- 设
$\mathcal{U}$ 是实内积空间，对$x,y\in\mathcal{U}$ ，等式$\lVert x+y \rVert ^2 = \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2$ 成立的充分必要条件是$x \perp y$ 。若$\mathcal{U}$ 是复内积空间，这个结论是否仍成立？如果不成立，试求出其成立的充分必要条件。 - 设$\mathcal{U}$是内积空间，$x,y\in\mathcal{U}$，则$x\perp y$的充分必要条件是对任何数$\alpha$，有$\lVert x+\alpha y \rVert \ge \lVert x \rVert$。
- 设$\mathcal{U}$是内积空间，$x,y\in\mathcal{U}$，则$x\perp y$的充分必要条件是对任何数$\alpha$，有$\lVert x+\alpha y \rVert = \lVert x-\alpha y \rVert$。
- 设$\mathcal{U}$是内积空间，$M$是$\mathcal{U}$的子集，证明$(M^\perp)^\perp$是包含$M$的最小闭子空间。
- 设$L_1,L_2$是希尔伯特空间$\mathcal{U}$的子空间，$L_1\perp L_2$，$L$为$L_1$与$L_2$的直接和。证明$L$是$\mathcal{U}$的闭子空间的充分必要条件是$L_1,L_2$均为$\mathcal{U}$的闭子空间。
- 设$H_2$是满足$\sum_{n=0}^\infty \left|a_n \right|^2$且在单位圆${z: \left|z \right|<1}$内解析的函数$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$构成的集。在$H_2$中适当定义线性运算，然后定义内积：$$(f,g)=\lim_{r\rightarrow 1-0}\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(r e^{i\theta}) \overline{g(r e^{i\theta})}\mathrm{d}\theta$$。证明$H_2$是可分的希尔伯特空间。若$|e_n|$是$H$中的完备正交系，证明当$|z_1|<1,|z_2|<1$时，$$\sum_{n=0}^\infty e_n(z_1)\overline{e_n(z_2)}=\dfrac{1}{1-z_1 z_2}$$