{itemize}
+\subsection{Zeilen-/Spaltenraum}
+\begin{itemize}
+	\item $col(A)\neq col(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
+	\item $row(A)=row(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
+	\item $col(A)=row(A^\top)$
+	\item $col(AB)\subset col(A)$
+	\item $row(AB)\subset row(B)$
+\end{itemize}
+\subsection{Orthogonalität und Komplement}
+\begin{itemize}
+	\item $(col(A))^\perp=(row(A^\top ))^\perp$
+	\item $(row(A))^\perp = kern(A)$
+	\item $(col(A))^\perp = kern(A^\top)$
+	\item $row(A) \perp kern(A)$
+	\item $col(A) \perp kern(A^\top)$
+	\item $U_1 \subset U_2 \Rightarrow U_1^\perp \supset U_2^\perp$
+	\item $U_1=U_2^\perp \Leftrightarrow U_1^\perp =U_2$
+	\item $dim(U) + dim(U^\perp )=n$
+\end{itemize}
+\subsection{Frobenius-Norm}
+\begin{itemize}
+	\item $\norm{A}_F^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots \sigma_n^2$
+	\item $\norm{A-A_{(k)}}_F^2=\sigma_{k+1}^2+\dots \sigma_n^2$
+\end{itemize}
+
 % Ende der Spalten
 
 

From c331aa17f4c977de3c07f1fcc23686e1a55a02db Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 5 Apr 2024 15:03:10 +0200
Subject: [PATCH 08/18] fix typo

---
 Lineare-Algebra.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 0c764f3..24e7ffd 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -178,7 +178,7 @@ \subsection{Determinante}
 \item Determinante einer $2\times 2$-Matrix: \\
 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
 \item Determinante einer $3\times 3$-Matrix:
-\[\det(A)=
+\[\det(A)=\det
 \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5]
     \matrix (m) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] {
         a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

From b8411da5896528bd8cf6b5db7eba02ee33f2aec2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 21 Jun 2024 23:15:36 +0200
Subject: [PATCH 09/18] add pca

Update Lineare-Algebra.tex
---
 Lineare-Algebra.tex | 19 +++++++++++++++++--
 1 file changed, 17 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 24e7ffd..d2c718d 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -5,10 +5,10 @@
 % ======================================================================	
 
 % Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
-\documentclass[ngerman, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
+\documentclass[german, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
 \title{Lineare Algebra}
 \author{Lukas Kompatscher}
-\myemail{lukas.kompatscher@tum.de}
+\myemail{info@latex4ei.de}
 \mywebsite{www.latex4ei.de}
 
 % Pakete laden
@@ -604,6 +604,21 @@ \subsection{Kompression}
 \item Speicheraufwand einer Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$: $rang(A) \cdot (m+n)$
 \end{itemize}
 \end{minipage}
+\subsection{Exkurs: Hauptkomponentenanalyse (PCA)}
+Gegeben: Matrix $W$ der Eigenvektoren von $\mathbf{A\cdot A^\top}$\\
+Gesucht: Projektionen der Spalten von $A$ auf den Unterraum $U_{(k)}$ als Koordinaten bzgl. der ONB der Eigenvektoren von $AA^\top$\\
+Vorgehen: 
+\begin{enumerate}
+	\item Normiere $w^1, \dots , w^k$
+	\item $\overline{w}=(w^1 \dots w^k)\in \mathbb{R}^{m\times k}$
+	\item Die Koordinatenvektoren $y^1, \dots , y^k \in \mathbb{R}^{k}$ die Vektoren $x^1,\dots , x^n$ bzgl. der Basis $\{w^1, \dots , w^k\}$ von $U_{(k)}$ ausdrücken, sind die Spalten von \begin{equation*}\overline{w}^\top A=\begin{pmatrix}
+	(w^{1})^{\top} \\
+	\vdots \\
+	(w^{k})^{\top}
+	\end{pmatrix}
+	\cdot A
+	\end{equation*}
+\end{enumerate}
 \section{Lineare Differentialgleichungen \& Rekursive Folgen}
 \subsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
 Gegeben: $y'(t) = \lambda y(t)$, mit $y(0) = c$\\

From a4c2ddfd46a57a67700d04d753c8dc8cf9371ea4 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 20 Aug 2024 16:02:59 +0200
Subject: [PATCH 10/18] Update Lineare-Algebra.tex

---
 Lineare-Algebra.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index d2c718d..d23e215 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 % Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
 \documentclass[german, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
 \title{Lineare Algebra}
-\author{Lukas Kompatscher}
+\author{LaTeX4Ei}
 \myemail{info@latex4ei.de}
 \mywebsite{www.latex4ei.de}
 

From 69daef93a9027d006f035a3bdfd3b3391228a3e1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Tue, 20 Aug 2024 19:51:53 +0200
Subject: [PATCH 11/18] A few changes

---
 Lineare-Algebra.tex | 65 +++++++++++++++++++++++++--------------------
 1 file changed, 36 insertions(+), 29 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index d23e215..37cd3f7 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -44,6 +44,10 @@
 \DeclareMathOperator{\Kern}{kern}
 \DeclareMathOperator{\proj}{proj}
 
+%Custom font
+\usepackage{lmodern}
+\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
+
 % Dokumentbeginn
 % ======================================================================
 \begin{document}
@@ -139,7 +143,7 @@ \subsection{Rang einer Matrix}
 Spaltenraum $\col(A)$: Erzeugnis der Spalten, $\text{Basis}(\col(A)) = \{\text{ N0-Spalten }\}$ \\
 Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten 
 \end{minipage}
-%\begin{minipage}{\columnwidth}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
 Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
@@ -157,7 +161,7 @@ \subsection{Matrixpotenzen}
 	0 & \ldots & \lambda_k^n \\
 	\end{pmatrix}$.
 \end{itemize}
-%\end{minipage}
+\end{minipage}
 \subsection{Lineares Gleichungssystem LGS}
 Das LGS $Ax=b$ kurz $(A|b)$ mit $A\in \mathbb K^{m\times n}$, $x\in \mathbb K^n$, $b\in \mathbb K^m$ hat $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannte.\\
 \\
@@ -439,7 +443,7 @@ \subsection{Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix)}
 \item $f$ bijektiv, wenn $[f]$ invertierbar
 \item $f$ ist bijektiv $\Leftrightarrow f$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist surjektiv
 \end{itemize}
-\ \\
+
 \subsection{Transformationsmatrix}
 Transformationsmatrix der Koordinaten von $B$ zu $C$: $_CT_B$\\
 \textbf{Regeln und Berechnung:}
@@ -462,8 +466,10 @@ \section{Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
 \item $\text{Eig}_A(\lambda) = \{v \in \mathbb{R}^n | Av = \lambda v\}$ den Eigenraum von A zum Eigenwert $\lambda$ und
 \item $\dim({\text{Eig}_A(\lambda))}$ die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts $\lambda$
-\item $\text{geo}(\lambda) = \dim(\text{Eig}_A(\lambda))$
+\item $\text{geo}(\lambda) = \dim(\text{Eig}_A(\lambda))$ \\
 \end{itemize}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \textbf{Diagonalisieren von Matrizen}\\
 $A$ ist diag.bar falls eine invertierbar Matrix $B$ existiert, sodass
 \begin{equation*}
@@ -521,8 +527,8 @@ \subsection{Orthogonale Diagonalisierbarkeit}
 \item $Q=(b_1 \ \dots b_n)$ setzt sich aus den orthonormalen EV zusammen. \\
 $D=\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte.
 \end{itemize}
+
 \section{QR-Zerlegung}
-\begin{minipage}{\columnwidth}
 $A = QR$, wobei $Q$ orthonormale Spalten hat und $R$ oben dreieckig ist.\\
 \textbf{Vorgehen}
 \begin{itemize}\itemsep0pt
@@ -530,7 +536,6 @@ \section{QR-Zerlegung}
  \item Die Koeffizienten von $R$ ergeben sich aus den Gram-Schmidt Gleichungen wie folgt: $r_{i,i}=||c_i||^2$ und $r_{i,j}=\frac{\langle v_j,c_i \rangle}{r_{i,i}}$
  \item Alternativ gilt: $R = Q^TA$
 \end{itemize}
-\end{minipage}
 \section{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 Für $Ax = b$ lautet die
 \textbf{Normalengleichung}
@@ -539,6 +544,7 @@ \section{Kleinstes-Quadrate-Problem}
 \textbf{Lösen} durch Gauß oder Umstellen: $x^* = (A^TA)^{-1}A^Tb$\\
 Für  $A=QR$ lautet die Lösung $x^* = R^{-1}Q^Tb$\\
 $\Rightarrow$ optimale Lösung mit minimalem quadratischen Fehler (gibt es immer).
+\begin{minipage}{\columnwidth}
 \subsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
 Gegeben: mehrere Punkte ($x_i, y_i$) im Koordinatensystem\\
 Gesucht: Koeffizienten $\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c}$ für $f(x)=\mathtt{a}\cdot x^2+\mathtt{b}\cdot x+\mathtt{c}\cdot 1=y$\\
@@ -553,6 +559,7 @@ \subsection{Rezept: Quadratische Funktion finden}
 \item Lösungsvektor $x^*$ mithilfe von $A$ und $b$ berechnen
 \item $x^*=(\mathtt{a}, \mathtt{b}, \mathtt{c})^\top \rightarrow \ f(x)=\mathtt{a}x^2+\mathtt{b}x+\mathtt{c}$
 \end{enumerate}
+\end{minipage}
 %\textbf{Lineare Funktion $(bx+c)$:} erste Spalte von $A$ streichen. $x^*=(\mathtt{b}, \mathtt{c})^\top$
 \section{Singulärwertzerlegung}
 Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix $A\in \mathbb{R}^{m\times n}$ als Produkt dreier Matrizen $V$, $\Sigma$ und $W$ geschrieben
@@ -611,13 +618,13 @@ \subsection{Exkurs: Hauptkomponentenanalyse (PCA)}
 \begin{enumerate}
 	\item Normiere $w^1, \dots , w^k$
 	\item $\overline{w}=(w^1 \dots w^k)\in \mathbb{R}^{m\times k}$
-	\item Die Koordinatenvektoren $y^1, \dots , y^k \in \mathbb{R}^{k}$ die Vektoren $x^1,\dots , x^n$ bzgl. der Basis $\{w^1, \dots , w^k\}$ von $U_{(k)}$ ausdrücken, sind die Spalten von \begin{equation*}\overline{w}^\top A=\begin{pmatrix}
+	\item Die Koordinatenvektoren $y^1, \dots , y^k \in \mathbb{R}^{k}$ die Vektoren $x^1,\dots , x^n$ bzgl. der Basis $\{w^1, \dots , w^k\}$ von $U_{(k)}$ ausdrücken, sind die Spalten von\\
+	$\overline{w}^\top A=\begin{pmatrix}
 	(w^{1})^{\top} \\
 	\vdots \\
 	(w^{k})^{\top}
 	\end{pmatrix}
-	\cdot A
-	\end{equation*}
+	\cdot A$
 \end{enumerate}
 \section{Lineare Differentialgleichungen \& Rekursive Folgen}
 \subsection{Lösen einer linearen Differentialgleichung}
@@ -691,41 +698,41 @@ \subsection{Quadratische Funktionen}
 \end{itemize}
 
 \begin{minipage}{\columnwidth}
-\section{Wichtige Zusammenhänge}
+\section{Wichtige Zusammenhänge zur Beweisführung}
 \subsection{Rang}
 \begin{itemize}
 	\item $\rang(A)<n \rightarrow$ Es gibt freie Variablen
-	\item $rang(A)=dim(col(A))=dim(row(A))$
-	\item $rang(A)=rang(A^\top)$
-	\item $rang(A)+dim(kern(A))=n$
-	\item $rang(AB)\leq rang(A) \leq n$
+	\item $\rang(A)=\dim(\col(A))=\dim(\row(A))$
+	\item $\rang(A)=\rang(A^\top)$
+	\item $\rang(A)+\dim(\Kern(A))=n$
+	\item $\rang(AB)\leq \rang(A) \leq n$
 \end{itemize}
 \end{minipage}
 \subsection{Kern}
 \begin{itemize}
-	\item $kern(A)=\{x\in \mathbb{R}^n: Ax=0\}$
-	\item $kern(A)=kern(A^\top A)$
-	\item $kern(A^\top) = kern(AA^\top )$
-	\item $dim(kern(A))=\text{\#freie Variablen}$
+	\item $\Kern(A)=\{x\in \mathbb{R}^n: Ax=0\}$
+	\item $\Kern(A)=\Kern(A^\top A)$
+	\item $\Kern(A^\top) = \Kern(AA^\top )$
+	\item $\dim(\Kern(A))=\text{\#freie Variablen}$
 \end{itemize}
 \subsection{Zeilen-/Spaltenraum}
 \begin{itemize}
-	\item $col(A)\neq col(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
-	\item $row(A)=row(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
-	\item $col(A)=row(A^\top)$
-	\item $col(AB)\subset col(A)$
-	\item $row(AB)\subset row(B)$
+	\item $\col(A)\neq \col(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
+	\item $\row(A)=\row(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
+	\item $\col(A)=\row(A^\top)$
+	\item $\col(AB)\subset \col(A)$
+	\item $\row(AB)\subset \row(B)$
 \end{itemize}
 \subsection{Orthogonalität und Komplement}
 \begin{itemize}
-	\item $(col(A))^\perp=(row(A^\top ))^\perp$
-	\item $(row(A))^\perp = kern(A)$
-	\item $(col(A))^\perp = kern(A^\top)$
-	\item $row(A) \perp kern(A)$
-	\item $col(A) \perp kern(A^\top)$
+	\item $(\col(A))^\perp=(\row(A^\top ))^\perp$
+	\item $(\row(A))^\perp = \Kern(A)$
+	\item $(\col(A))^\perp = \Kern(A^\top)$
+	\item $\row(A) \perp \Kern(A)$
+	\item $\col(A) \perp \Kern(A^\top)$
 	\item $U_1 \subset U_2 \Rightarrow U_1^\perp \supset U_2^\perp$
 	\item $U_1=U_2^\perp \Leftrightarrow U_1^\perp =U_2$
-	\item $dim(U) + dim(U^\perp )=n$
+	\item $\dim(U) + \dim(U^\perp )=n$
 \end{itemize}
 \subsection{Frobenius-Norm}
 \begin{itemize}

From f87e3da249b92b443ae8579df9f082eb0f50438e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Wed, 21 Aug 2024 19:11:08 +0200
Subject: [PATCH 12/18] remove git.id checks

---
 Lineare-Algebra.tex | 8 --------
 1 file changed, 8 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 37cd3f7..c14bf6a 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -52,14 +52,6 @@
 % ======================================================================
 \begin{document}
 
-\IfFileExists{git.id}{\input{git.id}}{}
-\ifdefined\GitRevision\mydate{\GitNiceDate\ (git \GitRevision)}\fi
-\ifdefined\GitIssuesURL
-  \ifdefined\setissueslinkurl
-    \setissueslinkurl{\GitIssuesURL} % Set the actual URL
-  \fi
-\fi
-
 %\section{}
 % ----------------------------------------------------------------------
 \maketitle

From 0080d906baf50414714240d84de2ae904540bf93 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Mon, 7 Oct 2024 12:31:49 +0200
Subject: [PATCH 13/18] =?UTF-8?q?add=20=C3=84hnlichkeit?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 Lineare-Algebra.tex | 10 ++++++++++
 1 file changed, 10 insertions(+)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index c14bf6a..8cff251 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -213,6 +213,16 @@ \subsection{Determinante}
 \end{itemize}
 %\textbf{Vereinfachung für Spezialfall $A\in \mathbb K^{2\times 2}$}\\
 %$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
+\subsection{Ähnlichkeit von Matrizen}
+Zwei Matrizen $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ sind ähnlich zueinander, wenn es eine invertierbare Matrix $S$ gibt, sodass $A=SBS^{-1}$. Man schreibt $A \sim B$.\\
+\textbf{Eigenschaften:}
+\begin{itemize}
+	\item $\det(A)=\det(B)$
+	\item $A$ ist inviertierbar $\Leftrightarrow$ $B$ ist invertierbar
+	\item $\rang(A)=\rang(B)$
+	\item $A$ und $B$ haben das gleiche charakteristische Polynom
+\end{itemize}
+
 \subsection{Hauptsatz invertierbarer quadratischer Matrizen}
 \begin{tabular}{ll}
 	1)  $A$ ist invertierbar & 2) $\dim(\col(A))=\dim(\row(A))=n$\\

From 5fe7e5000cd6aa7b937b1485c1bcff95820a3ce9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 20 Oct 2024 14:20:41 +0200
Subject: [PATCH 14/18] remove last section

---
 Lineare-Algebra.tex | 47 ++-------------------------------------------
 1 file changed, 2 insertions(+), 45 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 8cff251..522b63e 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-% Mathe Formelsammlung für HM1 SoSe 2011
+% Mathe Formelsammlung für Lineare Algebra WiSe 23/24
 % 2 Seiten
 
 % Dokumenteinstellungen
@@ -7,7 +7,7 @@
 % Dokumentklasse (Schriftgröße 6, DIN A4, Artikel)
 \documentclass[german, 6pt]{latex4ei/latex4ei_sheet}
 \title{Lineare Algebra}
-\author{LaTeX4Ei}
+\author{Lukas Kompatscher, Paul Thiel, Justus Rossmeier, Darius Peters}
 \myemail{info@latex4ei.de}
 \mywebsite{www.latex4ei.de}
 
@@ -699,49 +699,6 @@ \subsection{Quadratische Funktionen}
 \item positiv/negativ semidefinit: Existenz von Extremum hängt von Lösbarkeit des LGS $2Ax=-b$ ab. (nicht eindeutig!)
 \end{itemize}
 
-\begin{minipage}{\columnwidth}
-\section{Wichtige Zusammenhänge zur Beweisführung}
-\subsection{Rang}
-\begin{itemize}
-	\item $\rang(A)<n \rightarrow$ Es gibt freie Variablen
-	\item $\rang(A)=\dim(\col(A))=\dim(\row(A))$
-	\item $\rang(A)=\rang(A^\top)$
-	\item $\rang(A)+\dim(\Kern(A))=n$
-	\item $\rang(AB)\leq \rang(A) \leq n$
-\end{itemize}
-\end{minipage}
-\subsection{Kern}
-\begin{itemize}
-	\item $\Kern(A)=\{x\in \mathbb{R}^n: Ax=0\}$
-	\item $\Kern(A)=\Kern(A^\top A)$
-	\item $\Kern(A^\top) = \Kern(AA^\top )$
-	\item $\dim(\Kern(A))=\text{\#freie Variablen}$
-\end{itemize}
-\subsection{Zeilen-/Spaltenraum}
-\begin{itemize}
-	\item $\col(A)\neq \col(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
-	\item $\row(A)=\row(A')$ mit $A'=A$ in ZSF
-	\item $\col(A)=\row(A^\top)$
-	\item $\col(AB)\subset \col(A)$
-	\item $\row(AB)\subset \row(B)$
-\end{itemize}
-\subsection{Orthogonalität und Komplement}
-\begin{itemize}
-	\item $(\col(A))^\perp=(\row(A^\top ))^\perp$
-	\item $(\row(A))^\perp = \Kern(A)$
-	\item $(\col(A))^\perp = \Kern(A^\top)$
-	\item $\row(A) \perp \Kern(A)$
-	\item $\col(A) \perp \Kern(A^\top)$
-	\item $U_1 \subset U_2 \Rightarrow U_1^\perp \supset U_2^\perp$
-	\item $U_1=U_2^\perp \Leftrightarrow U_1^\perp =U_2$
-	\item $\dim(U) + \dim(U^\perp )=n$
-\end{itemize}
-\subsection{Frobenius-Norm}
-\begin{itemize}
-	\item $\norm{A}_F^2=\sigma_1^2+\sigma_2^2+\dots \sigma_n^2$
-	\item $\norm{A-A_{(k)}}_F^2=\sigma_{k+1}^2+\dots \sigma_n^2$
-\end{itemize}
-
 % Ende der Spalten
 
 

From 639abf4bfe5c6cb12e751063310ade2be983e8f9 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 20 Oct 2024 14:30:48 +0200
Subject: [PATCH 15/18] formatting

---
 Lineare-Algebra.tex | 4 ++--
 1 file changed, 2 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 522b63e..aea6a62 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -138,7 +138,7 @@ \subsection{Rang einer Matrix}
 \begin{minipage}{\columnwidth}
 \subsection{Matrixpotenzen}
 Gegeben: $A \in\mathbb{R}^{mxn}, x \in\mathbb{R}^n$.\\
-Gesucht: Lösung von $A^n$.\\
+Gesucht: Lösung von $A^n$.
 \begin{itemize}
 	\item Bestimme Eigenwerte $\lambda$ und Eigenvektoren $v$ von $A$.
 	\item Bestimme $\alpha_1, ..., \alpha_k$ mit $x = \alpha_1v_1 + ... + \alpha_kv_k$.
@@ -175,7 +175,7 @@ \subsection{Determinante}
 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
 \item Determinante einer $3\times 3$-Matrix:
 \[\det(A)=\det
-\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5]
+\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.4]
     \matrix (m) [matrix of math nodes,left delimiter=(,right delimiter=)] {
         a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
         a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

From 5b8b4c3ef70fb56abb7c1f43d51fbb9bf6a2fe98 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Sun, 20 Oct 2024 14:41:50 +0200
Subject: [PATCH 16/18] change format of 2.9

---
 Lineare-Algebra.tex | 14 ++++++--------
 1 file changed, 6 insertions(+), 8 deletions(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index aea6a62..3123e83 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -215,14 +215,12 @@ \subsection{Determinante}
 %$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \Rightarrow \det(A)=|A|=ad-bc$
 \subsection{Ähnlichkeit von Matrizen}
 Zwei Matrizen $A, B \in \mathbb{R}^{n\times n}$ sind ähnlich zueinander, wenn es eine invertierbare Matrix $S$ gibt, sodass $A=SBS^{-1}$. Man schreibt $A \sim B$.\\
-\textbf{Eigenschaften:}
-\begin{itemize}
-	\item $\det(A)=\det(B)$
-	\item $A$ ist inviertierbar $\Leftrightarrow$ $B$ ist invertierbar
-	\item $\rang(A)=\rang(B)$
-	\item $A$ und $B$ haben das gleiche charakteristische Polynom
-\end{itemize}
-
+\textbf{Eigenschaften:}\\
+\begin{tabular}{ll}	
+	  $A$ ist inviertierbar $\Leftrightarrow$ $B$ ist invertierbar &   $\det(A)=\det(B)$\\
+	  $A$ und $B$ haben das gleiche char. Polynom
+ &  $\rang(A)=\rang(B)$
+\end{tabular}
 \subsection{Hauptsatz invertierbarer quadratischer Matrizen}
 \begin{tabular}{ll}
 	1)  $A$ ist invertierbar & 2) $\dim(\col(A))=\dim(\row(A))=n$\\

From c9a6a209b3df47203d3be3849101034b436cb6b1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 25 Oct 2024 17:03:43 +0200
Subject: [PATCH 17/18] add colors to 3x3 det

---
 Lineare-Algebra.tex | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index 3123e83..e51a8a7 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -195,7 +195,7 @@ \subsection{Determinante}
     \draw[thin, blue] (extended-1-2.north east) -- (m-3-3.south west);
 \end{tikzpicture}
 \]
-$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}$
+$=\textcolor{red!70!white}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}}\textcolor{blue!70!white}{-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}$
 \item $\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
 \item $\begin{vmatrix}\lambda_1&&* \\ &\ddots& \\ 0&&\lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\cdot \ldots\cdot \lambda_n = \begin{vmatrix} \lambda_1&&0  \\  &\ddots& \\  *&&\lambda_n \end{vmatrix}$
 \item $A=B \cdot C \quad \Rightarrow \quad |A|=|B| \cdot |C|$

From 1c0110029da8facd30d78a8017f9b0fff3b6ff09 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Darius Peters <38152878+dariusptrs@users.noreply.github.com>
Date: Fri, 25 Oct 2024 17:10:50 +0200
Subject: [PATCH 18/18] fix text going outside of column

---
 Lineare-Algebra.tex | 5 ++++-
 1 file changed, 4 insertions(+), 1 deletion(-)

diff --git a/Lineare-Algebra.tex b/Lineare-Algebra.tex
index e51a8a7..7414a56 100644
--- a/Lineare-Algebra.tex
+++ b/Lineare-Algebra.tex
@@ -195,7 +195,10 @@ \subsection{Determinante}
     \draw[thin, blue] (extended-1-2.north east) -- (m-3-3.south west);
 \end{tikzpicture}
 \]
-$=\textcolor{red!70!white}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}}\textcolor{blue!70!white}{-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}$
+\resizebox{\columnwidth}{!}{$
+    =\textcolor{red!70!white}{a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}}%
+    \textcolor{blue!70!white}{-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}}
+    $}
 \item $\det\begin{pmatrix}A&0\\C&D\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}=\det(A)\cdot\det(D)$
 \item $\begin{vmatrix}\lambda_1&&* \\ &\ddots& \\ 0&&\lambda_n \end{vmatrix} = \lambda_1\cdot \ldots\cdot \lambda_n = \begin{vmatrix} \lambda_1&&0  \\  &\ddots& \\  *&&\lambda_n \end{vmatrix}$
 \item $A=B \cdot C \quad \Rightarrow \quad |A|=|B| \cdot |C|$