From f956cda43900f86780279b785b484d00dccda346 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: kailq <2725913404@qq.com> Date: Tue, 10 Sep 2024 10:39:14 +0800 Subject: [PATCH 1/3] update chapter 3 & 4 --- ...7\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" | 200 ++++++++++++++++-- ...4\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" | 74 ++++++- 2 files changed, 258 insertions(+), 16 deletions(-) diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" index aa87760..9e5bf9e 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/3 \346\234\211\351\231\220\347\273\264\347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264.tex" @@ -99,7 +99,7 @@ \subsection{线性相关性的定理} 向量组线性无关$\iff$它们只有系数全为0的线性组合才会等于零向量. - \item 从线性表示看（教材定理2.3） + \item 从线性表示看 \begin{theorem}{}{} 线性空间$V(\mathbf{F})$中的向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\enspace(m \geqslant 2)$线性相关的充分必要条件是$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$中有一个向量可由其余向量在域$\mathbf{F}$上线性表示. \end{theorem} @@ -109,30 +109,105 @@ \subsection{线性相关性的定理} 向量组线性无关$\iff$其中每一个向量都不能由其余向量线性表示. - \item 从齐次线性方程组看（教材P66例3，实际上这一点与定义十分类似） + \item 从齐次线性方程组看 + \begin{example}{}{} + 判断 $\mathbf{R}^3$ 中向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 和 $\{\beta_1, \beta_2, \beta_3\}$ 的线性相关性, 其中 + + \[ + \alpha_1 = (1, 1, 0), \quad \alpha_2 = (0, 1, 1), \quad \alpha_3 = (1, 0, -1), + \] + \[ + \beta_1 = (1, -3, 1), \quad \beta_2 = (-1, 2, -2), \quad \beta_3 = (1, 1, 3). + \] + \end{example} + \begin{solution} + 容易看出, $\alpha_3 = \alpha_1 - \alpha_2$, 所以 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关. 但对 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 不易看出是否有线性关系, 要按定义来判别. 设 + + \[ + x_1 \beta_1 + x_2 \beta_2 + x_3 \beta_3 = 0, \tag{1} + \] + + 即 + + \[ + x_1(1, -3, 1) + x_2(-1, 2, -2) + x_3(1, 1, 3) = (0, 0, 0). + \] + + 这个向量方程等价于以下的三个元线性齐次方程组: + + \[ + \begin{cases} + x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ + -3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0 \\ + x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 + \end{cases}, + \] + + 容易解得这个方程组只有零解 $x_1 = x_2 = x_3 = 0$. 即只有全为零的 $x_1, x_2, x_3$ 才使得 (1) 成立, 故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关. + + 一般若 $\beta_1 = (a_1, b_1, c_1), \beta_2 = (a_2, b_2, c_2), \beta_3 = (a_3, b_3, c_3)$, 则 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性相关（线性无关）的充要条件是三元线性齐次方程组 + + \[ + \begin{cases} + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = 0 \\ + b_1 x_1 + b_2 x_2 + b_3 x_3 = 0 \\ + c_1 x_1 + c_2 x_2 + c_3 x_3 = 0 + \end{cases} + \] + + 有非零解（只有零解）. 用此法可得 $\mathbf{R}^n$ 中任何 4 个向量, $\mathbf{R}^n$ 中任何 $n + 1$ 个向量都线性相关. + + + 总的来说，我们有以下结论： 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$有非零解; 列向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关$\iff$齐次线性方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=0$只有零解. + \end{solution} + \item 从向量组与它的部分组的关系看 + \begin{example}{}{} + 如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 则其任意子集也线性无关，如果向量组 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关，则其任意包含它的向量组也线性相关. + \end{example} + \begin{proof} + 我们先证明前者，不失一般性，设子集为 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$, 其中 $1 \leq i_1 < i_2 < \cdots < i_k \leq n$, 若存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 使得 + + \[ + \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} = 0, + \] + + 则将上式扩充为 + + \[ + \lambda_1 \alpha_{i_1} + \lambda_2 \alpha_{i_2} + \cdots + \lambda_k \alpha_{i_k} + 0 \alpha_{i_{k+1}} + \cdots + 0 \alpha_{i_n} = 0, + \] + + + 其中 $\lambda_{k+1} = \lambda_{k+2} = \cdots = \lambda_n = 0$, 且 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ 不全为零, （即将不在子集中的其它元素以$0$作为系数加到方程中，这样就找到了一个满足线性相关定义的式子）这与 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性无关矛盾. 故 $\{ \alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_k} \}$ 线性无关. + + 相同的方法证明后者,设 $\{ \alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n \}$ 线性相关, 则存在不全为零的 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ 使得 - \item 从向量组与它的部分组的关系看（教材P67例6） + \[ + \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2 + \cdots + \lambda_n \alpha_n = 0, + \] + 则对于任意包含它的向量组,我们也可以将多出来的向量系数取$0$,这样就找到了一个满足线性相关定义的式子,因此包含它的向量组也线性相关. + \end{proof} 如果向量组的一个部分组线性相关，那么整个向量组也线性相关； 如果向量组线性无关，那么它的任何一个部分组也线性无关. - \item 从向量组线性表示一个向量的方式看（教材定理2.4） + \item 从向量组线性表示一个向量的方式看 \begin{theorem}{}{线性无关等价表示唯一} - 若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关，而向量组$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示，且表示法唯一. + 若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关,而向量组$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示,且表示法唯一. \end{theorem} - 这一定理证明十分经典，特别是唯一性的证明需要掌握，因此此处我们给出证明： + 这一定理证明十分经典,特别是唯一性的证明需要掌握,因此此处我们给出证明： \begin{proof} 由于向量组$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，故存在不全为0的$\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_m$使得 \begin{equation}\label{eq:3:线性无关等价定理} \lambda_0\beta+\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_m\alpha_m=0, \end{equation} - 其中$\lambda_0$必不为0，因为如果将$\lambda_0=0$代入\autoref{eq:3:线性无关等价定理}，则由于向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关，必有$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$，与$\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_m$不全为0的假设矛盾. + 其中$\lambda_0$必不为0,因为如果将$\lambda_0=0$代入\autoref{eq:3:线性无关等价定理},则由于向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关,必有$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$，与$\lambda_0,\lambda_1,\ldots,\lambda_m$不全为0的假设矛盾. 因此我们有 \[\beta=-\frac{\lambda_1}{\lambda_0}\alpha_1-\frac{\lambda_2}{\lambda_0}\alpha_2-\cdots-\frac{\lambda_m}{\lambda_0}\alpha_m.\] @@ -143,7 +218,7 @@ \subsection{线性相关性的定理} \end{gather*} 两式相减可得 \[0=(\mu_1-\nu_1)\alpha_1+(\mu_2-\nu_2)\alpha_2+\cdots+(\mu_m-\nu_m)\alpha_m.\] - 由于$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关，因此$\mu_i-\nu_i=0\enspace(i=1,2,\ldots,m)$，即$\mu_i=\nu_i\enspace(i=1,2,\ldots,m)$，因此表示方式唯一. + 由于$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关,因此$\mu_i-\nu_i=0\enspace(i=1,2,\ldots,m)$，即$\mu_i=\nu_i\enspace(i=1,2,\ldots,m)$,因此表示方式唯一. \end{proof} 事实上关于这一定理我们有一个直接的推论 @@ -228,7 +303,7 @@ \subsection{引入：向量组的秩与极大线性无关组} \end{definition} 定义中``极大''一词我们只需简单思考前述过程即可明白其含义，因为我们要求丢弃后的向量组一旦线性无关就要停止继续丢弃向量，因此这一剩余向量组的长度一定是所有线性无关向量组中最大的. -要注意的是，极大线性无关组在本讲义、教材甚至其它教材（如丘维声老师的《高等代数》）中的定义都有所不同，实际上不同的版本只是为了顺应不同讲解思路而提出的，本质上并无区别，相信读者在完全理解本节内容后能认识到这一点. +要注意的是，极大线性无关组在本讲义以及其它教材（如丘维声老师的《高等代数》）中的定义都有所不同，实际上不同的版本只是为了顺应不同讲解思路而提出的，本质上并无区别，相信读者在完全理解本节内容后能认识到这一点. 由此我们关于有限维线性空间至少需要多少个向量张成的问题有了初步的解答，即如果我们已知这一线性空间是可以由某一向量组张成的，那么这一向量组的秩（即极大线性无关组的长度）就是张成空间需要的最少向量个数. 可能初看这一段话，其中出现的``极大''和``最小''容易导致思维的混乱，但我们可以用一句话清晰地总结：极大线性无关组的长度就是张成空间需要的最少向量个数（如果仍然混乱，我们可以回忆丢弃向量的过程：我们不断丢弃向量得到``最小''的仍然满足张成空间不变的向量组，而这一向量组必须是所有线性无关向量组中最长的，因为向量组丢到线性无关后不能再丢了）. @@ -376,10 +451,89 @@ \subsection{基与维数} \subsection{极大线性无关组的求法} -我们在前述讲解中实际上已经给出一个求解极大线性无关组的方法，即不断丢弃线性相关的向量，最后一次从向量组中丢弃向量（并保证张成的空间不变）后，剩余的向量组恰好线性无关时即可停止丢弃. 但这一方法适用于证明极大线性无关组一定存在，如果考试中要求取极大线性无关组我们应当考虑教材71页给出的``通用而简便''的方法. 事实上教材中给出的方法以及解释已经非常细致，我们只总结其关键步骤，读者可以参考教材中进行细致的学习. +我们在前述讲解中实际上已经给出一个求解极大线性无关组的方法，即不断丢弃线性相关的向量，最后一次从向量组中丢弃向量（并保证张成的空间不变）后，剩余的向量组恰好线性无关时即可停止丢弃. 接下来的例子为我们提供了一种面对考试时求极大线性无关组的``通用而简便的方法''. + +\begin{example}{}{} + 已知 $\mathbf{R}^4$ 的一个子集 $S = \{a_1, a_2, a_3, a_4\}$, 其中 + \[ + a_1 = (1,1,0,1), \quad a_2 = (0,1,2,4), \\ + a_3 = (2,1,-2,2), \quad a_4 = (0,1,1,1). + \] + 试求 $L(S)$ 的维数及其一组基$B$。 +\end{example} + +\begin{solution} + +$S$ 的任一极大线性无关组 $B$ 都是 $L(S)$ 的基 ，求 $S$ 的一个极大线性无关组可以用如下方法： + +设 +\[ +x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_3 a_3 + x_4 a_4 = 0, \tag{1} +\] + +其方程组为： +\[ +\begin{cases} +x_1 + 0x_2 + 2x_3 + 0x_4 = 0, \\ +x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0, \\ +0x_1 + 2x_2 - 2x_3 + x_4 = 0, \\ +x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0. +\end{cases}\tag{2} +\] + +\textbf{增广矩阵为} + +\[ +\left( +\begin{array}{cccc:c} +1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ +1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ +0 & 2 & -2 & 1 & 0 \\ +1 & 4 & -2 & 1 & 0 +\end{array} +\right).\tag{3} +\] + + +对矩阵(3)作初等行变换，所得简便阶梯形的\textbf{标准矩阵为} +\[ +\left( +\begin{array}{cccc:c} +1 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ +0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 0 & 0 +\end{array} +\right)\tag{4} +\] + +(4) 所对应的齐次线性方程组显然有非零解，所以 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 线性相关。由于 (3) 的系数矩阵的前 4 个列向量分别对应$a_1, a_2, a_3, a_4$，因此如果去掉 $a_3$，考虑 $a_1, a_2, a_4$ 的线性无关性，即考虑 +\[ +x_1 a_1 + x_2 a_2 + x_4 a_4 = 0 \tag{5} +\] +该方程组的简化阶梯矩阵事实上就是 (4) 去掉第三列之后的矩阵，即 + +\[ +\left( +\begin{array}{ccc:c} +1 & 0 & 0 & 0 \\ +0 & 1 & 0 & 0 \\ +0 & 0 & 1 & 0 \\ +0 & 0 & 0 & 0 +\end{array} +\right)\tag{6} +\] + + (6) 所对应的方程组只有零解，所以 $a_1, a_2, a_4$ 是 $L(S)$ 的一组基，且 $L(S)$ 的维数为 3. + +上面求 $S$ 的一个极大线性无关组的方法是：在增广矩阵 (3) 所简化的矩阵 (4) 中,把每一行第一个非零元素所在列所对应的列向量全部拿出来，就是 $S$ 的极大线性无关组 + +\end{solution} + +我们总结以上方法的关键步骤. \begin{lemma}{极大线性无关组的求法}{} - 我们将题目给定的向量按列排成矩阵，然后将矩阵作初等变换化成阶梯矩阵，找到主元所在的列，提取出原矩阵对应列的向量即可. + 我们将题目给定的向量按列排成矩阵，然后将矩阵作初等变换化成阶梯矩阵，找到每一行第一个非零元素所在的列，提取出原矩阵对应列的向量即可. \end{lemma} 注意极大线性无关组是不唯一的，但上面给出了一个程式化的方法. 实际上如果能一眼看出结果的也不必如此麻烦（当然题目直接要求极大线性无关组还是应当写具体过程的）. @@ -520,7 +674,29 @@ \section{向量的坐标} \exquote[柯西]{给我五个系数，我将画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴.} \begin{exgroup} - \item 请先完成教材P87--88第二章习题第10题的判断题； + \item 下列命题是否正确？若正确请证明，否则举出反例. + \begin{enumerate} + \item 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \ (m > 2)$ 线性相关，则其中每一向量都是其余向量的线性组合； + + \item 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性无关，则其中每一向量不是其余向量的线性组合，这个命题的等价命题应如何叙述？ + + \item $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \ (m > 2)$ 线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关； + + \item 若 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关，$ \beta_1, \beta_2$ 线性相关，则 $\alpha_1 + \beta_1, \alpha_2 + \beta_2$ 也线性相关； + + \item 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性无关，则 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \ldots, \alpha_{n-1} + \alpha_n, \alpha_n + \alpha_1$ 也线性无关； + + \item 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关，则 $\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_2 + \alpha_3, \alpha_3 + \alpha_1$ 也线性相关； + + \item 设 $B = \{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$ 是 $ \mathbf{R}^3 $ 的一组基，非零向量 $\alpha_0 \in \mathbf{R}^3$，则 $\{\alpha_0 + \alpha_1, \alpha_0 + \alpha_2, \alpha_0 + \alpha_3\}$ (其中三个向量均是非零向量) 也是 $\mathbf{R}^3$ 的一组基； + + \item 设 $B = \{\alpha_1, \alpha_2\}$ 是 $\mathbf{R}^2$ 的一组基，则 $\{\alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 - \alpha_2\}$ 也是 $\mathbf{R}^2$ 的一组基； + + \item 一个有限维线性空间内只含有有限个子空间； + + \item 若 $W_1, W_2$ 是 $ \mathbf{R}^n $ 的两个子空间，$B_1, B_2$ 分别是 $W_1, W_2$ 的基，则存在 $ \mathbf{R}^n $ 的一组基 $B$，使得 $B \supseteq B_1 \cup B_2$。 + + \end{enumerate} ； \item 证明：如果向量组线性相关，把每个向量去掉$m$个位置一致的分量，得到的缩短组仍线性相关；如果向量组线性无关，把每个向量添加$m$个位置一致的分量，得到的缩短组仍线性无关； diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" index df1ce66..dec89c9 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" @@ -45,7 +45,57 @@ \section{线性空间的交、并、和} \end{enumerate} \end{theorem} -定理前两条的证明见教材74页，第三条我们留作习题供读者练习，因为在考试中有出现过. 前两条还可以进行推广，即$V$的有限个子空间的交与和仍然是$V$的子空间. +\begin{proof} + 我们从子空间的定义出发证明这一定理. + 即验证 $W_1 \cap W_2$ 满足子空间的三个条件： + + + \begin{itemize} + \item + 由于 $W_1, W_2$ 都是 $V$ 的子空间，零向量 $\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$。因此，$\mathbf{0} \in W_1 \cap W_2$。 + + \item + 对于任意的 $x, y \in W_1 \cap W_2$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$，$y \in W_1$ 且 $y \in W_2$。 + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $x + y \in W_1$ 且 $x + y \in W_2$。 + 因此，$x + y \in W_1 \cap W_2$。 + + \item + 对于任意的 $x \in W_1 \cap W_2$ 和任意的标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，有 $x \in W_1$ 且 $x \in W_2$。 + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 都是 $V$ 的子空间，所以 $\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda x \in W_2$。 + 因此，$\lambda x \in W_1 \cap W_2$。 + \end{itemize} + + 所以 $W_1 \cap W_2$ 是 $V$ 的子空间。 + + + 下证$W_1 + W_2$ 是 $V$ 的子空间: + \begin{itemize} + \item + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\mathbf{0} \in W_1$ 且 $\mathbf{0} \in W_2$。 + 因此，$\mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0} \in W_1 + W_2$。 + + \item + 对于任意的 $u_1, u_2 \in W_1 + W_2$，存在 $x_1, x_2 \in W_1$ 和 $y_1, y_2 \in W_2$，使得 $u_1 = x_1 + y_1$，$u_2 = x_2 + y_2$。 + 则 + $$ + u_1 + u_2 = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2). + $$ + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$x_1 + x_2 \in W_1$ 且 $y_1 + y_2 \in W_2$， + 因此，$u_1 + u_2 \in W_1 + W_2$。 + + \item + 对于任意的 $u \in W_1 + W_2$ 和标量 $\lambda \in \mathbf{F}$，存在 $x \in W_1$ 和 $y \in W_2$，使得 $u = x + y$。 + 则 + $$ + \lambda u = \lambda (x + y) = \lambda x + \lambda y. + $$ + 由于 $W_1$ 和 $W_2$ 是 $V$ 的子空间，$\lambda x \in W_1$ 且 $\lambda y \in W_2$， + 因此，$\lambda u \in W_1 + W_2$。 + \end{itemize} + + 因此，$W_1 + W_2$ 也是 $V$ 的子空间。 +\end{proof} +我们只在此证明定理的前两条，第三条我们留作习题供读者练习，因为在考试中有出现过. 前两条还可以进行推广，即$V$的有限个子空间的交与和仍然是$V$的子空间. 除此之外，这一定理也告诉我们为什么需要研究子空间的和而更少研究子空间的并：因为子空间的和仍然是线性空间. 直观理解实际上就是和的定义中出现了两个子空间的向量的加法，而构成子空间的核心就是运算封闭，因此这一定义为子空间的和仍构成子空间提供了保证，因此这一定义也是十分自然的. @@ -128,7 +178,7 @@ \section{覆盖定理} \end{enumerate} \end{proof} -本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}. 事实上覆盖定理在习题中也有出现，例如教材91--92页第8、9题，都是覆盖定理的直接证明. 我们下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： +本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}. 我们下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： \begin{example}{}{} $V_1,V_2,\ldots,V_s$是线性空间$V$的$s$个非平凡子空间，证明：存在$V$的一组基$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$都不在$V_1,V_2,\ldots,V_s$中. \end{example} @@ -215,9 +265,25 @@ \section{线性空间的直和} \end{enumerate} \end{theorem} -定理的证明是基本的，可以参考教材76页. 在实际运用中我们要非常熟悉这些等价条件，因为都可能使用到. +定理的证明是基本的. +\begin{proof} + 上述命题等价，只需证明 (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)。 + + 先证 (1) $\Rightarrow$ (2): 设 $W_1 + W_2$ 中的 $\alpha$ 有两个分解式 + $$ + \alpha = \alpha_1 + \alpha_2 = \beta_1 + \beta_2, \quad \alpha_1, \beta_1 \in W_1, \ \alpha_2, \beta_2 \in W_2, + $$ + 则 $\alpha_1 - \beta_1 = \beta_2 - \alpha_2 \in W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$，于是得 $\beta_1 = \alpha_1, \beta_2 = \alpha_2$，故 $\alpha$ 的分解式是唯一的。 + + 其次证 (2) $\Rightarrow$ (3): 由 $W_1 + W_2$ 中零向量的分解式唯一性以及 $0 = 0 + 0$，立即得命题 (3) 成立。 + + 再证 (3) $\Rightarrow$ (4): 由命题 (3) 可推出 $W_1 \cap W_2 = \{\mathbf{0}\}$，因为若 $W_1 \cap W_2 \ne \{\mathbf{0}\}$，则存在 $0 \ne a \in W_1 \cap W_2$，使得 $0 = \alpha + (-\alpha)$，（其中 $\alpha \in W_1, -\alpha \in W_2$），这与命题 (3) 相矛盾。再根据维数公式 就得命题 (4)。 + + 最后由命题 (4) 及维数公式 立即得命题 (1) 成立。 +\end{proof} +在实际运用中我们要非常熟悉这些等价条件，因为都可能使用到. -我们也可以定义有限个子空间的直和，即$V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_n \iff W_i \cap \sum\limits_{j \neq i}W_j=\{0\}$，即每个子空间与其余子空间的和的交都是$\{0\}$. 等价命题也是上述定理的推广，例如唯一分解、$\vec{0}$的分解以及维数公式推广，此处不再赘述，详见教材76页. 除此之外，我们还有一个与多空间直和相关的定理： +我们也可以定义有限个子空间的直和，即$V=W_1\oplus W_2\oplus\cdots\oplus W_n \iff W_i \cap \sum\limits_{j \neq i}W_j=\{0\}$，即每个子空间与其余子空间的和的交都是$\{0\}$. 等价命题也是上述定理的推广，例如唯一分解、$\vec{0}$的分解以及维数公式推广，此处不再赘述. 除此之外，我们还有一个与多空间直和相关的定理： \begin{theorem}{}{多空间直和} 若$V=V_1\oplus V_2,\enspace V_1=V_{11}\oplus\cdots\oplus V_{1s},\enspace V_2=V_{21}\oplus\cdots\oplus V_{2t}$，则 \[V=V_{11}\oplus\cdots\oplus V_{1s}\oplus V_{21}\oplus\cdots\oplus V_{2t}\] From 4de94bef13ce61810920608a3261261338d079fe Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: kailq <2725913404@qq.com> Date: Tue, 10 Sep 2024 12:09:32 +0800 Subject: [PATCH 2/3] update chapter 3 & 4 --- ...72\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" | 7 ++++++- 1 file changed, 6 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" index dec89c9..725649e 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" @@ -178,7 +178,7 @@ \section{覆盖定理} \end{enumerate} \end{proof} -本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}. 我们下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： +本质而言$s>2$的情况就是将$s-1$个子空间的并视为一个整体，然后套用$s=2$的情况证明. 若将这一定理的条件限制在$V$为有限维线性空间，我们也可以利用Vandermonde行列式的方法证明，详见\autoref{ex:行列式证明覆盖定理}.我们已经在本章习题A组最后两题为读者准备了覆盖定理的直接证明的题目，下面再给出一个例子供读者应用覆盖定理： \begin{example}{}{} $V_1,V_2,\ldots,V_s$是线性空间$V$的$s$个非平凡子空间，证明：存在$V$的一组基$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$都不在$V_1,V_2,\ldots,V_s$中. \end{example} @@ -536,6 +536,10 @@ \subsection{仿射子集与商空间} \end{enumerate} \item 在数域$\mathbf{F}$上，已知$V_1,V_2$分别为方程组$x_1+x_2+\cdots+x_n=0$与$x_1=x_2=\cdots=x_n$的解空间. 证明：$\mathbf{F}^n=V_1\oplus V_2$. + + \item 设 $V_1,V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个非平凡子空间，证明: $\exists \alpha \in V$,使得$\alpha \notin V_1$ 且 $\alpha \notin V_2$.并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. + + \item 设 $V_1,\ldots,V_m (m > 2)$ 是线性空间$V$的$m$个非平凡子空间,证明:$V$ 中存在一个同时不属于任何一个$V_i(1 \leqslant i \leqslant m)$的向量.并在$\mathbf{R}^3$ 中举一例. \end{exgroup} \begin{exgroup} @@ -606,6 +610,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间} \item 设$V$为有限维线性空间，$V_1$为其非零子空间. 证明：存在唯一的子空间$V_2$，使得$V=V_1\oplus V_2$的充要条件为$V_1=V$. \item \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）. + \item \end{exgroup} \begin{exgroup} From 7fd2fe4373a670d2e82252d2f8670a45b1675e98 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: kailq <2725913404@qq.com> Date: Tue, 10 Sep 2024 12:16:24 +0800 Subject: [PATCH 3/3] update chapter 3 & 4 --- ...51\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" | 3 +-- 1 file changed, 1 insertion(+), 2 deletions(-) diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" index 725649e..3b98f28 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/4 \347\272\277\346\200\247\347\251\272\351\227\264\347\232\204\350\277\220\347\256\227.tex" @@ -609,8 +609,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间} \item 设$V$为有限维线性空间，$V_1$为其非零子空间. 证明：存在唯一的子空间$V_2$，使得$V=V_1\oplus V_2$的充要条件为$V_1=V$. - \item \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）. - \item + \item 设$A_1$和$A_2$均为$V$的仿射子集，证明：$A_1\cap A_2$是$V$的仿射子集或空集（可推广至任意交）. \end{exgroup} \begin{exgroup}