-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
chap-linReg.html
1924 lines (1884 loc) · 197 KB
/
chap-linReg.html
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
<!DOCTYPE html>
<html lang="" xml:lang="">
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=edge" />
<title>Hoofdstuk 6 Enkelvoudige lineaire regressie | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</title>
<meta name="description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="generator" content="bookdown 0.29.1 and GitBook 2.6.7" />
<meta property="og:title" content="Hoofdstuk 6 Enkelvoudige lineaire regressie | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta property="og:type" content="book" />
<meta property="og:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="github-repo" content="statOmics/statistiek2deBach" />
<meta name="twitter:card" content="summary" />
<meta name="twitter:title" content="Hoofdstuk 6 Enkelvoudige lineaire regressie | Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023" />
<meta name="twitter:description" content="Inleiding tot de Biostatistiek voor de 2de Bachelor of Science in de Biologie, - in de Biochemie & de Biotechnologie, - in de Biomedische Wetenschappen, en - in de Chemie" />
<meta name="author" content="Lieven Clement" />
<meta name="date" content="2022-09-20" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
<meta name="apple-mobile-web-app-capable" content="yes" />
<meta name="apple-mobile-web-app-status-bar-style" content="black" />
<link rel="prev" href="chap-besluit.html"/>
<link rel="next" href="chap-anova.html"/>
<script src="libs/jquery-3.6.0/jquery-3.6.0.min.js"></script>
<script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/[email protected]/dist/fuse.min.js"></script>
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/style.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-table.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-bookdown.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-highlight.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-search.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-fontsettings.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/gitbook-2.6.7/css/plugin-clipboard.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections-hash.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/anchor-sections-1.1.0/anchor-sections.js"></script>
<script src="libs/kePrint-0.0.1/kePrint.js"></script>
<link href="libs/lightable-0.0.1/lightable.css" rel="stylesheet" />
<link href="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.min.css" rel="stylesheet" />
<script src="libs/bsTable-3.3.7/bootstrapTable.js"></script>
<style type="text/css">
pre > code.sourceCode { white-space: pre; position: relative; }
pre > code.sourceCode > span { display: inline-block; line-height: 1.25; }
pre > code.sourceCode > span:empty { height: 1.2em; }
.sourceCode { overflow: visible; }
code.sourceCode > span { color: inherit; text-decoration: inherit; }
pre.sourceCode { margin: 0; }
@media screen {
div.sourceCode { overflow: auto; }
}
@media print {
pre > code.sourceCode { white-space: pre-wrap; }
pre > code.sourceCode > span { text-indent: -5em; padding-left: 5em; }
}
pre.numberSource code
{ counter-reset: source-line 0; }
pre.numberSource code > span
{ position: relative; left: -4em; counter-increment: source-line; }
pre.numberSource code > span > a:first-child::before
{ content: counter(source-line);
position: relative; left: -1em; text-align: right; vertical-align: baseline;
border: none; display: inline-block;
-webkit-touch-callout: none; -webkit-user-select: none;
-khtml-user-select: none; -moz-user-select: none;
-ms-user-select: none; user-select: none;
padding: 0 4px; width: 4em;
color: #aaaaaa;
}
pre.numberSource { margin-left: 3em; border-left: 1px solid #aaaaaa; padding-left: 4px; }
div.sourceCode
{ }
@media screen {
pre > code.sourceCode > span > a:first-child::before { text-decoration: underline; }
}
code span.al { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Alert */
code span.an { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Annotation */
code span.at { color: #7d9029; } /* Attribute */
code span.bn { color: #40a070; } /* BaseN */
code span.bu { } /* BuiltIn */
code span.cf { color: #007020; font-weight: bold; } /* ControlFlow */
code span.ch { color: #4070a0; } /* Char */
code span.cn { color: #880000; } /* Constant */
code span.co { color: #60a0b0; font-style: italic; } /* Comment */
code span.cv { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* CommentVar */
code span.do { color: #ba2121; font-style: italic; } /* Documentation */
code span.dt { color: #902000; } /* DataType */
code span.dv { color: #40a070; } /* DecVal */
code span.er { color: #ff0000; font-weight: bold; } /* Error */
code span.ex { } /* Extension */
code span.fl { color: #40a070; } /* Float */
code span.fu { color: #06287e; } /* Function */
code span.im { } /* Import */
code span.in { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Information */
code span.kw { color: #007020; font-weight: bold; } /* Keyword */
code span.op { color: #666666; } /* Operator */
code span.ot { color: #007020; } /* Other */
code span.pp { color: #bc7a00; } /* Preprocessor */
code span.sc { color: #4070a0; } /* SpecialChar */
code span.ss { color: #bb6688; } /* SpecialString */
code span.st { color: #4070a0; } /* String */
code span.va { color: #19177c; } /* Variable */
code span.vs { color: #4070a0; } /* VerbatimString */
code span.wa { color: #60a0b0; font-weight: bold; font-style: italic; } /* Warning */
</style>
<style type="text/css">
/* Used with Pandoc 2.11+ new --citeproc when CSL is used */
div.csl-bib-body { }
div.csl-entry {
clear: both;
}
.hanging div.csl-entry {
margin-left:2em;
text-indent:-2em;
}
div.csl-left-margin {
min-width:2em;
float:left;
}
div.csl-right-inline {
margin-left:2em;
padding-left:1em;
}
div.csl-indent {
margin-left: 2em;
}
</style>
<link rel="stylesheet" href="style.css" type="text/css" />
</head>
<body>
<div class="book without-animation with-summary font-size-2 font-family-1" data-basepath=".">
<div class="book-summary">
<nav role="navigation">
<ul class="summary">
<li><a href="./">Cursus Inleiding tot Biostatistiek 2022-2023</a></li>
<li class="divider"></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="index.html"><a href="index.html"><i class="fa fa-check"></i>Woord vooraf</a></li>
<li class="chapter" data-level="" data-path="links.html"><a href="links.html"><i class="fa fa-check"></i>Links</a></li>
<li class="chapter" data-level="1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html"><i class="fa fa-check"></i><b>1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#sec:wetMeth"><i class="fa fa-check"></i><b>1.1</b> De Wetenschappelijke Methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#opzet-van-de-cursus"><i class="fa fa-check"></i><b>1.2</b> Opzet van de cursus</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-oksel-microbiome"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3</b> Case study: oksel microbiome</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.3.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experimenteel-design-proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.1</b> Experimenteel design (proefopzet)</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#data-exploratie-en-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.2</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.3.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#statistische-besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>1.3.3</b> Statistische Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-ii-verschil-in-lengte-tussen-vrouwen-en-mannen"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4</b> Case Study II: Verschil in lengte tussen vrouwen en mannen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.4.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.1</b> Experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.2</b> Herhaal het experiment</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#herhaal-het-experiment-opnieuw"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.3</b> Herhaal het experiment opnieuw</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.4" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#samenvatting"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.4</b> Samenvatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#controle-van-beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.5</b> Controle van beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.4.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#conclusies"><i class="fa fa-check"></i><b>1.4.6</b> Conclusies</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.5" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#case-study-salk-vaccin"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5</b> Case study: Salk vaccin</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="1.5.1" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#nfip-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.1</b> NFIP Study</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.2" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#confounding"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.2</b> Confounding</a></li>
<li class="chapter" data-level="1.5.3" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#salk-study"><i class="fa fa-check"></i><b>1.5.3</b> Salk Study</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="1.6" data-path="inleiding.html"><a href="inleiding.html#rol-van-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>1.6</b> Rol van Statistiek</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html"><i class="fa fa-check"></i><b>2</b> Belangrijke concepten & conventies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#inleiding-1"><i class="fa fa-check"></i><b>2.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.2</b> Variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:pop"><i class="fa fa-check"></i><b>2.3</b> Populatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#toevalsveranderlijken-of-toevallige-veranderlijken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.4</b> Toevalsveranderlijken (of toevallige veranderlijken)</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#beschrijven-van-de-populatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5</b> Beschrijven van de populatie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.5.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#intermezzo-probabiliteitstheorie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.1</b> Intermezzo probabiliteitstheorie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#standardisatie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.2</b> Standardisatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.5.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#subsec:normalcalc"><i class="fa fa-check"></i><b>2.5.3</b> Achtergrond Normale verdeling</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.6" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#steekproef"><i class="fa fa-check"></i><b>2.6</b> Steekproef</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.7" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-gender"><i class="fa fa-check"></i><b>2.7</b> NHANES: Gender</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#nhanes-lengte"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8</b> NHANES: Lengte</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="2.8.1" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#empirische-distributie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.1</b> Empirische distributie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.2" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#normale-benadering"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.2</b> Normale benadering</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.3" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#referentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.3</b> Referentie intervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.8.4" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conclusions"><i class="fa fa-check"></i><b>2.8.4</b> Conclusions</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="2.9" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#statistieken"><i class="fa fa-check"></i><b>2.9</b> Statistieken</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.10" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#conventie"><i class="fa fa-check"></i><b>2.10</b> Conventie</a></li>
<li class="chapter" data-level="2.11" data-path="belangrijke-concepten-conventies.html"><a href="belangrijke-concepten-conventies.html#code-voor-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>2.11</b> Code voor dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html"><i class="fa fa-check"></i><b>3</b> Studiedesign</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#inleiding-2"><i class="fa fa-check"></i><b>3.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:steekproefdesigns"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2</b> Steekproefdesigns</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.2.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#replicatie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.2.1</b> Replicatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#experimentele-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3</b> Experimentele studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.3.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#de-salk-vaccin-veldstudie"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.1</b> De Salk Vaccin Veldstudie</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#gerandomiseerde-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.2</b> Gerandomiseerde gecontroleerde studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.3" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#parallelle-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.3</b> Parallelle designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-over-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.4</b> Cross-over designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#factoriële-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.5</b> Factoriële designs</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#quasi-experimentele-designs"><i class="fa fa-check"></i><b>3.3.6</b> Quasi-experimentele designs</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="3.4" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#sec:observational"><i class="fa fa-check"></i><b>3.4</b> Observationele studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.5" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:prosp"><i class="fa fa-check"></i><b>3.5</b> Prospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.6" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:design:retro"><i class="fa fa-check"></i><b>3.6</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#niet-gecontroleerde-studies"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7</b> Niet-gecontroleerde studies</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="3.7.1" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#subsec:prepost"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.1</b> Pre-test/Post-test studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="3.7.2" data-path="chap-design.html"><a href="chap-design.html#cross-sectionele-surveys"><i class="fa fa-check"></i><b>3.7.2</b> Cross-sectionele surveys</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html"><i class="fa fa-check"></i><b>4</b> Data exploratie en beschrijvende statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#inleiding-3"><i class="fa fa-check"></i><b>4.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:univar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.2</b> Univariate beschrijving van de variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:summarize"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3</b> Samenvattingsmaten voor continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.3.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#maten-voor-de-centrale-ligging"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.1</b> Maten voor de centrale ligging</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.3.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:spreiding"><i class="fa fa-check"></i><b>4.3.2</b> Spreidingsmaten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:normal"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4</b> De Normale benadering van gegevens</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.4.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:qq"><i class="fa fa-check"></i><b>4.4.1</b> QQ-plots</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.5" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:explCatVar"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5</b> Samenvattingsmaten voor categorische variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.5.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#prospectieve-studies-en-lukrake-steekproeven"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.1</b> Prospectieve studies en lukrake steekproeven</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:retrospect"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.2</b> Retrospectieve studies</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.5.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#rates-versus-risicos"><i class="fa fa-check"></i><b>4.5.3</b> Rates versus risico’s</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.6" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#associaties-tussen-twee-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6</b> Associaties tussen twee variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.6.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:kruistabel"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.1</b> Associatie tussen twee kwalitatieve variabelen</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.6.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#subsec:asskwalcont"><i class="fa fa-check"></i><b>4.6.2</b> Associatie tussen één kwalitatieve en één continue variabele</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.7" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7</b> Associatie tussen twee continue variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="4.7.1" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#covariantie-en-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.1</b> Covariantie en Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.2" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#pearson-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.2</b> Pearson Correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.3" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#verschillende-groottes-van-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.3</b> Verschillende groottes van correlatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.7.4" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#spearman-correlatie"><i class="fa fa-check"></i><b>4.7.4</b> Spearman correlatie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="4.8" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#sec:missing"><i class="fa fa-check"></i><b>4.8</b> Onvolledige gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="4.9" data-path="chap-describe.html"><a href="chap-describe.html#clips-over-de-code-in-dit-hoofdstuk"><i class="fa fa-check"></i><b>4.9</b> Clips over de code in dit hoofdstuk</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html"><i class="fa fa-check"></i><b>5</b> Statistische besluitvorming</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#inleiding-4"><i class="fa fa-check"></i><b>5.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2</b> Captopril voorbeeld</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.2.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#proefopzet"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.1</b> Proefopzet</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#data-exploratie-beschrijvende-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.2</b> Data Exploratie & Beschrijvende Statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.2.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#schatten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.2.3</b> Schatten</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#puntschatters-het-steekproefgemiddelde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3</b> Puntschatters: het steekproefgemiddelde</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.3.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#overzicht"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.1</b> Overzicht</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#het-steekproefgemiddelde-is-onvertekend"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.2</b> Het steekproefgemiddelde is onvertekend</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#imprecisiestandard-error"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.3</b> Imprecisie/standard error</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.3.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:verdelingXbar"><i class="fa fa-check"></i><b>5.3.4</b> Verdeling van het steekproefgemiddelde</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#intervalschatters"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4</b> Intervalschatters</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.4.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:bigek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.1</b> Gekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#sec:tBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.2</b> Ongekende variantie op de metingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#subsec:interpretBI"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.3</b> Interpretatie van betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.4.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren"><i class="fa fa-check"></i><b>5.4.4</b> Wat rapporteren?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#principe-van-hypothesetoetsen-via-one-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5</b> Principe van Hypothesetoetsen (via one sample t-test)</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.5.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#introductie-d.m.v.-captopril-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.1</b> Introductie d.m.v. captopril voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#hypotheses"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.2</b> Hypotheses</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.3" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#test-statistiek"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.3</b> Test-statistiek</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.4" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#de-p-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.4</b> De p-waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.5" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#kritieke-waarde"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.5</b> Kritieke waarde</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#beslissingsfouten"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.6</b> Beslissingsfouten</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#conclusies-captopril-voorbeeld."><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.7</b> Conclusies Captopril voorbeeld.</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#eenzijdig-of-tweezijdig-toetsen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.5.8</b> Eenzijdig of tweezijdig toetsen?</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.6" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#geclusterde-metingen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6</b> Geclusterde metingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.6.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#captopril"><i class="fa fa-check"></i><b>5.6.1</b> Captopril</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.7" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#two-sample-t-test"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7</b> Two-sample t-test</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.7.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#notatie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.1</b> Notatie</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.7.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#oksel-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>5.7.2</b> Oksel-voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.8" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#aannames"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8</b> Aannames</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.8.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-de-veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.1</b> Nagaan van de veronderstelling van Normaliteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.8.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#nagaan-van-homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>5.8.2</b> Nagaan van homoscedasticiteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.9" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#wat-rapporteren-1"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9</b> Wat rapporteren?</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="5.9.1" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-1-relatie-toetsen-en-betrouwbaarheidsintervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.1</b> Reden 1: Relatie toetsen en betrouwbaarheidsintervallen</a></li>
<li class="chapter" data-level="5.9.2" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#reden-2-statistische-significantie-versus-wetenschappelijke-relevantie"><i class="fa fa-check"></i><b>5.9.2</b> Reden 2: Statistische significantie versus wetenschappelijke relevantie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="5.10" data-path="chap-besluit.html"><a href="chap-besluit.html#equivalentie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>5.10</b> Equivalentie-intervallen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html"><i class="fa fa-check"></i><b>6</b> Enkelvoudige lineaire regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#inleiding-5"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.1.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#borstkanker-dataset"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.1</b> Borstkanker dataset</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#data-exploratie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.2</b> Data exploratie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.1.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#model"><i class="fa fa-check"></i><b>6.1.3</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineaire-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.2</b> Lineaire regressie</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#parameterschatting"><i class="fa fa-check"></i><b>6.3</b> Parameterschatting</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.4" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linBesluit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.4</b> Statistische besluitvorming</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nagaan-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.5.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#lineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-homoscedasticiteit-gelijkheid-van-variantie"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.2</b> Veronderstelling van homoscedasticiteit (gelijkheid van variantie)</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.5.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#veronderstelling-van-normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>6.5.3</b> Veronderstelling van normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.6" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#afwijkingen-van-modelveronderstellingen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.6</b> Afwijkingen van Modelveronderstellingen</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.7" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#besluitvorming-over-gemiddelde-uitkomst"><i class="fa fa-check"></i><b>6.7</b> Besluitvorming over gemiddelde uitkomst</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.8" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#predictie-intervallen"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8</b> Predictie-intervallen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.8.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#nhanes-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>6.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.9" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linAnova"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9</b> Kwadratensommen en Anova-tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="6.9.1" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#determinatie-coëfficiënt"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.1</b> Determinatie-coëfficiënt</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.2" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#f-testen-in-het-enkelvoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.2</b> F-Testen in het enkelvoudig lineair regressiemodel</a></li>
<li class="chapter" data-level="6.9.3" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#anova-tabel"><i class="fa fa-check"></i><b>6.9.3</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="6.10" data-path="chap-linReg.html"><a href="chap-linReg.html#sec:linDummy"><i class="fa fa-check"></i><b>6.10</b> Dummy variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html"><i class="fa fa-check"></i><b>7</b> Variantie analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#inleiding-6"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.1.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.1</b> Prostacycline voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.1.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.1.2</b> Model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#variantie-analyse"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2</b> Variantie-analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.2.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#model-2"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.1</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#kwadratensommen-en-anova"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.2</b> Kwadratensommen en Anova</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-test"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.3</b> Anova-test</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.2.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#anova-tabel-1"><i class="fa fa-check"></i><b>7.2.4</b> Anova Tabel</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.3" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#post-hoc-analyse-meervoudig-vergelijken-van-gemiddelden"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3</b> Post hoc analyse: Meervoudig Vergelijken van Gemiddelden</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="7.3.1" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#naïeve-methode"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.1</b> Naïeve methode</a></li>
<li class="chapter" data-level="7.3.2" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#family-wise-error-rate"><i class="fa fa-check"></i><b>7.3.2</b> Family-wise error rate</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="7.4" data-path="chap-anova.html"><a href="chap-anova.html#conclusies-prostacycline-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>7.4</b> Conclusies: Prostacycline Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html"><i class="fa fa-check"></i><b>8</b> Niet-parametrische statistiek</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#inleiding-7"><i class="fa fa-check"></i><b>8.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-twee-groepen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2</b> Vergelijken van twee groepen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.2.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.1</b> Cholestorol voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#permutatietesten"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.2</b> Permutatietesten</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#rank-testen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.3</b> Rank Testen</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.4" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#wilcoxon-mann-whitney-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.4</b> Wilcoxon-Mann-Whitney Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.2.5" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#conclusie-cholestorol-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.2.5</b> Conclusie Cholestorol Voorbeeld</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="8.3" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#vergelijken-van-g-behandelingen"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3</b> Vergelijken van <span class="math inline">\(g\)</span> Behandelingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="8.3.1" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#dmh-voorbeeld"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.1</b> DMH Voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="8.3.2" data-path="niet-parametrische-statistiek.html"><a href="niet-parametrische-statistiek.html#kruskal-wallis-rank-test"><i class="fa fa-check"></i><b>8.3.2</b> Kruskal-Wallis Rank Test</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html"><i class="fa fa-check"></i><b>9</b> Categorische data analyse</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#inleiding-8"><i class="fa fa-check"></i><b>9.1</b> Inleiding</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toetsen-voor-een-proportie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2</b> Toetsen voor een proportie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.2.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotisch-betrouwbaarheidsinterval"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.1</b> Asymptotisch Betrouwbaarheidsinterval</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#asymptotische-test"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.2</b> Asymptotische Test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:binom"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.3</b> Binomiale test</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.2.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#conclusie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.2.4</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#toets-voor-associatie-tussen-2-kwalitatieve-variabelen"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3</b> Toets voor associatie tussen 2 kwalitatieve variabelen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.3.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#gepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.1</b> Gepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#subsec:catOnPaired"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.2</b> Ongepaarde gegevens</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.3.3" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#de-pearson-chi-kwadraat-test-voor-ongepaarde-gegevens"><i class="fa fa-check"></i><b>9.3.3</b> De Pearson Chi-kwadraat test voor ongepaarde gegevens</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="9.4" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#logistische-regressie"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4</b> Logistische regressie</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="9.4.1" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#categorische-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.1</b> Categorische predictor</a></li>
<li class="chapter" data-level="9.4.2" data-path="chap-categorisch.html"><a href="chap-categorisch.html#continue-predictor"><i class="fa fa-check"></i><b>9.4.2</b> Continue predictor</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html"><i class="fa fa-check"></i><b>10</b> Algemeen lineair model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inleiding-9"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1</b> Inleiding</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.1.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:prostate"><i class="fa fa-check"></i><b>10.1.1</b> Prostaatkanker dataset</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-additieve-meervoudig-lineaire-regressie-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2</b> Het additieve meervoudig lineaire regressie model</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.2.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#statistisch-model"><i class="fa fa-check"></i><b>10.2.1</b> Statistisch model</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming-in-regressiemodellen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.3</b> Besluitvorming in regressiemodellen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nagaan-van-modelveronderstellingen-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4</b> Nagaan van modelveronderstellingen</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.4.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#lineariteit-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.1</b> Lineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#homoscedasticiteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.2</b> Homoscedasticiteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.4.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#normaliteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.4.3</b> Normaliteit</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#het-niet-additieve-meervoudig-lineair-regressiemodel"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5</b> Het niet-additieve meervoudig lineair regressiemodel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.5.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#interactie-tussen-continue-variabele-en-factor-variabele"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.1</b> Interactie tussen continue variabele en factor variabele</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.5.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sec:intCont"><i class="fa fa-check"></i><b>10.5.2</b> Interactie tussen twee continue variabelen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.6" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#anova-tabel-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6</b> ANOVA Tabel</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.6.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#sstot-ssr-en-sse"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.1</b> SSTot, SSR en SSE</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#extra-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.2</b> Extra Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-i-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.3</b> Type I Kwadratensommen</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.6.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#type-iii-kwadratensommen"><i class="fa fa-check"></i><b>10.6.4</b> Type III Kwadratensommen</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.7" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#regressiediagnostieken"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7</b> Regressiediagnostieken</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.7.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#multicollineariteit"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.1</b> Multicollineariteit</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#invloedrijke-observaties"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.2</b> Invloedrijke observaties</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.7.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#cooks-distance"><i class="fa fa-check"></i><b>10.7.3</b> Cook’s distance</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.8" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#constrasten"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8</b> Constrasten</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.8.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#nhanes-voorbeeld-1"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.1</b> NHANES voorbeeld</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.2</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.8.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#besluitvorming"><i class="fa fa-check"></i><b>10.8.3</b> Besluitvorming</a></li>
</ul></li>
<li class="chapter" data-level="10.9" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#factoriële-proeven"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9</b> Factoriële proeven</a>
<ul>
<li class="chapter" data-level="10.9.1" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#introductie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.1</b> Introductie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.2" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#data-2"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.2</b> Data</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.3" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#model-4"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.3</b> Model</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.4" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#inferentie"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.4</b> Inferentie</a></li>
<li class="chapter" data-level="10.9.5" data-path="chap-glm.html"><a href="chap-glm.html#conclusie-3"><i class="fa fa-check"></i><b>10.9.5</b> Conclusie</a></li>
</ul></li>
</ul></li>
<li class="divider"></li>
<li><a href="https://github.com/rstudio/bookdown" target="blank">Published with bookdown</a></li>
</ul>
</nav>
</div>
<div class="book-body">
<div class="body-inner">
<div class="book-header" role="navigation">
<h1>
<i class="fa fa-circle-o-notch fa-spin"></i><a href="./">Inleiding tot de Biostatistiek 2022-2023</a>
</h1>
</div>
<div class="page-wrapper" tabindex="-1" role="main">
<div class="page-inner">
<section class="normal" id="section-">
<div id="chap-linReg" class="section level1 hasAnchor" number="6">
<h1><span class="header-section-number">Hoofdstuk 6</span> Enkelvoudige lineaire regressie<a href="chap-linReg.html#chap-linReg" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h1>
<p>Alle kennisclips die in dit hoofdstuk zijn verwerkt kan je in deze youtube playlist vinden:</p>
<ul>
<li><a href="https://www.youtube.com/playlist?list=PLZH1hP8_LbJJyNBiMlv24sSI0oKB8EtI0">Kennisclips Hoofdstuk6 Lineaire Regressie</a></li>
</ul>
<p>Link naar webpage/script die wordt gebruik in de kennisclips:</p>
<ul>
<li><a href="https://statomics.github.io/sbc/rmd/06-linearRegression.html">script Hoofdstuk6</a></li>
</ul>
<div id="inleiding-5" class="section level2 hasAnchor" number="6.1">
<h2><span class="header-section-number">6.1</span> Inleiding<a href="chap-linReg.html#inleiding-5" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/w6xczw8JNpI" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<!---break-->
<div id="borstkanker-dataset" class="section level3 hasAnchor" number="6.1.1">
<h3><span class="header-section-number">6.1.1</span> Borstkanker dataset<a href="chap-linReg.html#borstkanker-dataset" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/aH0kNKVaLTA" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p><span class="citation">Sotiriou et al. (<a href="#ref-sotiriou2006" role="doc-biblioref">2006</a>)</span> publiceerden onderzoek naar de moleculaire basis van borstkanker.
In de studie hebben de onderzoekers voor een groot aantal borstkanker patiënten klinische variabelen geregistreerd alsook de genexpressie in tumor weefsel gemeten voor duizenden genen m.b.v. microarray technologie.
De genexpressie werd gemeten op de tumor biopsie die werd genomen voordat de behandeling werd gestart.
De studie is een retrospectieve studie in de zin dat niet werd geëxperimenteerd en dat de genexpressie werd geëvalueerd als gevolg van de blootstelling die de individuen hebben ondergaan in het verleden.</p>
<p>In dit hoofdstuk zullen we een subset van de data gebruiken om de associatie te bestuderen tussen de genexpressie van twee sleutelgenen bij borstkanker: de estrogeen receptor 1 (ESR1) gen, een belangrijke biomerker voor de prognose van de patiënt, en het S100A8 gen dat een prominente rol speelt in de regulatie van inflammatie en immuun respons.</p>
<p>De data is opgeslagen in een tekst bestand met naam <code>brca.csv</code> op de github repository van de cursus.</p>
<div class="sourceCode" id="cb298"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb298-1"><a href="chap-linReg.html#cb298-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brca <span class="ot"><-</span> <span class="fu">read_csv</span>(<span class="st">"https://raw.githubusercontent.com/statOmics/sbc/master/data/breastcancer.csv"</span>)</span>
<span id="cb298-2"><a href="chap-linReg.html#cb298-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>knitr<span class="sc">::</span><span class="fu">kable</span>(<span class="fu">head</span>(brca),<span class="at">caption=</span><span class="st">"Overzicht van de variabelen in de borstkanker dataset."</span>,<span class="at">booktabs =</span> <span class="cn">TRUE</span>)</span></code></pre></div>
<table>
<caption>
<span id="tab:brcaMicroLin">Tabel 6.1: </span>Overzicht van de variabelen in de borstkanker dataset.
</caption>
<thead>
<tr>
<th style="text-align:left;">
sample_name
</th>
<th style="text-align:left;">
filename
</th>
<th style="text-align:left;">
treatment
</th>
<th style="text-align:right;">
er
</th>
<th style="text-align:right;">
grade
</th>
<th style="text-align:right;">
node
</th>
<th style="text-align:right;">
size
</th>
<th style="text-align:right;">
age
</th>
<th style="text-align:right;">
ESR1
</th>
<th style="text-align:right;">
S100A8
</th>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_209
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65344.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
3
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
2.5
</td>
<td style="text-align:right;">
66
</td>
<td style="text-align:right;">
1939.1990
</td>
<td style="text-align:right;">
207.19682
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_1769
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65345.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
3.5
</td>
<td style="text-align:right;">
86
</td>
<td style="text-align:right;">
2751.9521
</td>
<td style="text-align:right;">
36.98611
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_2093
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65347.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
2.2
</td>
<td style="text-align:right;">
74
</td>
<td style="text-align:right;">
379.1951
</td>
<td style="text-align:right;">
2364.18306
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_1770
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65348.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1.7
</td>
<td style="text-align:right;">
69
</td>
<td style="text-align:right;">
2531.7473
</td>
<td style="text-align:right;">
23.61504
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_1342
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65350.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
3
</td>
<td style="text-align:right;">
0
</td>
<td style="text-align:right;">
2.5
</td>
<td style="text-align:right;">
62
</td>
<td style="text-align:right;">
141.0508
</td>
<td style="text-align:right;">
3218.74109
</td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align:left;">
OXFT_2338
</td>
<td style="text-align:left;">
gsm65352.cel.gz
</td>
<td style="text-align:left;">
tamoxifen
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
3
</td>
<td style="text-align:right;">
1
</td>
<td style="text-align:right;">
1.4
</td>
<td style="text-align:right;">
63
</td>
<td style="text-align:right;">
1495.4213
</td>
<td style="text-align:right;">
107.56868
</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</div>
<div id="data-exploratie" class="section level3 hasAnchor" number="6.1.2">
<h3><span class="header-section-number">6.1.2</span> Data exploratie<a href="chap-linReg.html#data-exploratie" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>In Sectie <a href="chap-describe.html#sec:correlatie">4.7</a> werd de associatie tussen beide genen uitgebreid verkend. Daarin hebben we de genexpressie data eerst log-getransformeerd.</p>
<p>In dit hoofdstuk zullen we om didactische redenen eerst werken met de expressiemetingen op de originele schaal.
De expressie van het S100A8 gen wordt weergegeven in Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:s100a8Boxplot">6.1</a>. Op de originele schaal zien we drie heel grote outliers. Omwille van didactische redenen worden deze eerst verwijderd uit de dataset. In principe mogen outliers enkel worden verwijderd uit een studie als daar een goede reden voor is. We kunnen op basis van de informatie over de studie echter niet argumenteren waarom de outliers niet representatief zijn, zoals bijvoorbeeld wel het geval zou zijn wanneer zich meetfouten of problemen voordeden m.b.t. deze observaties in de studie. Later in het hoofdstuk zullen we zien hoe we op een correcte wijze alle data kunnen modelleren.</p>
<div class="sourceCode" id="cb299"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb299-1"><a href="chap-linReg.html#cb299-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brca <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb299-2"><a href="chap-linReg.html#cb299-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x=</span><span class="st">""</span>, <span class="at">y=</span>S100A8)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb299-3"><a href="chap-linReg.html#cb299-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_boxplot</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb299-4"><a href="chap-linReg.html#cb299-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">xlab</span>(<span class="st">""</span>) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb299-5"><a href="chap-linReg.html#cb299-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ylab</span>(<span class="st">"S100A8 expressie"</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:s100a8Boxplot"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/s100a8Boxplot-1.png" alt="Expressie van het S100A8 gen." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 6.1: Expressie van het S100A8 gen.
</p>
</div>
<p>Om meerdere variabelen in de borstkanker dataset te bestuderen, kunnen we gebruik maken van de grafische scatterplot matrix voorstelling (zie Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaGenAl">6.2</a>). Hierbij wordt een matrix met paarsgewijze dotplots voor alle variabelen geproduceerd.</p>
<div class="sourceCode" id="cb300"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb300-1"><a href="chap-linReg.html#cb300-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">library</span>(GGally)</span>
<span id="cb300-2"><a href="chap-linReg.html#cb300-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brcaSubset <span class="ot"><-</span> brca <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb300-3"><a href="chap-linReg.html#cb300-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">filter</span>(S100A8<span class="sc"><</span><span class="dv">2000</span>)</span>
<span id="cb300-4"><a href="chap-linReg.html#cb300-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="co">#progress = FALSE zo dat ggpairs niet de vooruitgang print van het plotten</span></span>
<span id="cb300-5"><a href="chap-linReg.html#cb300-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brcaSubset[,<span class="sc">-</span>(<span class="dv">1</span><span class="sc">:</span><span class="dv">4</span>)] <span class="sc">%>%</span> <span class="fu">ggpairs</span>(<span class="at">progress =</span> <span class="cn">FALSE</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:brcaGenAl"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/brcaGenAl-1.png" alt="Scatterplot matrix voor de observaties in de borstkanker dataset na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie (merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 6.2: Scatterplot matrix voor de observaties in de borstkanker dataset na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie (merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset).
</p>
</div>
<p>In de scatterplot matrix zien we bijvoorbeeld dat er een positieve associatie lijkt te zijn tussen de leeftijd (age) en de lymfeknoop status (node; geeft aan of de lymfeknopen al dan niet aangetast zijn en chirurgisch werden verwijderd, node 0: niet aangetast, 1: aangetast). Daarnaast observeren we ook een indicatie voor een negatieve associatie (dalende trend) tussen de ESR1 en S100A8 gen expressie.</p>
<p>In dit hoofdstuk zullen we ons in het bijzonder focussen op de relatie tussen de ESR1 en de S100A8 gen expressie. Een individuele scatterplot met smoother (zie Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaSmooth">6.3</a>) geeft de associatie tussen beide genen nog beter weer.
Smoothers kunnen trends visualiseren tussen variabelen zonder vooraf veronderstellingen te doen over de vorm van het verband en zijn daarom heel erg nuttig bij data exploratie.
We zien dat de genexpressie van S100A8 gemiddeld gezien daalt voor patiënten met een hogere expressie van ESR1.</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>pipe dataset naar ggplot</li>
<li>selecteer data <code>ggplot(aes(x=ESR1,y=S100A8))</code></li>
<li>voeg punten toe met <code>geom_point()</code></li>
<li>voeg een “smooth line” toe <code>geom_smooth()</code></li>
</ol>
<div class="sourceCode" id="cb301"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb301-1"><a href="chap-linReg.html#cb301-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brcaSubset <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb301-2"><a href="chap-linReg.html#cb301-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x=</span>ESR1, <span class="at">y=</span>S100A8)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb301-3"><a href="chap-linReg.html#cb301-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_point</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb301-4"><a href="chap-linReg.html#cb301-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_smooth</span>()</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:brcaSmooth"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/brcaSmooth-1.png" alt="Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met smoother die het verband tussen beide genen samenvat (na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie, merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 6.3: Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met smoother die het verband tussen beide genen samenvat (na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie, merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset).
</p>
</div>
</div>
<div id="model" class="section level3 hasAnchor" number="6.1.3">
<h3><span class="header-section-number">6.1.3</span> Model<a href="chap-linReg.html#model" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h3>
<p>Op basis van Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaSmooth">6.3</a> zien we dat er een relatie is tussen de S100A8 (Y) en ESR1 (X) expressie.
De expressiemetingen voor het S100A8 gen zijn echter onderhevig aan ruis onder andere door biologische variabiliteit en technische variabiliteit.
Voor een gegeven waarde <span class="math inline">\(X=x\)</span> neemt de genexpressie <span class="math inline">\(Y\)</span> dus niet steeds dezelfde waarde aan.
Generiek kunnen we de S100A8 gen expressie dus beschrijven als</p>
<p><span class="math display">\[\text{observatie = signaal + ruis.}\]</span></p>
<p>Wiskundig kunnen we dat modelleren als</p>
<p><span class="math display">\[Y_i=g(X_i)+\epsilon_i\]</span></p>
<p>waarbij we de toevallige veranderlijke S100A8 genexpressie voor subject <span class="math inline">\(i\)</span> (<span class="math inline">\(Y_i\)</span>) modelleren in functie van de genexpressie van het ESR1 gen (<span class="math inline">\(X_i\)</span>). Uiteraard is dit verband niet perfect. Dat wordt aangegeven door de foutterm <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> die uitdrukt dat observaties <span class="math inline">\(Y_i\)</span> variëren rond dit verband, m.a.w.
het verband modelleert een conditioneel gemiddelde:</p>
<p><span class="math display">\[E[Y_i|X_i=x]=g(x),\]</span></p>
<p>het is de verwachte uitkomst<a href="#fn37" class="footnote-ref" id="fnref37"><sup>37</sup></a> (<span class="math inline">\(E[Y]\)</span>) bij subjecten met een expressieniveau <span class="math inline">\(X_i=x\)</span> voor het ESR1 gen.</p>
<p>Zo geeft <span class="math inline">\(E(Y|X=2400)\)</span> de gemiddelde genexpressie aan van het S100A8 gen voor subjecten die een expressie hebben van 2400 voor het ESR1 gen.
Men zou dit gemiddelde bekomen door van alle patiënten in de studiepopulatie, die een ESR1 expressie hebben van 2400, de S100A8 expressie te meten en hier vervolgens het gemiddelde van te nemen.
Het gemiddelde <span class="math inline">\(E(Y|X=x)\)</span> wordt
een <em>conditioneel gemiddelde</em> genoemd omdat het een gemiddelde
uitkomst beschrijft, conditioneel op het feit dat <span class="math inline">\(X=x\)</span>.</p>
<p>Gezien</p>
<p><span class="math display">\[E[Y_i|X_i=x]=g(x)\]</span></p>
<p>het gemiddelde beschrijft voor subjecten met een ESR1 expressieniveau van <span class="math inline">\(x\)</span> is de foutterm <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> gemiddeld 0 voor deze subjecten:</p>
<p><span class="math display">\[E[\epsilon_i\vert X_i=x]=0.\]</span></p>
</div>
</div>
<div id="lineaire-regressie" class="section level2 hasAnchor" number="6.2">
<h2><span class="header-section-number">6.2</span> Lineaire regressie<a href="chap-linReg.html#lineaire-regressie" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/d0QptODQABY" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Om accurate en interpreteerbare resultaten te bekomen gaat men vaak bepaalde veronderstellingen doen over de structuur van <span class="math inline">\(g(x)\)</span>.
Zo modelleert men <span class="math inline">\(g(x)\)</span> vaak als een lineaire functie van ongekende parameters.
Dat wordt geïllustreerd in Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaLin1">6.4</a>.</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li>pipe dataset naar ggplot</li>
<li>selecteer data <code>ggplot(aes(x=ESR1,y=S100A8))</code></li>
<li>voeg punten toe met <code>geom_point()</code></li>
<li>voeg een “smooth line” toe <code>geom_smooth()</code></li>
<li>voeg een rechte toe <code>geom_smooth()</code> met <code>method = "lm"</code> (linear model). (We zetten <code>se = FALSE</code> om geen puntgewijze betrouwbaarheidsintervallen weer te geven)</li>
</ol>
<div class="sourceCode" id="cb302"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb302-1"><a href="chap-linReg.html#cb302-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>brcaSubset <span class="sc">%>%</span></span>
<span id="cb302-2"><a href="chap-linReg.html#cb302-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">ggplot</span>(<span class="fu">aes</span>(<span class="at">x =</span> ESR1, <span class="at">y =</span> S100A8)) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb302-3"><a href="chap-linReg.html#cb302-3" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_point</span>() <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb302-4"><a href="chap-linReg.html#cb302-4" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_smooth</span>(<span class="at">se =</span> <span class="cn">FALSE</span>, <span class="at">col =</span> <span class="st">"grey"</span>) <span class="sc">+</span></span>
<span id="cb302-5"><a href="chap-linReg.html#cb302-5" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a> <span class="fu">geom_smooth</span>(<span class="at">method =</span> <span class="st">"lm"</span>, <span class="at">se =</span> <span class="cn">FALSE</span>)</span></code></pre></div>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:brcaLin1"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/brcaLin1-1.png" alt="Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met lineair model dat het verband tussen beide genen samenvat (na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie, merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset zoals we verder in dit hoofdstuk zullen zien)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 6.4: Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met lineair model dat het verband tussen beide genen samenvat (na verwijdering van outliers in de S100A8 expressie, merk op dat we deze outliers in principe niet mochten verwijderen uit de dataset zoals we verder in dit hoofdstuk zullen zien).
</p>
</div>
<p>Men veronderstelt dan het onderstaande lineaire regressiemodel</p>
<p><span class="math display" id="eq:linreg">\[\begin{equation}
E(Y|X =x)=\beta_0 + \beta_1 x \tag{6.1}
\end{equation}\]</span></p>
<p>waarbij <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> ongekende modelparameters zijn. In deze uitdrukking
stelt <span class="math inline">\(E(Y|X=x)\)</span> de waarde op de <span class="math inline">\(Y\)</span>-as voor, <span class="math inline">\(x\)</span> de waarde op de <span class="math inline">\(X\)</span>-as,
het <em>intercept</em> <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> stelt het snijpunt met de <span class="math inline">\(Y\)</span>-as voor en de
<em>helling</em> <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> geeft de richtingscoëfficiënt van de rechte weer.
Uitdrukking <a href="chap-linReg.html#eq:linreg">(6.1)</a> wordt een <em>statistisch model</em> genoemd.
Merk op dat dit model enkel een onderstelling maakt over het gemiddelde van de S100A8 expressie.</p>
<p>Deze naamgeving suggereert dat het bepaalde onderstellingen legt op de
verdeling van de geobserveerde gegevens. In het bijzonder onderstelt het dat
de gemiddelde uitkomst lineair varieert in functie van één verklarende variabele <span class="math inline">\(X\)</span>. Om
die reden wordt Model <a href="chap-linReg.html#eq:linreg">(6.1)</a> ook een <em>enkelvoudig lineair regressiemodel</em> genoemd.
Onder dit model kan elke meting <span class="math inline">\(Y\)</span> op een foutterm
<span class="math inline">\(\epsilon\)</span> na beschreven worden als een lineaire functie van de verklarende
variabele <span class="math inline">\(X\)</span>, verder in deze cursus ook de predictor genoemd:</p>
<p><span class="math display">\[Y=E(Y|X=x)+\epsilon=\beta_0+\beta_1 x+\epsilon\]</span></p>
<p>waarbij <span class="math inline">\(\epsilon\)</span> de afwijking tussen de uitkomst en haar (conditioneel)
gemiddelde waarde voorstelt, dit is de onzekerheid in de responsvariabele.</p>
<p>Gezien het lineair regressiemodel onderstellingen doet over de verdeling van X en Y , kunnen deze onderstellingen ook vals zijn. Later in dit hoofdstuk zullen we zien hoe deze onderstellingen geëvalueerd kunnen worden. Als echter voldaan is aan de onderstellingen, laat dit een efficiënte data-analyse toe: alle observaties worden benut om te leren over verwachte uitkomst bij X = x.</p>
<p>Het lineair regressiemodel kan worden gebruikt voor<br />
- <em>predictie</em> (voorspellingen): als <span class="math inline">\(Y\)</span> ongekend is, maar <span class="math inline">\(X\)</span> wel gekend is, kunnen we <span class="math inline">\(Y\)</span> voorspellen op basis van <span class="math inline">\(X\)</span></p>
<p><span class="math display">\[\text{E}\left[Y|X =x\right]=\beta_0 + \beta_1 x.\]</span></p>
<ul>
<li><em>associatie</em>: beschrijven van de biologische relatie tussen variabele <span class="math inline">\(X\)</span> en continue meting <span class="math inline">\(Y\)</span>:</li>
</ul>
<p><span class="math display">\[\text{E}\left[Y|X=x+\delta\right]-\text{E}\left[Y|X=x\right]= \left[\beta_0+\beta_1(x+\delta)\right]-(\beta_0+\beta_1x)=\beta_1\delta\]</span></p>
<p>waarbij <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> het verschil is in gemiddelde uitkomst tussen subjecten die 1 eenheid verschillen in de genexpressie van het ESR1 gen.</p>
</div>
<div id="parameterschatting" class="section level2 hasAnchor" number="6.3">
<h2><span class="header-section-number">6.3</span> Parameterschatting<a href="chap-linReg.html#parameterschatting" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/_Z3wseKXxjk" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>De parameters <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> zijn ongekenden. Indien de volledige
studiepopulatie geobserveerd werd, dan zouden beide parameters exact
bepaald kunnen worden (door bijvoorbeeld in 2 x-waarden de gemiddelde uitkomst te berekenen en vervolgens het resulterende stelsel van 2 vergelijkingen, bepaald door Model <a href="chap-linReg.html#eq:linreg">(6.1)</a>, op te lossen).</p>
<p>In de praktijk observeert men slechts een beperkte steekproef uit de studiepopulatie en is de taak om die parameters te schatten op basis van de beschikbare observaties.
Deze schatting gebeurt door naar de lijn te zoeken die “het
best past” bij de gegevens. Daarbij wil men dat bij een gegeven waarde <span class="math inline">\(x_i\)</span> voor het <span class="math inline">\(i\)</span>-de subject het punt op de regressielijn, <span class="math inline">\((x_i, \beta_0 + \beta_1 x_i)\)</span>, zo weinig mogelijk afwijkt van de overeenkomstige observatie <span class="math inline">\((x_i, y_i)\)</span>. Dit realiseert men door deze waarden voor <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> te
kiezen die de som van die kwadratische afstanden tussen de voorspelde en
geobserveerde punten,</p>
<p><span class="math display">\[\sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\beta_1 x_i)^2=\sum_{i=1}^n e_i^2\]</span></p>
<p>zo klein mogelijk maakt. Waarbij <span class="math inline">\(e_i\)</span> de verticale afstanden van de observaties tot de gefitte regressierechte, ook wel residuen genoemd (zie Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaLinRes">6.5</a>).</p>
<div class="figure" style="text-align: center"><span style="display:block;" id="fig:brcaLinRes"></span>
<img src="InleidingTotBiostatistiek_2022_2023_files/figure-html/brcaLinRes-1.png" alt="Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met lineair model (rode lijn) en residuen (zwarte gestreepte lijnen)." width="100%" />
<p class="caption">
Figuur 6.5: Scatterplot voor S100A8 expressie in functie van de ESR1 expressie met lineair model (rode lijn) en residuen (zwarte gestreepte lijnen).
</p>
</div>
<p>De rechte die men aldus bekomt, noemt men de
<em>kleinste kwadratenlijn</em> en is de best passende rechte door de puntenwolk.</p>
<p>De overeenkomstige waarden of schattingen <span class="math inline">\(\hat{\beta}_0\)</span> voor <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en <span class="math inline">\(\hat{\beta}_1\)</span> voor <span class="math inline">\(\beta_1\)</span>, noemt men <em>kleinste kwadratenschattingen</em>.</p>
<p>Men kan eenvoudig aantonen dat</p>
<p><span class="math display">\[\hat{\beta_1}= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar y)(x_i-\bar x)}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar x_i)^2}=\frac{\mbox{cor}(x,y)s_y}{s_x} \]</span></p>
<p>en dat</p>
<p><span class="math display">\[\hat{\beta_0}=\bar y - \hat{\beta}_1 \bar x \]</span></p>
<p>Merk op dat de helling van de kleinste kwadratenlijn evenredig is met de correlatie tussen de uitkomst en de verklarende variabele.</p>
<p>Voor gegeven schattingen <span class="math inline">\(\hat{\beta}_0\)</span> voor <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en <span class="math inline">\(\hat{\beta}_1\)</span> voor <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> laat het lineaire regressiemodel <a href="chap-linReg.html#eq:linreg">(6.1)</a> toe om:</p>
<ul>
<li>de verwachte uitkomst te voorspellen voor subjecten met een gegeven
waarde <span class="math inline">\(x\)</span> voor de verklarende variabele. Deze kan geschat worden als <span class="math inline">\(\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x\)</span>.</li>
<li>na te gaan hoeveel de uitkomst gemiddeld verschilt tussen 2 groepen subjecten met een verschil van <span class="math inline">\(\delta\)</span> eenheden in de verklarende variabele. Namelijk:</li>
</ul>
<p><span class="math display">\[\text{E}\left[Y|X=x+\delta\right]-\text{E}\left[Y|X=x\right]= \hat{\beta}_1\delta\]</span></p>
<p>Voor de borstkanker dataset levert een analyse van de gegevens in R de volgende resultaten op.</p>
<div class="sourceCode" id="cb303"><pre class="sourceCode r"><code class="sourceCode r"><span id="cb303-1"><a href="chap-linReg.html#cb303-1" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a>lm1 <span class="ot"><-</span> <span class="fu">lm</span>(S100A8 <span class="sc">~</span> ESR1, brcaSubset)</span>
<span id="cb303-2"><a href="chap-linReg.html#cb303-2" aria-hidden="true" tabindex="-1"></a><span class="fu">summary</span>(lm1)</span></code></pre></div>
<pre><code>##
## Call:
## lm(formula = S100A8 ~ ESR1, data = brcaSubset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -95.43 -34.81 -6.79 34.23 145.21
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 208.47145 28.57207 7.296 7.56e-08 ***
## ESR1 -0.05926 0.01212 -4.891 4.08e-05 ***
## ---
## Signif. codes:
## 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 59.91 on 27 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.4698, Adjusted R-squared: 0.4502
## F-statistic: 23.93 on 1 and 27 DF, p-value: 4.078e-05</code></pre>
<p>De software rapporteert <span class="math inline">\(\hat{\beta}_0=\)</span> 208.47 en <span class="math inline">\(\hat{\beta}_1=\)</span>-0.059. We besluiten dat, de verwachte S100A8 expressie gemiddeld -59 eenheden lager ligt bij patiënten met een ESR1 expressieniveau die 1000 eenheden hoger ligt.
Bovendien kunnen we de S100A8 expressie voorspellen die men mag verwachten bij een gegeven ESR1 expressieniveau. Bijvoorbeeld, bij een ESR1 expressieniveau van 1300 verwachten we een S100A8 expressieniveau van 208.47 <span class="math inline">\(-\)</span> 0.059 <span class="math inline">\(\times\)</span> 1300= 131.43.</p>
<p>Merk op in Figuur <a href="chap-linReg.html#fig:brcaLin1">6.4</a> dat er in de dataset geen patiënt is geobserveerd die een ESR1 expressieniveau had van 1300. Op basis van de dataset zou het bijgevolg niet mogelijk zijn om, zonder gebruik te maken van een statistisch model, een schatting te bekomen voor de S100A8 expressie bij deze ESR1 expressiewaarde. Onder de veronderstelling dat de gemiddelde S100A8 expressie lineair varieert in functie van de ESR1 expressie, kunnen we alle observaties gebruiken om dit gemiddelde te schatten. Bijgevolg bekomen we een zinvol en precies resultaat, op voorwaarde dat aan de veronderstelling van lineariteit is voldaan. Het zal bijgevolg belangrijk zijn om de veronderstelling van lineariteit na te gaan (zie verder).</p>
<p>Gezien de lineariteit van het model enkel kan worden nagegaan over het
geobserveerde bereik van de verklarende variabele (bijvoorbeeld, over het
interval 396.1,3967.2), is het belangrijk om te begrijpen dat de resultaten van een lineair regressiemodel niet zomaar kunnen geëxtrapoleerd worden
voorbij de kleinste of grootste geobserveerde <span class="math inline">\(X\)</span>-waarde.
Met het model kunnen we de verwachte S100A8 intensiteit voor patiënten met een
ESR1 expressie-niveau van 4500 schatten, maar de geobserveerde data laten niet toe om na te gaan of dit een
betrouwbare schatting is. Het zou immers kunnen dat de regressielijn bij hoge waarden van de predictorvariabele
afbuigt of opklimt waardoor een lineaire extrapolatie misleidend zou zijn.
Merk zo bijvoorbeeld op dat predictie bij een ESR1 intensiteit van 4500 bijzonder misleidend is vermits ze een negatief resultaat oplevert wat onmogelijk is voor een intensiteitsmeting (208.47 <span class="math inline">\(+\)</span> -0.059 <span class="math inline">\(\times\)</span> 4500= -58.22).</p>
</div>
<div id="sec:linBesluit" class="section level2 hasAnchor" number="6.4">
<h2><span class="header-section-number">6.4</span> Statistische besluitvorming<a href="chap-linReg.html#sec:linBesluit" class="anchor-section" aria-label="Anchor link to header"></a></h2>
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/GIg108WaOcQ" frameborder="0" style="display: block; margin: auto;" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen>
</iframe>
<p>Als de gegevens representatief zijn voor de populatie kan men in de regressiecontext eveneens aantonen dat de kleinste kwadraten schatters voor het intercept en de helling onvertekend zijn, m.a.w</p>
<p><span class="math display">\[E[\hat \beta_0]=\beta_0 \text{ en } E[\hat \beta_1]=\beta_1\]</span></p>
<p>Het feit dat de schatters gemiddeld (over een groot aantal vergelijkbare studies) niet afwijken van de waarden in de populatie, impliceert niet dat ze niet rond die waarde variëren.
Om inzicht te krijgen hoe dicht we de parameterschatters bij het werkelijke intercept <span class="math inline">\(\beta_0\)</span> en de werkelijke helling <span class="math inline">\(\beta_1\)</span> mogen verwachten, wensen we bijgevolg ook haar variabiliteit te kennen.</p>
<p>In de borstkanker dataset hebben we een negatieve associatie geobserveerd tussen de S100A8 en ESR1 gen expressie.
Net zoals in Hoofdstuk <a href="chap-besluit.html#chap-besluit">5</a> is het op basis van de puntschatters voor de helling niet duidelijk of dat verband werkelijk voorkomt in de populatie of indien we het verband door toeval hebben geobserveerd in de dataset.
De schatting van de helling is immers onnauwkeurig en zal variëren van steekproef tot steekproef.
Het resultaat van een data-analyse is dus niet interpreteerbaar zonder die variabiliteit in kaart te brengen.</p>
<p>Om de resultaten uit de steekproef te kunnen veralgemenen naar de populatie zullen we in deze context eveneens inzicht nodig hebben op de verdeling van de parameterschatters.
Om te kunnen voorspellen hoe de parameterschatters variëren van steekproef tot steekproef enkel en alleen op basis van slechts één steekproef zullen we naast de onderstelling van</p>
<ol style="list-style-type: decimal">
<li><em>Lineariteit</em></li>
</ol>
<p>bijkomende aannames moeten maken over de verdeling van de gegevens, met name</p>
<ol start="2" style="list-style-type: decimal">
<li><em>Onafhankelijkheid</em>: de metingen <span class="math inline">\((X_1,Y_1), ..., (X_n,Y_n)\)</span> werden gemaakt bij n onafhankelijke subjecten/observationele eenheden</li>
<li><em>Homoscedasticiteit</em> of <em>gelijkheid van variantie</em>: de observaties variëren met een gelijke variantie rond de regressierechte. De residuen <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> hebben dus een gelijke variantie <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span> voor elke <span class="math inline">\(X_i=x\)</span>. Dat impliceert ook dat de conditionele variantie van Y gegeven X<a href="#fn38" class="footnote-ref" id="fnref38"><sup>38</sup></a>, <span class="math inline">\(\text{var}(Y\vert X=x)\)</span> dus gelijk is, met name <span class="math inline">\(\text{var}(Y\vert X=x) = \sigma^2\)</span> voor elke waarde <span class="math inline">\(X=x\)</span>. De constante <span class="math inline">\(\sigma\)</span> wordt ook de <em>residuele standaarddeviatie</em> genoemd.</li>
<li><em>Normaliteit</em>: de residuen <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> zijn normaal verdeeld.</li>
</ol>
<p>Uit 2, 3 en 4 volgt dus dat de residuen <span class="math inline">\(\epsilon_i\)</span> onafhankelijk zijn en dat ze allen eenzelfde Normale verdeling volgen</p>
<p><span class="math display">\[\epsilon_i \sim N(0,\sigma^2).\]</span></p>
<p>Als we ook steunen op de veronderstelling van lineariteit weten we dat de originele observaties conditioneel op <span class="math inline">\(X\)</span> eveneens Normaal verdeeld zijn</p>
<p><span class="math display">\[Y_i\sim N(\beta_0+\beta_1 X_i,\sigma^2),\]</span></p>
<p>met een gemiddelde dat varieert in functie van de waarde van de onafhankelijke variabele <span class="math inline">\(X_i\)</span>.</p>
<p>Verder kan men aantonen dat onder deze aannames</p>
<p><span class="math display">\[\sigma^2_{\hat{\beta}_0}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n X^2_i}{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2} \times\frac{\sigma^2}{n} \text{ en } \sigma^2_{\hat{\beta}_1}=\frac{\sigma^2}{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}\]</span></p>
<p>en dat de parameterschatters eveneens normaal verdeeld zijn</p>
<p><span class="math display">\[\hat\beta_0 \sim N\left(\beta_0,\sigma^2_{\hat \beta_0}\right) \text{ en } \hat\beta_1 \sim N\left(\beta_1,\sigma^2_{\hat \beta_1}\right)\]</span></p>
<p>Merk op dat de onzekerheid op de helling af zal nemen wanneer er meer observaties zijn en/of wanneer de observaties meer gespreid zijn. Voor het opzetten van een experiment kan dit belangrijke informatie zijn. Uiteraard wordt de precisie ook beïnvloed door de grootte van de variabiliteit van de observaties rond de rechte, <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>, maar dat heeft een onderzoeker meestal niet in de hand.</p>
<p>De conditionele variantie (<span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>) is echter niet gekend en is noodzakelijk voor de berekening van de variantie op de parameterschatters. We kunnen <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span> echter ook schatten op basis van de observaties.
Zoals beschreven in Hoofdstuk <a href="chap-describe.html#chap-describe">4</a> kunnen we de variatie van de uitkomsten rond hun conditionele gemiddelde beschrijven d.m.v. de afwijkingen tussen de observaties <span class="math inline">\(y_i\)</span> en hun (geschatte) gemiddelde <span class="math inline">\(\hat{g}(x)=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_i\)</span>, de residu’s.
Het gemiddelde van die residu’s is echter altijd 0 omdat positieve en negatieve residu’s mekaar
opheffen. Bijgevolg levert het gemiddelde residu geen goede maat op voor de variatie en is het beter om naar kwadratische afwijkingen <span class="math inline">\(e_i^2\)</span> te kijken.
Net zoals de steekproefvariantie een goede schatter was voor de variantie (Sectie <a href="chap-describe.html#subsec:spreiding">4.3.2</a>), zal in de regressiecontext het gemiddelde van die kwadratische afwijkingen rond de regressierechte opnieuw een goede schatter zijn voor <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span>. Deze schatter wordt in de literatuur ook wel de <em>mean squared error</em> (MSE) genoemd.</p>
<p><span class="math display">\[\hat\sigma^2=MSE=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \left(y_i-\hat\beta_0-\hat\beta_1\times x_i\right)^2}{n-2}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n e^2_i}{n-2}.\]</span></p>
<p>Voor het bekomen van deze schatter steunen we op onafhankelijkheid (aanname 2) en homoscedasticiteit (aanname 3). Merk op dat we bij deze schatter niet delen door het aantal observaties <span class="math inline">\(n\)</span>, maar door <span class="math inline">\(n-2\)</span>. Hierbij corrigeren we voor het feit dat voor de berekening van MSE 2 vrijheidsgraden worden gespendeerd aan het schatten van het intercept en de helling.</p>
<p>Na het schatten van MSE kunnen we <span class="math inline">\(\sigma^2\)</span> door MSE vervangen zodat schatters worden bekomen voor de variantie en standard error op de schatters van model parameters,</p>
<p><span class="math display">\[\text{SE}_{\hat{\beta}_0}=\hat\sigma_{\hat{\beta}_0}=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n X^2_i}{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2} \times\frac{\text{MSE}}{n}} \text{ en } \text{SE}_{\hat{\beta}_1}=\hat\sigma_{\hat{\beta}_1}=\sqrt{\frac{\text{MSE}}{\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\bar X)^2}}\]</span></p>
<p>Analoog als in Hoofdstuk <a href="chap-besluit.html#chap-besluit">5</a> kunnen we opnieuw toetsen en betrouwbaarheidsintervallen construeren op basis van de teststatistieken</p>
<p><span class="math display">\[T=\frac{\hat{\beta}_k-\beta_k}{SE(\hat{\beta}_k)} \text{ met } k=0,1.\]</span></p>
<p>Als aan alle aannames is voldaan dan volgen deze statistieken <span class="math inline">\(T\)</span> een t-verdeling met n-2 vrijheidsgraden.
Wanneer niet is voldaan aan de veronderstelling van normaliteit maar wel aan lineariteit, onafhankelijkheid en homoscedasticiteit dan kunnen we voor inferentie opnieuw beroep doen op de centrale limietstelling die zegt dat de statistiek T bij benadering een standaard Normaal verdeling zal volgen wanneer het aantal observaties voldoende groot is.</p>
<p>In de borstkanker dataset hebben we een negatieve associatie geobserveerd tussen de S100A8 en ESR1 gen expressie.
We kunnen het effect in de steekproef nu veralgemenen naar de populatie toe door een betrouwbaarheidsinterval te bouwen voor de helling:</p>