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% Filename: lista4.tex
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% This code is part of 'Solutions for MS650, Métodos de Matemática
% Aplicada II, and F620, Métodos Matemáticos da F\'{i}sica II'
%
% Description: This file corresponds to the solutions of homework sheet 4.
%
% Created: 14.07.12 11:13:03 AM Last Change: 14.07.12 11:13:03 AM
%
% Authors:
% - Raniere Silva (2012): initial version
%
% Copyright (c) 2012 Raniere Silva <[email protected]>
%
% This work is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0
% Unported License. To view a copy of this license, visit
% http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ or send a letter to Creative
% Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
%
% This work is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY
% WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR
% A PARTICULAR PURPOSE.
%
\documentclass[a4paper,12pt, leqno, answers]{exam}
% Customização da classe exam
\newcommand{\mycheader}{Lista 4 - Série de Fourier (2)}
\header{MS560, F560}{\mycheader}{\thepage/\numpages}
\headrule
\footer{Dispon\'{i}vel em \\\input{repository.tex}}{}{Reportar erros para
\\\input{maintainer.tex}}
\footrule
\pagestyle{headandfoot}
\renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{Solução:}\enspace}
\SolutionEmphasis{\slshape}
\unframedsolutions
\pointname{}
\input{paper_size.tex}
\input{packages.tex}
\DeclareMathOperator{\erfc}{erfc}
\begin{document}
%cover
\thispagestyle{empty}
\input{cover.tex}
\newpage
\setcounter{page}{1}
\begin{questions}
\question Seja a equação
\begin{align*}
\devp{^2 G(x, \epsilon)}{x^2} - \omega^2 G(x, \epsilon) &= \delta(x -
\epsilon),
\end{align*}
onde $-\infty < x$, $\epsilon < \infty$ e $\omega > 0$. Use o método da
transformada de Fourier para mostrar que $G(x, \epsilon)$ pode ser escrita
na forma
\begin{align*}
G(x, \epsilon) &= \frac{-1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty
\frac{\exp\left( -i k (x - \epsilon) \right)}{\omega^2 + k^2} \id{k} =
\frac{-1}{2 \omega} \exp\left( -\omega |x - \epsilon| \right).
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solução da
equação
\begin{align*}
\kappa^2 \devd{^4 y}{x^4} + y &= \delta(x),
\end{align*}
onde $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condições $\lim_{x \to
\pm\infty} y^{(k)} = 0$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4$) é dado por
\begin{align*}
y(x) &= \frac{1}{2 \sqrt{2\kappa}} \left( \cos\left(
\frac{|x|}{\sqrt{2\kappa}} \right) + \sin\left(
\frac{|x|}{\sqrt{2\kappa}} \right) \right) \exp\left( -|x|
\sqrt{2\kappa} \right).
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Usando a transformada de Fourier, mostre que a solução da
equação
\begin{align*}
\devp{\omega}{t} &= -\kappa \devp{\omega}{x} + D \devp{^2 \omega}{x^2},
\end{align*}
onde $t > 0$, $-\infty < x < \infty$, satisfazendo as condições que
$\omega(x, t)$, $\left[ partial \omega(x, t) \right] / \partial x$ e $\left[
\partial^2 \omega(x, t) \right] / \partial x^2$ se anulem para $x \to \pm
\infty$ e a condição inicial
\begin{align*}
\omega(x, 0) &= \delta(x - x_0)
\end{align*}
é dada por
\begin{align*}
\omega(x, t) &= \frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \exp\left( -
\frac{(x - x_0 - \kappa t)^2}{4 D t} \right).
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Usando o método da transformada de Fourier, mostre que a
solução da equação integral
\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty \frac{y(u)}{(x - u)^2 + a^2} \id{u} &=
\frac{1}{x^2 + b^2},
\end{align*}
onde $0 < a < b$, é dada por
\begin{align*}
y(x) &= \frac{a}{b \pi} \frac{(b - a}{x^2 + (b - a)^2}.
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Com $\mathcal{F}_s$ e $\mathcal{F}_c$ denotando, respectivamente,
as transformadas em seno e cosseno de Fourier, mostre que
\begin{parts}
\part $\mathcal{F}_s\left[ \exp(-x) \cos(x) \right] = \sqrt{2 / \pi} k^3
/ \left( k^4 + 4 \right)$,
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\part $\mathcal{F}_s\left[ \left( H(x) - H(x - \pi) \right) \sin(x)
\right] = \sqrt{2 / \pi} \sin(k \pi) / \left( 1 - k^2 \right)$,
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\part $\mathcal{F}_c\left[ x \exp(- a x) \right] = \sqrt{2 / \pi} \left(
a^2 - k^2 \right) / \left( a^2 + k^2 \right)^2$,
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\part $\mathcal{F}_c\left[ \exp(-a x^2) \right] = \left( 2 a
\right)^{-1/2} \exp\left( -k^2 / (4 a) \right)$.
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\end{parts}
\question Mostre que
\begin{parts}
\part $\mathcal{F}_s\left[ f'(x) \right] = -k \mathcal{F}_c\left[ f(x)
\right]$,
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\part $\mathcal{F}_c\left[ f'(x) \right] = - \sqrt{2 / \pi} f(0) + k
\mathcal{F}_s\left[ f(x) \right]$.
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\end{parts}
\question Seja $\erfc(x) = \left( 2 / \sqrt{\pi} \right) \int_\pi^\infty
\exp(-t^2) \id{t}$. Usando a relação acima entre
$\mathcal{F}_x\left[ |f'(x)| \right]$ e $\mathcal{F}_s\left[ f(x)
\right]$ mais o resultado para $\mathcal{F}_c\left[ \exp\left( -a x^2
\right) \right]$, mostre que
\begin{align*}
\mathcal{F}_s\left[ \erfc(\lambda x) \right] &= \sqrt{\frac{\pi}{2}}
\frac{1 - \exp\left( -k^2 / \left( 4 \lambda^2 \right) \right)}{k}.
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Seja a equação
\begin{align*}
y''(x) - k^2 y(x) &= f(x),
\end{align*}
onde $x \geq 0$, com as condições
\begin{align*}
y'(0) &= a, & \lim_{x \to \infty} y(x) &< \infty.
\end{align*}
Use o método da transformada de Fourier em cossenos para mostrar que
\begin{align*}
y(x) &= \frac{-a}{k} \exp(-k x) - \frac{1}{2k} \int_0^\infty f(\xi)
(\exp(-k |x - \xi|) + \exp(-k | x + \xi|) \id{\xi}.
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\question Usando a transformada em seno de Fourier, mostre que a
solução da equação do calor ,
\begin{align*}
\devp{u}{t} & D \devp{^2 u}{x^2},
\end{align*}
onde $t > 0$, $0 < x < \infty$, com as condições que $u(x, t)$,
$\partial u(x, t) / \partial x$, e $\partial^2 u(x, t) / \partial x^2$ se
anulem para $x \to 0$ e $x \to \infty$ e a condição inicial
\begin{align*}
u(x, 0) &= f(x)
\end{align*}
é dada por
\begin{align*}
u(x,t) &= \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty f(\xi) \exp(-D
k^2 t) \sin(k \xi) \sin(k x) \id{\xi} \id{k}.
\end{align*}
\begin{solution}
% TODO Escrever solução.
\end{solution}
\end{questions}
% \bibliographystyle{plain}
% \bibliography{bibliography}
\end{document}