006-sistemi-aperti.tex

\section{Sistemi aperti}

\subsection{Bilancio di massa}
\[ \dv{m}{t} = \sum_i \dot{m}_i^\sla \]

\subsubsection{Equazione di continuità}
\[ \dot{m} = \rho w \Omega \]

\subsection{Bilancio di energia}
\[ \dv{E}{t} = \sum_i \dot{E}_i^\sla \]
dove $E$ rappresenta l'energia associata al trasporto di massa e al lavoro e calore scambiato

\subsubsection{Lavoro di pulsione}
\[ L_P^\sla = - \int^{V}_{V+V_m} P\dd{V} = PV_m = m_i P v_i \]
\subsubsection{Energia associata al trasporto di massa}
\[ E_m = \sum_i m_i^\sla \qty(u + gz + \frac{w^2}{2}) \]
\subsubsection{Bilancio energetico}
\[ \dv{E}{t} = \sum_i \dot{m}_i^\sla \qty(h + gz + \frac{w^2}{2}) + \dot{Q}^\sla - \dot{L_e}^\sra\]

\subsection{Bilancio di entropia}
\[ \dv{S}{t} = \sum_i \dot{m}_i^\sla s_i + \dot{S}_{Q^\sla} + \dot{S}_{irr} \]

\subsection{Regime stazionario}
\[ \dot{m}_{ingresso}^\sla = -\dot{m}_{uscita}^\sla \]

\[ \dot{m}^\sla\qty[(h_i - h_u) + g(z_i-z_u) + \frac{(w_i^2-w_u^2)}{2}] + \dot{Q}^\sla - \dot{L}_e^\sra = 0 \]

\[ \dot{m}^\sla (s_i - s_u) + \dot{S}_{Q^\sla} + \dot{S}_{irr} = 0 \]

\section{Macchina aperta}
\subsubsection{Turbina, compressore e pompa}
\[ \dot{m}^\sla (h_i - h_u) - \dot{L}_e^\sra = 0 \]
\[ \dot{m}^\sla (s_i - s_u) + \dot{S}_{irr} = 0 \]

\subsubsection{Scambiatore di calore}
\[ \dot{m}^\sla (h_i - h_u) + \dot{Q}^\sla = 0 \]
\[ \dot{m}^\sla (s_i - s_u) + \dot{S}_{Q^\sla} + \dot{S}_{irr} = 0 \]

\subsubsection{Diffusore (w↓) e ugello (w↑)}
\[  (h_i - h_u) + \frac{(w_i^2 - w_u^2)}{2} = 0 \]
\[ \dot{m}^\sla (s_i - s_u) + \dot{S}_{irr} = 0 \]

\subsubsection{Valvola di laminazione}
\[  (h_i - h_u) = 0 \]
\[ \dot{m}^\sla (s_i - s_u) + \dot{S}_{irr} = 0 \]

\subsection{Rendimento isoentropico}
\subsubsection{Turbina}
\[ \eta_{is,turbina} = \frac{\dot{L}_{reale}^\sra}{\dot{L}_{ideale}^\sra} = \frac{h_1 - h_{2,reale}}{h_1 - h_{2,ideale}} \]

\subsubsection{Compressore}
\[ \eta_{is,compressore} = \frac{\dot{L}_{ideale}^\sra}{\dot{L}_{reale}^\sra} = \frac{h_1 - h_{2,ideale}}{h_1 - h_{2,reale}} \]

\subsection{Lavoro specifico per unità di massa fluente}
Dopo vari passaggi si ottiene che
\[ -\delta l_e^\sra = v\dd{P} + T\dd{s_{irr}} \]
Integrando fra la sezione di ingresso e quella di uscita:
\[ l_e^\sra = -\int_i^u v\dd{P} -\int_i^u T\dd{s_{irr}} \]
dove il secondo termine è l'energia dissipata per irreversibilità interna.