From dd47bdf5abaa9d4592e8f1871aa6a9adeec2fc6e Mon Sep 17 00:00:00 2001
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@@ -1124,184 +1124,6 @@ \section{秩等式与不等式}
     ——魏尔斯特拉斯
 \end{flushright}
 
-\centerline{\heiti A组}
-\begin{enumerate}
-    \item 设$\alpha,\beta$为三维列向量，且$\alpha\beta^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}
-                  -1 & 2  & 1  \\
-                  1  & -2 & -1 \\
-                  2  & -4 & -2
-              \end{pmatrix}$，求$\alpha^\mathrm{T}\beta$.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti B组}
-\begin{enumerate}
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：任一$n$阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.
-              \item 设$A$是$n$阶复矩阵，若$\overline{A}^\mathrm{T}=A$，则称$A$是一个Hermite矩阵. 若$\overline{A}^\mathrm{T}=-A$，则称$A$是一个斜Hermite矩阵. 证明：任一$n$阶复矩阵都可以表示为一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵的和.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$A$为$m\times n$阶实矩阵，则$A^\mathrm{T}A=O$的充要条件为$A=O$.
-              \item 设$A$为$m\times n$阶复矩阵，则$\overline{A^\mathrm{T}}A=O$的充要条件为$A=O$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$A$为$n$阶对称矩阵，证明：$A$是零矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
-              \item 设$A$为$n$阶方阵，证明：$A$为反对称矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明：设$A$是实对称矩阵，若$A^2=O$，则$A=O$.
-
-    \item 设$A,B$为$n$阶方阵，证明：
-          \begin{enumerate}
-              \item 若$A,B$为对称矩阵，则$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
-              \item 若$A$为对称矩阵，$B$为反对称矩阵，则$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 求矩阵$\begin{pmatrix}
-                  a  & b  & c  & d  \\
-                  -b & a  & d  & -c \\
-                  -c & -d & a  & b  \\
-                  -d & c  & -b & a
-              \end{pmatrix}$的逆.
-
-    \item 设 $V=\{(a_{ij})_{n \times n} \mid \forall i,j,\enspace a_{ij}=a_{ji}\}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$V$为$\mathbf{F}^{n \times n}$的子空间；
-
-              \item 求$V$的基和维数.
-          \end{enumerate}
-
-    \item $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$表示所有实$n$阶方阵构成的集合. 设$W=\{A\in \mathbf{M}_n(\mathbf{R}) \mid a_{ji}=ka_{ij},\enspace i \leqslant j\}$，求当$k=0,1,2$时，$W$的一组基和维数.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti A组}
-\begin{enumerate}
-    \item 给定$\mathbf{R}^4$的两组基
-          \begin{gather*}
-              \alpha_1=(1,1,1,1),\ \alpha_2=(1,1,-1,-1),\ \alpha_3=(1,-1,1,-1),\ \alpha_4=(1,-1,-1,1) \\
-              \beta_1=(1,1,0,1),\ \beta_2=(2,1,3,1),\ \beta_3=(1,1,0,0),\ \beta_4=(0,1,-1,-1)
-          \end{gather*}
-          求由基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$到基$\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$的过渡矩阵，并求向量$\xi=(1,0,0,-1)$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$下的坐标.
-
-    \item 证明：矩阵添加一列（或一行），其秩或不变，或增加1.
-
-    \item 设$A$是$s \times n$矩阵，$B$是$A$前$m$行构成的$m \times n$矩阵，证明：$r(B) \geqslant r(A) + m - s$.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti B组}
-\begin{enumerate}
-    \item 利用列向量线性相关性，证明矩阵秩不等式：\[|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B) \leqslant r(A)+r(B)\]
-
-    \item 设$W$是$n$维线性空间$V$的一个非平凡子空间，$W$中取一组基$\delta_1,\ldots,\delta_m$，按如下两种方式将其扩充为$V$的一组基：
-          \begin{align*}
-              B_1 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n\} \\
-              B_2 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\beta_{m+1},\ldots,\beta_n\}
-          \end{align*}
-          设基$B_1$到$B_2$的过渡矩阵为$P$，求商空间$V/W$的基$\alpha_{m+1}+W,\ldots,\alpha_n+W$到$\beta_{m+1}+W,\ldots,\beta_n+W$的过渡矩阵.
-
-    \item 证明：当$n$为奇数时，$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$线性无关的充要条件是$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\ldots,\alpha_n+\alpha_1$线性无关.
-
-    \item 设
-          \[B_1=\left\{\begin{pmatrix}
-                  1 & 0 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  0 & 1 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  0 & 0 \\ 1 & 0
-              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-                  0 & 0 \\ 0 & 1
-              \end{pmatrix}\right\},\]
-          \[B_2=\left\{\begin{pmatrix}
-                  1 & 0 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 1 & 0
-              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 1 & 1
-              \end{pmatrix}\right\}.\]
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$B_2$也是线性空间$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的基；
-
-              \item 求基$B_2$变为基$B_1$的变换矩阵；
-
-              \item 求$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的一组基$B_3=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$，使得$A_i^2=A_i,\enspace i=1,2,3,4$；
-
-              \item 已知矩阵$A$关于基$B_2$的坐标为$(1,1,1,1)^\mathrm{T}$，求$A$关于基$B_3$的坐标.
-          \end{enumerate}
-
-    \item （利用相抵标准形）证明以下结论：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$列满秩矩阵，证明：存在$s$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=CB_1$；
-
-              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$行满秩矩阵，证明：存在$n$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=B_1C$；
-
-              \item 任意秩为$r$的矩阵都可以被分解为$r$个秩为1的矩阵之和；
-
-              \item 已知$A$是$n$阶方阵，证明：存在$n$阶方阵$B$使得$A=ABA,\enspace B=BAB$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$B$是$3 \times 1$矩阵，$C$是$1 \times 3$矩阵，证明：$r(BC) \leqslant 1$. 反之，若$A$是秩为1的$3 \times 3$矩阵，证明：存在$3 \times 1$矩阵$B$和$1 \times 3$矩阵$C$，使得$A = BC$.
-
-    \item 设$\alpha,\beta$为$n$维列向量，且$A=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$r(A) \leqslant 2$；
-
-              \item 若$\alpha,\beta$线性相关，证明：$r(A) \leqslant 1$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设 $A \in \mathbf{M}_{m \times n}(\mathbf{F})$，$r(A)=r$，$k$ 是满足条件 $r \leqslant k \leqslant n$ 的任意整数，证明存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=O$，且 $r(A)+r(B)=k$.
-
-    \item 设$A$是$m \times n$矩阵（$m \leqslant n$），$r(A)=m$，证明：存在$n \times m$矩阵$B$使得$AB=E$.
-
-    \item 设$A,B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F})$，$r(A)+r(B) \leqslant n$，证明：存在可逆矩阵$M$，使得$AMB=O$.
-
-    \item 设$S(A)=\{B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F}) \mid AB=0\}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$S(A)$为$\mathbf{M}_n(\mathbf{F})$的子空间；
-
-              \item 设$r(A)=r$，求$S(A)$的一组基和维数.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$A$为$n$阶实方阵且$r(A)=r>0$，证明存在秩为$r$的实方阵$B$和$C$使得$AB=CA$. % 新题，需要答案
-
-    \item 设$r(A)=r$，证明：存在$n$阶矩阵$B$满足$r(B)=n-r$，使得$AB=O$. % 新题，需要答案
-
-    \item 设$A$和$B$是两个$n$阶实方阵，证明：$r(A)=r(AB)$当且仅当存在$n$阶实方阵$C$使得$A=ABC$. % 新题，需要答案
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item （打洞法）已知$A$是一个$s \times n$矩阵，证明：$r(E_n-A^\mathrm{T}A)-r(E_s-AA^\mathrm{T})=n-s$.
-
-    \item 利用打洞法完成以下两个问题（\ref*{item:11:C:1} 也可以不使用打洞法，可以思考其他方式解决）：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$n$阶方阵$A,B,C,D$满足$AC+BD=E$，证明：$r(AB) = r(A)+r(B)-n$；
-
-              \item \label{item:11:C:1}
-                    $n$阶方阵$A,B$满足$AB=BA$，证明：$r(AB)+r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item $f(x)=f_1(x)f_2(x)$是多项式，且$f_1(x)$与$f_2(x)$互素，则$f(A)=O$的充要条件是$r(f_1(A))+r(f_2(A))=n$. （注：此题的推论非常多，如$A^2=A$，$A^n=E$等形式的结论都可以利用这个例子推导出）
-
-    \item 设$A,B$分别为$3 \times 2$和$2 \times 3$实矩阵. 若$AB=\begin{pmatrix}
-                  8             & 0 & -4 \\[1ex]
-                  -\dfrac{3}{2} & 9 & -6 \\[1ex]
-                  -2            & 0 & 1
-              \end{pmatrix}$，求$BA$.
-
-    \item 设矩阵$A \in \mathbf{F}^{m \times n}$，$A$的秩$r(A)=r$，定义$\mathbf{F}^{n \times p}$到$\mathbf{F}^{m \times p}$的线性映射$\sigma$，使得$\forall X \in \mathbf{F}^{n \times p}$，$\sigma(X)=AX$. 求$\sigma$核空间的维数.
-\end{enumerate}
-
 \centerline{\heiti A组}
 \begin{enumerate}
     \item 设方阵$A$满足$A^2-A-2E=O$，证明：
@@ -1319,6 +1141,12 @@ \section{秩等式与不等式}
 
               \item $r(A)=r(B)$.
           \end{enumerate}
+
+    \item 求下列矩阵的可逆的条件与逆矩阵：$\begin{pmatrix}
+            A & B \\ O & D
+        \end{pmatrix},\enspace \begin{pmatrix}
+            O & B \\ C & D
+        \end{pmatrix}$.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
@@ -1370,6 +1198,19 @@ \section{秩等式与不等式}
               \item $(A+E)^{-1}$.
           \end{enumerate}
           % 新题，需要答案
+
+    \item 利用列向量线性相关性，证明矩阵秩不等式：\[|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B) \leqslant r(A)+r(B)\]
+
+    \item 设$B$是$3 \times 1$矩阵，$C$是$1 \times 3$矩阵，证明：$r(BC) \leqslant 1$. 反之，若$A$是秩为1的$3 \times 3$矩阵，证明：存在$3 \times 1$矩阵$B$和$1 \times 3$矩阵$C$，使得$A = BC$.
+
+    \item 设$\alpha,\beta$为$n$维列向量，且$A=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}$.
+        \begin{enumerate}
+            \item 证明：$r(A) \leqslant 2$；
+
+            \item 若$\alpha,\beta$线性相关，证明：$r(A) \leqslant 1$.
+        \end{enumerate}
+
+    \item 设$A$和$B$是两个$n$阶实方阵，证明：$r(A)=r(AB)$当且仅当存在$n$阶实方阵$C$使得$A=ABC$. % 新题，需要答案
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
@@ -1399,4 +1240,34 @@ \section{秩等式与不等式}
                               &   &   &        & 0
                         \end{pmatrix}$可交换的矩阵$A$都可以写成$J$的一个多项式，即$A=a_{11}E+a_{12}J+a_{13}J^2+\cdots+a_{1n}J^{n-1}$.
           \end{enumerate}
+
+    \item 证明：若$n$阶矩阵$A$的各阶左上角子块矩阵都可逆，则存在$n$阶下三角矩阵$B$，使得$BA$为上三角矩阵.
+
+    \item 设$A$是数域$\mathbf{F}$上的$n$阶可逆矩阵，把$A$和$A^{-1}$做如下分块：
+        \[A=\begin{pmatrix}
+                A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
+            \end{pmatrix},\enspace A^{-1}=\begin{pmatrix}
+                B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}
+            \end{pmatrix}\]
+        其中$A_{11}$是$l \times k$矩阵，$B_{11}$是$k \times l$矩阵，$l$，$k$是小于$n$的正整数. 用$W$表示$A_{12}X=0$的解空间，$U$表示$B_{12}Y=0$的解空间，其中$X$和$Y$为列向量，证明$W$与$U$同构.
+
+    \item $A$的Schur补以及商等式$A/B=(A/C)/(B/C)$% 新题，需要答案
+
+    \item 已知$A$是一个$s \times n$矩阵，证明：$r(E_n-A^\mathrm{T}A)-r(E_s-AA^\mathrm{T})=n-s$.
+
+    \item 利用打洞法完成以下两个问题（\ref*{item:11:C:1} 也可以不使用打洞法，可以思考其他方式解决）：
+          \begin{enumerate}
+              \item 设$n$阶方阵$A,B,C,D$满足$AC+BD=E$，证明：$r(AB) = r(A)+r(B)-n$；
+
+              \item \label{item:11:C:1}
+                    $n$阶方阵$A,B$满足$AB=BA$，证明：$r(AB)+r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$.
+          \end{enumerate}
+
+    \item $f(x)=f_1(x)f_2(x)$是多项式，且$f_1(x)$与$f_2(x)$互素，则$f(A)=O$的充要条件是$r(f_1(A))+r(f_2(A))=n$. （注：此题的推论非常多，如$A^2=A$，$A^n=E$等形式的结论都可以利用这个例子推导出）
+
+    \item 设$A,B$分别为$3 \times 2$和$2 \times 3$实矩阵. 若$AB=\begin{pmatrix}
+                  8             & 0 & -4 \\[1ex]
+                  -\dfrac{3}{2} & 9 & -6 \\[1ex]
+                  -2            & 0 & 1
+              \end{pmatrix}$，求$BA$.
 \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/11 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/11 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex"
index 44870c9..ef9982a 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/11 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/11 \350\241\214\345\210\227\345\274\217.tex"	
@@ -6,7 +6,7 @@ \chapter{行列式}
 
 \section{行列式的定义}
 
-很多教材采用``逆序数''定义行列式，但是本教材未提及，而且也缺乏直观，因此我们不在本讲展开描述. 我们会在史海拾遗中结合历史给出相关的定义，当然感兴趣的同学可以参考丘维声《高等代数》等教材. 本教材使用公理化定义（使用一些规则描述）并讲解了递归式定义（按行（列）展开）.
+或许行列式是线性代数基础内容中最难下定义的一个概念了——不同的教材通常会给出不同的行列式引入和定义方式，且不同的思路各有其优劣。通常有三种基本的定义方式：``逆序数''定义（最常见的方式）、递归式定义（按行（列）展开）以及公理化定义（使用一些规则描述），这三种定义方式也是完全等价的. 在本讲中，我们从公理化定义出发，将递归式定义作为性质进行介绍，然后在行列式的基本运算中引入逆序数定义. 在读者已经适应公理化定义的体系后，我想这样的思路更具有几何直观，很多的推导也非常便捷.
 
 \subsection{公理化定义}
 
@@ -27,7 +27,7 @@ \subsection{公理化定义}
               (规范性) $D(e_1,e_2,\ldots,e_n)=1$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
-在公理化定义中，我们将行列式定义为一个满足特定的运算性质的从列向量组合到数的函数. 事实上，公理化定义从是逆序数定义可以推导出的行列式的运算性质，教材采用这种定义避开了繁琐的说明.
+在公理化定义中，我们将行列式定义为一个满足特定的运算性质的从列向量组合到数的函数. 需要注意的是，行列式除了上述记法外，如果设矩阵 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，那么行列式 $D(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ 也可以记为 $|A|$.
 
 除此之外，我们不难看出公理化定义可以形象地理解为对$n$维空间中体积的定义，对几何意义感兴趣的同学可以参考 \href{https://b23.tv/BV1ys411472E}{3b1b《线性代数的本质》系列视频}相关内容.
 \begin{example}{}{公理化定义}
@@ -190,7 +190,7 @@ \subsection{递归式定义}
     \end{align*}
 \end{solution}
 
-这一节中行列式是按照一行（列）展开的，若按多行（列）展开则需要相应的 Laplace 定理，我们将在下一讲行列式计算进阶中介绍.
+这一节中行列式是按照一行（列）展开的，若按多行（列）展开则需要相应的 Laplace 定理，我们将在本讲之后的部分介绍.
 
 \subsection{行列式的常用性质}
 
@@ -308,12 +308,12 @@ \subsection{行列式的常用性质}
 
 还有一部分由这些性质可以推导的其他性质将出现在C组习题中供参考. 这部分主要是技巧性内容，可以选择性完成.
 
-\section{行列式的基本运算}
+\section{行列式的运算}
 
-本节内容按照往年经验不是考试重点，但是我们要保证教材中涉及的的方法都掌握. 本节我们简要说明教材中提及的基本行列式计算方法，在下一讲行列式计算进阶中我们将用一整讲详细展开行列式的计算技巧.
+\subsection{行列式的基本运算}
 
-首先我们用一个简单的三阶行列式的例子回顾行列式的多种基本计算方法. 这里选取三阶行列式主要原因也是三阶行列式在未来实际解题中最为常见，这里希望读者比较选择最适合自己的方法在未来更便捷地使用：
-\begin{example}{}{}
+首先我们用一个简单的三阶行列式的例子回顾行列式的多种最基本的计算方法. 这里选取三阶行列式主要原因也是三阶行列式在未来实际解题中最为常见，这里希望读者比较选择最适合自己的方法在未来更便捷地使用：
+\begin{example}{}{行列式基本运算}
     计算行列式$D=\begin{vmatrix}
             1 & 2 & 3 \\
             2 & 3 & 1 \\
@@ -325,12 +325,6 @@ \section{行列式的基本运算}
     \begin{enumerate}
         \item （公理化定义与性质）参考教材171页例2的方法，此处展开较为复杂不再赘述，也不推荐使用这一方法.
 
-        \item （公式法，实际上就是逆序数定义）我们知道三阶行列式的计算公式为（直接展开也很容易验证）$D=\begin{vmatrix}
-                      a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
-                      a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
-                      a_{31} & a_{32} & a_{33}
-                  \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$，因此$D=1 \cdot 3 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot 3+3 \cdot 2 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 2 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1=-18$.
-
         \item （化为上三角形式）参考教材172页例4，具体过程不在此展开.
 
         \item （递归式定义展开）我们对第一行展开，由\autoref{def:递归式定义} 可知
@@ -354,9 +348,135 @@ \section{行列式的基本运算}
     \end{enumerate}
 \end{solution}
 
-接下来我们需要介绍一个非常重要的行列式，我们称之为Vandermonde行列式：
+\subsection{逆序数定义}
+
+给定一个行列式
+\[|A| = \begin{vmatrix}
+        a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+        a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
+        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+        a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+    \end{vmatrix},\]
+到目前为止，根据上面的例题我们已经有三种基本方法来计算行列式的值. 但是，有的读者或许对这三种逐步展开或变换的方法感到繁琐：或许我们可以直接写出一个公式来计算行列式的值？当然这样的公式需要我们通过逐步的展开或变换来得到.
+
+我们使用公理化定义来展开这一行列式，为了叙述方便，我们记 $A = (\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$，并记 $e_i$ 为 $n$ 维单位向量，即 $e_i = (0,\cdots,1,\cdots,0)$，其中 $1$ 在第 $i$ 个位置. 这样，行列式的第 $j$ 列就可以表达为
+
+\[\alpha_j = a_{1j}e_1 + a_{2j}e_2 + \cdots + a_{nj}e_n = \sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i.\]
+
+于是，根据行列式公理化定义 \autoref{def:公理化定义} 的线性性质，我们有
+
+\begin{align*}
+    |A| &= |\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n| = |\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i1}e_i,\alpha_2,\cdots,\alpha_n| \\
+        &= \sum\limits_{i=1}^{n}a_{i1}|e_i,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|.
+\end{align*}
+
+对行列式 $|e_i,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|$ 继续展开，由 $\alpha_2 = \sum\limits_{j=1}^{n}a_{j2}e_j$，我们有
+
+\[|e_i,\alpha_2,\cdots,\alpha_n| = \sum\limits_{j=1}^{n}a_{j2}|e_i,e_j,\alpha_3,\cdots,\alpha_n|.\]
+
+于是 $|A| = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}a_{i1}a_{j2}|e_i,e_j,\alpha_3,\cdots,\alpha_n|$. 不断展开，我们最终得到
+
+\[|A| = \sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}|e_{k_1},e_{k_2},\cdots,e_{k_n}|.\]
+
+注意行列式 $|e_{k_1},e_{k_2},\cdots,e_{k_n}|$ 在某对 $k_i,k_j$ 重复时的值为 $0$，所以在不为 $0$ 的项中，$(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 必定是 $(1,2,\cdots,n)$ 的一个全排列，即在 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 中，$1,2,\cdots,n$ 中每个数都出现且仅出现一次. 设 $S_n$ 为 $1,2,\cdots,n$ 所有全排列构成的集合，那么 $S_n$ 的元素个数为 $n!$.
+
+进一步地，当 $(k_1,k_2,\cdots,k_n) \in S_n$ 时，行列式 $|e_{k_1},e_{k_2},\cdots,e_{k_n}|$ 的每一行、每一列都有且只有一个元素等于 $1$，其余元素都等于 $0$，因此 $|e_{k_1},e_{k_2},\cdots,e_{k_n}| = \pm 1$，因此 $|A|$ 的展开式一共有 $n!$ 项，可以表达为
+
+\[|A| = \sum\limits_{k_1,k_2,\cdots,k_n} (-1)^\epsilon a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn},\]
+
+那么接下来的任务就是确定每项 $-1$ 的幂次，这显然与行列对换得到 $|e_1,e_2,\cdots,e_n| = 1$ 的次数有关，因此 $\epsilon$ 只和 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 的取值有关. 接下来我们引入逆序数的概念来帮助我们确定 $\epsilon$ 的值：
+
+\begin{definition}{逆序数}{}
+    设 $k_1,k_2,\cdots,k_n \in S_n$，如果 $i < j$ 且 $k_i > k_j$，则称 $k_i,k_j$ 是这个排列的一个\term{逆序对}\index{逆序对}，排序中所有逆序对的总数称为这个排列的\term{逆序数}\index{逆序数}，记作 $\tau(k_1,k_2,\cdots,k_n)$.
+\end{definition}
+
+逆序数的定义是非常易懂的，就是位置在前但数值更大的情况出现的次数. 直观上来看，逆序数衡量了与\term{常序排列} $(1,2,\cdots,n)$ 之间的距离，逆序数越大，排列与常序排列的差距越大. 逆序数的求法也非常简单：设排列为 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$，那么我们先看 $k_1$ 后面有多少个数比 $k_1$ 小，然后看 $k_2$ 后面有多少个数比 $k_2$ 小，以此类推，最后将所有这些数相加即可. 我们来看一个简单的例子：
+
+\begin{example}{}{}
+    求排列 $(3,1,4,2)$ 的逆序数.
+\end{example}
+
+\begin{solution}
+    我们可以直接计算：$3$ 后面有 $2$ 个数比 $3$ 小，$1$ 后面没有数比 $1$ 小，$4$ 后面有 $1$ 个数比 $4$ 小，$2$ 后面没有数比 $2$ 小，因此逆序数为 $2+0+1+0=3$.
+\end{solution}
+
+基于逆序数的定义，我们可以将排列做一个简单的分类：
+
+\begin{definition}{奇排列和偶排列}{}
+    如果一个排列的逆序数是偶数（包括零），则称这个排列是\term{偶排列}\index{偶排列}；如果一个排列的逆序数是奇数，则称这个排列是\term{奇排列}\index{奇排列}.
+\end{definition}
+
+不难证明奇偶排列有如下简单的性质：
+\begin{example}{奇偶排列的性质}{}
+    \begin{enumerate}
+        \item 设 $(k_1,k_2,\cdots,k_n) \in S_n$，若将 $k_i$ 与 $k_j$ 交换，其余数不动，那么排列的奇偶性会改变；
+        \item 设 $n \geqslant 2$，则 $S_n$ 中奇排列和偶排列的个数相等.
+    \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item 首先我们考虑相邻两个数的对换. 若 $k_i > k_{i+1}$，则对换后逆序数会减少 $1$，因此奇偶性会改变；若 $k_i < k_{i+1}$，则对换后逆序数会增加 $1$，奇偶性也会改变. 对于一般情形，$k_i$ 和 $k_j$ 的对换可以通过多次相邻两个数的对换来实现：不妨设 $i < j$，那么我们可以先将 $k_i$ 与 $k_{i+1}$ 对换，然后与 $k_{i+2}$ 对换，以此类推，最后与 $k_j$ 对换，这样就可以将 $k_i$ 和 $k_j$ 对换（一共对换了 $j-i$ 次）；接下来还需要将 $k_j$ 与 $k_{j-1}$ 对换，然后与 $k_{j-2}$ 对换，以此类推，最后与 $k_{i+1}$ 对换（一共对换了 $j-i-1$ 次），这样就可以将 $k_j$ 和 $k_i$ 对换. 因此，总的相邻对换次数为 $j-i+j-i-1=2(j-i)-1$，奇偶性会改变.
+        \item 设 $S_n$ 中奇排列有 $p$ 个，偶排列有 $q$ 个，因为 $n \geqslant 2$，故可以将每个奇排列的头两个数对换一下，则所有的奇排列都变成了互不相同的偶排列，故 $p \leqslant q$；同理，可以将每个偶排列的头两个数对换一下，所有的偶排列都变成了互不相同的奇排列，故 $q \leqslant p$，因此 $p = q$.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+讨论到此，我们终于可以给出逆序数与行列式展开中每项的符号之间的联系：
+
+\begin{theorem}{}{}
+    设 $(k_1,k_2,\cdots,k_n) \in S_n$，则通过 $\tau(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 次相邻对换可以将 $(k_1,k_2,\cdots,k_n)$ 变为 $(1,2,\cdots,n)$，因此 $\epsilon = \tau(k_1,k_2,\cdots,k_n)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    对 $n$ 进行归纳. $n=1$ 时结论显然成立，设对 $1,2,\cdots,n-1$ 的任一排列结论成立，我们来证明 $n$ 的情形. 设 $n$ 在排列 $(k_1,\cdots,k_n)$ 的第 $i$ 位，即 $k_i = n$，$n$ 贡献的逆序数为 $m_i = n - i$. 将 $k_i$ 与 $k_{i+1}$ 对换，再与 $k_{i+2}$ 对换，以此类推，最后与 $k_n$ 对换，这样 $n$ 就到了第 $n$ 位. 注意到
+
+    \[ \tau(k_1,\cdots,k_n) = \tau(k_1,\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,n) + m_i,\]
+
+    且 $(k_1,\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,n) \in S_{n-1}$，由归纳假设知 $(k_1,\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,n)$ 经过 $\tau(k_1,\cdots,k_{i-1},k_{i+1},\cdots,n)$ 次相邻对换可以变为 $(1,2,\cdots,n-1)$，结合上面的讨论可知 $(k_1,\cdots,k_n)$ 经过 $\tau(k_1,\cdots,k_n)$ 次相邻对换可以变为 $(1,2,\cdots,n)$，因此 $\epsilon = \tau(k_1,\cdots,k_n)$.
+\end{proof}
+
+由此我们可以得到行列式的逆序数定义：
+
+\begin{theorem}{行列式的逆序数定义}{}
+    设
+    \[|A| = \begin{vmatrix}
+            a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
+            a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
+            \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+            a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
+        \end{vmatrix},\]
+    则 $|A| = \sum\limits_{(k_1,k_2,\cdots,k_n) \in S_n} (-1)^{\tau(k_1,k_2,\cdots,k_n)}a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}$.
+\end{theorem}
+
+根据逆序数定义，我们可以重解 \autoref{ex:行列式基本运算} 中的行列式：
+\begin{solution}
+    我们知道三阶行列式的逆序数计算公式为 $D=\begin{vmatrix}
+        a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
+        a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
+        a_{31} & a_{32} & a_{33}
+    \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$，因此$D=1 \cdot 3 \cdot 2+2 \cdot 1 \cdot 3+3 \cdot 2 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 2 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 1=-18$.
+\end{solution}
+
+下面的例子会让我们更进一步地理解逆序数定义中``排列''的含义：
+\begin{example}{}{}
+    设
+    \[f(x)=\begin{vmatrix}
+        x-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\
+        -a_{21} & x-a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\
+        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+        -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & x-a_{nn}
+    \end{vmatrix},\]
+    其中$x$是未知数，$a_{ij}$是常数，证明：$f(x)$是一个最高次项系数为1的$n$次多项式，且其$n-1$次项的系数等于$-(a_{11}+\cdots+a_{nn})$.
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    根据逆序数定义，我们知道 $f(x)$ 的最高次项出现在展开式中的单项 $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn})$ 中，且展开式中的其他单项作为 $x$ 的多项式的次数必定小于等于 $n-2$（因为我们要求 $(k_1,\cdots,k_n)$ 是全排列）. 因此 $f(x)$ 是一个最高次项系数为 $1$ 的 $n$ 次多项式，且其 $n-1$ 次项的系数只能来源于 $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots(x-a_{nn})$，故等于 $-(a_{11}+\cdots+a_{nn})$.
+\end{proof}
+
+\subsection{范德蒙（Vandermonde）行列式}
+接下来我们需要介绍一个非常重要的行列式，我们称之为范德蒙（Vandermonde）行列式：
 \begin{example}{}{}
-    证明：$n$阶Vandermonde行列式
+    证明：$n$阶范德蒙行列式
     \[V_n=\begin{vmatrix}
             1         & 1         & \cdots & 1         \\
             x_1       & x_2       & \cdots & x_n       \\
@@ -365,7 +485,7 @@ \section{行列式的基本运算}
         \end{vmatrix}=\prod_{1 \leqslant i < j \leqslant n}(x_j-x_i)\]
 \end{example}
 
-教材177--178页例2给出了对上式的详细解释以及证明，这里我们不再赘述. 我们需要强调的是Vandermonde行列式的重要性，事实上，Vandermonde行列式有着广泛的应用，在之后不少的习题中我们将使用它. 在此我们证明\autoref{thm:覆盖定理} 的有限维情形作为一个例子：
+教材177--178页例2给出了对上式的详细解释以及证明，这里我们不再赘述. 我们需要强调的是范德蒙行列式的重要性，事实上，范德蒙行列式有着广泛的应用，在之后不少的习题中我们将使用它. 在此我们证明\autoref{thm:覆盖定理} 的有限维情形作为一个例子：
 \begin{example}{}{行列式证明覆盖定理}
     设$V_1,V_2,\ldots,V_s$是有限维线性空间$V$的$s$个非平凡子空间，证明：$V$中至少存在一个向量不属于$V_1,V_2,\ldots,V_s$中的任何一个，即$V_1 \cup V_2 \cup \cdots \cup V_s\subsetneq V$.
 \end{example}
@@ -382,7 +502,7 @@ \section{行列式的基本运算}
             \vdots    & \vdots    & \ddots & \vdots    \\
             k_1^{n-1} & k_2^{n-1} & \cdots & k_n^{n-1}
         \end{pmatrix}\]
-    则$|C|$是一个 Vandermonde 行列式. 由 Vandermonde 行列式的性质可知$|C| \neq 0$，因此$C$可逆. 又由于$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$是$V$的一组基，因此$\beta_{k_1},\beta_{k_2},\ldots,\beta_{k_n}$线性无关，从而向量组$\{\beta_k\}$中任意$n$个向量均构成$V$的一组基.
+    则$|C|$是一个范德蒙行列式. 由范德蒙行列式的性质可知$|C| \neq 0$，因此$C$可逆. 又由于$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$是$V$的一组基，因此$\beta_{k_1},\beta_{k_2},\ldots,\beta_{k_n}$线性无关，从而向量组$\{\beta_k\}$中任意$n$个向量均构成$V$的一组基.
 
     由于$V_1,V_2,\ldots,V_s$是$V$的非平凡子空间，因此每个子空间最多包含$\{\beta_k\}$中$n-1$个向量，进而$V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$只包含$\{\beta_k\}$中有限个向量，所以必然存在一个向量$\beta_j$使得$\beta_j \notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$.
 \end{proof}
@@ -466,6 +586,31 @@ \section{伴随矩阵}
     见教材182页例1.
 \end{solution}
 
+下面的例子也十分经典，是已知伴随矩阵求原矩阵，需要熟练运用伴随矩阵的性质：
+\begin{example}
+    已知$A^*=\begin{pmatrix}
+        1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 1
+    \end{pmatrix}$，求$A$.
+\end{example}
+
+\begin{solution}
+    不难求得 $|A^*| = 4$，根据伴随矩阵行列式的性质有，$|A^*| = |A|^2$，因此 $|A| = \pm 2$. 若 $|A| = 2$，则根据 $AA^* = |A|E$，有
+
+    \[A^{-1} = |A|^{-1}A^* = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
+            1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 1
+        \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+            \dfrac{1}{2} & -1 & \dfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & -1 \\ -\dfrac{1}{2} & 1 & \dfrac{1}{2}
+        \end{pmatrix}.\]
+
+    因此 $A = (A^{-1})^{-1} = \begin{pmatrix}
+            3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1
+        \end{pmatrix}$.
+
+    若 $|A| = -2$，则同理可以求得 $A = -\begin{pmatrix}
+            3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1
+        \end{pmatrix}$.
+\end{solution}
+
 \section{Cramer法则}
 
 从历史角度来开，引入行列式是用于求解线性方程组的. 瑞士数学家克莱姆（Cramer）于1750年在他的《线性代数分析导言》中发表了这一方法. 事实上莱布尼兹〔1693〕，以及麦克劳林〔1748〕亦研究了这一法则，但他们的记法不如克莱姆清晰. 接下来我们介绍这一充满历史底蕴的定理：
@@ -704,7 +849,7 @@ \subsection{关于秩的总结}
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
-在这一讲中我们引入了一个重要的工具——行列式. 我们不同于一般教材的逆序数定义（我们将会在史海拾遗中从历史角度介绍这一定义），首先给出了公理化的定义，并且发现行列式事实上就是在描述$n$维空间中物体的体积. 接下来我们也介绍了递归式定义（即按一行一列展开），并讨论了行列式的一些性质和基本运算（进阶问题我们将在下一讲讨论），介绍了常用的范德蒙行列式. 接下来我们也介绍了伴随矩阵及其大量性质，在性质的证明中希望读者体会这类证明的一般想法. 我们也介绍了Cramer法则，它是最开始研究线性方程组理论的一个核心结果，因此在讨论线性方程组一般理论的朝花夕拾一讲中我们还会再遇见它的身影. 最后我们讨论了行列式的秩，这也是我们最后一个``秩''的定义，我们讨论了向量组、线性映射、矩阵、行列式的秩的统一性，这也是我们这一学期学习的秩的概念的一个总结，也希望读者能在练习中更深刻体会它们的关联.
+在这一讲中我们引入了一个重要的工具——行列式. 我们不同于一般教材的逆序数定义（我们将会在史海拾遗中从历史角度介绍这一定义），首先给出了公理化的定义，并且发现行列式事实上就是在描述$n$维空间中物体的体积. 接下来我们也介绍了递归式定义（即按一行一列展开）和逆序数定义，并讨论了行列式的一些性质，介绍了常用的范德蒙行列式，在此基础上也介绍了大量的运算技巧——或许读者能回想起中学时代刷题的感觉. 接下来我们也介绍了伴随矩阵及其大量性质，在性质的证明中希望读者体会这类证明的一般想法. 我们也介绍了Cramer法则，它是最开始研究线性方程组理论的一个核心结果，因此在讨论线性方程组一般理论的朝花夕拾一讲中我们还会再遇见它的身影. 最后我们讨论了行列式的秩，这也是我们最后一个``秩''的定义，我们讨论了向量组、线性映射、矩阵、行列式的秩的统一性，这也是我们这一学期学习的秩的概念的一个总结，也希望读者能在练习中更深刻体会它们的关联.
 
 事实上，我们很难说服读者行列式以什么样的方式引入是最为合适的，或许在史海拾遗的历史讲述中我们可能才能窥见行列式诞生的奥秘，那是最为自然的描述，但需要过多的准备以至于可能令人厌烦. 但至少公理化定义是非常简单的，并且有一定的几何背景，由此也直接可以得出行列式大量的优良性质，例如矩阵可逆等价于行列式等于零——这一性质在将来关于线性方程组、特征多项式等的讨论中是核心的.
 
@@ -713,7 +858,7 @@ \subsection{关于秩的总结}
 
 \centerline{\heiti A组}
 \begin{enumerate}
-    \item 递归式定义推导公理化定义.
+    \item 证明：行列式的公理化定义、递归式定义和逆序数定义是等价的.
 
     \item 设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为三维列向量，令$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，且$|A|=2$，求$|\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+3\alpha_2+9\alpha_3,\alpha_1+4\alpha_2+16\alpha_3|$.
 
@@ -767,6 +912,10 @@ \subsection{关于秩的总结}
 
     \item 设$A$为$n$阶正交矩阵，即$AA^\mathrm{T}=A^\mathrm{T}A=E$，且$|A|<0$，证明：$|E+A|=0$.
 
+    \item 设实方阵$A$的伴随矩阵$A^*=\begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1
+    \end{pmatrix}$，且$|A|>0$，已知矩阵$B$满足$AB=E+3A$，求矩阵$B$.
+
     \item 已知齐次线性方程组
           \[\begin{cases} \begin{aligned}
                       a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n          & = 0             \\
@@ -843,6 +992,23 @@ \subsection{关于秩的总结}
 
 \centerline{\heiti C组}
 \begin{enumerate}
+    \item 设$A=(a_{ij})$是$n(n\geqslant 2)$阶整数方阵，满足对任意的$i,j$，$|A|$均可整除$a_{ij}$，证明：$|A|=\pm 1$.
+
+    \item 设$f_{ij}(t)$是可微函数，
+    \[F(t)=\begin{vmatrix}
+        f_{11}(t) & f_{12}(t) & \cdots & f_{1n}(t) \\
+        f_{21}(t) & f_{22}(t) & \cdots & f_{2n}(t) \\
+        \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
+        f_{n1}(t) & f_{n2}(t) & \cdots & f_{nn}(t)
+    \end{vmatrix},\]
+    求证：$\dfrac{\textup{d}}{\textup{d}t}F(t)=\sum\limits_{j=1}^nF_j(t)$，其中
+    \[F_j(t)=\begin{vmatrix}
+        f_{11}(t) & f_{12}(t) & \cdots & \dfrac{\textup{d}}{\textup{d}t}f_{1j}(t) & \cdots & f_{1n}(t) \\
+        f_{21}(t) & f_{22}(t) & \cdots & \dfrac{\textup{d}}{\textup{d}t}f_{2j}(t) & \cdots & f_{2n}(t) \\
+        \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+        f_{n1}(t) & f_{n2}(t) & \cdots & \dfrac{\textup{d}}{\textup{d}t}f_{nj}(t) & \cdots & f_{nn}(t)
+    \end{vmatrix}.\]
+
     \item 设$A,B,C,D$均为$n$阶方阵，$\lvert A \rvert \neq 0$且$AC=CA$. 证明：
           \[\begin{vmatrix}
                   A & B \\ C & D
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"
index 58cb795..fc275c3 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/12 \346\234\235\350\212\261\345\244\225\346\213\276.tex"	
@@ -811,6 +811,13 @@ \subsection{线性方程组反问题}
               \item 令满足$AX=O$的$n$阶方阵$X$全体构成的子空间为$V_1$，满足$BX=O$的$n$阶方阵$X$全体构成的子空间为$V_2$，求$V_1+V_2$的维数.
           \end{enumerate}
 
+    \item 设$S(A)=\{B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F}) \mid AB=0\}$.
+          \begin{enumerate}
+              \item 证明：$S(A)$为$\mathbf{M}_n(\mathbf{F})$的子空间；
+
+              \item 设$r(A)=r$，求$S(A)$的一组基和维数.
+          \end{enumerate}
+
     \item 设$A$是元素全为1的$n$阶方阵.
           \begin{enumerate}
               \item 求行列式$|aE+bA|$，其中$a,b$为实常数；
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"
index c4a975b..efd8642 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/14 \345\244\232\351\241\271\345\274\217.tex"	
@@ -677,6 +677,7 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
 实际上，在代数学中，$(p(x))$我们称其为由$p(x)$生成的理想，它由所有$(p(x))$的倍式组成. 这一例子给出了多项式和线性空间的一个非常直接的关联：用$\mathbf{F}[x]$商去一个$n$次多项式生成的理想，得到的是一个$n$维线性空间.
 
 \vspace{2ex}
+
 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
 % 我们借用丘维声老师《高等代数》中的一张图来总结我们研究
@@ -685,10 +686,10 @@ \section{实数域与有理数域上的多项式函数}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-{\kaishu }
+{\kaishu 如果有一个你无法解决的问题，那么一定有一个更简单的你可以解决的问题：去找到它。}
 \begin{flushright}
     \kaishu
-
+    ——G. 波利亚（George Pólya）
 \end{flushright}
 
 \centerline{\heiti A组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"
index 895b20f..4b0c9e0 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/20 \345\206\205\347\247\257\347\251\272\351\227\264.tex"	
@@ -563,10 +563,10 @@ \subsubsection*{$^*$ 极小化问题的应用：最小二乘解}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-{\kaishu }
+{\kaishu 就我个人而言，我相信如果我不曾面临那些尝试描绘并解决那些曾经全然无知的问题的经历，我或许甚至不曾完成我现在所作的工作的四分之一，甚至十分之一。}
 \begin{flushright}
     \kaishu
-
+    ——J. 狄奥多尼（Jean Dieudonné）
 \end{flushright}
 
 \centerline{\heiti A组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/23 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\207\240\344\275\225.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\207\240\344\275\225.tex"
similarity index 100%
rename from "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/23 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\207\240\344\275\225.tex"
rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\207\240\344\275\225.tex"
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/24 \344\272\214\346\254\241\345\236\213.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/23 \344\272\214\346\254\241\345\236\213.tex"
similarity index 100%
rename from "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/24 \344\272\214\346\254\241\345\236\213.tex"
rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/23 \344\272\214\346\254\241\345\236\213.tex"
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/24 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"
similarity index 100%
rename from "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/22 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"
rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/24 \345\245\207\345\274\202\345\200\274\345\210\206\350\247\243.tex"
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex"
index aedab10..87d1d35 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/25 \347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\344\270\216\345\276\256\347\247\257\345\210\206.tex"	
@@ -703,10 +703,10 @@ \section{积分学}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-{\kaishu }
+{\kaishu 但是，因为我将这些东西视作不仅是一个“量”，而且是一个“简单量”。也有其它的量是复合而成的，并且相对于其它的复合量相差一些简单量的加和。这些量通过更高级的形式的加和形成。}
 \begin{flushright}
     \kaishu
-
+    —— H. 格拉斯曼（Hermann Grassmann）
 \end{flushright}
 
 \centerline{\heiti A组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"
index 4081948..305bb2b 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex"	
@@ -600,6 +600,8 @@ \section{向量的坐标}
               \item 若$V$的子空间$W$的任一非零向量的零分量个数均不超过$r$，则$\dim W \leqslant r+1$.
           \end{enumerate}
 
+    \item 设 $\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}) = \{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\mid a,b,c\in\mathbf{Q}\}$，证明 $\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})$ 是 $\mathbf{Q}$ 上的线性空间并求其维数.
+
     \item 设$\mathbf{K} \subseteq \mathbf{F} \subseteq \mathbf{E}$是三个数域，已知$\mathbf{F}$作为$\mathbf{K}$上的线性空间是$n$维的，$\mathbf{E}$作为$\mathbf{F}$上的线性空间是$m$维的，证明：$\mathbf{E}$作为$\mathbf{K}$上的线性空间是$mn$维的.
 
     \item 延续上一讲对于 $\mathbf{F_4}(\mathbf{Z}_2)$ 的讨论，尝试求 $\mathbf{F_4}$ 在 $\mathbf{Z}_2$ 上的一组基及其维数，以及其中每个元素的坐标表示.
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"
index a97723f..d0248a0 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex"	
@@ -49,6 +49,64 @@ \section{线性空间的交、并、和}
 
 除此之外，这一定理也告诉我们为什么需要研究子空间的和而更少研究子空间的并：因为子空间的和仍然是线性空间. 直观理解实际上就是和的定义中出现了两个子空间的向量的加法，而构成子空间的核心就是运算封闭，因此这一定义为子空间的和仍构成子空间提供了保证，因此这一定义也是十分自然的.
 
+下面我们来看一个例子，在例子中我们将给出求子空间的和与交的一般方法：
+\begin{example}{}{}
+    设 $\alpha_1 = (1, 0, -1, 0)$，$\alpha_2 = (0, 1, 2, 1)$，$\alpha_3 = (2, 1, 0, 1)$，是四维实行向量空间 $V$ 中的向量，他们张成的子空间为 $V_1$；又设向量 $\beta_1 = (-1, 1, 1, 1)$，$\beta_2 = (1, -1, -3, -1)$，$\beta_3 = (-1, 1, -1, 1)$ 张成的子空间为 $V_2$，求 $V_1$ 和 $V_2$ 的交与和的基.
+\end{example}
+
+\begin{solution}
+    \begin{enumerate}
+        \item 方法一.  $V_1 +V_2$ 是由 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 生成的，因此只需要求出这 $6$ 个向量的极大线性无关组即可. 将这 $6$ 个向量按列分块方式拼成矩阵，并用初等行变换将其化为阶梯形矩阵：
+        \[ \begin{aligned} \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & 2 & -1 & 1 & -1 \\
+                0 & 1 & 1 & 1  & -1 & 1  \\
+                -1 & 2 & 0 & 1 & -3 & -1 \\
+                0 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1
+        \end{pmatrix} \xrightarrow{} \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & 2 & -1 & 1 & -1 \\
+                0 & 1 & 1 & 1  & -1 & 1  \\
+                0 & 2 & 2 & 0 & -2 & -2 \\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix} \\
+        \xrightarrow{} \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & 2 & -1 & 1 & -1 \\
+                0 & 1 & 1 & 1  & -1 & 1  \\
+                0 & 0 & 0 & -2 & 0 & -4 \\
+                0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix} \end{aligned} \]
+
+        所以就可以取 $\alpha_1$，$\alpha_2$，$\beta_1$ 为 $V_1 + V_2$ 的基（不唯一）.
+
+        下面再来取 $V_1\cap V_2$ 的基，首先注意到 $\alpha_1$，$\alpha_2$ 是 $V_1$ 的基（从上面的矩阵即可看出），又不难验证 $\beta_1$，$\beta_2$ 是 $V_2$ 的基，$V_2$ 中的向量可以表示为 $\beta_1$，$\beta_2$ 的线性组合. 假设 $t_1\beta_1 + t_2\beta_2$ 属于 $V_1$，则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, t_1\beta_1 + t_2\beta_2$ 和向量组 $\alpha_1, \alpha_2$ 的秩相等（因为 $\alpha_1, \alpha_2$ 是 $V_1$ 的基）. 因此，我们可以用矩阵方法来求出参数 $t_1, t_2$. 注意到
+        \[ \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & -t + t_2  \\
+                0 & 1 & t_1 - t_2 \\
+                -1 & 2 & t_1 - 3t_2 \\
+                0 & 1 & -t_1 - t_2
+        \end{pmatrix} \xrightarrow{} \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & -t + t_2  \\
+                0 & 1 & t_1 - t_2 \\
+                0 & 2 & -2t_2 \\
+                0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix} \xrightarrow{} \begin{pmatrix}
+                1 & 0 & -t + t_2  \\
+                0 & 1 & t_1 - t_2 \\
+                0 & 0 & -2t_1 \\
+                0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix} \]
+
+        所以可以得出当且仅当 $t_1 = 0$ 时 $t_1\beta_1 + t_2\beta_2$ 属于 $V_1$，所以 $V_1 \cap V_2$ 的基可取为 $\beta_2$.
+
+        \item 方法二. 求 $V_1 + V_2$ 的基同方法一，现用解线性方程组的方法来求 $V_1 \cap V_2$ 的基. 因为 $\alpha_1$，$\alpha_2$ 是 $V_1$ 的基，$\beta_1$，$\beta_2$ 是 $V_2$ 的基，故对任一向量 $\gamma \in V_1 \cap V_2$，$\gamma = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 = -x_3\beta_1 - x_4\beta_2$. 因此，求向量 $\gamma$ 等价于求解线性方程组
+
+        \[ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\beta_1 + x_4\beta_2 = 0. \]
+
+        上述线性方程的通解是 $(x_1, x_2, x_3, x_4) = k(-1, 1, 0, 1)$，从而 $\gamma = -k(\alpha_1 - \alpha_2) = -k\beta_2 (k \in \mathbf{R})$，于是 $\beta_2$ 是 $V_1 \cap V_2$ 的基.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+我们不难发现，两个线性空间的和的求法就是将两个空间的基合并后求极大线性无关组，而交的求法则更具技巧性. 当然这里使用的是简单的向量空间的例子，如果是一般的线性空间，则可以先转化为基下的坐标然后使用上面的方法求解.
+
 \section{覆盖定理}
 
 \begin{theorem}{覆盖定理}{覆盖定理} \index{fugaidingli@覆盖定理}
@@ -215,9 +273,10 @@ \section{线性空间的直和}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-When language has been well chosen, one is astonished to find that all demonstrations made for a known object apply immediately to many new objects: nothing requires to be changed, not even the terms, since then names have become the same.
+{\kaishu 在选择了一套恰当的语言之后，我们会惊讶地发现，所有对于已知对象的阐述都能被立刻推广到许多新的对象上：不需要进行任何改写，甚至包括术语，因为在这种语言下，所有的名字也是一致的。}
 \begin{flushright}
-    ——H. Poincaré
+    \kaishu
+    ——H. 庞加莱（Henri Poincaré）
 \end{flushright}
 
 \centerline{\heiti A组}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"
index 192a8a5..632c750 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/5 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204.tex"	
@@ -724,11 +724,11 @@ \subsection{线性空间的积与直和}
 
 由此，我们通过在积空间上定义映射，结合\nameref{thm:线性映射基本定理}（或同构）得到了\autoref{thm:直和等价命题} 中关于维数的命题. 总结而言，在积空间的讨论中我们展现了一个比较完整地学习路径：从定义积空间的想法（来源于集合的笛卡尔积），到如何自然地定义出这一空间的加法和数乘运算，然后研究构造出的空间的基本结构有什么特点，然后进一步构造其上线性映射，得到一些其他的结论. 这一路径的每一步都是非常自然的，而且是学习一个数学概念的常见思路，希望读者不仅是在线性代数中体会到这种学习路径，在其他数学课甚至其他学科中都能总结出这样一条引入—定义—性质—应用的自然路径.
 
-\subsection{自然同构}
+\subsection{自然同构} \label{subsec:自然同构}
 
-本节我们将重新审视同构这一概念，我想本节的内容不是主线必须的，事实上对于同构这一概念，在有限维线性空间的视角下理解为维数相等在大部分场合下已经足够，但如果你希望在之后更深地理解对偶等章节，本节内容会提供一些基本的概念.\footnote{严谨而言，本节内容需要用到范畴论的概念，但这里我们为了避免引入大量的概念，将范畴论的术语转化为线性代数中的术语，并且大大简化我们的讨论，也就是说，这里仅仅是相关内容的冰山一角. 本书的最后一个未竟专题将会展开范畴论的讨论，感兴趣的读者可以参考.}
+本节我们将重新审视同构这一概念，我想本节的内容不是主线必须的，事实上对于同构这一概念，在有限维线性空间的视角下理解为维数相等在大部分场合下已经足够，但如果你希望在之后更深地理解对偶等章节，本节内容会提供一些基本的直观.\footnote{严谨而言，本节内容需要用到范畴论的概念，但这里我们为了避免引入大量的概念，将范畴论的术语转化为线性代数中的术语，并且大大简化我们的讨论，也就是说，这里仅仅是相关内容的冰山一角. 本书的最后一个未竟专题将会展开范畴论的讨论，感兴趣的读者可以参考.}
 
-为了重新审视同构，我们首先来看两个例子. 第一个例子需要我们回顾\autoref{thm:积与直和}，实际上我们可以直接得到如下同构：
+为了重新审视同构，我们首先来看两个例子. 第一个例子需要我们回顾\autoref{thm:积与直和}，作为一个推论我们可以得到如下同构：
 \begin{equation} \label{eq:5:积与直和自然同构}
     V_1\times V_2\times\cdots\times V_n\cong V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n.
 \end{equation}
@@ -752,30 +752,13 @@ \subsection{自然同构}
 \end{equation}
 决定，其中$v_1,v_2,\ldots,v_n$是$v$在$V$的某一组基下的坐标. 相信读者读到这里已经发现了问题：\autoref{eq:5:积与直和自然同构映射} 中的映射我们并没有强调基的选取，然而\autoref{eq:5:V与Fn同构映射} 中的映射却依赖于基的选取，当$V$的基选取不一致时，$v\in V$的坐标会变化，因此映射$\sigma$的定义也会变化.
 
-这一差异引入了在线性空间中的自然同构的概念：
-\begin{definition}{自然同构（线性空间版本）}{}
-    设$V_1,V_2$为两个线性空间，称两者自然同构，如果在某组$V_1$的基$\alpha_{11},\ldots,\alpha_{1n}$和某组$V_2$的基$\alpha_{21},\ldots,\alpha_{2n}$下可以定义一个线性映射$\sigma_\alpha$ 满足：
-    \begin{enumerate}
-        \item $\sigma_\alpha$是一个从$V_1$到$V_2$的同构；
-        \item 对于任意$V_1$的基$\beta_{11},\ldots,\beta_{1n}$和$V_2$的基$\beta_{21},\ldots,\beta_{2n}$，如果能定义出同构映射$\sigma_\beta$，则必须有$\sigma_\beta$与$\sigma_\alpha$都是同一个线性映射.
-    \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-读者可能会觉得这个定义有点语焉不详. 但实际上，我们可以回顾\autoref{thm:线性映射唯一确定}，为了定义一个线性映射，我们往往需要写出它把出发空间的基中的每个向量映射到了哪里，这也是上面通过基定义映射的依据. 而为了把我们前面例子中映射定义与基无关的要求，我们就引入了第二条性质.
-
-于是，接下来我们便可以按照这一定义验证两个例子中的同构是否是自然同构：
-\begin{proof}
-    \begin{enumerate}
-        \item
-        \item
-    \end{enumerate}
-\end{proof}
+这一差异引入了在线性空间中的自然同构的直观：称一个同构是自然的，如何这个同构的定义与基无关. 读者可能会觉得这个定义有点语焉不详，我们会在全书的最后一个未竟专题中给出更加严谨的定义.
 
 最后我们再看一个例子，我们希望进一步看到构造同构映射带来的研究问题的方便性：
 \begin{example}{}{}
     设$V_1,V_2,\ldots,V_n,W$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，证明：$\mathcal{L}(V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n,W)$与$\mathcal{L}(V_1,W) \times \mathcal{L}(V_2,W) \times \cdots \times \mathcal{L}(V_n,W)$同构.
 \end{example}
-有的读者可能看见这题就会觉得非常简单，因为有限维线性空间的前提下二者维数显然相同，然而我们这里并未限定有限维线性空间，因此需要读者自己构造同构映射. 事实上同构映射的构造是很自然的，因为我们知道任何线性空间都与向量空间有一个很自然的映射，我们只需要将两部分映射复合即可.
+有的读者可能看见这题就会觉得非常简单，因为有限维线性空间的前提下二者维数显然相同，然而我们这里并未限定有限维线性空间，因此需要读者自己构造同构映射. 事实上同构映射的构造是很简单的，因为我们知道任何线性空间都与向量空间有一个最简单的坐标映射，我们只需要将两部分映射复合即可. 当然很多时候我们甚至可以直接自然地将同构写出，读者可以通过阅读这一例子的解答自行体会：
 
 \begin{solution}
     $\forall f\in \mathcal{L}(V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n,W)$，我们定义$f_i:V_i\to W(i=1,2,\ldots,m)$满足
@@ -783,6 +766,15 @@ \subsection{自然同构}
     其中$v_i$位于第$i$个位置，其余位置为零向量.
 
     定义$\varphi:\mathcal{L}(V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n,W)\to \mathcal{L}(V_1,W) \times \mathcal{L}(V_2,W) \times \cdots \times \mathcal{L}(V_n,W)$，使得$\varphi(f)=(f_1,f_2,\ldots,f_m)$，则接下来我们要验证$\varphi$就是我们要求的同构映射.
+    \begin{enumerate}
+        \item 线性性：显然，读者自行验证；
+        \item 单射：设$\varphi(f)=0$，即$f_i=0(i=1,2,\ldots,m)$，则对任意$v\in V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n$，我们有
+              \[f(v)=f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=f_1(v_1)+f_2(v_2)+\cdots+f_n(v_n)=0,\]
+              即$f=0$，故$\varphi$是单射；
+        \item 满射：设$(f_1,f_2,\ldots,f_m)\in \mathcal{L}(V_1,W) \times \mathcal{L}(V_2,W) \times \cdots \times \mathcal{L}(V_n,W)$，我们定义$f:V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n\to W$使得
+                \[f(v_1,v_2,\ldots,v_n)=f_1(v_1)+f_2(v_2)+\cdots+f_n(v_n),\]
+                则$f$是线性映射，且$\varphi(f)=(f_1,f_2,\ldots,f_m)$，故$\varphi$是满射.
+    \end{enumerate}
 \end{solution}
 
 \vspace{2ex}
@@ -794,9 +786,10 @@ \subsection{自然同构}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-I argue that set theory should not be based on membership, as in Zermelo-Frankel set theory, but rather on isomorphism-invariant structure.
+{\kaishu 我主张，集合论不应该基于成员关系，像 Zermelo-Frankel 集合论中那样，而应当基于同构不变的结构。}
 \begin{flushright}
-    ——W. Lawvere
+    \kaishu
+    ——W. 劳威尔（William Lawvere）
 \end{flushright}
 
 \centerline{\heiti A组}
@@ -817,6 +810,10 @@ \subsection{自然同构}
     \item 是否存在$\mathbf{R}^2$到$\mathbf{R}^3$的线性映射$\sigma$使得$\sigma(3,2)=(1,0,0)$，$\sigma(1,5)=(1,1,0)$，$\sigma(-1,4)=(1,1,1)$？
 
     \item 求$\sigma(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_1,0,\ldots,0)$的像、核与秩.
+
+    \item 证明：同构映射的逆、复合仍然是同构映射.
+
+    \item 证明：\autoref{def:积空间} 中定义的线性空间的积构成一个线性空间.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
@@ -863,6 +860,53 @@ \subsection{自然同构}
 
               \item 设$f,g,h \in \mathbf{R}[x]_3$且$f(1)=g(1)=h(1)=0$，证明：$f,g,h$线性相关.
           \end{enumerate}
+
+          \item 设$\sigma(p(x))=p'(x)$（求导），$\forall p(x) \in \mathbf{R}[x]_n$.
+          \begin{enumerate}
+              \item 证明：$\sigma$是$\mathbf{R}[x]_n$上的线性变换；
+
+              \item 求$\sigma$的值域和$r(\sigma)$，说明$\sigma$是否可逆；
+
+              \item 求$\sigma$的核及其维数；
+
+              \item 求$r(\sigma)+\dim\ker\sigma$，问：$\mathbf{R}[x]_n=\ker\sigma+\im \sigma$是否成立.
+          \end{enumerate}
+
+    \item 设$V$为有限维线性空间，$T\in \mathcal{L}(V,V)$且$T$不是恒等变换也不是零变换，问：下列情况是否可能发生？如果可能请举例，不可能请说明理由.
+          \begin{enumerate}
+              \item $\im T \cap \ker T = \{0\}$；
+
+              \item $\im T \subseteq \ker T$；
+
+              \item $\ker T = \im T$；
+
+              \item $\ker T \subseteq \im T$.
+          \end{enumerate}
+
+    \item 若$\sigma_1,\sigma_2\in \mathcal{L}(V,V)$，判断下列说法是否正确，正确请给出证明，反之给出反例：
+          \begin{enumerate}
+              \item 由$r(\sigma)+\dim\ker\sigma=n$可知$V=\ker\sigma+\im \sigma$；
+
+              \item 若有$\im T \cap \ker T = \{0\}$，则$V=\ker\sigma+\im \sigma$成立；
+
+              \item 因为$\forall \alpha \in V$有$(\sigma_1+\sigma_2)(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$，所以$(\sigma_1+\sigma_2)(V)=\sigma_1(V)+\sigma_2(V)$；
+
+              \item $(I-\sigma)(V)+\sigma(V)=V$，其中$I$为恒等映射.
+          \end{enumerate}
+
+          \item 设$V(\mathbf{R})$是线性空间，$\sigma$是$V(\mathbf{R})$到$\mathbf{R}^3$的同构映射，且$\sigma(\alpha_1)=(1,0,1),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_2)=(-2,1,0),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_3)=(-3,2,1),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_4)=(1,1,2)$.
+          \begin{enumerate}
+              \item $\alpha_1$在$\spa(\alpha_2,\alpha_3)$中吗？
+
+              \item 设$W_1=\spa(\alpha_1,\alpha_2),\enspace W_2=\spa(\alpha_3,\alpha_4)$，求$W_1\cap W_2$.
+          \end{enumerate}
+
+    \item 设$c_1,c_2,\ldots,c_n$是$n$个互异的实常数. 证明：$\mathbf{R}[x]_n$到$\mathbf{R}$的一个映射$\sigma$：
+          \[\sigma(p(x))=(p(c_1),p(c_2),\ldots,p(c_n))\]
+          是$\mathbf{R}[x]_n$到$\mathbf{R}$的一个同构映射.
+
+    \item 设$\sigma$和$\tau$分别为有限维线性空间$U\to V$和$V\to W$的线性映射，证明
+          \[\dim\ker\sigma+\dim(\im\sigma\cap\ker\sigma)=\dim\ker(\tau\sigma).\]
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
@@ -875,4 +919,28 @@ \subsection{自然同构}
           \end{enumerate}
 
     \item 已知$\sigma_1,\sigma_2,\ldots,\sigma_s$是线性空间$V$上的$s$个两两不同的线性变换，证明：在$V$中必存在向量$\alpha$使得$\sigma_1(\alpha),\sigma_2(\alpha),\ldots,\sigma_s(\alpha)$也两两不同.
+
+    \item 设$V$是一个$n$维线性空间，$V=W_1\oplus W_2,\enspace\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$. 证明：$\sigma$可逆$\iff V=\sigma(W_1)+\sigma(W_2)$.
+
+    \item 设$V_1,V_2,V_3$分别为$m,n,s$维线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V_1,V_2),\enspace\tau\in \mathcal{L}(V_2,V_3)$，则
+          \[r(\sigma)+r(\tau)-n \leqslant r(\tau\sigma) \leqslant \min\{r(\sigma),r(\tau)\}.\]
+
+    \item 设$V_1$是有线维线性空间，$\sigma,\tau\in \mathcal{L}(V_1,V_2)$，则
+          \[r(\sigma+\tau) \leqslant r(\sigma)+r(\tau).\]
+
+          事实上前两题的结论在下一章节矩阵的秩中都会涉及，此处有兴趣的同学可以尝试从线性映射的角度理解这两个秩不等式. 由于这是教材中小字部分内容，一般而言不在考察范围，如果出现且无法找到合适方式，可以考虑化为矩阵进行证明.
+
+    \item 设$\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$，$\dim V_1=n$，且$\sigma^2=\sigma$，$I$是$V$上的恒等变换. 证明：
+          \begin{enumerate}
+              \item $(I-\sigma)(V) \in \ker\sigma$；
+
+              \item $r(I-\sigma)+r(\sigma)=n$.
+          \end{enumerate}
+
+    \item 已知$V$为有限维线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$，且$\sigma^2=\theta$（零映射）. 证明：
+          \begin{enumerate}
+              \item $\sigma$的像空间维数不超过$\dfrac{n}{2}$；
+
+              \item 设$A$是$\sigma$在某组基下的矩阵，则方程组$AX=0$的基础解系至少有$\dfrac{n}{2}$个解.
+          \end{enumerate}
 \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"
similarity index 88%
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rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"
index 7db447b..b9e0b91 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/10 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \345\225\206\344\270\216\345\257\271\345\201\266.tex"	
@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{商与对偶}
+\chapter{商与对偶} \label{chap:商与对偶}
 
 \section{商空间}
 
@@ -38,7 +38,7 @@ \subsection{从等价关系出发}
     \end{enumerate}
 \end{proof}
 
-这一结论非常关键，它使得我们把抽象的关等价关系与一个子空间绑定. 我们记这一子空间为$U$，即$\overline{0}=U$，于是下面这一结论也是容易得到的：
+这一结论非常关键，它使得我们把抽象的等价关系与一个子空间绑定. 我们记这一子空间为$U$，即$\overline{0}=U$，于是下面这一结论也是容易得到的：
 \begin{theorem}{}{}
     设$v_1,v_2\in V$，则$v_1Rv_2$当且仅当$v_1-v_2\in U$.
 \end{theorem}
@@ -288,14 +288,7 @@ \subsection{对偶空间}
 
 \end{solution}
 
-除此之外需要强调的是，这样一组基一定依赖于原来的基，上面构造出的同构也是如此——如果我们一开始给$V$取的是另一组基，这里的对偶基一定是另一组基，同构映射也会发生变化. 像这样随着基的取法不同而发生变化的同构映射我们称其为不自然的. 事实上，像坐标映射就是非常典型的不自然的映射：基的取法发生变化，坐标一定会有不同. 同理，线性映射的矩阵表示也是不自然的. 我们也可以给出自然映射的例子，比如直和与积的同构：
-\begin{equation}
-    \begin{aligned}
-        \sigma:V_1\times V_2\times\cdots\times V_n & \to V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n, \\
-        (v_1,v_2,\ldots,v_n)                       & \mapsto v_1+v_2+\cdots+v_n
-    \end{aligned}
-\end{equation}
-这里我们定义映射完全不依赖于基的选取，因此是自然的. 事实上，不存在从 $V$ 到 $V^*$ 的自然同构，这个命题在 Mac Lane 提出范畴论的原始论文中被称为是可以由范畴论所形式化的，而范畴论是数学中更为高深的分支，在此我们就不再深入探讨，待本书的最后一个未竟专题展开讨论.
+除此之外需要强调的是，这样一组基一定依赖于原来的基，上面构造出的同构也是如此——如果我们一开始给$V$取的是另一组基，这里的对偶基一定是另一组基，同构映射也会发生变化. 像这样随着基的取法不同而发生变化的同构映射根据我们在\nameref{subsec:自然同构}中的描述应当称其为不自然的. 事实上，不存在从 $V$ 到 $V^*$ 的自然同构，这个命题在 Mac Lane 提出范畴论的原始论文中被称为是可以由范畴论所形式化的，而范畴论是数学中更为高深的分支，在此我们就不再深入探讨，待本书的最后一个未竟专题展开讨论.
 
 但是，另一个范畴论的观点还是可以讨论的. 当我们说对偶的时候，我们提到了关于对象的叙述的翻译的问题，如开头中的例子点与线之间的相互翻译对应——这一点我们已经通过线性空间与其对偶空间的同构形式化. 但我们似乎还忽略了一个翻译，就是``确定''和``交于''的之间的翻译. 很自然地，这两个词汇实际上就是线性空间元素之间的对应，即线性映射，于是我们接下来讲探讨线性映射之间的翻译. 在进一步讲解之前，我们首先需要介绍交换图的概念：
 \begin{definition}{交换图}{}
@@ -405,38 +398,6 @@ \subsection{对偶空间}
 
 需要注意的是，在证明这是一个线性同构的过程中，从技术上我们依然要依赖于对 $V$ 取任意一组基，因此它实际上依赖于 $V$ 的有限性. 如果 $V$ 并非有限，那么实际上问题会变得相当复杂，在此不做讨论. 虽然无限维情形的对偶空间依然可以用 $\mathcal{L}(V, \R)$ 来定义，超平面的直观则就不再适用了.
 
-\subsection{对偶映射的矩阵表示}
-
-我们已经提及，$\mathcal{L}(V, W)$ 和矩阵空间具备同构性质，而我们已经表明，对偶有一个函子性，也就是说，$\mathcal{L}(V, W)$ 到 $\mathcal{L}(W^*, V^*)$ 有对应. 因此，我们不免就想构造矩阵空间的一个类似的对偶，使得它能够``具备类似对偶的函子性''. 更直白地说，我们希望得到其对偶映射的矩阵表示.
-
-那么，让我们思考一下怎么给出这个表示. 现在，我们的第一反应是，它一定是一个反变的东西. 其次，它一定对于任意行数和列数的矩阵都存在. 那么，最简单的想法就是，它是不是就是矩阵的转置？矩阵的转置看起来符合反变的直观，而且也带有我们已经给出的性质. 而下面的问题是，如何验证这种直观.
-\begin{theorem}{}{对偶映射的矩阵表示}
-    $V$和$W$为有限维线性空间. $V$的一组基为$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，$W$的一组基为$\beta_1,\ldots,\beta_m$，它们对偶空间的基分别为$f_1,\ldots,f_n$和$g_1,\ldots,g_m$. 设$\sigma\in\mathcal{L}(V,W)$，它在上述$V$和$W$的基下的矩阵为$A=(a_{ij})_{m \times n}$，则$\sigma^*\in\mathcal{L}(W^*,V^*)$在上述对偶基下的矩阵为$C=(c_{ij})_{n \times m}=A^\mathrm{T}$.
-\end{theorem}
-
-\begin{proof}
-    根据线性映射矩阵表示的定义，我们有
-    \[\sigma^*(g_j)=\sum_{i=1}^nc_{ij}f_i,\enspace j=1,2,\ldots,m.\]
-    上式左端根据对偶映射定义等于$(g_j\circ\sigma)$. 于是我们将等式两端均作用于$\alpha_k$上有
-    \[(g_j\circ\sigma)(\alpha_k)=\sum_{i=1}^nc_{ij}f_i(\alpha_k)=\sum_{i=1}^nc_{ij}\delta_{ik}=c_{kj}.\]
-    另一方面，根据映射复合的结合律以及线性映射矩阵表示的定义，我们有
-    \[(g_j\circ\sigma)(\alpha_k)=g_j(\sigma(\alpha_k))=g_j\left(\sum_{i=1}^na_{ik}\beta_i\right)=\sum_{i=1}^na_{ik}g_j(\beta_i)=\sum_{i=1}^na_{ik}\delta_{ij}=a_{jk}.\]
-    因此我们有$c_{kj}=a_{jk}$，即$C=A^\mathrm{T}$.
-\end{proof}
-
-这个结果看起来很平凡，对吧？但是让我们暂停一下，重新反思一下前面的几何直观. 如果我们有超平面方程
-
-\[
-    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1
-\]
-
-我们记$a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^\mathrm{T},x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}$，于是上面的方程可以简化为$a^T x = 1$. 事实上，对于给定的一个超平面$a^T x = 1$，我们知道一定有某个点与之对应，事实上它就是$\tilde{x} = a$，即就是超平面方程的系数.
-\begin{proof}
-    原谅我没时间严格说明这个关系，之后会补上的，但其实这个很直观.
-\end{proof}
-
-于是我们接下来可以给出\autoref{thm:对偶映射的矩阵表示} 从几何上的理解. 如果原来的方程是 $a^\mathrm{T} x = 1$，则与这个超平面对偶的点则是 $\tilde{x} = a$. 如果我们对 $\tilde{x}$ 作用上 $M$，也就是写成 $\tilde{x} = Ma$，则实现了$V\to W$的映射，那么前面与之对应的方程就是 $(Ma)^\mathrm{T} x = 1$，或者写作 $a^\mathrm{T} (M^\mathrm{T} x) = 1$，即新的超平面和原来的超平面相差一个 $M^\mathrm{T}$，即$W^*$与$V^*$之间相差了$M^\mathrm{T}$. 因此，从几何直观上，我们也验证了转置和对偶映射的对应关系. % TODO: 这段要重写
-
 \subsection{零化子}
 
 在引理 \ref{lem:cong_functional_hyperplane} 的证明中，我们探讨了一个使得线性泛函取值非零的向量，并且我们实际上也已经发现了，这样的向量在构建子空间的时候发挥了重要的作用. 接下来，我们要问的是，那些为零的点呢？既然线性泛函是一个从 $V$ 到 $\R$ 的函数，对于这个函数的零点的探讨也是理所应当的. 记一个线性泛函 $f$ 的零点集为 $\ker f$，则它当然也是一个线性空间. 而为了表现对偶空间的用处，我们就要研究那些零点包含某些东西的线性泛函构成的集合作为对偶空间的子集的结构——这种想法实际上也是所谓的泛函分析的起点：对一个函数空间中的结构的研究.
@@ -724,23 +685,29 @@ \section{再论商空间}
 
 \centerline{\heiti A组}
 \begin{enumerate}
-    \item 设$A$为三阶矩阵，将$A$的第二列加到第一列得到矩阵$B$，再对调$B$的2、3行得到单位矩阵. 令$P_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\enspace
-              P_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，试用$P_1$和$P_2$表示$A$.
-
-    \item 设$A$为可逆矩阵，将$A$的第$i$行和第$j$行对调得到矩阵$B$，证明矩阵$B$可逆并求$AB^{-1}$.
+    \item 证明以下两个命题：
+        \begin{enumerate}
+            \item 设$\varphi\in \mathcal{L}(V,\mathbf{F}),\enspace\varphi\neq 0$. 证明：$\dim V/(\ker\varphi)=1$；
 
-    \item 设$A$为三阶可逆矩阵，且$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，其中$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，令$Q=(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3)$，求$Q^{-1}AQ$.
-
-    \item 求下列矩阵的可逆的条件与逆矩阵：$\begin{pmatrix}
-                  A & B \\ O & D
-              \end{pmatrix},\enspace \begin{pmatrix}
-                  O & B \\ C & D
-              \end{pmatrix}$.
+            \item 设$U$是$V$的子空间且$\dim V/U=1$，则存在$\varphi\in \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$使得$\ker\varphi=U$.
+        \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
 \begin{enumerate}
     \item 设$U$和$W$是线性空间$V$的子空间. 构造同构映射证明：若$V=U\oplus W$，则$U$和$V/W$同构.
+
+    \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）.
+
+    \item 设$U$是$V$的子空间，$\Gamma:\mathcal{L}(V/U,W)\to \mathcal{L}(V,W)$定义为$\Gamma(S)=S\circ\pi$. 证明：
+          \begin{enumerate}
+              \item $\Gamma$是线性映射；
+
+              \item $\Gamma$是单的；
+
+              \item $\im\Gamma=\{T\in \mathcal{L}(V,W) \mid \forall u\in U,\enspace Tu=0\}$.
+          \end{enumerate}
+
     \item 实际上，零化子有一个更广泛的版本，考虑 $S$ 为 $V$ 的一个子集，也能如上构造 $S^0$，尝试证明，这样的构造满足以下性质：
           \begin{enumerate}
               \item $S^{00} = \spa S$
@@ -751,44 +718,18 @@ \section{再论商空间}
                     \end{enumerate}（提示：反复利用前面两个性质）
               \item 进而得出对于零点集的相应结论
           \end{enumerate}
-    \item 已知$\mathbf{R}^3$的基$B_1=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$变为基$B_2=\{\xi_1,\xi_2,\xi_3\}$的变换矩阵为$A=(a_{ij})_{3 \times 3}$，求：
-          \begin{enumerate}
-              \item 基$B_3=\{\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3\}$变为基$B_2$的变换矩阵；
-
-              \item 基$B_4=\{-\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$变为基$B_2$的变换矩阵；
-
-              \item 基$B_4$变为基$B_5=\{\xi_3,\xi_2,-\xi_1\}$的变换矩阵；
-
-              \item 基$B_4$变为基$B_6=\{\xi_1+\xi_2,\xi_2+\xi_3,\xi_3+\xi_1\}$的变换矩阵.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$P=\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-              \end{pmatrix}$，$Q=\begin{pmatrix}
-                  0 & 0 \\ 1 & 0
-              \end{pmatrix}$，定义$\mathbf{R}^{3\times 2}$上映射$\sigma(A)=PAQ$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 验证$\sigma$是线性映射；
-
-              \item 求$\ker\sigma$和$\im \sigma$；
-
-              \item 求$\mathbf{R}^{3\times 2}$的两组基，使得$\sigma$关于这两组基的表示矩阵是对角矩阵.
-          \end{enumerate}
-
-    \item % 新题，需要答案
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
 \begin{enumerate}
-    \item 若$n$阶矩阵$A$的各阶左上角子块矩阵都可逆，则存在$n$阶下三角矩阵$B$，使得$BA$为上三角矩阵.
+    \item 设$v_1,\ldots,v_m\in V$. 令
+          \[A=\{\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_mv_m \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbf{F}\text{~且~}\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}.\]
+          证明：
+          \begin{enumerate}
+              \item $A$是$V$的仿射子集；
 
-    \item 设$A$是数域$\mathbf{F}$上的$n$阶可逆矩阵，把$A$和$A^{-1}$做如下分块：
-          \[A=\begin{pmatrix}
-                  A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
-              \end{pmatrix},\enspace A^{-1}=\begin{pmatrix}
-                  B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}
-              \end{pmatrix}\]
-          其中$A_{11}$是$l \times k$矩阵，$B_{11}$是$k \times l$矩阵，$l$，$k$是小于$n$的正整数. 用$W$表示$A_{12}X=0$的解空间，$U$表示$B_{12}Y=0$的解空间，其中$X$和$Y$为列向量，证明$W$与$U$同构.
+              \item $V$的每个包含$v_1,\ldots,v_m$的仿射子集均包含$A$；
 
-    \item $A$的Schur补以及商等式$A/B=(A/C)/(B/C)$% 新题，需要答案
+              \item 存在某个$v\in V$和$V$的子空间$U$使得$A=v+U$且$\dim U\leqslant m-1$.
+          \end{enumerate}
 \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"
similarity index 84%
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index f6d1341..3d92b2a 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/6 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\272\277\346\200\247\346\230\240\345\260\204\347\237\251\351\230\265\350\241\250\347\244\272.tex"	
@@ -241,49 +241,62 @@ \subsection{同构的说明}
 \centerline{\heiti \Large 习题}
 
 \vspace{2ex}
-It is not so much whether a theorem is useful that matters, but how elegant it is.
+{\kaishu 一个定理有什么用并不重要，真正重要的是它有多优雅。}
 \begin{flushright}
-    ——S.Ulam
+    \kaishu
+    ——S. 乌拉姆（Stanisław Ulam）
 \end{flushright}
 
-\centerline{\heiti A组}
-\begin{enumerate}
-    \item 证明：同构映射的逆、复合仍然是同构映射.
-\end{enumerate}
+% \centerline{\heiti A组}
+% \begin{enumerate}
+%     \item
+% \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
 \begin{enumerate}
-    \item 设$\sigma(p(x))=p'(x)$（求导），$\forall p(x) \in \mathbf{R}[x]_n$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$\sigma$是$\mathbf{R}[x]_n$上的线性变换；
+    \item 设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间$V$的一组基，$T \in L(V),\enspace T(\beta_1)=\beta_2,T(\beta_2)=\beta_3,\ldots,T(\beta_{n-1})=T(\beta_n),T(\beta_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\beta_i(a_i \in \mathbf{R})$，求$T$关于基$B$的表示矩阵，并求在什么条件下$T$是同构映射.
 
-              \item 求$\sigma$的值域和$r(\sigma)$，说明$\sigma$是否可逆；
+    \item 已知$f_1=1-x,f_2=1+x^2,f_3=x+2x^2$是$\mathbf{R}[x]_3$中三个元素，$\sigma$是$\mathbf{R}[x]_3$上的线性变换且满足$\sigma(f_1)=2+x^2,\sigma(f_2)=x,\sigma(f_3)=1+x+x^2$.
+          \begin{enumerate}
+              \item 证明：$f_1,f_2,f_3$构成$\mathbf{R}[x]_3$的一组基；
 
-              \item 求$\sigma$的核及其维数；
+              \item 求$\sigma$在基$f_1,f_2,f_3$下的矩阵；
 
-              \item 求$r(\sigma)+\dim\ker\sigma$，问：$\mathbf{R}[x]_n=\ker\sigma+\im \sigma$是否成立.
+              \item 设$f=1+2x+3x^2$，求$\sigma(f)$.
           \end{enumerate}
 
-    \item 设$V$为有限维线性空间，$T\in \mathcal{L}(V,V)$且$T$不是恒等变换也不是零变换，问：下列情况是否可能发生？如果可能请举例，不可能请说明理由.
+    \item 设$V=\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$是$\mathbf{R}$上所有$2 \times 2$矩阵构成的实数域上的线性空间. 已知
+          \[A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}(\lambda \in \mathbf{R}),\enspace B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\]
           \begin{enumerate}
-              \item $\im T \cap \ker T = \{0\}$；
+              \item 证明：$\varphi(X)=AXB$为$V$上的线性变换；
 
-              \item $\im T \subseteq \ker T$；
+              \item 证明：$\lambda\neq-1$时，$\varphi$为可逆线性变换；
 
-              \item $\ker T = \im T$；
+              \item \label{item:7:B:1}
+                    $\lambda=-1$时，求$\varphi$的像空间和核空间；
 
-              \item $\ker T \subseteq \im T$.
+              \item 将 \ref*{item:7:B:1} 中的值域扩充为$V$的一组基，并求$\varphi$在这组基下的矩阵.
           \end{enumerate}
 
-    \item 若$\sigma_1,\sigma_2\in \mathcal{L}(V,V)$，判断下列说法是否正确，正确请给出证明，反之给出反例：
+    \item 设矩阵空间$\mathbf{R}^{2\times 2}$的子空间为
+          \[V=\{X=(x_{ij})_{2\times 2} \mid x_{11}+x_{12}+x_{21}=0,\enspace x_{ij}\in \mathbf{R}\}\]
+          V中的线性变换为$\sigma(X)=X+X^\mathrm{T}$，求$V$的一组基，使得$\sigma$在该基下的矩阵表示为对角矩阵.
+
+    \item 设 $\mathbf{R}[x]_4$ 是数域 $\mathbf{R}$ 上次数小于 4 的多项式所构成的线性空间（约定零多项式次数为 $-\infty$）. $\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 是 $\mathbf{R}$ 上 2 阶方阵所构成的线性空间. 定义 $T : \mathbf{R}[x]_4 \to \mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 如下：对 $f(x) \in \mathbf{R}[x]_4$，
+          \[T(f(x))=\begin{pmatrix}f(0) & f(1) \\ f(-1) & f(0)\end{pmatrix}\]
           \begin{enumerate}
-              \item 由$r(\sigma)+\dim\ker\sigma=n$可知$V=\ker\sigma+\im \sigma$；
+              \item 求出 $T$ 的核空间 $N(T)$ 和像空间 $R(T)$；
 
-              \item 若有$\im T \cap \ker T = \{0\}$，则$V=\ker\sigma+\im \sigma$成立；
+              \item 求$T$在$\mathbf{R}[x]_4$和$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的基下的矩阵表示.
+          \end{enumerate}
 
-              \item 因为$\forall \alpha \in V$有$(\sigma_1+\sigma_2)(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)$，所以$(\sigma_1+\sigma_2)(V)=\sigma_1(V)+\sigma_2(V)$；
+    \item 设$A=\begin{pmatrix}
+                  1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 2
+              \end{pmatrix},\enspace\xi_1=(-1,1,-2)^\mathrm{T}$.
+          \begin{enumerate}
+              \item 求满足$A\xi_2=\xi_1$及$A^2\xi_3=\xi_1$的所有$\xi_2,\xi_3$；
 
-              \item $(I-\sigma)(V)+\sigma(V)=V$，其中$I$为恒等映射.
+              \item 证明：$\xi_1,\xi_2,\xi_3$线性无关.
           \end{enumerate}
 
     \item 已知$V$为有限维线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$，且$\ker\sigma=\im \sigma$，证明：
@@ -295,45 +308,9 @@ \subsection{同构的说明}
                             0 & E_{\frac{n}{2}} \\ 0 & 0
                         \end{pmatrix}.\]
           \end{enumerate}
-
-    \item 设$V(\mathbf{R})$是线性空间，$\sigma$是$V(\mathbf{R})$到$\mathbf{R}^3$的同构映射，且$\sigma(\alpha_1)=(1,0,1),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_2)=(-2,1,0),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_3)=(-3,2,1),\enspace\allowbreak\sigma(\alpha_4)=(1,1,2)$.
-          \begin{enumerate}
-              \item $\alpha_1$在$\spa(\alpha_2,\alpha_3)$中吗？
-
-              \item 设$W_1=\spa(\alpha_1,\alpha_2),\enspace W_2=\spa(\alpha_3,\alpha_4)$，求$W_1\cap W_2$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$c_1,c_2,\ldots,c_n$是$n$个互异的实常数. 证明：$\mathbf{R}[x]_n$到$\mathbf{R}$的一个映射$\sigma$：
-          \[\sigma(p(x))=(p(c_1),p(c_2),\ldots,p(c_n))\]
-          是$\mathbf{R}[x]_n$到$\mathbf{R}$的一个同构映射.
-
-    \item 设$\sigma$和$\tau$分别为有限维线性空间$U\to V$和$V\to W$的线性映射，证明
-          \[\dim\ker\sigma+\dim(\im\sigma\cap\ker\sigma)=\dim\ker(\tau\sigma).\]
 \end{enumerate}
 
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item 设$V$是一个$n$维线性空间，$V=W_1\oplus W_2,\enspace\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$. 证明：$\sigma$可逆$\iff V=\sigma(W_1)+\sigma(W_2)$.
-
-    \item 设$V_1,V_2,V_3$分别为$m,n,s$维线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V_1,V_2),\enspace\tau\in \mathcal{L}(V_2,V_3)$，则
-          \[r(\sigma)+r(\tau)-n \leqslant r(\tau\sigma) \leqslant \min\{r(\sigma),r(\tau)\}.\]
-
-    \item 设$V_1$是有线维线性空间，$\sigma,\tau\in \mathcal{L}(V_1,V_2)$，则
-          \[r(\sigma+\tau) \leqslant r(\sigma)+r(\tau).\]
-
-          事实上前两题的结论在下一章节矩阵的秩中都会涉及，此处有兴趣的同学可以尝试从线性映射的角度理解这两个秩不等式. 由于这是教材中小字部分内容，一般而言不在考察范围，如果出现且无法找到合适方式，可以考虑化为矩阵进行证明.
-
-    \item 设$\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$，$\dim V_1=n$，且$\sigma^2=\sigma$，$I$是$V$上的恒等变换. 证明：
-          \begin{enumerate}
-              \item $(I-\sigma)(V) \in \ker\sigma$；
-
-              \item $r(I-\sigma)+r(\sigma)=n$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 已知$V$为有限维线性空间，$\sigma\in \mathcal{L}(V,V)$，且$\sigma^2=\theta$（零映射）. 证明：
-          \begin{enumerate}
-              \item $\sigma$的像空间维数不超过$\dfrac{n}{2}$；
-
-              \item 设$A$是$\sigma$在某组基下的矩阵，则方程组$AX=0$的基础解系至少有$\dfrac{n}{2}$个解.
-          \end{enumerate}
-\end{enumerate}
+% \centerline{\heiti C组}
+% \begin{enumerate}
+%     \item
+% \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"
similarity index 86%
rename from "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"
rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"
index 15438e7..5635023 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/7 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\237\251\351\230\265\350\277\220\347\256\227\345\237\272\347\241\200.tex"	
@@ -388,10 +388,17 @@ \subsection{广义逆矩阵}
 我们称$X$为矩阵$A$的Moore-Penrose广义逆矩阵，记作$X=A^\dagger$. 此处不赘述其证明和算法，感兴趣的同学可以自行查阅相关资料. 我们可以从两个角度认识这一定义，首先是取$A$为可逆矩阵，发现此定义是相容的，其次是通过这一矩阵可以获得线性方程组$AX=b$最小二乘解$X=A^\dagger b$. 广义逆矩阵在各个领域的研究中应用很广泛，所以在此提一下它的概念.
 
 \section{矩阵的转置}
+\subsection{基本定义与性质}
 
-接下来我们转入具象的矩阵运算中，讨论转置这一运算的性质. 我们首先给出一些基本的性质：
+矩阵的转置也是一种非常基本的运算，事实上推进到现在这一概念应当已经不陌生了，我们首先给出矩阵转置的定义：
 
-\subsection{基本性质}
+\begin{definition}{矩阵的转置}{}
+    设$A=(a_{ij})_{m \times n}$，则$A$的\term{转置矩阵}\index{zhuanzhi@转置 (transpose)}是一个$n \times m$矩阵，记作$A^\mathrm{T}$，它的第$k$行正好是$A$的第$k$列（$k=1,2,\ldots,n$）；它的第$r$列正好是$A$的第$r$行（$r=1,2,\ldots,m$）.
+\end{definition}
+
+例如，设$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12\end{pmatrix}$，则$A^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1 & 5 & 9 \\ 2 & 6 & 10 \\ 3 & 7 & 11 \\ 4 & 8 & 12\end{pmatrix}$.
+
+下面的列举的矩阵转置的性质是基本且常用的：
 
 \begin{enumerate}
     \item $(A^\mathrm{T})^\mathrm{T}=A$
@@ -514,6 +521,40 @@ \subsection{对阵矩阵与反对称矩阵}
     因此题中的充要条件可以转化为$AA^\mathrm{T}=E$是$A^\mathrm{T}A=E$的充要条件. 这是显然的，因为$AA^\mathrm{T}=E\iff A^{-1}=A^\mathrm{T}\iff A^\mathrm{T}A=E$成立.
 \end{solution}
 
+\subsection{对偶映射的矩阵表示}
+
+此前的矩阵运算我们都介绍了其与线性映射运算之间的关联，这些关联都是非常简单直接的。转置作为一个非常简单基本的运算，我们当然希望能找到一个非常简单基本的线性映射运算来对应，但很可惜的是，转置与线性映射运算的关联比较抽象，涉及到 \nameref{chap:商与对偶} 一章中介绍的对偶映射。
+
+我们已经提及，$\mathcal{L}(V, W)$ 和矩阵空间具备同构性质，而我们已经表明，对偶有一个函子性，也就是说，$\mathcal{L}(V, W)$ 到 $\mathcal{L}(W^*, V^*)$ 有对应. 因此，我们不免就想构造矩阵空间的一个类似的对偶，使得它能够``具备类似对偶的函子性''. 更直白地说，我们希望得到其对偶映射的矩阵表示.
+
+那么，让我们思考一下怎么给出这个表示. 现在，我们的第一反应是，它一定是一个反变的东西. 其次，它一定对于任意行数和列数的矩阵都存在. 那么，最简单的想法就是，它是不是就是矩阵的转置？矩阵的转置看起来符合反变的直观，而且也带有我们已经给出的性质. 而下面的问题是，如何验证这种直观.
+\begin{theorem}{}{对偶映射的矩阵表示}
+    $V$和$W$为有限维线性空间. $V$的一组基为$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$，$W$的一组基为$\beta_1,\ldots,\beta_m$，它们对偶空间的基分别为$f_1,\ldots,f_n$和$g_1,\ldots,g_m$. 设$\sigma\in\mathcal{L}(V,W)$，它在上述$V$和$W$的基下的矩阵为$A=(a_{ij})_{m \times n}$，则$\sigma^*\in\mathcal{L}(W^*,V^*)$在上述对偶基下的矩阵为$C=(c_{ij})_{n \times m}=A^\mathrm{T}$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    根据线性映射矩阵表示的定义，我们有
+    \[\sigma^*(g_j)=\sum_{i=1}^nc_{ij}f_i,\enspace j=1,2,\ldots,m.\]
+    上式左端根据对偶映射定义等于$(g_j\circ\sigma)$. 于是我们将等式两端均作用于$\alpha_k$上有
+    \[(g_j\circ\sigma)(\alpha_k)=\sum_{i=1}^nc_{ij}f_i(\alpha_k)=\sum_{i=1}^nc_{ij}\delta_{ik}=c_{kj}.\]
+    另一方面，根据映射复合的结合律以及线性映射矩阵表示的定义，我们有
+    \[(g_j\circ\sigma)(\alpha_k)=g_j(\sigma(\alpha_k))=g_j\left(\sum_{i=1}^na_{ik}\beta_i\right)=\sum_{i=1}^na_{ik}g_j(\beta_i)=\sum_{i=1}^na_{ik}\delta_{ij}=a_{jk}.\]
+    因此我们有$c_{kj}=a_{jk}$，即$C=A^\mathrm{T}$.
+\end{proof}
+
+这个结果看起来很平凡，对吧？但是让我们暂停一下，重新反思一下前面的几何直观. 如果我们有超平面方程
+
+\[
+    a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 1
+\]
+
+我们记$a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)^\mathrm{T},x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}$，于是上面的方程可以简化为$a^T x = 1$. 事实上，对于给定的一个超平面$a^T x = 1$，我们知道一定有某个点与之对应，事实上它就是$\tilde{x} = a$，即就是超平面方程的系数.
+\begin{proof}
+    原谅我没时间严格说明这个关系，之后会补上的，但其实这个很直观.
+\end{proof}
+
+于是我们接下来可以给出\autoref{thm:对偶映射的矩阵表示} 从几何上的理解. 如果原来的方程是 $a^\mathrm{T} x = 1$，则与这个超平面对偶的点则是 $\tilde{x} = a$. 如果我们对 $\tilde{x}$ 作用上 $M$，也就是写成 $\tilde{x} = Ma$，则实现了$V\to W$的映射，那么前面与之对应的方程就是 $(Ma)^\mathrm{T} x = 1$，或者写作 $a^\mathrm{T} (M^\mathrm{T} x) = 1$，即新的超平面和原来的超平面相差一个 $M^\mathrm{T}$，即$W^*$与$V^*$之间相差了$M^\mathrm{T}$. 因此，从几何直观上，我们也验证了转置和对偶映射的对应关系. % TODO: 这段要重写
+
 \section{矩阵的共轭}
 
 在将来的讨论中我们有时还会涉及到复矩阵的情况（即矩阵中元素为复数），因此我们需要引入矩阵的共轭的概念. 我们首先给出矩阵的共轭的定义（研究其对应的线性映射的意义不大，因此此处不介绍）：
@@ -705,72 +746,94 @@ \section{分块矩阵}
 
     \item 设$A$是$n$阶方阵且$A^n=O$，证明：
           \[(E_n-A)(E_n+A+A^2+\cdots+A^{n-1})=E_n.\]
+
+    \item 证明：若线性映射$\sigma \in \mathcal{L}(V_1,V_2)$可逆，则其逆映射唯一.
+
+    \item 证明：有一行元素或一列元素全为0的$n$阶方阵必定不可逆.
+
+    \item 设$\alpha,\beta$为三维列向量，且$\alpha\beta^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}
+        -1 & 2  & 1  \\
+        1  & -2 & -1 \\
+        2  & -4 & -2
+    \end{pmatrix}$，求$\alpha^\mathrm{T}\beta$.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
 \begin{enumerate}
-    \item 设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间$V$的一组基，$T \in L(V),\enspace T(\beta_1)=\beta_2,T(\beta_2)=\beta_3,\ldots,T(\beta_{n-1})=T(\beta_n),T(\beta_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\beta_i(a_i \in \mathbf{R})$，求$T$关于基$B$的表示矩阵，并求在什么条件下$T$是同构映射.
-
-    \item 已知$f_1=1-x,f_2=1+x^2,f_3=x+2x^2$是$\mathbf{R}[x]_3$中三个元素，$\sigma$是$\mathbf{R}[x]_3$上的线性变换且满足$\sigma(f_1)=2+x^2,\sigma(f_2)=x,\sigma(f_3)=1+x+x^2$.
+    \item 若$f(x)$是$x$的实系数$m$次多项式：
+          \[f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
+          则有矩阵多项式：
+          \[f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0E\]
+          其中 $A^0=E$.
           \begin{enumerate}
-              \item 证明：$f_1,f_2,f_3$构成$\mathbf{R}[x]_3$的一组基；
-
-              \item 求$\sigma$在基$f_1,f_2,f_3$下的矩阵；
+              \item 若$A$为对角矩阵$B=\begin{pmatrix}
+                            \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2
+                        \end{pmatrix}$，证明：$f(A)=\begin{pmatrix}
+                            f(\lambda_1) & 0 \\ 0 & f(\lambda_2)
+                        \end{pmatrix}$；
 
-              \item 设$f=1+2x+3x^2$，求$\sigma(f)$.
+              \item 若$A=P^{-1}BP$，证明：$f(A)=Pf(B)P^{-1}$.
           \end{enumerate}
 
-    \item 设$V=\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$是$\mathbf{R}$上所有$2 \times 2$矩阵构成的实数域上的线性空间. 已知
-          \[A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{pmatrix}(\lambda \in \mathbf{R}),\enspace B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\]
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$\varphi(X)=AXB$为$V$上的线性变换；
+    \item 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的每行各元素之和都等于$k$，证明：$k \neq 0$且$A^{-1}$的每行各元素之和都等于$\vphantom{\cfrac{1}{k}}\dfrac{1}{k}$.
 
-              \item 证明：$\lambda\neq-1$时，$\varphi$为可逆线性变换；
-
-              \item \label{item:7:B:1}
-                    $\lambda=-1$时，求$\varphi$的像空间和核空间；
+    \item 已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & a  \\
+               1 & 3 & 0  \\
+               2 & 7 & -a\end{pmatrix}$可以通过初等列变换转化为矩阵$B=\begin{pmatrix}1  & a & 2 \\
+               0  & 1 & 1 \\
+               -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.
+          \begin{enumerate}
+              \item 求常数$a$；
 
-              \item 将 \ref*{item:7:B:1} 中的值域扩充为$V$的一组基，并求$\varphi$在这组基下的矩阵.
+              \item 求满足$AP=B$的可逆矩阵$P$.
           \end{enumerate}
 
-    \item 设矩阵空间$\mathbf{R}^{2\times 2}$的子空间为
-          \[V=\{X=(x_{ij})_{2\times 2} \mid x_{11}+x_{12}+x_{21}=0,\enspace x_{ij}\in \mathbf{R}\}\]
-          V中的线性变换为$\sigma(X)=X+X^\mathrm{T}$，求$V$的一组基，使得$\sigma$在该基下的矩阵表示为对角矩阵.
-
-    \item 设 $\mathbf{R}[x]_4$ 是数域 $\mathbf{R}$ 上次数小于 4 的多项式所构成的线性空间（约定零多项式次数为 $-\infty$）. $\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 是 $\mathbf{R}$ 上 2 阶方阵所构成的线性空间. 定义 $T : \mathbf{R}[x]_4 \to \mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 如下：对 $f(x) \in \mathbf{R}[x]_4$，
-          \[T(f(x))=\begin{pmatrix}f(0) & f(1) \\ f(-1) & f(0)\end{pmatrix}\]
+          \item 证明以下两个命题：
           \begin{enumerate}
-              \item 求出 $T$ 的核空间 $N(T)$ 和像空间 $R(T)$；
+              \item 证明：任一$n$阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.
+              \item 设$A$是$n$阶复矩阵，若$\overline{A}^\mathrm{T}=A$，则称$A$是一个Hermite矩阵. 若$\overline{A}^\mathrm{T}=-A$，则称$A$是一个斜Hermite矩阵. 证明：任一$n$阶复矩阵都可以表示为一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵的和.
+          \end{enumerate}
 
-              \item 求$T$在$\mathbf{R}[x]_4$和$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的基下的矩阵表示.
+    \item 证明以下两个命题：
+          \begin{enumerate}
+              \item 设$A$为$m\times n$阶实矩阵，则$A^\mathrm{T}A=O$的充要条件为$A=O$.
+              \item 设$A$为$m\times n$阶复矩阵，则$\overline{A^\mathrm{T}}A=O$的充要条件为$A=O$.
           \end{enumerate}
 
-    \item 设$A=\begin{pmatrix}
-                  1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & -4 & 2
-              \end{pmatrix},\enspace\xi_1=(-1,1,-2)^\mathrm{T}$.
+    \item 证明以下两个命题：
           \begin{enumerate}
-              \item 求满足$A\xi_2=\xi_1$及$A^2\xi_3=\xi_1$的所有$\xi_2,\xi_3$；
+              \item 设$A$为$n$阶对称矩阵，证明：$A$是零矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
+              \item 设$A$为$n$阶方阵，证明：$A$为反对称矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
+          \end{enumerate}
 
-              \item 证明：$\xi_1,\xi_2,\xi_3$线性无关.
+    \item 证明：设$A$是实对称矩阵，若$A^2=O$，则$A=O$.
+
+    \item 设$A,B$为$n$阶方阵，证明：
+          \begin{enumerate}
+              \item 若$A,B$为对称矩阵，则$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
+              \item 若$A$为对称矩阵，$B$为反对称矩阵，则$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
           \end{enumerate}
 
-    \item 若$f(x)$是$x$的实系数$m$次多项式：
-          \[f(x)=a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots+a_1x+a_0\]
-          则有矩阵多项式：
-          \[f(A)=a_mA^m+a_{m-1}A^{m-1}+\cdots+a_1A+a_0E\]
-          其中 $A^0=E$.
+    \item 求矩阵$\begin{pmatrix}
+                  a  & b  & c  & d  \\
+                  -b & a  & d  & -c \\
+                  -c & -d & a  & b  \\
+                  -d & c  & -b & a
+              \end{pmatrix}$的逆.
+
+    \item 设 $V=\{(a_{ij})_{n \times n} \mid \forall i,j,\enspace a_{ij}=a_{ji}\}$.
           \begin{enumerate}
-              \item 若$A$为对角矩阵$B=\begin{pmatrix}
-                            \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2
-                        \end{pmatrix}$，证明：$f(A)=\begin{pmatrix}
-                            f(\lambda_1) & 0 \\ 0 & f(\lambda_2)
-                        \end{pmatrix}$；
+              \item 证明：$V$为$\mathbf{F}^{n \times n}$的子空间；
 
-              \item 若$A=P^{-1}BP$，证明：$f(A)=Pf(B)P^{-1}$.
+              \item 求$V$的基和维数.
           \end{enumerate}
+
+    \item $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$表示所有实$n$阶方阵构成的集合. 设$W=\{A\in \mathbf{M}_n(\mathbf{R}) \mid a_{ji}=ka_{ij},\enspace i \leqslant j\}$，求当$k=0,1,2$时，$W$的一组基和维数.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
 \begin{enumerate}
     \item 若$n$阶方阵$A_1,A_2,\ldots,A_m$满足$A_i^2\neq O\enspace(i=1,2,\ldots,m)$，且当$i\neq j$时$A_iA_j=O$，证明：$m\leqslant n$.
+
+    \item 设 $A,B,C$ 为二阶复方阵，且 $A,B,C$ 在 $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ 中线性无关. 证明：存在$z_1,z_2,z_3 \in \mathbf{C}$使得 $z_1A+z_2B+z_3C$ 为可逆矩阵.
 \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"
similarity index 90%
rename from "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"
rename to "\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"
index 03d07e6..4f34d3f 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/8 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/9 \347\233\270\346\212\265\346\240\207\345\207\206\345\275\242.tex"	
@@ -475,109 +475,6 @@ \section{相抵标准形}
     \end{enumerate}
 \end{solution}
 
-关于相抵标准形，我们需要在此补充一个常用的技术，即相抵标准形的分解. 事实上将来讨论其它标准形时我们都会讨论分解问题，因为这能在实际问题中大大降低计算难度，便于我们进一步讨论.
-
-第一种分解是非常自然的分解，将来相似、相合标准形也会基于这一思想进行分解. 我们知道，对于矩阵$A$满足$r(A)=r$，则存在可逆矩阵$P'$和$Q'$，使得
-\[P'AQ'=\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix},\]
-因此我们可以得到$A=P'^{-1}\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix}Q'^{-1}$，即$A$可以分解成一个可逆矩阵、一个相抵标准形和另一个可逆矩阵的乘积. 记$P=P'^{-1}$，$Q=Q'^{-1}$，则$A=P\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix}Q$. 我们接下来给出一些经典的的例子供读者体会.
-
-\begin{example}{}{}
-    设$A$为$n$阶方阵，证明：
-    \begin{enumerate}
-        \item 存在可逆矩阵$B$和幂等矩阵$C$（即满足$C^2=C$）使得$A=BC$；
-        \item 存在对称矩阵$B$和可逆矩阵$C$使得$A=BC$.
-    \end{enumerate}
-\end{example}
-
-\begin{solution}
-    根据相抵标准形分解，设$r(A)=r$，则我们有$A=P\begin{pmatrix}
-            E_r & O \\ O & O
-        \end{pmatrix}Q$，其中$P$和$Q$都是可逆矩阵.
-    \begin{enumerate}
-        \item 第一问难点在于取出这个幂等矩阵，实际上回忆矩阵求幂的技巧，我们可以取$C=Q^{-1}\begin{pmatrix}
-                      E_r & O \\ O & O
-                  \end{pmatrix}Q$，则$C^2=C$（因为中间的$QQ^{-1}$会抵消，而相抵标准形是幂等的），此时$A=BC$，令$B=PQ$即可（因为$P$和$Q$都可逆，其乘积也必定可逆）.
-
-        \item 第二问难点在于取出这个对称矩阵，但相信读者在经过上一小问的历练后，应该会产生一种取到对称矩阵的直觉. 因为标准形是对称的，我们只需要再多写一个$P^\mathrm{T}$，令$B=P\begin{pmatrix}
-                      E_r & O \\ O & O
-                  \end{pmatrix}P^\mathrm{T}$，则$B$是对称矩阵，且$A=BC$，令$C=(P^\mathrm{T})^{-1}Q$即可（注意矩阵可逆则转置也可逆）.
-    \end{enumerate}
-\end{solution}
-
-从本例可以看出，很多问题我们需要首先写出分解，然后利用分解去找到符合题目要求的矩阵来证明（特别利用是方阵的相抵标准形有很多好的性质，如上面的幂等和对称），在习题中我们会看到更多这样的问题.
-
-另一种分解技巧是更进一步的，此时我们不仅对原矩阵分解，还对相抵标准形做进一步的分解. 我们对$s \times n$矩阵$\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix}$有一种很重要的分解：
-\[\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-        E_r \\ O
-    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-        E_r & O
-    \end{pmatrix}\]
-由此我们可以知道任意一个非零矩阵都可以被分解成一个列满秩矩阵和一个行满秩矩阵的乘积：
-\[A=P\begin{pmatrix}
-        E_r & O \\ O & O
-    \end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix}
-        E_r \\ O
-    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-        E_r & O
-    \end{pmatrix}Q\]
-记$P_1=P\begin{pmatrix}
-        E_r \\ O
-    \end{pmatrix}$，$Q_1=\begin{pmatrix}
-        E_r & O
-    \end{pmatrix}Q$，则$A=P_1Q_1$，且$P_1$和$Q_1$分别为列满秩、行满秩矩阵.
-
-我们简要解释$P_1$列满秩的原因，$Q_1$行满秩类似不再赘述. 由于$\begin{pmatrix}
-        E_r \\ O
-    \end{pmatrix}$是$s\times r$矩阵，且秩为$r$，列满秩. $P$可逆且为$s\times s$矩阵，因此$P_1$仍然是$s\times r$矩阵. 由于可逆矩阵可以写成若干初等矩阵乘积，初等变换不改变矩阵的秩，故$r(P)=r(P_1)=r$，又矩阵列秩=秩，故$P_1$列满秩.
-
-接下来我们来看一个例子进行应用，在介绍这一例子前我们需要首先引入一个概念，即矩阵的迹：
-\begin{definition}{迹}{} \index{ji@迹 (trace)}
-    $A=(a_{ij})_{n\times n}$是$n$阶方阵，$A$的主对角线上的元素之和称为$A$的\term{迹}，记为$\tr(A)$，即
-    \[\tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\]
-\end{definition}
-
-\begin{example}{}{相抵分解}
-    已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 1 ，证明：$A^k=\tr(A)^{k-1}A$.
-\end{example}
-
-\begin{proof}
-    由前述分解可知，此处$r=1$，则有存在可逆矩阵 $P=(p_{ij})_{n \times n},Q=(q_{ij})_{n \times n}$，使得
-    \[A=P\begin{pmatrix}
-            1 &   &        &   \\
-              & 0 &        &   \\
-              &   & \ddots &   \\
-              &   &        & 0
-        \end{pmatrix} Q=P\begin{pmatrix}
-            1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
-        \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-            1 & 0 & \cdots & 0
-        \end{pmatrix} Q=\widetilde{P} \widetilde{Q},\]
-    其中$\widetilde{P}=P\begin{pmatrix}
-            1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
-        \end{pmatrix}$，$\widetilde{Q}=\begin{pmatrix}
-            1 & 0 & \cdots & 0
-        \end{pmatrix} Q$，则我们可以通过暴力计算不难验证：
-    \[\widetilde{Q} \widetilde{P}=\sum_{k=1}^{n} p_{i k} q_{k j}=\tr(A),\]
-    从而
-    \[A^{2}=\widetilde{P} \widetilde{Q} \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A) \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A) A,\]
-    进一步地
-    \[A^{k}=\widetilde{P} \widetilde{Q} \widetilde{P} \widetilde{Q} \cdots \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A)^{k-1} \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A)^{k-1} A.\]
-\end{proof}
-
-事实上，本题的解答过程给我们了一个很重要的启示，那就是秩为1的矩阵一定可以分解为一个列向量和一个行向量的乘积. 之后我们将利用这一结论来解决一些问题，例如便于矩阵求幂等.
-
-除此之外，我们还可以利用相抵标准形解决很多问题，例如下一节中部分秩不等式的证明，具体应用见\autoref{ex:分块秩不等式}.
-
 \section{初等矩阵}
 
 接下来一节我们将介绍一种特别的矩阵——初等矩阵. 其中要介绍的初等矩阵和可逆矩阵的关联将成为我们求解矩阵的逆的一个重要手段，也是后面大量内容的讨论基础，因此我们在此展开叙述.
@@ -710,6 +607,109 @@ \subsection{线性映射与初等变换}
 
 \section{相抵标准形的应用}
 
+关于相抵标准形，我们需要在此补充一个常用的技术，即相抵标准形的分解. 事实上将来讨论其它标准形时我们都会讨论分解问题，因为这能在实际问题中大大降低计算难度，便于我们进一步讨论.
+
+第一种分解是非常自然的分解，将来相似、相合标准形也会基于这一思想进行分解. 我们知道，对于矩阵$A$满足$r(A)=r$，则存在可逆矩阵$P'$和$Q'$，使得
+\[P'AQ'=\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix},\]
+因此我们可以得到$A=P'^{-1}\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix}Q'^{-1}$，即$A$可以分解成一个可逆矩阵、一个相抵标准形和另一个可逆矩阵的乘积. 记$P=P'^{-1}$，$Q=Q'^{-1}$，则$A=P\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix}Q$. 我们接下来给出一些经典的的例子供读者体会.
+
+\begin{example}{}{}
+    设$A$为$n$阶方阵，证明：
+    \begin{enumerate}
+        \item 存在可逆矩阵$B$和幂等矩阵$C$（即满足$C^2=C$）使得$A=BC$；
+        \item 存在对称矩阵$B$和可逆矩阵$C$使得$A=BC$.
+    \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\begin{solution}
+    根据相抵标准形分解，设$r(A)=r$，则我们有$A=P\begin{pmatrix}
+            E_r & O \\ O & O
+        \end{pmatrix}Q$，其中$P$和$Q$都是可逆矩阵.
+    \begin{enumerate}
+        \item 第一问难点在于取出这个幂等矩阵，实际上回忆矩阵求幂的技巧，我们可以取$C=Q^{-1}\begin{pmatrix}
+                      E_r & O \\ O & O
+                  \end{pmatrix}Q$，则$C^2=C$（因为中间的$QQ^{-1}$会抵消，而相抵标准形是幂等的），此时$A=BC$，令$B=PQ$即可（因为$P$和$Q$都可逆，其乘积也必定可逆）.
+
+        \item 第二问难点在于取出这个对称矩阵，但相信读者在经过上一小问的历练后，应该会产生一种取到对称矩阵的直觉. 因为标准形是对称的，我们只需要再多写一个$P^\mathrm{T}$，令$B=P\begin{pmatrix}
+                      E_r & O \\ O & O
+                  \end{pmatrix}P^\mathrm{T}$，则$B$是对称矩阵，且$A=BC$，令$C=(P^\mathrm{T})^{-1}Q$即可（注意矩阵可逆则转置也可逆）.
+    \end{enumerate}
+\end{solution}
+
+从本例可以看出，很多问题我们需要首先写出分解，然后利用分解去找到符合题目要求的矩阵来证明（特别利用是方阵的相抵标准形有很多好的性质，如上面的幂等和对称），在习题中我们会看到更多这样的问题.
+
+另一种分解技巧是更进一步的，此时我们不仅对原矩阵分解，还对相抵标准形做进一步的分解. 我们对$s \times n$矩阵$\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix}$有一种很重要的分解：
+\[\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+        E_r \\ O
+    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+        E_r & O
+    \end{pmatrix}\]
+由此我们可以知道任意一个非零矩阵都可以被分解成一个列满秩矩阵和一个行满秩矩阵的乘积：
+\[A=P\begin{pmatrix}
+        E_r & O \\ O & O
+    \end{pmatrix}Q=P\begin{pmatrix}
+        E_r \\ O
+    \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+        E_r & O
+    \end{pmatrix}Q\]
+记$P_1=P\begin{pmatrix}
+        E_r \\ O
+    \end{pmatrix}$，$Q_1=\begin{pmatrix}
+        E_r & O
+    \end{pmatrix}Q$，则$A=P_1Q_1$，且$P_1$和$Q_1$分别为列满秩、行满秩矩阵.
+
+我们简要解释$P_1$列满秩的原因，$Q_1$行满秩类似不再赘述. 由于$\begin{pmatrix}
+        E_r \\ O
+    \end{pmatrix}$是$s\times r$矩阵，且秩为$r$，列满秩. $P$可逆且为$s\times s$矩阵，因此$P_1$仍然是$s\times r$矩阵. 由于可逆矩阵可以写成若干初等矩阵乘积，初等变换不改变矩阵的秩，故$r(P)=r(P_1)=r$，又矩阵列秩=秩，故$P_1$列满秩.
+
+接下来我们来看一个例子进行应用，在介绍这一例子前我们需要首先引入一个概念，即矩阵的迹：
+\begin{definition}{迹}{} \index{ji@迹 (trace)}
+    $A=(a_{ij})_{n\times n}$是$n$阶方阵，$A$的主对角线上的元素之和称为$A$的\term{迹}，记为$\tr(A)$，即
+    \[\tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}\]
+\end{definition}
+
+\begin{example}{}{相抵分解}
+    已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 1 ，证明：$A^k=\tr(A)^{k-1}A$.
+\end{example}
+
+\begin{proof}
+    由前述分解可知，此处$r=1$，则有存在可逆矩阵 $P=(p_{ij})_{n \times n},Q=(q_{ij})_{n \times n}$，使得
+    \[A=P\begin{pmatrix}
+            1 &   &        &   \\
+              & 0 &        &   \\
+              &   & \ddots &   \\
+              &   &        & 0
+        \end{pmatrix} Q=P\begin{pmatrix}
+            1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+        \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+            1 & 0 & \cdots & 0
+        \end{pmatrix} Q=\widetilde{P} \widetilde{Q},\]
+    其中$\widetilde{P}=P\begin{pmatrix}
+            1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
+        \end{pmatrix}$，$\widetilde{Q}=\begin{pmatrix}
+            1 & 0 & \cdots & 0
+        \end{pmatrix} Q$，则我们可以通过暴力计算不难验证：
+    \[\widetilde{Q} \widetilde{P}=\sum_{k=1}^{n} p_{i k} q_{k j}=\tr(A),\]
+    从而
+    \[A^{2}=\widetilde{P} \widetilde{Q} \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A) \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A) A,\]
+    进一步地
+    \[A^{k}=\widetilde{P} \widetilde{Q} \widetilde{P} \widetilde{Q} \cdots \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A)^{k-1} \widetilde{P} \widetilde{Q}=\tr(A)^{k-1} A.\]
+\end{proof}
+
+事实上，本题的解答过程给我们了一个很重要的启示，那就是秩为1的矩阵一定可以分解为一个列向量和一个行向量的乘积. 之后我们将利用这一结论来解决一些问题，例如便于矩阵求幂等.
+
+除此之外，我们还可以利用相抵标准形解决很多问题，例如下一节中部分秩不等式的证明，具体应用见\autoref{ex:分块秩不等式}.
+
 \vspace{2ex}
 \centerline{\heiti \Large 内容总结}
 
@@ -727,59 +727,110 @@ \section{相抵标准形的应用}
 
 \centerline{\heiti A组}
 \begin{enumerate}
-    \item 证明：若线性映射$\sigma \in \mathcal{L}(V_1,V_2)$可逆，则其逆映射唯一.
+    \item 设$A$为三阶矩阵，将$A$的第二列加到第一列得到矩阵$B$，再对调$B$的2、3行得到单位矩阵. 令$P_1=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\enspace
+    P_2=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，试用$P_1$和$P_2$表示$A$.
 
-    \item 证明：有一行元素或一列元素全为0的$n$阶方阵必定不可逆.
+    \item 设$A$为可逆矩阵，将$A$的第$i$行和第$j$行对调得到矩阵$B$，证明矩阵$B$可逆并求$AB^{-1}$.
 
-    \item 证明：\autoref{def:积空间} 中定义的线性空间的积构成一个线性空间.
+    \item 设$A$为三阶可逆矩阵，且$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，其中$P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，令$Q=(\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3)$，求$Q^{-1}AQ$.
 
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$\varphi\in \mathcal{L}(V,\mathbf{F}),\enspace\varphi\neq 0$. 证明：$\dim V/(\ker\varphi)=1$；
+    \item 给定$\mathbf{R}^4$的两组基
+          \begin{gather*}
+              \alpha_1=(1,1,1,1),\ \alpha_2=(1,1,-1,-1),\ \alpha_3=(1,-1,1,-1),\ \alpha_4=(1,-1,-1,1) \\
+              \beta_1=(1,1,0,1),\ \beta_2=(2,1,3,1),\ \beta_3=(1,1,0,0),\ \beta_4=(0,1,-1,-1)
+          \end{gather*}
+          求由基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$到基$\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$的过渡矩阵，并求向量$\xi=(1,0,0,-1)$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$下的坐标.
 
-              \item 设$U$是$V$的子空间且$\dim V/U=1$，则存在$\varphi\in \mathcal{L}(V,\mathbf{F})$使得$\ker\varphi=U$.
-          \end{enumerate}
+    \item 证明：矩阵添加一列（或一行），其秩或不变，或增加1.
+
+    \item 设$A$是$s \times n$矩阵，$B$是$A$前$m$行构成的$m \times n$矩阵，证明：$r(B) \geqslant r(A) + m - s$.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
 \begin{enumerate}
-    \item 设$A$为$n$阶可逆矩阵，$A$的每行各元素之和都等于$k$，证明：$k \neq 0$且$A^{-1}$的每行各元素之和都等于$\vphantom{\cfrac{1}{k}}\dfrac{1}{k}$.
+    \item 设$W$是$n$维线性空间$V$的一个非平凡子空间，$W$中取一组基$\delta_1,\ldots,\delta_m$，按如下两种方式将其扩充为$V$的一组基：
+    \begin{align*}
+        B_1 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n\} \\
+        B_2 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\beta_{m+1},\ldots,\beta_n\}
+    \end{align*}
+    设基$B_1$到$B_2$的过渡矩阵为$P$，求商空间$V/W$的基$\alpha_{m+1}+W,\ldots,\alpha_n+W$到$\beta_{m+1}+W,\ldots,\beta_n+W$的过渡矩阵.
 
-    \item 已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & a  \\
-               1 & 3 & 0  \\
-               2 & 7 & -a\end{pmatrix}$可以通过初等列变换转化为矩阵$B=\begin{pmatrix}1  & a & 2 \\
-               0  & 1 & 1 \\
-               -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 求常数$a$；
+    \item 已知$\mathbf{R}^3$的基$B_1=\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$变为基$B_2=\{\xi_1,\xi_2,\xi_3\}$的变换矩阵为$A=(a_{ij})_{3 \times 3}$，求：
+    \begin{enumerate}
+        \item 基$B_3=\{\alpha_2,\alpha_1,\alpha_3\}$变为基$B_2$的变换矩阵；
 
-              \item 求满足$AP=B$的可逆矩阵$P$.
-          \end{enumerate}
+        \item 基$B_4=\{-\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$变为基$B_2$的变换矩阵；
 
-    \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）.
+        \item 基$B_4$变为基$B_5=\{\xi_3,\xi_2,-\xi_1\}$的变换矩阵；
+
+        \item 基$B_4$变为基$B_6=\{\xi_1+\xi_2,\xi_2+\xi_3,\xi_3+\xi_1\}$的变换矩阵.
+    \end{enumerate}
+
+\item 设$P=\begin{pmatrix}
+            1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix}$，$Q=\begin{pmatrix}
+            0 & 0 \\ 1 & 0
+        \end{pmatrix}$，定义$\mathbf{R}^{3\times 2}$上映射$\sigma(A)=PAQ$.
+    \begin{enumerate}
+        \item 验证$\sigma$是线性映射；
+
+        \item 求$\ker\sigma$和$\im \sigma$；
+
+        \item 求$\mathbf{R}^{3\times 2}$的两组基，使得$\sigma$关于这两组基的表示矩阵是对角矩阵.
+    \end{enumerate}
 
-    \item 设$U$是$V$的子空间，$\Gamma:\mathcal{L}(V/U,W)\to \mathcal{L}(V,W)$定义为$\Gamma(S)=S\circ\pi$. 证明：
+    \item 证明：当$n$为奇数时，$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$线性无关的充要条件是$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\ldots,\alpha_n+\alpha_1$线性无关.
+
+    \item 设
+          \[B_1=\left\{\begin{pmatrix}
+                  1 & 0 \\ 0 & 0
+              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
+                  0 & 1 \\ 0 & 0
+              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
+                  0 & 0 \\ 1 & 0
+              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+                  0 & 0 \\ 0 & 1
+              \end{pmatrix}\right\},\]
+          \[B_2=\left\{\begin{pmatrix}
+                  1 & 0 \\ 0 & 0
+              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
+                  1 & 1 \\ 0 & 0
+              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
+                  1 & 1 \\ 1 & 0
+              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+                  1 & 1 \\ 1 & 1
+              \end{pmatrix}\right\}.\]
           \begin{enumerate}
-              \item $\Gamma$是线性映射；
+              \item 证明：$B_2$也是线性空间$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的基；
 
-              \item $\Gamma$是单的；
+              \item 求基$B_2$变为基$B_1$的变换矩阵；
 
-              \item $\im\Gamma=\{T\in \mathcal{L}(V,W) \mid \forall u\in U,\enspace Tu=0\}$.
-          \end{enumerate}
-\end{enumerate}
+              \item 求$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的一组基$B_3=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$，使得$A_i^2=A_i,\enspace i=1,2,3,4$；
 
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item 设 $A,B,C$ 为二阶复方阵，且 $A,B,C$ 在 $\mathbf{M}_2(\mathbf{C})$ 中线性无关. 证明：存在$z_1,z_2,z_3 \in \mathbf{C}$使得 $z_1A+z_2B+z_3C$ 为可逆矩阵.
+              \item 已知矩阵$A$关于基$B_2$的坐标为$(1,1,1,1)^\mathrm{T}$，求$A$关于基$B_3$的坐标.
+          \end{enumerate}
 
-    \item 设$v_1,\ldots,v_m\in V$. 令
-          \[A=\{\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_mv_m \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in\mathbf{F}\text{~且~}\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}.\]
-          证明：
+    \item 利用相抵标准形证明以下结论：
           \begin{enumerate}
-              \item $A$是$V$的仿射子集；
+              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$列满秩矩阵，证明：存在$s$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=CB_1$；
+
+              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$行满秩矩阵，证明：存在$n$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=B_1C$；
 
-              \item $V$的每个包含$v_1,\ldots,v_m$的仿射子集均包含$A$；
+              \item 任意秩为$r$的矩阵都可以被分解为$r$个秩为1的矩阵之和；
 
-              \item 存在某个$v\in V$和$V$的子空间$U$使得$A=v+U$且$\dim U\leqslant m-1$.
+              \item 已知$A$是$n$阶方阵，证明：存在$n$阶方阵$B$使得$A=ABA,\enspace B=BAB$.
           \end{enumerate}
+
+    \item 设 $A \in \mathbf{M}_{m \times n}(\mathbf{F})$，$r(A)=r$，$k$ 是满足条件 $r \leqslant k \leqslant n$ 的任意整数，证明存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=O$，且 $r(A)+r(B)=k$.
+
+    \item 设$A$是$m \times n$矩阵（$m \leqslant n$），$r(A)=m$，证明：存在$n \times m$矩阵$B$使得$AB=E$.
+
+    \item 设$A,B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F})$，$r(A)+r(B) \leqslant n$，证明：存在可逆矩阵$M$，使得$AMB=O$.
+
+    \item 设$A$为$n$阶实方阵且$r(A)=r>0$，证明存在秩为$r$的实方阵$B$和$C$使得$AB=CA$. % 新题，需要答案
+\end{enumerate}
+
+\centerline{\heiti C组}
+\begin{enumerate}
+    \item 设矩阵$A \in \mathbf{F}^{m \times n}$，$A$的秩$r(A)=r$，定义$\mathbf{F}^{n \times p}$到$\mathbf{F}^{m \times p}$的线性映射$\sigma$，使得$\forall X \in \mathbf{F}^{n \times p}$，$\sigma(X)=AX$. 求$\sigma$核空间的维数.
 \end{enumerate}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"
index e817cb0..f230dc5 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"	
+++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23015 \350\214\203\347\225\264\350\256\272\350\247\206\350\247\222\344\270\213\347\232\204\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260.tex"	
@@ -161,7 +161,7 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
 
 下一个典范的结构我们也已经有所提及，它事关双对偶空间. 为了方便起见，对于函子 $F: \cC \to \cD$，我们记 $F^\mathrm{op}: \cC^\mathrm{op} \to \cD^\mathrm{op}$，它和原来的函子其实毫无差别，只有一点形式上的不同. 记对偶函子为 $-^*$，这是因为我们通常用 $V^*$ 表示对偶的空间，$f^*$ 表示对偶映射. 那么，我们就有 $(-^*)^\mathrm{op} \circ -^*$ 是典范同构. 这个事情的证明也是检查交换图，我们早已构造了这样的映射，也就是所谓的到双对偶空间的典范同构.
 
-最后一个例子稍微有点特别，为了给出这个例子，我们需要定义一个与自然变换稍微有点不同的东西，强名之曰偶自然变换\footnote{英文为 dinatural transformation，这个翻译稍微有点奇怪，但凑合用. }. 它的目标实际上是处理一些反变函子的情形，其它定义完全一致，不过它要求：$F: \cC \to \cD, G: \cC \to \cD^\mathrm{op}$，而它对应的交换图是：
+最后一个例子稍微有点特别，为了给出这个例子，我们需要定义一个与自然变换稍微有点不同的东西，强名之曰自然反变换\footnote{英文为 dinatural transformation，这个翻译稍微有点奇怪，但凑合用. }. 它的目标实际上是处理一些反变函子的情形，其它定义完全一致，不过它要求：$F: \cC \to \cD, G: \cC \to \cD^\mathrm{op}$，而它对应的交换图是：
 
 \begin{center}
     \begin{tikzcd}
@@ -173,7 +173,7 @@ \section{范畴、函子、自然变换}
 那么正如读者所料，我们要给出的结果就是：
 
 \begin{example}{}{}
-    不存在从一个线性空间到其对偶空间的非零偶自然变换.
+    不存在从一个线性空间到其对偶空间的非零自然反变换.
 
     现在，我们需要考虑下面的交换图：
 
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\2309 \345\270\214\345\260\224\344\274\257\347\211\271\347\251\272\351\227\264\345\274\225\350\256\272.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\2309 \345\270\214\345\260\224\344\274\257\347\211\271\347\251\272\351\227\264\345\274\225\350\256\272.tex"
index f6b9a16..6bb5583 100644
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@@ -1 +1,7 @@
 \LUchapter{希尔伯特空间引论}
+
+{\kaishu 我梦想着，并且沉迷于众多尚待解决的谜题：关于有限的和无限的空间，关于世界系统的稳定性，以及关于所有其他重大的数学与物理问题。}
+\begin{flushright}
+    \kaishu
+    —— K. 魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass），在写给 S. 柯娃列夫斯喀雅（Sofia Kovalevskaya）的一封信中
+\end{flushright}
diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex"
index c81ce38..70f531a 100644
--- "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex"
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@@ -152,12 +152,12 @@
 \input{./专题/3 有限维线性空间.tex}
 \input{./专题/4 线性空间的运算.tex}
 \input{./专题/5 线性映射.tex}
-\input{./专题/6 线性映射矩阵表示.tex}
-\input{./专题/7 矩阵运算基础.tex}
-\input{./专题/8 相抵标准形.tex}
-\input{./专题/9 矩阵运算进阶.tex}
+\input{./专题/6 商与对偶.tex} % 射影空间
+\input{./专题/7 线性映射矩阵表示.tex}
+\input{./专题/8 矩阵运算基础.tex}
+\input{./专题/9 相抵标准形.tex}
+\input{./专题/10 矩阵运算进阶.tex}
 \input{./其它/未竟专题2 有限域上的矩阵.tex}
-\input{./专题/10 商与对偶.tex} % 射影空间
 \input{./其它/未竟专题3 多重线性映射与张量的计算.tex}
 \input{./专题/11 行列式.tex}
 \input{./其它/未竟专题4 矩阵空间.tex}
@@ -176,14 +176,14 @@
 \input{./专题/20 内积空间.tex}
 \input{./专题/21 内积空间上的算子.tex}
 \input{./其它/未竟专题9 希尔伯特空间引论.tex}
-\input{./专题/22 奇异值分解.tex}
-\input{./专题/23 线性代数与几何.tex}
-\input{./专题/24 二次型.tex}
+\input{./专题/22 线性代数与几何.tex}
+\input{./专题/23 二次型.tex}
 \input{./其它/未竟专题10 射影几何的代数方法.tex}
 \input{./其它/未竟专题11 有限域上的二次型.tex}
 \input{./其它/未竟专题12 二次型的几何.tex}
 \input{./其它/未竟专题13 实数域的诸扩域.tex}
 \input{./其它/未竟专题14 线性动力系统.tex}
+\input{./专题/24 奇异值分解.tex}
 \input{./专题/25 线性代数与微积分.tex}
 \input{./其它/未竟专题15 范畴论视角下的线性代数.tex}