-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
chap-categorisch.html
1767 lines (1727 loc) · 147 KB
/
chap-categorisch.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<!DOCTYPE html>
<html lang="" xml:lang="">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
<title>Hoofdstuk 9 Categorische data analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</title>
<meta name="description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="generator" content="bookdown 0.29.1 and GitBook 2.6.7" />
<meta property="og:title" content="Hoofdstuk 9 Categorische data analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta property="og:type" content="book" />
<meta property="og:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="github-repo" content="statOmics/statistiek2deBach" />
<meta name="twitter:card" content="summary" />
<meta name="twitter:title" content="Hoofdstuk 9 Categorische data analyse | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta name="twitter:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="author" content="Lieven Clement" />
<meta name="date" content="2022-09-20" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes" />
<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black" />
<link rel="prev" href="niet-parametrische-statistiek.html"/>
<link rel="next" href="chap-glm.html"/>
<script src="libs/jquery-3.6.0/jquery-3.6.0.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/fuse.min.js"></script>
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/style.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-table.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-bookdown.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-highlight.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-search.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-fontsettings.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-clipboard.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections-hash.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.js"></script>
<script src="libs/kePrint-0.0.1/kePrint.js"></script>
<link href="libs/lightable-0.0.1/lightable.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.min.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.js"></script>
<style type="text/css">
pre > code.sourceCode { white-space: pre; position: relative; }
pre > code.sourceCode > span { display: inline-block; line-height: 1.25; }
pre > code.sourceCode > span:empty { height: 1.2em; }
.sourceCode { overflow: visible; }
code.sourceCode > span { color: inherit; text-decoration: inherit; }
pre.sourceCode { margin: 0; }
@media screen {
div.sourceCode { overflow: auto; }
}
@media print {
pre > code.sourceCode { white-space: pre-wrap; }
pre > code.sourceCode > span { text-indent: -5em; padding-left: 5em; }
}
pre.numberSource code
{ counter-reset: source-line 0; }
pre.numberSource code > span
{ position: relative; left: -4em; counter-increment: source-line; }
pre.numberSource code > span > a:first-child::before
{ content: counter(source-line);
position: relative; left: -1em; text-align: right; vertical-align: baseline;
border: none; display: inline-block;
-webkit-touch-callout: none; -webkit-user-select: none;
-khtml-user-select: none; -moz-user-select: none;
-ms-user-select: none; user-select: none;
padding: 0 4px; width: 4em;
color: #aaaaaa;
}
pre.numberSource { margin-left: 3em; border-left: 1px solid #aaaaaa; padding-left: 4px; }
div.sourceCode
{ }
@media screen {
pre > code.sourceCode > span > a:first-child::before { text-decoration: underline; }
}
code span.al { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Alert */
code span.an { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Annotation */
code span.at { color: #7d9029; } /* Attribute */
code span.bn { color: #40a070; } /* BaseN */
code span.bu { } /* BuiltIn */
code span.cf { color: #007020; font-weight: bold; } /* ControlFlow */
code span.ch { color: #4070a0; } /* Char */
code span.cn { color: #880000; } /* Constant */
code span.co { color: #60a0b0; font-style: italic; } /* Comment */
code span.cv { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* CommentVar */
code span.do { color: #ba2121; font-style: italic; } /* Documentation */
code span.dt { color: #902000; } /* DataType */
code span.dv { color: #40a070; } /* DecVal */
code span.er { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Error */
code span.ex { } /* Extension */
code span.fl { color: #40a070; } /* Float */
code span.fu { color: #06287e; } /* Function */
code span.im { } /* Import */
code span.in { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Information */
code span.kw { color: #007020; font-weight: bold; } /* Keyword */
code span.op { color: #666666; } /* Operator */
code span.ot { color: #007020; } /* Other */
code span.pp { color: #bc7a00; } /* Preprocessor */
code span.sc { color: #4070a0; } /* SpecialChar */
code span.ss { color: #bb6688; } /* SpecialString */
code span.st { color: #4070a0; } /* String */
code span.va { color: #19177c; } /* Variable */
code span.vs { color: #4070a0; } /* VerbatimString */
code span.wa { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Warning */
</style>
<style type="text/css">
/* Used with Pandoc 2.11+ new --citeproc when CSL is used */
div.csl-bib-body { }
div.csl-entry {
clear: both;
}
.hanging div.csl-entry {
margin-left:2em;
text-indent:-2em;
}
div.csl-left-margin {
min-width:2em;
float:left;
}
div.csl-right-inline {
margin-left:2em;
padding-left:1em;
}
div.csl-indent {
margin-left: 2em;
}
</style>
<link rel="stylesheet" href="style.css" type="text/css" />
</head>
<body>
<div class="book without-animation with-summary font-size-2 font-family-1" data-basepath=".">
<div class="book-summary">
<nav role="navigation">
<ul class="summary">
<li><a href="./">Cursus Inleiding tot Biostatistiek 2022-2023</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Woord vooraf</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="links.html"><a href="links.html"><i class="fa fa-check"></i>Links</a></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#sec:wetMeth"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> De Wetenschappelijke Methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#opzet-van-de-cursus"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Opzet van de cursus</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-oksel-microbiome"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Case study: oksel microbiome</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.3.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experimenteel-design-proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.1</b> Experimenteel design (proefopzet)</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#data-exploratie-en-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.2</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#statistische-besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.3</b> Statistische Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-ii-verschil-in-lengte-tussen-vrouwen-en-mannen"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Case Study II: Verschil in lengte tussen vrouwen en mannen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.4.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.1</b> Experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.2</b> Herhaal het experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment-opnieuw"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.3</b> Herhaal het experiment opnieuw</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#samenvatting"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.4</b> Samenvatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#controle-van-beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.5</b> Controle van beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#conclusies"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.6</b> Conclusies</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-salk-vaccin"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Case study: Salk vaccin</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.5.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#nfip-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.1</b> NFIP Study</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#confounding"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.2</b> Confounding</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#salk-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.3</b> Salk Study</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#rol-van-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Rol van Statistiek</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Belangrijke concepten & conventies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#inleiding-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:pop"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> Populatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#toevalsveranderlijken-of-toevallige-veranderlijken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> Toevalsveranderlijken (of toevallige veranderlijken)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#beschrijven-van-de-populatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Beschrijven van de populatie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.5.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#intermezzo-probabiliteitstheorie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.1</b> Intermezzo probabiliteitstheorie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#standardisatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.2</b> Standardisatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:normalcalc"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.3</b> Achtergrond Normale verdeling</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#steekproef"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> Steekproef</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-gender"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> NHANES: Gender</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-lengte"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> NHANES: Lengte</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.8.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#empirische-distributie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.1</b> Empirische distributie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#normale-benadering"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.2</b> Normale benadering</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#referentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.3</b> Referentie intervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conclusions"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.4</b> Conclusions</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#statistieken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Statistieken</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conventie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Conventie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#code-voor-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> Code voor dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Studiedesign</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#inleiding-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:steekproefdesigns"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> Steekproefdesigns</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.2.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#replicatie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2.1</b> Replicatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#experimentele-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> Experimentele studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#de-salk-vaccin-veldstudie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.1</b> De Salk Vaccin Veldstudie</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#gerandomiseerde-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.2</b> Gerandomiseerde gecontroleerde studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#parallelle-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.3</b> Parallelle designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-over-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.4</b> Cross-over designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#factoriële-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.5</b> Factoriële designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#quasi-experimentele-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.6</b> Quasi-experimentele designs</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:observational"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Observationele studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:prosp"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Prospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:retro"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#niet-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Niet-gecontroleerde studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.7.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:prepost"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.1</b> Pre-test/Post-test studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-sectionele-surveys"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.2</b> Cross-sectionele surveys</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#inleiding-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:univar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Univariate beschrijving van de variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:summarize"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Samenvattingsmaten voor continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.3.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#maten-voor-de-centrale-ligging"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.1</b> Maten voor de centrale ligging</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:spreiding"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.2</b> Spreidingsmaten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:normal"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> De Normale benadering van gegevens</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:qq"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4.1</b> QQ-plots</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:explCatVar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Samenvattingsmaten voor categorische variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.5.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#prospectieve-studies-en-lukrake-steekproeven"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.1</b> Prospectieve studies en lukrake steekproeven</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:retrospect"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.2</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#rates-versus-risicos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.3</b> Rates versus risico’s</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#associaties-tussen-twee-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> Associaties tussen twee variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.6.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:kruistabel"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.1</b> Associatie tussen twee kwalitatieve variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:asskwalcont"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.2</b> Associatie tussen één kwalitatieve en één continue variabele</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Associatie tussen twee continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.7.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#covariantie-en-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.1</b> Covariantie en Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#pearson-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.2</b> Pearson Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#verschillende-groottes-van-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.3</b> Verschillende groottes van correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#spearman-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.4</b> Spearman correlatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:missing"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Onvolledige gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#clips-over-de-code-in-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Clips over de code in dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Statistische besluitvorming</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#inleiding-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> Captopril voorbeeld</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.2.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.1</b> Proefopzet</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#data-exploratie-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.2</b> Data Exploratie & Beschrijvende Statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#schatten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.3</b> Schatten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#puntschatters-het-steekproefgemiddelde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Puntschatters: het steekproefgemiddelde</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.3.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#overzicht"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.1</b> Overzicht</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#het-steekproefgemiddelde-is-onvertekend"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.2</b> Het steekproefgemiddelde is onvertekend</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#imprecisiestandard-error"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.3</b> Imprecisie/standard error</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:verdelingXbar"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.4</b> Verdeling van het steekproefgemiddelde</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#intervalschatters"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Intervalschatters</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.4.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:bigek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.1</b> Gekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#sec:tBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.2</b> Ongekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:interpretBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.3</b> Interpretatie van betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.4</b> Wat rapporteren?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#principe-van-hypothesetoetsen-via-one-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Principe van Hypothesetoetsen (via one sample t-test)</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#introductie-d.m.v.-captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.1</b> Introductie d.m.v. captopril voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#hypotheses"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.2</b> Hypotheses</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#test-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.3</b> Test-statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#de-p-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.4</b> De p-waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#kritieke-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.5</b> Kritieke waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.6</b> Beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#conclusies-captopril-voorbeeld."><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.7</b> Conclusies Captopril voorbeeld.</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#eenzijdig-of-tweezijdig-toetsen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.8</b> Eenzijdig of tweezijdig toetsen?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#geclusterde-metingen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Geclusterde metingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.6.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6.1</b> Captopril</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#two-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Two-sample t-test</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.7.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#notatie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.1</b> Notatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#oksel-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.2</b> Oksel-voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#aannames"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Aannames</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.8.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-de-veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.1</b> Nagaan van de veronderstelling van Normaliteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.2</b> Nagaan van homoscedasticiteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.9" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren-1"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9</b> Wat rapporteren?</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.9.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-1-relatie-toetsen-en-betrouwbaarheidsintervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.1</b> Reden 1: Relatie toetsen en betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.9.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-2-statistische-significantie-versus-wetenschappelijke-relevantie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.2</b> Reden 2: Statistische significantie versus wetenschappelijke relevantie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.10" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#equivalentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.10</b> Equivalentie-intervallen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Enkelvoudige lineaire regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#inleiding-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#borstkanker-dataset"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.1</b> Borstkanker dataset</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#data-exploratie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.2</b> Data exploratie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#model"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.3</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineaire-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Lineaire regressie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#parameterschatting"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> Parameterschatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linBesluit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Statistische besluitvorming</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nagaan-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.5.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-homoscedasticiteit-gelijkheid-van-variantie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.2</b> Veronderstelling van homoscedasticiteit (gelijkheid van variantie)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.3</b> Veronderstelling van normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#afwijkingen-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> Afwijkingen van Modelveronderstellingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#besluitvorming-over-gemiddelde-uitkomst"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> Besluitvorming over gemiddelde uitkomst</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#predictie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Predictie-intervallen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.8.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nhanes-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linAnova"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Kwadratensommen en Anova-tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.9.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#determinatie-coëfficiënt"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.1</b> Determinatie-coëfficiënt</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#f-testen-in-het-enkelvoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.2</b> F-Testen in het enkelvoudig lineair regressiemodel</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#anova-tabel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.3</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linDummy"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Dummy variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Variantie analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#inleiding-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.1</b> Prostacycline voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.1.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.2</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#variantie-analyse"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Variantie-analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.2.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-2"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.1</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#kwadratensommen-en-anova"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.2</b> Kwadratensommen en Anova</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-test"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.3</b> Anova-test</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-tabel-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.4</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Post hoc analyse: Meervoudig Vergelijken van Gemiddelden</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.3.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#naïeve-methode"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.1</b> Naïeve methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#family-wise-error-rate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.2</b> Family-wise error rate</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#conclusies-prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Conclusies: Prostacycline Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> Niet-parametrische statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#inleiding-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-twee-groepen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> Vergelijken van twee groepen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.2.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.1</b> Cholestorol voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#permutatietesten"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.2</b> Permutatietesten</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#rank-testen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.3</b> Rank Testen</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.4" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#wilcoxon-mann-whitney-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.4</b> Wilcoxon-Mann-Whitney Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.5" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#conclusie-cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.5</b> Conclusie Cholestorol Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-g-behandelingen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Vergelijken van <span class="math inline">\(g\)</span> Behandelingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.3.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#dmh-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.1</b> DMH Voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#kruskal-wallis-rank-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.2</b> Kruskal-Wallis Rank Test</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Categorische data analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#inleiding-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toetsen-voor-een-proportie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Toetsen voor een proportie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.2.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.1</b> Asymptotisch Betrouwbaarheidsinterval</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotische-test"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.2</b> Asymptotische Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:binom"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.3</b> Binomiale test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#conclusie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.4</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Toets voor associatie tussen 2 kwalitatieve variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.3.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#gepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.1</b> Gepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:catOnPaired"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.2</b> Ongepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#de-pearson-chi-kwadraat-test-voor-ongepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.3</b> De Pearson Chi-kwadraat test voor ongepaarde gegevens</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#logistische-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Logistische regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.4.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#categorische-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.1</b> Categorische predictor</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#continue-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.2</b> Continue predictor</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Algemeen lineair model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inleiding-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:prostate"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1.1</b> Prostaatkanker dataset</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-additieve-meervoudig-lineaire-regressie-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Het additieve meervoudig lineaire regressie model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.2.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#statistisch-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2.1</b> Statistisch model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming-in-regressiemodellen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Besluitvorming in regressiemodellen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nagaan-van-modelveronderstellingen-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.4.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#lineariteit-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.2</b> Homoscedasticiteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.3</b> Normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-niet-additieve-meervoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Het niet-additieve meervoudig lineair regressiemodel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.5.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#interactie-tussen-continue-variabele-en-factor-variabele"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.1</b> Interactie tussen continue variabele en factor variabele</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:intCont"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.2</b> Interactie tussen twee continue variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#anova-tabel-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> ANOVA Tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.6.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sstot-ssr-en-sse"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.1</b> SSTot, SSR en SSE</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#extra-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.2</b> Extra Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-i-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.3</b> Type I Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-iii-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.4</b> Type III Kwadratensommen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#regressiediagnostieken"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Regressiediagnostieken</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.7.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#multicollineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.1</b> Multicollineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#invloedrijke-observaties"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.2</b> Invloedrijke observaties</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#cooks-distance"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.3</b> Cook’s distance</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#constrasten"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Constrasten</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.8.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nhanes-voorbeeld-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.2</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.3</b> Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#factoriële-proeven"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> Factoriële proeven</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.9.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#introductie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.1</b> Introductie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#data-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.2</b> Data</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-4"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.3</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inferentie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.4</b> Inferentie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#conclusie-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.5</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</a>
</h1>
</div>
<div class="page-wrapper" tabindex="-1" role="main">
<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="chap-categorisch" class="section level1 hasAnchor" number="9">
<h1><span class="header-section-number">Hoofdstuk 9</span> Categorische data analyse<a href="chap-categorisch.html#chap-categorisch" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<p>Alle kennisclips die in dit hoofdstuk zijn verwerkt kan je in deze youtube playlist vinden:</p>
<ul>
<li><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLZH1hP8_LbJJnNyz6IMPqq6fCMZJ63y8x">Kennisclips Hoofdstuk 9 Categorische Data Analyse</a></li>
</ul>
<p>Link naar webpage/script die wordt gebruik in de kennisclips:</p>
<ul>
<li><a href="https://statomics.github.io/sbc/rmd/09-categoricalDataAnalysis.html">script Hoofdstuk 9</a></li>
</ul>
<div id="inleiding-8" class="section level2 hasAnchor" number="9.1">
<h2><span class="header-section-number">9.1</span> Inleiding<a href="chap-categorisch.html#inleiding-8" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/09ErJc8pK3w" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Tot nog toe zijn we hoofdzakelijk ingegaan op het modelleren van een continue uitkomst a.d.h.v. een categorische of continue predictor.
In dit hoofdstuk onderzoeken we hoe we tot besluitvorming kunnen komen voor een categorische uitkomst.
We zullen hierbij focussen op de associatie tussen een categorische uitkomst en een categorische predictor.
Zoals we in Sectie <a href="chap-describe.html#subsec:kruistabel">4.6.1</a> hebben gezien zijn <em>kruistabellen</em> aangewezen om hun associatie voor te stellen.</p>
</div>
<div id="toetsen-voor-een-proportie" class="section level2 hasAnchor" number="9.2">
<h2><span class="header-section-number">9.2</span> Toetsen voor een proportie<a href="chap-categorisch.html#toetsen-voor-een-proportie" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/L9xrDypeZWI" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>In Saksen werd een studie opgezet binnen een vrij gesloten populatie mensen (weinig immigratie en emigratie) om te bepalen hoe waarschijnlijk het was dat een ongeboren kind mannelijk is.</p>
<div class="sourceCode" id="cb459"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb459-1"><a href="chap-categorisch.html#cb459-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>boys <span class="ot"><-</span> <span class="dv">3175</span></span>
<span id="cb459-2"><a href="chap-categorisch.html#cb459-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>n <span class="ot"><-</span> <span class="dv">6155</span></span></code></pre></div>
<p>Op 6155 ongeboren kinderen werden 3175 jongens
geobserveerd.
We wensen na te gaan of er een verschil is in de kans dat het ongeboren kind een jongen is of een meisje.
In het vervolg van deze sectie vatten we deze gegevens op als uitkomsten van een numerieke toevalsveranderlijke <span class="math inline">\(X\)</span> met uitkomst 1 voor jongens en 0 voor meisjes.
Merk op dat we hier met een zogenaamd telprobleem te maken hebben omdat de uitkomst een telling (nl. het aantal jongens) voorstelt.</p>
<p>Formeel hebben we nu een populatie van ongeboren kinderen beschouwd
waarin elk individu gekenmerkt wordt door een 0 of een 1.
De uitkomst variabele is dus binair.
Binaire data kan worden gemodelleerd a.d.h.v. een Bernoulli verdeling:</p>
<p><span class="math display">\[X_i \sim B(\pi) \text{ met}\]</span></p>
<p><span class="math display">\[B(\pi)=\pi^{X_i}(1-\pi)^{(1-X_i)},\]</span></p>
<p>een distributie met 1 model parameter <span class="math inline">\(\pi\)</span>.
<span class="math inline">\(\pi\)</span> is de verwachte waarde van <span class="math inline">\(X_i\)</span>:</p>
<p><span class="math display">\[\text{E}[X_i]=\pi,\]</span></p>
<p>de proportie van ongeboren jongens (d.i. kinderen met een 1) in
de populatie.
Bijgevolg is <span class="math inline">\(\pi\)</span> ook de kans dat een lukraak getrokken individu een jongen is (een observatie die 1 oplevert).</p>
<p>De variantie van Bernoulli data is eveneens gerelateerd aan de kans <span class="math inline">\(\pi\)</span>.</p>
<p><span class="math display">\[\text{Var}[X_i]=\pi (1-\pi).\]</span></p>
<p>Een grafische weergave van enkele Bernoulli kansverdelingen wordt weergegeven in Figuur <a href="chap-categorisch.html#fig:bernoulli">9.1</a>.</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:bernoulli"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/bernoulli-1.png" alt="Bernoulli verdelingen." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 9.1: Bernoulli verdelingen.
</p>
</div>
<p>In het voorbeeld werden lukraak
6155 observaties getrokken uit de populatie.
We kunnen <span class="math inline">\(\pi\)</span> schatten op basis van de data d.m.v. het steekproefgemiddelde van de binaire data:</p>
<p><span class="math display">\[\hat \pi = \bar X = \frac{\sum\limits_{i=1}^n X_i}{n},\]</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb460"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb460-1"><a href="chap-categorisch.html#cb460-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pi <span class="ot"><-</span> boys<span class="sc">/</span>n</span>
<span id="cb460-2"><a href="chap-categorisch.html#cb460-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pi</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.5158408</code></pre>
<p>In ons voorbeeld is <span class="math inline">\(\bar x =\)</span> 3175 / 6155 = 51.6%.</p>
<p>De vraag stelt zich nu of het feit dat 51.6% van de kinderen in de studie mannelijk zijn, voldoende overtuigingskracht draagt om te beweren dat er meer kans is dat een ongeboren kind een jongen is dan een meisje. Met andere woorden, we wensen op basis van deze observaties statistisch te toetsen of de kans <span class="math inline">\(\pi\)</span> al dan niet gelijk is aan 50%.</p>
<p>We zullen die vraag eerst beantwoorden met een asymptotisch betrouwbaarheidsinterval, vervolgens ontwikkelen we een asymptotische test en een exacte test die ook geldig is in kleine steekproeven.</p>
<!---break-->
<div id="asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval" class="section level3 hasAnchor" number="9.2.1">
<h3><span class="header-section-number">9.2.1</span> Asymptotisch Betrouwbaarheidsinterval<a href="chap-categorisch.html#asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/QbHmdmPK-uc" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>In de Saksenstudie werd een heel grote steekproef getrokken: 6155 onafhankelijke observaties uit dezelfde populatie (verdeling).</p>
<p>We kunnen dus de centrale limietstelling (CLT) toegepassen op gemiddelde:
de data volgen een Bernoulli verdeling, maar gemiddelde o.b.v. onafhankelijke en identiek verdeelde observaties in heel grote steekproef volgt approximatief een normaal verdeling.</p>
<p>Voor Bernoulli verdeelde gegevens weten we dat:</p>
<ul>
<li><span class="math inline">\(\text{E}[\bar X] = \pi\)</span>.</li>
<li><span class="math inline">\(\text{Var}[\bar X] = \frac{\text{Var}[X]}{n} = \frac{\pi(1-\pi)}{n}\)</span>.</li>
</ul>
<p>Uit de steekproef weten we verder dat <span class="math inline">\(\bar x\)</span> = 0.516 en kunnen we de standard error schatten:</p>
<div class="sourceCode" id="cb462"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb462-1"><a href="chap-categorisch.html#cb462-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>se <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sqrt</span>((pi<span class="sc">*</span>(<span class="dv">1</span><span class="sc">-</span>pi))<span class="sc">/</span>n)</span></code></pre></div>
<p>De standard error is dus SE = 0.0064</p>
<p><span class="math display">\[
\text{SE} = \hat\sigma_{\bar x} = \sqrt{\frac{\bar x(1-\bar x)}{n}} \]</span></p>
<p>En we bekomen volgend betrouwbaarheidsinterval (BI) op het gemiddelde: [0.503, 0.528]</p>
<p><span class="math display">\[ [\bar x - z_{\alpha/2} \text{SE}_{\bar x}, \bar x + z_{\alpha/2} \text{SE}_{\bar x}]\]</span></p>
<p>0.5 valt niet binnen het 95% BI. Uit de equivalentie tussen betrouwbaarheidsintervallen en statistische testen volgt dus dat de kans op een jongen significant hoger is dan 50% op het 5% significantie-niveau.</p>
</div>
<div id="asymptotische-test" class="section level3 hasAnchor" number="9.2.2">
<h3><span class="header-section-number">9.2.2</span> Asymptotische Test<a href="chap-categorisch.html#asymptotische-test" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Voor een statistische test moeten we de onderzoeksvraag vertalen naar een nul en alternatieve hypothese in termen van een modelparameter.
We wensen aan te tonen dat de kans <span class="math inline">\(\pi\)</span> verschillend is van 50% (alternatieve hypothese).
Daarom zullen we de nul hupothese falsifiëren dat <span class="math inline">\(\pi = 0.5\)</span>.</p>
<p><span class="math display">\[H_0: \pi = 0.5 \text{ vs } H_1: \pi \neq 0.5\]</span></p>
<p>Merk op dat voor een Bernoulli verdeling de variantie onder H<span class="math inline">\(_0\)</span> ook gekend is: <span class="math inline">\(\pi_0 (1-\pi_0)\)</span>.</p>
<p>Dus onder <span class="math inline">\(H_0\)</span> is standaard error op <span class="math inline">\(\bar x\)</span>:</p>
<p><span class="math display">\[
\text{SE}_{0, \bar x}=\sqrt{\frac{\pi_0 (1-\pi_0)}{n}}
\]</span></p>
<p>We kunnen onder de nulhypothese dus volgende statistiek gebruiken die een afwijking van de nulhypothese in de richting van het alternatief zal detecteren.</p>
<p><span class="math display">\[ z = \frac{\bar x - \pi_0}{\text{SE}_{0, \bar x}}\]</span></p>
<ul>
<li><p>Onder <span class="math inline">\(H_0\)</span> verwachten we z dicht bij 0. Onder <span class="math inline">\(H_1\)</span> zal z verschuiven naar negatieve (<span class="math inline">\(\pi < \pi_0\)</span>)of positieve waarden (<span class="math inline">\(\pi>\pi_0\)</span>).</p></li>
<li><p>z volgt onder de nulhypothese dat er evenveel kans is op een jongen of een meisje (<span class="math inline">\(\pi_0=0.5\)</span>) asymptotisch een standaard normaal verdeling: we kunnen immers de CLT toepassen!</p></li>
</ul>
<p>We kunnen eenvoudig een p-waarde bekomen door gebruik te maken van de cumulatieve distributie van een standaard normale verdeling. Merk op dat het een tweezijdige test is!</p>
<div class="sourceCode" id="cb463"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb463-1"><a href="chap-categorisch.html#cb463-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pi0 <span class="ot"><-</span> <span class="fl">0.5</span></span>
<span id="cb463-2"><a href="chap-categorisch.html#cb463-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>se0 <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sqrt</span>(pi0<span class="sc">*</span>(<span class="dv">1</span><span class="sc">-</span>pi0)<span class="sc">/</span>n)</span>
<span id="cb463-3"><a href="chap-categorisch.html#cb463-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z <span class="ot"><-</span> (pi<span class="sc">-</span>pi0)<span class="sc">/</span>se0</span>
<span id="cb463-4"><a href="chap-categorisch.html#cb463-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 2.485539</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb465"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb465-1"><a href="chap-categorisch.html#cb465-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pval <span class="ot"><-</span> <span class="fu">pnorm</span>(<span class="fu">abs</span>(z),<span class="at">lower=</span><span class="cn">FALSE</span>) <span class="sc">*</span><span class="dv">2</span></span>
<span id="cb465-2"><a href="chap-categorisch.html#cb465-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pval</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.01293554</code></pre>
<p>We besluiten dus dat er significant meer kans is dat een ongeboren kind mannelijk dan vrouwelijk is (p=0.013). De kans dat een ongeboren kind mannelijk is bedraagt 0.516 (95% BI [0.503, 0.528]).</p>
<!---break-->
</div>
<div id="subsec:binom" class="section level3 hasAnchor" number="9.2.3">
<h3><span class="header-section-number">9.2.3</span> Binomiale test<a href="chap-categorisch.html#subsec:binom" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/QvfZol-vHBw" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Om een toets te kunnen construeren van de nulhypothese
dat</p>
<p><span class="math display">\[H_0: \pi=1/2 \text{ versus } H_1: \pi\neq 1/2,\]</span></p>
<p>moeten we de verdeling van de
gegevens <span class="math inline">\(X\)</span> en van de schatter voor de proportie, <span class="math inline">\(\hat \pi = \bar X\)</span> (of equivalent de som <span class="math inline">\(S=n\bar X\)</span>) kennen.</p>
<p>Stel dat het voorkomen van jongens en meisjes in de populatie even waarschijnlijk zijn; m.a.w. stel dat de nulhypothese waar is. Bij lukrake trekking
van één individu uit de populatie is de kans dat men een jongen observeert dan gelijk aan <span class="math inline">\(P(X=1) = \pi = 1/2.\)</span>
Als twee kinderen onafhankelijk van elkaar getrokken worden (en de populatie is bij benadering oneindig groot) dan heeft zowel
het eerste als het tweede kind kans 1/2 om mannelijk te zijn
(onafhankelijk van elkaar). De uitkomsten <span class="math inline">\((x_1, x_2)\)</span> voor beide kinderen
hebben dan 4 mogelijke waarden: <span class="math inline">\((0,0), (0,1),(1,0)\)</span> en <span class="math inline">\((1,1).\)</span> Deze komen
elk voor met kans <span class="math inline">\(1/4 = 1/2 \times 1/2\)</span>. Bijgevolg kan de
toevalsveranderlijke <span class="math inline">\(S\)</span> die de som van de uitkomsten weergeeft, de
volgende waarden aannemen:</p>
<!-- $(x_1,x_2)$|$s$|$P(S = s)$|
|:---:|:---:|:---:|
(0,0)|0|1/4|
(0,1), (1,0)|1|1/2|
(1,1)|2|1/4| -->
<table>
<thead>
<tr>
<th class="tg-c3ow">
<span class="math inline">\((x_1,x_2)\)</span>
</th>
<th class="tg-c3ow">
<span class="math inline">\(s\)</span>
</th>
<th class="tg-c3ow">
<span class="math inline">\(P(S=s)\)</span>
</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td class="tg-c3ow">
(0,0)
</td>
<td class="tg-c3ow">
0
</td>
<td class="tg-c3ow">
1/4
</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">
(0,1),(1,0)
</td>
<td class="tg-c3ow">
1
</td>
<td class="tg-c3ow">
1/2
</td>
</tr>
<tr>
<td class="tg-c3ow">
(1,1)
</td>
<td class="tg-c3ow">
2
</td>
<td class="tg-c3ow">
1/4
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>In het algemeen, als men <span class="math inline">\(n\)</span> onafhankelijke observaties trekt telkens met kans <span class="math inline">\(\pi\)</span> op “succes” (uitkomst 1), dan kan het totaal aantal successen
<span class="math inline">\(S\)</span> (of de som van alle 1-en), <span class="math inline">\(n+1\)</span> mogelijke waarden hebben. Men kan
aantonen dat elke waarde <span class="math inline">\(k\)</span> tussen 0 en <span class="math inline">\(n\)</span> dan de volgende kans op
voorkomen heeft:</p>
<p><span class="math display" id="eq:binomk">\[\begin{equation}
P(S=k) = \left (
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array}
\right ) \pi^k (1-\pi)^{n-k} \tag{9.1}
\end{equation}\]</span></p>
<p>waarbij <span class="math inline">\(1-\pi\)</span> de kans is op mislukking in 1 enkele trekking (uitkomst met 0 genoteerd) en
<span class="math inline">\(\left(\begin{array}{c} n \\ k \\ \end{array}\right)\)</span> de binomiaalcoëfficient<a href="#fn54" class="footnote-ref" id="fnref54"><sup>54</sup></a></p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\left (
\begin{array}{c}
n \\
k \\
\end{array}
\right ) = \frac{n \times (n-1) \times ...\times (n-k+1) }{ k!} = \frac{ n!}{ k!(n-k)! }
\end{equation*}\]</span></p>
<p>is, waarbij <span class="math inline">\(0!=1!=1\)</span>.</p>
<p>In R kan je die kansen opvragen met behulp van het commando <code>dbinom(k,n,p)</code>.</p>
<p>Een toevalsveranderlijke <span class="math inline">\(S\)</span> met een kansverdeling zoals in Model <a href="chap-categorisch.html#eq:binomk">(9.1)</a> noemt men een <em>Binomiaal verdeelde toevalsveranderlijke</em>. De bijhorende kansverdeling is de <em>Binomiale kansverdeling</em> met
parameters <span class="math inline">\(n\)</span> (d.i. het aantal trekkingen of, equivalent, de maximale
uitkomstwaarde) en <span class="math inline">\(\pi\)</span> (de kans op een `succes’ bij elke trekking). Ze
kan gebruikt worden om te berekenen wat de kans is dat er zich op een vast
totaal van <span class="math inline">\(n\)</span> onafhankelijke experimenten <span class="math inline">\(k\)</span> gebeurtenissen van een
bepaald type voordoen, als je weet dat de kans dat zich 1 zo’n gebeurtenis
voordoet op 1 experiment, <span class="math inline">\(\pi\)</span> bedraagt. De Binomiale kansverdeling wordt
vooral gebruikt voor de analyse van gegevens die slechts 2
mogelijke waarden kunnen aannemen.
Dergelijke gegevens komen vaak voor in wetenschappelijk onderzoek (bijvoorbeeld: al dan niet besmet met HIV, wild type van een gen vs een mutant,…).
Kennis van de Binomiale verdeling kan dan helpen om proporties of risico’s
op een gebeurtenis van een bepaald type te vergelijken tussen verschillende
groepen. Een grafische weergave van enkele Binomiale kansverdelingen is
gegeven in Figuur <a href="chap-categorisch.html#fig:binoms">9.2</a>.</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:binoms"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/binoms-1.png" alt="Binomiale verdelingen." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 9.2: Binomiale verdelingen.
</p>
</div>
<p>Om nu te toetsen of <span class="math inline">\(\pi=1/2\)</span> versus het alternatief dat <span class="math inline">\(\pi\neq 1/2\)</span>, is een
voor de hand liggende toetsstatistiek <span class="math inline">\(\bar X-1/2\)</span> of, equivalent, <span class="math inline">\(\Delta=n(\bar X-\pi_0)=S-s_0\)</span>. De verdeling van deze laatste toetsstatistiek volgt
rechtstreeks uit de Binomiale verdeling.</p>
<p>We observeren <span class="math inline">\(s=\)</span> 3175 en dus <span class="math inline">\(\delta=s-s_0=\)</span> 3175 <span class="math inline">\(-\)</span> 6155 <span class="math inline">\(\times 0.5=\)</span> 97.5.
In de onderstelling dat jongens en meisjes even waarschijnlijk zijn (d.i. onder de nulhypothese <span class="math inline">\(H_0:\pi=1/2\)</span>), kunnen we de bijhorende tweezijdige p-waarde berekenen als de kans dat de uitkomst</p>
<p><span class="math display">\[p=\text{P}_0\left[S-s_0\geq \vert \delta\vert \right] + \text{P}_0\left[S-s_0\leq - \vert \delta\vert \right].\]</span></p>
<p>Merk op dat we dit kunnen herschrijven in termen van S.</p>
<p><span class="math display">\[p=\text{P}_0\left[S\geq s_0+ \vert \delta\vert \right] + \text{P}_0\left[S \leq s_0 - \vert \delta\vert \right].\]</span></p>
<p>Voor ons voorbeeld kunnen we deze kansen als volgt berekenen:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{eqnarray*}
\text{P}_0\left[S\geq s_0+ \vert \delta\vert \right] &=& P(S \geq 6155 \times 0.5 + \vert 3175 - 6155 \times 0.5\vert ) = P(S \geq 3175)\\
&= &P(S= 3175) + P(S=3176) + ... + P(S=6155)\\
& =& 0.0067\\\\
\text{P}_0\left[S \leq s_0 - \vert \delta\vert \right] &=& P(S \leq 6155 \times 0.5 - \vert 3175- 6155 \times 0.5\vert) = P(S \leq 2980)\\ &= &P(S=0) + ... + P(S=2980) \\
&=&0.0067
\end{eqnarray*}\]</span></p>
<p>Gezien <span class="math inline">\(\pi=0.5\)</span> zijn deze kansen gelijk omdat de binomiale distributie dan symmetrisch is. Dat is niet langer het geval wanneer <span class="math inline">\(\pi\)</span> afwijkt van 0.5.</p>
<p>In R kan men de kansen berekenen via de commando’s:</p>
<div class="sourceCode" id="cb467"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb467-1"><a href="chap-categorisch.html#cb467-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pi0 <span class="ot"><-</span> <span class="fl">0.5</span></span>
<span id="cb467-2"><a href="chap-categorisch.html#cb467-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>s0 <span class="ot"><-</span> pi0 <span class="sc">*</span>n</span>
<span id="cb467-3"><a href="chap-categorisch.html#cb467-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>delta <span class="ot"><-</span> <span class="fu">abs</span>(boys<span class="sc">-</span> s0)</span>
<span id="cb467-4"><a href="chap-categorisch.html#cb467-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>delta</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 97.5</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb469"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb469-1"><a href="chap-categorisch.html#cb469-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>sUp <span class="ot"><-</span> s0 <span class="sc">+</span> delta</span>
<span id="cb469-2"><a href="chap-categorisch.html#cb469-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>sDown <span class="ot"><-</span> s0 <span class="sc">-</span>delta</span>
<span id="cb469-3"><a href="chap-categorisch.html#cb469-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">c</span>(sDown,sUp)</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 2980 3175</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb471"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb471-1"><a href="chap-categorisch.html#cb471-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#Merk op dat we voor de berekening naar rechts</span></span>
<span id="cb471-2"><a href="chap-categorisch.html#cb471-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#pbinom(sUp-1,n,pi) gebruiken omdat we met</span></span>
<span id="cb471-3"><a href="chap-categorisch.html#cb471-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#pbinom de kans berekenen in de linkse staart</span></span>
<span id="cb471-4"><a href="chap-categorisch.html#cb471-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#anders wordt s=3175 er niet bij geteld!</span></span>
<span id="cb471-5"><a href="chap-categorisch.html#cb471-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pUp <span class="ot"><-</span> <span class="dv">1</span> <span class="sc">-</span> <span class="fu">pbinom</span>(sUp<span class="dv">-1</span>, n, pi0)</span>
<span id="cb471-6"><a href="chap-categorisch.html#cb471-6" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pUp</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.006699883</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb473"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb473-1"><a href="chap-categorisch.html#cb473-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pDown <span class="ot"><-</span> <span class="fu">pbinom</span>(sDown, n, pi0)</span>
<span id="cb473-2"><a href="chap-categorisch.html#cb473-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>pDown</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.006699883</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb475"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb475-1"><a href="chap-categorisch.html#cb475-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>p <span class="ot"><-</span> pUp<span class="sc">+</span>pDown</span>
<span id="cb475-2"><a href="chap-categorisch.html#cb475-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>p</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.01339977</code></pre>
<p>waarbij <code>pbinom(sUp-1,n,pi0)</code> de kans op een resultaat kleiner of gelijk aan <span class="math inline">\(s_0+\vert \delta\vert -1 =\)</span> 3174 berekent.
Als <span class="math inline">\(\pi= 1/2\)</span>, dan zou de kans om door toeval minstens <span class="math inline">\(\delta=\)</span> 97.5 jongens meer of minder te observeren dan het gemiddelde onder <span class="math inline">\(H_0: s_0=\)</span> 3077.5 , slechts 1.34% is, de <span class="math inline">\(p\)</span>-waarde van de binomiale test.<br />
Dit geeft aan dat het heel onwaarschijnlijk is om een dergelijk groot aantal jongens te
observeren als in realiteit jongens en meisjes even waarschijnlijk zijn.
Het drukt
met andere woorden uit dat de onderstelling dat jongens en meisjes even waarschijnlijk zijn, weinig gesteund wordt door de data.
Dit blijkt ook uit Figuur <a href="chap-categorisch.html#fig:pitests">9.3</a>.</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:pitests"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/pitests-1.png" alt="Binomiale verdeling van het aantal jongens S onder $H_0: \pi=0.5 (n=6155)$." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 9.3: Binomiale verdeling van het aantal jongens S onder <span class="math inline">\(H_0: \pi=0.5 (n=6155)\)</span>.
</p>
</div>
<p>De test kan eveneens worden uitgevoerd a.d.h.v. de <code>binomial.test</code> functie in R.</p>
<div class="sourceCode" id="cb477"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb477-1"><a href="chap-categorisch.html#cb477-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">binom.test</span>(<span class="at">x =</span> boys, <span class="at">n =</span> n, <span class="at">p =</span> pi0)</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Exact binomial test
##
## data: boys and n
## number of successes = 3175, number of trials =
## 6155, p-value = 0.0134
## alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.5032696 0.5283969
## sample estimates:
## probability of success
## 0.5158408</code></pre>
<p>Op het 5% significantie-niveau besluiten we dat er gemiddeld meer kans is dat een ongeboren kind mannelijk dan vrouwelijk is.</p>
<p>Voor de Saksen-studie ligt het BI op basis van de CLT heel dicht bij het exacte BI omdat de studie is gebaseerd op een grote steekproef (<span class="math inline">\(n=\)</span> 6155).</p>
<ul>
<li><p>De Binomiale test heeft ook een exact BI weer op een proportie.</p></li>
<li><p>Het exacte BI is te verkiezen boven het BI dat gebaseerd is op de CLT.</p></li>
<li><p>Voor Saksen-studie ligt BI o.b.v. CLT heel dicht bij exacte BI: grote steekproef (<span class="math inline">\(n=\)</span> 6155).</p></li>
</ul>
<p>Merk op dat het testen voor een proportie kan gezien worden als het equivalent van een one-sample t-test voor binaire data.</p>
</div>
<div id="conclusie" class="section level3 hasAnchor" number="9.2.4">
<h3><span class="header-section-number">9.2.4</span> Conclusie<a href="chap-categorisch.html#conclusie" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Voor de Saksen populatie besluiten we op het 5% significantieniveau dat er meer kans is dat een ongeboren kind mannelijk dan vrouwelijk is (<span class="math inline">\(p=\)</span> 0.013).
De kans dat een ongeboren kind mannelijk is, bedraagt 51.6% (95% BI [50.3,52.8]%).</p>
</div>
</div>
<div id="toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen" class="section level2 hasAnchor" number="9.3">
<h2><span class="header-section-number">9.3</span> Toets voor associatie tussen 2 kwalitatieve variabelen<a href="chap-categorisch.html#toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<div id="gepaarde-gegevens" class="section level3 hasAnchor" number="9.3.1">
<h3><span class="header-section-number">9.3.1</span> Gepaarde gegevens<a href="chap-categorisch.html#gepaarde-gegevens" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/C-GVbk29SEY" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Net zoals bij het vergelijken van
gemiddelden (uitkomsten op 2 continue veranderlijken) is het ook hier in
principe mogelijk dezelfde individuen 2 keer te meten (bijvoorbeeld,
vóór en na blootstelling aan de experimentele stof) en telkens de
uitkomst te observeren. In dat geval hebben we te maken met <em>gepaarde
binaire uitkomsten</em> en moeten we in de statistische analyse rekening houden
met de paring.</p>
<div id="voorbeeld" class="section level4 hasAnchor" number="9.3.1.1">
<h4><span class="header-section-number">9.3.1.1</span> Voorbeeld<a href="chap-categorisch.html#voorbeeld" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<p><span class="citation">Rogovin et al. (<a href="#ref-Rogovin2017" role="doc-biblioref">2017</a>)</span> onderzochten de partnerkeuze van seksueel mature vrouwelijke <em>Campbelli</em> dwerghamster.
Hiervoor bekeken ze verschillende karakteristieken van de mannetjes, waaronder seksgerelateerde morfologische kenmerken (lichaamsmassa, externe testikel diameter), testosteron niveau, immunocompetentie kenmerken (de concentratie aan T-cel en B-cel immuuncellen in het bloed), maar ook gedragskenmerken zoals agressiviteit en seksuele dominantie van het mannetje.</p>
<p>De experimentele set-up betreft een rechthoekige doos van plexiglas met drie compartimenten, waarin het vrouwtje zich in het middenste gedeelte bevindt (zie Figuur <a href="chap-categorisch.html#fig:hamsterKooi">9.4</a>).</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:hamsterKooi"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/hamsterKooi-1.png" alt="Experimentele opstelling voor het bepalen van de partnerkeuze bij dwerghamsters" width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 9.4: Experimentele opstelling voor het bepalen van de partnerkeuze bij dwerghamsters
</p>
</div>
<p>De mannetjes, die overigens broers zijn, hangen vast aan de doos waardoor ze zich slechts over drie vierden van de ruimte van hun compartiment vrij kunnen bewegen. Na alle dieren enkele minuten te laten acclimatiseren worden niet-doorzichtige wanden die de compartimenten scheidden, opgetrokken waardoor het vrouwtje zich via de aangegeven deurtjes naar de mannetjes kan begeven. Aangezien de mannetjes zich niet buiten hun compartiment kunnen begeven, ligt de keuze volledig in de handen van het vrouwtje. Het wordt aangenomen dat het vrouwtje een partnerkeuze maakt indien ze meer dan twee derden van de tijd met één mannetje doorbrengt, relatief ten opzichte van de totale tijd die ze met mannetjes doorbrengt.</p>
<p>Elk vrouwtje onderging tweemaal de test, waarbij ze telkens kon kiezen tussen één agressief en één niet-agressief mannetje. Om te onderzoeken of de partnerkeuze van het vrouwtje beïnvloed wordt door de omgeving, kwam het vrouwtje in één van de testen uit een vijandige omgeving (hoge populatie, weinig voedsel, veel concurrentie) en in een andere test uit een vriendelijkere omgeving.</p>
<p>De resultaten van de studie zijn samengevat in de onderstaande kruistabel (Tabel <a href="chap-categorisch.html#tab:catHamster">9.1</a>).</p>
<div class="sourceCode" id="cb479"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb479-1"><a href="chap-categorisch.html#cb479-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>hamster <span class="ot"><-</span> <span class="fu">matrix</span>(<span class="fu">c</span>(<span class="dv">3</span>,<span class="dv">17</span>,<span class="dv">1</span>,<span class="dv">13</span>),<span class="at">ncol=</span><span class="dv">2</span>,<span class="at">byrow=</span><span class="cn">TRUE</span>)</span>
<span id="cb479-2"><a href="chap-categorisch.html#cb479-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">rownames</span>(hamster) <span class="ot"><-</span> <span class="fu">c</span>(<span class="st">"vijandig-agressief"</span>, <span class="st">"vijandig-niet-agressief"</span>)</span>
<span id="cb479-3"><a href="chap-categorisch.html#cb479-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">colnames</span>(hamster) <span class="ot"><-</span> <span class="fu">c</span>(<span class="st">"vriendelijk-agressief"</span>,<span class="st">"vriendelijk-niet-agressief"</span>)</span></code></pre></div>
<table>
<caption>
<span id="tab:catHamster">Tabel 9.1: </span>Kruistabel van partnerkeuze bij dwerghamster.
</caption>
<thead>
<tr>
<th style="text-align:left;">
</th>
<th style="text-align:left;">
vriendelijk-agressief
</th>
<th style="text-align:left;">
vriendelijk-niet-agressief
</th>
<th style="text-align:left;">
totaal
</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align:left;">
vijandig-agressief
</td>
<td style="text-align:left;">
3 (e)
</td>
<td style="text-align:left;">
17 (f)
</td>
<td style="text-align:left;">
20
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
vijandig-niet-agressief
</td>
<td style="text-align:left;">
1 (g)
</td>
<td style="text-align:left;">
13 (h)
</td>
<td style="text-align:left;">
14
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
totaal
</td>
<td style="text-align:left;">
4
</td>
<td style="text-align:left;">
30
</td>
<td style="text-align:left;">
34
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>De kans op de keuze voor een agressief mannetje na verblijf in een vijandige omgeving noteren we als <span class="math inline">\(\pi_1\)</span> en kunnen we schatten als <span class="math inline">\((e+f)/n\)</span>, waarbij <span class="math inline">\(n=e+f+g+h\)</span>. De kans op
de keuze voor een agressief mannetje na een vriendelijke omgeving noteren we met <span class="math inline">\(\pi_0\)</span>
en kunnen we schatten als <span class="math inline">\((e+g)/n\)</span>. Het verschil tussen beide kansen,
het absoluut riscoverschil (ARV), schatten we als</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\widehat{\text{ARV}}=\hat\pi_1-\hat\pi_0=\frac{e+f}{n}-\frac{e+g}{n}=\frac{f-g}{n}
\end{equation*}\]</span></p>
<p>en wordt enkel beïnvloed door de aantallen discordante paren <span class="math inline">\(f\)</span> en <span class="math inline">\(g\)</span><a href="#fn55" class="footnote-ref" id="fnref55"><sup>55</sup></a>. Men kan aantonen dat de standaard error van dit verschil gelijk is aan</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\text{SE}_{\widehat{\text{ARV}}}=\frac{1}{n}\sqrt{f+g-\frac{(f-g)^2}{n}}
\end{equation*}\]</span></p>
<p>Als er voldoende gegevens zijn, kan men een <span class="math inline">\((1-\alpha)100\%\)</span>
betrouwbaarheidsinterval voor het absolute risicoverschil op de keuze voor een agressief mannetje t.g.v. de omgeving schatten
als</p>
<p><span class="math display">\[\left[\widehat{\text{ARV}}-z_{\alpha/2}\text{SE}_{\widehat{\text{ARV}}},\widehat{\text{ARV}}+z_{\alpha/2}\text{SE}_{\widehat{\text{ARV}}}\right]\]</span></p>
<p>of</p>
<p><span class="math display">\[\left[\frac{f-g}{n}-\frac{z_{\alpha/2}}{n}\sqrt{f+g-\frac{(f-g)^2}{n}},\frac{f-g}{n}+\frac{z_{\alpha/2}}{n}\sqrt{f+g-\frac{(f-g)^2}{n}}\right] \]</span></p>
<div class="sourceCode" id="cb480"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb480-1"><a href="chap-categorisch.html#cb480-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>f <span class="ot"><-</span> hamster[<span class="dv">1</span>,<span class="dv">2</span>]</span>
<span id="cb480-2"><a href="chap-categorisch.html#cb480-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>g <span class="ot"><-</span> hamster[<span class="dv">2</span>,<span class="dv">1</span>]</span>
<span id="cb480-3"><a href="chap-categorisch.html#cb480-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>n <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sum</span>(hamster)</span>
<span id="cb480-4"><a href="chap-categorisch.html#cb480-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>riskdiff <span class="ot"><-</span> (f<span class="sc">-</span>g)<span class="sc">/</span>n</span>
<span id="cb480-5"><a href="chap-categorisch.html#cb480-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>riskdiff</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.4705882</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb482"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb482-1"><a href="chap-categorisch.html#cb482-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>se <span class="ot"><-</span> <span class="fu">sqrt</span>(f<span class="sc">+</span>g<span class="sc">-</span>(f<span class="sc">-</span>g)<span class="sc">^</span><span class="dv">2</span><span class="sc">/</span>n)<span class="sc">/</span>n</span>
<span id="cb482-2"><a href="chap-categorisch.html#cb482-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>se</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.09517144</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb484"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb484-1"><a href="chap-categorisch.html#cb484-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>bi <span class="ot"><-</span> riskdiff <span class="sc">+</span> <span class="fu">c</span>(<span class="sc">-</span><span class="dv">1</span>,<span class="dv">1</span>)<span class="sc">*</span><span class="fu">qnorm</span>(<span class="fl">0.975</span>)<span class="sc">*</span>se</span>
<span id="cb484-2"><a href="chap-categorisch.html#cb484-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>bi</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.2840556 0.6571208</code></pre>
<p>Het absolute risicoverschil op de keuze van een agressief mannetje tussen een verblijf in een vijandige en vriendelijke omgeving bedraagt</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\widehat{\text{ARV}}=\frac{17-1}{34}=0.471
\end{equation*}\]</span></p>
<p>of 47.1%. De standaard error van dit verschil is</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\text{SE}_{\widehat{\text{ARV}}}=\frac{1}{34}\sqrt{17+1-\frac{(17-1)^2}{34}}=0.0952
\end{equation*}\]</span></p>
<p>Een 95% betrouwbaarheidsinterval absolute risicoverschil op de keuze van een agressief mannetje tussen een verblijf in een vijandige en vriendelijke omgeving is bijgevolg</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\left[0.471-1.96\times 0.0952,0.471+1.96\times 0.0952\right]=[0.284,0.658]
\end{equation*}\]</span></p>
<p>We hebben dus geschat dat het absolute risico met 95% kans in het interval [28.4,65.8]% ligt.</p>
<!---break-->
</div>
<div id="mcnemar-test" class="section level4 hasAnchor" number="9.3.1.2">
<h4><span class="header-section-number">9.3.1.2</span> McNemar test<a href="chap-categorisch.html#mcnemar-test" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h4>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/ypRozT2YH90" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>We gaan vervolgens na hoe we kunnen toetsen of de risico’s verschillen tussen de vijandige en vriendelijke omgeving.
Indien alle vrouwtjes in zowel de vijandige als vriendelijke omgeving dezelfde partnerkeuze hadden, dan was er geen informatie over de vraag of de omgeving geassocieerd is met de partnerkeuze. Enkel de discordante paren leveren hier informatie over. Als
er meer discordante paren zijn waar een vrouwtje een agressief mannetje kiest na verblijf in een vijandige omgeving en een niet-agressief mannetje na een vriendelijke omgeving, dan discordante paren waar het vrouwtje een niet-agressief mannetje kiest na verblijf in een vijandige omgeving en een agressief mannetje kiest na een vriendelijke omgeving, dan is er een
indicatie tegen de nulhypothese dat er geen associatie is tussen de partnerkeuze en de omgeving.
Men kan daarom toetsen of de partnerkeuze geassocieerd is met de omgeving door de kans te evalueren dat in een
lukraak discordant paar, het vrouwtje na verblijf in een vijandige omgeving kiest voor het agressieve mannetje.
Deze kans wordt geschat als <span class="math inline">\(f/(f+g)\)</span> en wordt verwacht in de buurt
van 0.5 te liggen als de nulhypothese geldt dat er geen associatie is tussen partnerkeuze en omgeving.
Meer bepaald volgt het getal <span class="math inline">\(f\)</span> binnen de
groep discordante paren onder de nulhypothese een Binomiale verdeling met
parameters <span class="math inline">\(f+g\)</span> en 0.5. De standaarddeviatie van <span class="math inline">\(f\)</span> is bijgevolg gelijk
aan</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\sqrt{(f+g)\times 0.5\times 0.5}=\frac{\sqrt{f+g}}{2}
\end{equation*}\]</span></p>
<p>onder de nulhypothese. Op voorwaarde dat er voldoende observaties zijn, kan men nu de one-sample z-test<a href="#fn56" class="footnote-ref" id="fnref56"><sup>56</sup></a>
gebruiken om te toetsen of de kans dat een lukraak discordant paar in de cel rechtsboven van de tabel
gelegen is, 0.5 bedraagt. M.a.w. bekijken we het gestandaardiseerde verschil
tussen <span class="math inline">\(f\)</span> en haar verwachtingswaarde onder de nulhypothese:</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\frac{f-(f+g)/2}{\sqrt{f+g}/2}=\frac{f-g}{\sqrt{f+g}}
\end{equation*}\]</span></p>
<p>die bij benadering een Normale verdeling volgt onder de nulhypothese.
De Normale benadering is goed als</p>
<p><span class="math display">\[f \times g/(f+g) \geq 5\]</span></p>
<p>De toets gebaseerd op bovenstaande toetsingsgrootheid heet de <em>Mc Nemar toets</em>.</p>
<p>In kleine steekproeven is het meer aangewezen om een continuïteitscorrectie te gebruiken d.m.v. de toetsingsgrootheid</p>
<p><span class="math display">\[\begin{equation*}
\frac{|f-g|-1}{\sqrt{f+g}}
\end{equation*}\]</span></p>
<p>De <strong>Mc Nemar test</strong> wordt gebruikt om te toetsen of er een associatie is tussen 2 kwalitatieve, binaire variabelen, i.h.b. om te toetsen of de kans op succes voor de ene variabele verschilt tussen de 2 strata van de andere kwalitatieve variabele. Ze vereist dat alle metingen voor de ene kwalitatieve variabele (uitkomst) in het ene stratum van de andere kwalitatieve variabele, onafhankelijk zijn, en dat elke meting uit het ene stratum gepaard is met een meting uit het andere stratum in die zin dat ze van verwante subjecten afkomstig zijn. Op die manier vormt ze het analogon van de gepaarde t-test voor binaire, kwalitatieve i.p.v. continue variabelen.</p>
<p>We voeren nu de analyse uit voor het hamstervoorbeeld in R:</p>
<div class="sourceCode" id="cb486"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb486-1"><a href="chap-categorisch.html#cb486-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>correct <span class="ot"><-</span> f<span class="sc">*</span>g<span class="sc">/</span>(f<span class="sc">+</span>g)</span>
<span id="cb486-2"><a href="chap-categorisch.html#cb486-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>correct</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.9444444</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb488"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb488-1"><a href="chap-categorisch.html#cb488-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#continuiteitscorrectie</span></span>
<span id="cb488-2"><a href="chap-categorisch.html#cb488-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z <span class="ot"><-</span> (<span class="fu">abs</span>(f<span class="sc">-</span>g)<span class="sc">-</span><span class="dv">1</span>)<span class="sc">/</span><span class="fu">sqrt</span>(f<span class="sc">+</span>g)</span>
<span id="cb488-3"><a href="chap-categorisch.html#cb488-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>z</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 3.535534</code></pre>
<div class="sourceCode" id="cb490"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb490-1"><a href="chap-categorisch.html#cb490-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>p <span class="ot"><-</span> (<span class="dv">1</span><span class="sc">-</span><span class="fu">pnorm</span>(z))<span class="sc">*</span><span class="dv">2</span></span>
<span id="cb490-2"><a href="chap-categorisch.html#cb490-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>p</span></code></pre></div>
<pre><code>## [1] 0.000406952</code></pre>
<p>Voor het dwerghamster voorbeeld observeren we dat
<span class="math inline">\(f\times g/(f+g)=\)</span> 0.944 <span class="math inline">\(<5\)</span>.
We zullen dus de continuïteitscorrectie uitvoeren.
De McNemar toetsingsgrootheid bedraagt
<span class="math inline">\((\vert 17-1 \vert -1)/\sqrt{17+1}=\)</span> 3.54.
De kans dat een Normaal verdeelde toevalsveranderlijke groter is
dan 3.54 of kleiner is dan -3.54 bedraagt 0.0407% en stelt ook de p-waarde van
de toets voor. We verwerpen bijgevolg de nulhypothese op het 5% significantieniveau en
besluiten dat de parternkeuze extreem significant geassocieerd is met de omgeving.</p>
<p>In R kan de analyse ook worden uitgevoerd a.d.h.v. de <code>mcnemar.test</code> functie</p>
<div class="sourceCode" id="cb492"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb492-1"><a href="chap-categorisch.html#cb492-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">mcnemar.test</span>(hamster)</span></code></pre></div>