diff --git a/.github/workflows/tex.yml b/.github/workflows/tex.yml index 584a394..0268bea 100644 --- a/.github/workflows/tex.yml +++ b/.github/workflows/tex.yml @@ -35,4 +35,4 @@ jobs: with: name: LALU-build-${{ github.run_number }}-${{ steps.build.outputs.sha }} if-no-files-found: error - path: ${{ github.workspace }}/gh-actions-build/*.pdf + path: ${{ github.workspace }}/讲义/*.pdf diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 013b8d3..1077e0f 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -6,6 +6,7 @@ build gh-actions-build 讲义/LALU.tex +讲义/LALU-ans-contents.tex 习题参考答案/LALU-answers.tex ## latexindent.pl backup files diff --git a/LALUbook.cls b/LALUbook.cls index 8837773..e66c04e 100644 --- a/LALUbook.cls +++ b/LALUbook.cls @@ -164,6 +164,8 @@ \NewDocumentEnvironment{proof}{O{}O{}}{\begin{tcblaluthmbox}{{\heiti 证明}}{#1}{#2}\fangsong}{\hspace*{\fill}$\square$\end{tcblaluthmbox}} \NewDocumentEnvironment{solution}{O{}O{}}{\begin{tcblaluthmbox}{{\heiti 解}}{#1}{#2}\fangsong}{\end{tcblaluthmbox}} +\NewDocumentCommand{\term}{m}{{\sffamily\heiti\bfseries{#1}}} + \DeclareMathOperator{\Ob}{Ob} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} diff --git a/Makefile b/Makefile index c732039..deeb2af 100644 --- a/Makefile +++ b/Makefile @@ -5,13 +5,14 @@ export GH_ACTIONS_DIR := gh-actions-build .PHONY: all gh-actions main ans clean -all: main ans +all: main gh-actions: # used by GitHub Actions - mkdir -p $(GH_ACTIONS_DIR) - make -C $(MAIN_DIR) gh-cp - make -C $(ANSWERS_DIR) gh-cp +# mkdir -p $(GH_ACTIONS_DIR) +# make -C $(MAIN_DIR) gh-cp +# make -C $(ANSWERS_DIR) gh-cp + make -C $(MAIN_DIR) main: $(MAKE) -C $(MAIN_DIR) diff --git "a/\344\271\240\351\242\230\345\217\202\350\200\203\347\255\224\346\241\210/README.md" "b/\344\271\240\351\242\230\345\217\202\350\200\203\347\255\224\346\241\210/README.md" new file mode 100644 index 0000000..0b2795f --- /dev/null +++ "b/\344\271\240\351\242\230\345\217\202\350\200\203\347\255\224\346\241\210/README.md" @@ -0,0 +1,4 @@ +# 习题参考答案 + +!!! [Warning] + 习题参考答案目前正在和讲义合并。仍然可以在本文件夹下运行 `make` 构建，在答案全部迁移完成后应删除本文件夹。 diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/LALU-answers.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/LALU-answers.tex" new file mode 100644 index 0000000..1fd319c --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/LALU-answers.tex" @@ -0,0 +1,123 @@ +\makeatletter + \def\input@path{{..}} % 搜索上层目录的 LALUbook +\makeatother + +\documentclass[ + % colors = false, + geometry = 16k, +]{LALUbook} + +\usepackage{booktabs} % Excel 导出的大表格 + +\usetikzlibrary{arrows, arrows.meta, calc, intersections, decorations.pathreplacing, patterns, decorations.markings} + +\title{\heiti 浙江大学 2023--2024 学年 \\ 线性代数荣誉课辅学习题答案} +\author{2023--2024 学年线性代数 I/II（H）辅学授课 \\ 吴一航 \quad \verb|yhwu_is@zju.edu.cn|} + +\AtEndPreamble{\hypersetup{ + pdfauthor = {吴一航}, + pdftitle = {线性代数荣誉课辅学习题答案}, +}} + +\newcounter{LUsection} + +\makeatletter +\newcommand*{\LUgroupsancheck}{% +\expandafter\@ifundefined{@exist@LUsection@\arabic{section}}% + {} + {\endgroup} +} +\let\@std@section\section +\renewcommand*{\section}{% + \LUgroupsancheck% + \@std@section +} +\makeatother + +\NewDocumentCommand{\LUsection}{m}{% +\LUgroupsancheck +\begingroup +\addtocounter{section}{-1} +\refstepcounter{LUsection} +\renewcommand*{\thesection}{未竟专题\zhnumber{\arabic{LUsection}}} +\renewcommand*{\theHsection}{LU.\arabic{LUsection}} +\ctexset{ + section={format={\centering\Huge\bfseries},name={未竟专题,},number={\zhnumber{\arabic{LUsection}}}}, +} +\csname @std@section\endcsname{#1} +\expandafter\xdef\csname @exist@LUsection@\arabic{section}\endcsname{\null} +} + +\begin{document} +\frontmatter + +\pdfbookmark[0]{目录}{contents} +\tableofcontents + +\addtolength{\parskip}{.5em} + +\mainmatter + +\ctexset{ + chapter={format={\centering\Huge\bfseries},name={,},number={}}, + section={format={\raggedright\Large\bfseries},name={第,讲},number={\arabic{section}}}, +} +\renewcommand*{\thechapter}{} +\renewcommand*{\thesection}{第\arabic{section}讲} + +\chapter{《线性代数：未竟之美》习题参考答案} +\titleformat{\subsection}[block]{\centering\heiti\bfseries}{}{1em}{} +\input{LALU-ans-contents.tex} + +\LUgroupsancheck + +\makeatletter +\let\section\@std@section +\let\@std@section\relax +\makeatother + +\ctexset{ + section={format={\raggedright\Large\bfseries},name={,},number={}}, +} +\renewcommand*{\thesection}{} + +% 线代I期中/练习 +\chapter{线性代数I（H）期中/小测历年卷试题集} +\input{./历年卷/2020-2021-1extzy1.tex} +\input{./历年卷/2020-2021-1extzy2.tex} +\input{./历年卷/2020-2021-1midwzx.tex} +\input{./历年卷/2021-2022-1exlks.tex} +\input{./历年卷/2021-2022-1midwzx.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-1midlks.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-1midtzy.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-1midwzx.tex} + +% 线代I期末 +\chapter{线性代数I（H）期末历年卷试题集} +\input{./历年卷/2009-2010-1final.tex} +\input{./历年卷/2010-2011-1final.tex} +\input{./历年卷/2011-2012-1final.tex} +\input{./历年卷/2012-2013-1final.tex} +\input{./历年卷/2013-2014-1final.tex} +\input{./历年卷/2014-2015-1final.tex} +\input{./历年卷/2018-2019-1final.tex} +\input{./历年卷/2019-2020-1final.tex} +\input{./历年卷/2021-2022-1final.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-1final.tex} + +% 线代II期中/练习 +\chapter{线性代数II（H）期中/小测历年卷试题集} +\input{./历年卷/2020-2021-2midlks.tex} +\input{./历年卷/2020-2021-2exlks.tex} +\input{./历年卷/2020-2021-2midtzy.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-2midlks.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-2midwzx.tex} + +% 线代II期末 +\chapter{线性代数II（H）期末历年卷试题集} +\input{./历年卷/2022-2023-2finalex.tex} +\input{./历年卷/2022-2023-2final.tex} + +\backmatter + +\end{document} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/Makefile" "b/\350\256\262\344\271\211/Makefile" index fce7821..e80ad92 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/Makefile" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/Makefile" @@ -1,4 +1,9 @@ FILENAME := 线性代数荣誉课辅学讲义 CPNAME := LALU +.PHONY: all-new + +all-new: all + $(LATEXMK) $(LATEXMK_FLAGS) LALU-answers.tex + include ../latexmk.mk diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/1 \351\242\204\345\244\207\347\237\245\350\257\206.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/1 \351\242\204\345\244\207\347\237\245\350\257\206.tex" index be6c55e..8551901 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/1 \351\242\204\345\244\207\347\237\245\350\257\206.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\344\270\223\351\242\230/1 \351\242\204\345\244\207\347\237\245\350\257\206.tex" @@ -397,6 +397,41 @@ \section{高斯消元法} 3x_1+x_2+5x_3+6x_4-7x_5=0 \end{cases}$的通解. + \begin{answer} + \begin{align*} + A ={} & + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ + 2 & 1 & 3 & 5 & -5 \\ + 1 & -1 & 3 & -2 & -1 \\ + 3 & 1 & 5 & 6 & -7 + \end{pmatrix} + \rightarrow + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ + 0 & -1 & 1 & -3 & 1 \\ + 0 & -2 & 2 & -6 & 2 \\ + 0 & -2 & 2 & -6 & 2 + \end{pmatrix} \rightarrow \\ + & + \begin{pmatrix} + 1 & 1 & 1 & 4 & -3 \\ + 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \rightarrow + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 2 & 1 & -2 \\ + 0 & 1 & -1 & 3 & -1 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \end{align*} + 令 $ x_3 = k_1, x_4 = k_2, x_5 = k_3$，有 $x_1 = -2k_1 - k_2 + 2k_3,\enspace\allowbreak x_2 = k_1 - 3k_2 + k_3 $，则 + \[ X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^\mathrm{T} = k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad k_1, k_2, k_3 \in \mathbf{R} \] + \end{answer} + \item 求非齐次线性方程组$\begin{cases} x_1-x_2+2x_3-2x_4+3x_5=1 \\ 2x_1-x_2+5x_3-9x_4+8x_5=-1 \\ @@ -404,11 +439,50 @@ \section{高斯消元法} x_1-x_2+x_3-x_4+3x_5=3 \end{cases}$的通解. + \begin{answer} + \begin{align*} + \bar{A} ={} & + \begin{pmatrix} + 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & 1 \\ + 2 & -1 & 5 & -9 & 8 & -1 \\ + 3 & -2 & 7 & -11 & 11 & 0 \\ + 1 & -1 & 1 & -1 & 3 & 3 + \end{pmatrix} + \rightarrow + \begin{pmatrix} + 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 & -5 & 2 & -3 \\ + 0 & 1 & 1 & -5 & 2 & -3 \\ + 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 2 + \end{pmatrix} \rightarrow \\ + & + \begin{pmatrix} + 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & 1 \\ + 0 & 1 & 1 & -5 & 2 & -3 \\ + 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 2 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \rightarrow + \begin{pmatrix} + 1 & 0 & 0 & -4 & 5 & 4 \\ + 0 & 1 & 0 & -4 & 2 & -1 \\ + 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & -2 \\ + 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix}. + \end{align*} + 令 $ x_4 = k_1, x_5 = k_2 $，有 $x_1 = 4k_1 - 5k_2 + 4,\enspace\allowbreak x_2 = 4k_1 - 2k_2 - 1,\enspace\allowbreak x_3 = k_1 -2 $，则 + \[ X = (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^\mathrm{T} = k_1 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad k_1, k_2 \in \mathbf{R} \] + \end{answer} + \item 求解线性方程组$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1 \\ x_1+2x_2-5x_3=2 \\ 2x_1+3x_2-4x_3=5 \end{cases}$. + + \begin{answer} + 见教材P33例3. 无解. + \end{answer} \end{exgroup} \begin{exgroup} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\205\266\345\256\203/\346\234\252\347\253\237\344\270\223\351\242\23014 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\exquote[——《收获与播种》，格罗滕迪克]{每一门科学，当我们不是将它作为能力和统治力的工具，而是作为我们人类世代以来努力追求的对知识的冒险历程，不是别的，就是这样一种和谐，从一个时期到另一个时期，或多或少，巨大而又丰富：在不同的时代和世纪中，对于依次出现的不同的主题，它展现给我们微妙而精细的对应，仿佛来自虚空。} - \begin{exgroup}* % no numbering + \begin{enumerate} % 若不需要编号，则直接使用 enumerate 环境 \item 证明以下两个态射的性质： \begin{enumerate} \item 如果 $A$ 与 $B$ 同构，那么 $A$ 与 $B$ 之间的同构映射是唯一的； \item 函子保持态射的单、满性质. \end{enumerate} - \end{exgroup} + \end{enumerate} \end{exercise} diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2009-2010-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2009-2010-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..d965c5b --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2009-2010-1final.tex" @@ -0,0 +1,63 @@ +\phantomsection +\section*{2009-2010学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2009-2010学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item [一、]（10分）记 $C([0,2\pi],\mathbf{R})$ 是区间 $[0,2\pi]$ 上全体连续函数作成的实线性空间，对 $f,g \in C([0,2\pi],\mathbf{R})$，用 + \[(f,g) = \displaystyle\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x\] + 来定义内积. 如果 + \[f,g:[0,2\pi] \to \mathbf{R},f(x)=x,g(x)=\sin x\] + 求 $f$ 与 $g$ 的夹角 $\theta$. + + \item[二、]（10分）设 $V$ 是次数 $\leq 2$ 的实多项式线性空间，$T:V\to V$, + \[T(f(x)) = f(x) + xf'(x).\] + 求 $T$ 的特征值. 对于每个特征值，求属于它的特征子空间. + + \item[三、]（10分）设 $B$ 是 $3\times 1$ 矩阵，$C$ 是 $1\times 3$ 矩阵，证明：$r(BC)\leq 1$；反之，若 $A$ 是秩为 1的 $3\times 3$ 矩阵，证明：存在 $3\times 1$ 矩阵 $B$ 和 $1\times 3$ 矩阵 $C$，使得 $A=BC$. + + \item[四、]（10分）设矩阵 $A=\begin{pmatrix}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{pmatrix},\beta =\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$. 假设线性方程组 $AX=\beta$ 有解但解不唯一. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求 $a$ 的值； + + \item 给出 $AX=\beta$ 的一般解. + \end{enumerate} + +\item[五、]（10分）设 $A$ 是可逆实矩阵. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $A^{\mathrm{T}}A$ 是对称矩阵； + + \item 证明 $A^{\mathrm{T}}A$ 是正定的. + \end{enumerate} + +\item[六、]（10分）令 $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \in M_{3\times 3}(\mathbf R)$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求可逆矩阵 $Q\in M_{3\times 3}(\mathbf R)$ 使 $Q^{\mathrm{T}}AQ$ 是对角矩阵； + + \item 给出 $A$ 的正惯性指数、负惯性指数，并确定 $A$ 的定性. + \end{enumerate} + +\item[七、]（10分）设 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基，$T:V\to V$ 是线性变换， + + $T(v_1)=v_2,T(v_2)=v_3,\ldots,T(v_{n-1})=v_n,T(v_n)=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$. + + 求 $T$ 关于 $\beta$ 的矩阵表示. 以及，在什么条件下 $T$ 是同构？ + + \item[八、]（10分）设 $A\in M_{n\times n}(\mathbf{F})$ 有两个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且属于 $\lambda_1$ 的特征子空间的维数是$n-1$，证明：$A$ 是可对角化的. + + \item[九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 给定线性空间 $V$ 的非零向量 $v$ 和线性空间 $W$ 的向量 $w$，总存在线性映射 $T:V\to W$ 使得 $T(v)=w$. + + \item 若线性方程组有 $m$ 个方程，$n$ 个变量，且 $m < n$，则这个方程组一定有非零解. + + \item 若 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩是 $n$，则 $A$ 是可逆的. + + \item 正交变换是可对角化的. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2010-2011-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2010-2011-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..0728cd8 --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2010-2011-1final.tex" @@ -0,0 +1,62 @@ +\phantomsection +\section*{2010-2011学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2010-2011学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item [一、]（10分）求全部的实数 $a$，使线性方程组$\begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=2 \\ x_1-x_2-2x_3=-3 \\ ax_1-2x_2+2x_3 = 6\end{cases}$ 的解集非空. + + \item [二、]（10分）设 $M_{3\times2} (\mathbf{F})$ 是数域 $\mathbf{F}$ 上全体 $3\times 2$ 矩阵构成的线性空间， + \[P = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}.\] + 定义 $T:M_{3\times 2}(\mathbf{F}) \to M_{3\times2} (\mathbf{F})$ 如下，对任意的 $A\in M_{3\times2}(\mathbf{F})$ 有 $T(A) = PAQ$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $T$ 是线性映射. + + \item 求出 $T$ 的像空间和核空间. + + \item 验证关于 $T$ 的维数公式. + \end{enumerate} + +\item [三、]（10分）设 $A$ 和 $B$ 是 $n$ 阶方阵，其中 $n$ 是奇数. 若 $AB=-BA$，证明：$A$ 是不可逆的或者 $B$ 是不可逆的. + + \item [四、]（10分）设 $V$ 是欧氏空间， $\mathbf{u,v}\in V$ 且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$. 证明 + \[\lvert(\mathbf{u,v}) \rvert =\lvert \mathbf{u} \rvert \lvert \mathbf{v} \rvert \] + 当且仅当存在 $\lambda \in \mathbf{R}$，使 $\mathbf{u} = \lambda \mathbf{v}$. + + \item [五、]（10分）设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 是实正交矩阵. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $\lvert\sum\limits_{i=1}^n{a_{ii}}\rvert \leqslant n$. + + \item 在什么条件下等式成立? + \end{enumerate} + +\item [六、]（10分）求 $2\times 2$ 实矩阵 $A$，使得 $A$ 的特征值是 2 和 1，而对应于 2 的特征子空间由 $\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$生成，对应于 1 的特征子空间由 $\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}$ 生成. + + \item [七、]（10分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 都可对角化，并且它们有相同的特征子空间（但不一定有相同的特征值），证明 $AB=BA$. + + \item [八、]（10分）实三元二次多项式 $f:\mathbf{R^3}\to \mathbf{R}$ 的定义是 + \[f(x,y,z) = 2x^2-8xy+y^2-16xz+14yz+5z^2.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 给出 $3\times 3$ 实对称矩阵 $A$，使 $f(x,y,z) = (x,y,z)A(x,y,z)^{\mathbf{T}}$. + + \item 给出一个与 $A$ 相合的对角矩阵. + + \item 给出 $A$ 的秩，正惯性指数和负惯性指数. + \end{enumerate} + +\item [九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 若线性映射 $T_1,T_2:V \to W$ 对 $V$ 的一组基中的每一个基向量 $v$ 满足 $T_1(v)=T_2(v)$，则 $T_1=T_2$. + + \item 若对于任何正整数 $n$，方阵 $A$（阶数大于 1）的 $n$次乘积 $A^n$ 都是非零方阵，则 $A$ 可逆. + + \item 若线性映射 $T:V\to W$ 的核是 $K$，则 $\mathrm{dim}V=\mathrm{dim}W+\mathrm{dim}K$. + + \item 若方阵 $A$ 相似于方阵 $B$，则 $A$ 与 $B$ 有相同的特征向量. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2011-2012-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2011-2012-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..60f906a --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2011-2012-1final.tex" @@ -0,0 +1,74 @@ +\phantomsection +\section*{2011-2012学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2011-2012学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item [一、]（10分）求 $a,b,c,d,e,f\in \mathbf{R}$，使 $(1,1,1)^\mathbf{T},(1,0,-1)^\mathbf{T},(1,-1,0)^\mathbf{T}\in \mathbf{R^3}$ 是矩阵 $\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ a & b & c \\ d & e & f\end{pmatrix}$ 的特征向量. + + \item [二、]（10分）记线性映射 $\sigma$ 的核为 $\mathrm{ker}\ \sigma$，像为 $\im\ \sigma$. 设 $\sigma_1,\sigma_2:V\to V$ 是线性映射. 证明： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $\mathrm{ker}\ \sigma_1 \subseteq \mathrm{ker}\ (\sigma_2 \circ \sigma_1)$. + + \item $\im\ (\sigma_2 \circ \sigma_1) \subseteq \im\ \sigma_2$. + \end{enumerate} + +\item [三、]（10分）设 $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，线性映射 $\sigma:V\to V$ 定义如下： + \[\sigma(v_1)=v_2+v_3,\sigma(v_2)=v_3,\sigma(v_3)=v_1-v_2.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 给出 $\sigma$ 关于基 $B$ 的矩阵表示. + + \item 证明 $B'=\{v_2,v_3+v_1,v_1-v_2\}$ 是 $V$ 的另一组基. + + \item 给出 $\sigma$ 关于基 $B'$ 的矩阵表示. + \end{enumerate} + +\item [四、]（10分）设 $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组单位正交基. 证明：对于任何 $u\in V$，成立 + \[\lvert u \rvert^2 = (u,v_1)^2+(u,v_2)^2+\cdots+(u,v_n)^2.\] + +\item [五、]（10分）记 $P_2(\mathbf{R})$ 为次数小于等于 2 的实多项式线性空间. +\begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：$(f,g)=\int_{-1}^1f(x)g(x)\mathrm{d}x$ 是 $P_2(\mathbf{R})$ 的内积. + + \item 将 $\mathrm{Schmidt}$ 正交化过程应用于 $S=\{1,x,x^2\}$，求出 $P_2(\mathbf{R})$ 的一组单位正交基 $B$. +\end{enumerate} + +\item [六、]（10分）设 $\sigma:V\to V$ 是有限维线性空间 $V$ 上的一个同构映射. 记 $V(\sigma;\lambda)$ 为 $\sigma$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 如果 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，证明：$\lambda \neq 0$. + + \item 证明 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，证明：$V(\sigma;\lambda)=V(\sigma^{-1};\lambda^{-1})$. + + \item 证明 ``$\sigma$ 可对角化'' 的充要条件是 ``$\sigma^{-1}$ 可对角化''. + \end{enumerate} + +\item [七、]（10分）求下面实对称矩阵的秩，正惯性指数和负惯性指数. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ -2 & 6 & 9 \\ 3 & -9 & 4\end{pmatrix};$ + + \item $\begin{pmatrix}1 & 1 & -2 & -3\\ 1 & 2 & -5 & -1 \\ -2 & -5 & 10 & 9 \\ -3 & -1 & 9 & -14\end{pmatrix}$. + \end{enumerate} + +\item [八、]（10分）设 $A,B$ 都是域 $\mathbf{F}$ 上的 $n$ 阶对角矩阵，且 $A$ 的对角元是 $B$ 的对角元的一个置换. 证明： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $A$ 相似于 $B$. + + \item $A$ 相合于 $B$. + \end{enumerate} + +\item [九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 若 $S$ 是线性空间 $V$ 的线性相关子集，则 $S$ 的每个向量都是 $S$ 的其他向量的线性组合. + + \item 域 $F$ 上的全体 $n$ 阶可逆阵构成 $M_{n\times n}(F)$ 的一个子空间. + + \item 若存在正整数 $n$，使得方阵 $A$ 的 $n$ 次幂 $A^n=0$，则 $A$ 的行列式 $\lvert A \rvert = 0$. + + \item 对任意的 $n$ 阶实对称阵 $A$，总存在 $\epsilon$，使得 $E_n+\epsilon A$ 是正定矩阵. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2012-2013-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2012-2013-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..960289a --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2012-2013-1final.tex" @@ -0,0 +1,57 @@ +\phantomsection +\section*{2012-2013学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2012-2013学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item [一、]（10分）求实线性方程组 $\begin{cases}x_1-x_2+2x_3 = 1 \\ x_1-2x_2-x_3=2 \\ 3x_1-x_2+5x_3=3 \\ 2x_1-2x_2-3x_3 = 4\end{cases}$ 的解集. + + \item [二、]（10分）设 $A$ 是域 $\mathbf{F}$ 上的 $m\times n$ 矩阵，$A$ 的秩 $r(A)=1$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明存在（列向量）$X\in \mathbf{F^m}$ 和 $Y\in \mathbf{F^n}$ 使得 $A=XY^\mathbf{T}$,其中 $Y^\mathbf{T}$ 是 $Y$ 的转置. + + \item $X$ 和 $Y$ 是否唯一? + \end{enumerate} + +\item [三、]（10分）定义线性映射 $T:\mathbf{R^n} \to \mathbf{R^n}$ 如下：对任意的 $(x_1,x_2,\ldots,x_n) \in \mathbf{R^n}$ + \[T(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(x_1+x_2,x_2+x_3,\ldots,x_n+x_1).\] + 试给出 $T$ 的核 $\ker \ (T)$ 和 $T$ 的像 $\im \ (T)$ 的维数. + +\item [四、]（10分）设 $V$ 是域 $\mathbf{F}$ 上有限维线性空间，$T:V\to V$ 是线性映射. 证明 $V$ 的非零向量都是 $T$ 的特征向量当且仅当存在 $\alpha \in \mathbf{F}$，使 $T(v)=\alpha v$ 对于任何 $v \in V$ 成立. + +\item [五、]（10分）设 $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ 是可逆矩阵，其中 $b\neq 0$；$\lambda$ 是 $A$ 的特征值. +\begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $\lambda \neq 0$. + + \item 证明 $(b,\lambda-a)^\mathbf{T}$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量. + + \item 若 $A$ 有两个不同的特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$，求可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵. +\end{enumerate} + +\item [六、]（10分）实对称矩阵 $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$. 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q^\mathbf{T}AQ$ 是对角矩阵. + + \item [七、]（10分）设 $V$ 是欧式空间，$T:V\to V$ 是线性映射，$\lambda \in \mathbf{R}$， $u$ 是 $V$ 的非零向量. 证明：$\lambda$ 是 $T$ 的特征值且 $u$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量当且仅当对于任何 $v\in V$ 成立 $(T(u),v) = \lambda(u,v)$. + + \item [八、]（10分）设 $n$ 阶实对称阵 $A$ 满足方程 $A^2-6A+5I_n=0$，其中 $I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $A$ 是正定的. + + \item 若 $n=2$，试给出全部有可能与 $A$ 相似（注意，不是相合！）的对角矩阵. + \end{enumerate} + +\item [九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 若有限维线性空间 $V$ 的线性映射 $T:V \to V$ 是可对角化的，则 $T$ 是同构. + + \item 若 $A,B$ 是对称矩阵，则 $AB$ 也是对称矩阵. + + \item 若 $n$ 阶方阵 $A,B$ 中的 $A$ 是可逆的，则 $AB$ 与 $BA$ 是相似的. + + \item 若 $n(n>1)$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式是 $f(\lambda)=\lambda^n$，则 $A$ 是零矩阵. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2013-2014-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2013-2014-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..baafb1d --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2013-2014-1final.tex" @@ -0,0 +1,86 @@ +\phantomsection +\section*{2013-2014学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2013-2014学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item [一、]（10分）映射 $T:\mathbf{R^3} \to \mathbf{R^2}$ 由 $T(x_1,x_2,x_3)=(2x_1+3x_2-x_3,x_1+x_3)$ 定义. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $T$ 是线性映射. + + \item 给出 $T$ 关于 $\mathbf{R^3}$ 和 $\mathbf{R^2}$ 的标准基的矩阵表示. + + \item 给出 $T$ 的核 $\ker(T)$ 的一组基. + \end{enumerate} + +\item [二、]（10分）记 $V=\{f:\mathbf{R}\to \mathbf{R}|f$ 可导 $\}$，即 $V$ 是由实数导自身的全体可导函数所构成的集合. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 试给出 $V$ 上加法和数乘运算，使 $V$ 成为实线性空间，并写出 $V$ 中的零向量. + + \item 记 $S=\{f_1,f_2,f_3\}$，其中 + \[f_1(x)=x;f_2(x)=\sin x;f_3(x)=e^x,\forall x \in \mathbf{R}.\] + 证明 $S$ 是 $V$ 的线性无关子集. + \end{enumerate} + +\item [三、]（10分）设 $(\ ,\ )$ 是实线性空间 $V$ 的内积，$B=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组单位正交基. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：对任意的 $x,y \in V$，有 $(x,y) = \sum\limits_{i=1}^n(x,v_i)(y,v_i)$. + + \item 设 $x=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^iv_i$ 和 $y=\sum\limits_{i=1}^nv_i$ 的夹角是 $\theta$，求 $\cos \theta$，并指出 $x$ 和 $y$ 是否正交. + \end{enumerate} + +\item [四、]（10分）设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2$ 都是 4 维实线性空间 $\mathbf{R^4}$ 的列向量，已知 4 阶行列式$\lvert (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1) \rvert=d_1,\lvert (\beta_2,\alpha_3,\alpha_2,\alpha_1) \rvert = d_2$. 求下面 4 阶方阵的行列式. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $A=(3\alpha_1-100\alpha_2,7\alpha_2,\alpha_3,\beta_1)$. + + \item $B=(5\beta_1+6\beta_2,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. + \end{enumerate} + +\item [五、]（10分）设域 $\mathbf{F}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零向量都是线性映射 $T:V\to V$ 的特征向量. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明 $T$ 是数乘映射，即存在 $\lambda \in \mathbf{F}$，使得对于任何 $v \in V$，有 $T(v)=\lambda v$. + + \item 给出 $T$ 的秩和零度 ($T$ 的零度 $=\mathrm{dim}(\ker(T))$). + \end{enumerate} + +\item [六、]（10分）令 $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & x & y\end{pmatrix}$，其特征多项式 $f(\lambda) = \lambda^3+\lambda+2$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求 $x$ 和 $y$ 的值. + + \item 若将 $A$ 看作实矩阵，$A$ 是否可对角化？为什么？ + + \item 若将 $A$ 看作复矩阵，$A$ 是否可对角化？为什么？ + \end{enumerate} + +\item [七、]（10分）设 $A$ 和 $B$ 分别是 $m\times n$ 和 $n\times m$ 矩阵. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 设 $\lambda \neq 0$. 证明 $\lambda$ 是 $m\times m$ 矩阵 $AB$ 的特征值当且仅当 $\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $BA$ 的特征值. + + \item 证明 $I_m-AB$ 是可逆矩阵当且仅当 $I_n-BA$ 是可逆矩阵($I_m$ 是 $m$ 阶单位矩阵，$I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵). + \end{enumerate} + +\item [八、]（10分）设实二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = 2x_1^2+x_2^2-4x_1x_2-4x_2x_3$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求实对称矩阵 $A$，使 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3)A(x_1,x_2,x_3)^{\mathbf{T}}$. + + \item 求可逆矩阵 $P$，使 $P^\mathbf{T}AP$ 是 $A$ 的相合规范形. + + \item 给出 $f$ 的正惯性指数和负惯性指数，并指出 $f$ 是否正定或负定. + \end{enumerate} + +\item [九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 域 $\mathbf{F}$ 上所有 $n$ 阶不可逆方阵所构成的集合是 $n$ 阶矩阵空间 $M_n(\mathbf{F})$ 的子空间. + + \item 对称矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 也是对称矩阵. + + \item 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$I_m$ 是 $m$ 阶单位阵，$B=(A|I_m)$ 是 $A$ 的增广矩阵，则 $B$ 的秩 $r(B)=m$. + + \item 若 $\mathrm{dim}(V) = n,\mathrm{dim}(W) = m$，且 $n < m$，则任何线性映射 $T:V\to W$ 都不可能是满射. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2014-2015-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2014-2015-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..19b1a4d --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2014-2015-1final.tex" @@ -0,0 +1,42 @@ +\phantomsection +\section*{2014-2015学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2014-2015学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）求过点$(2,0,-1)$且垂直于平面$x+2y-z=1$的直线标准方程和参数方程，以及该直线方向矢量的方向余弦. + \item[二、]（10分）求参数 $a,\ b$ 的值，使得 $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=1,\ \begin{vmatrix}1 & 2 & -5 \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=2,\ \begin{vmatrix}2 & 3 & b \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=a$ 都成立，并求$\begin{vmatrix}x & y & z \\ 1 & -1 & 5 \\u & v & w\end{vmatrix}$. + \item[三、]（10分）计算矩阵 $B=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & -3 & 3\end{pmatrix}^n$，其中 $n$ 是自然数. + \item[四、]（10分）设 $W$ 是线性方程组 $\begin{cases} + x_1-x_2+4x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2-2x_3+3x_4=0 + \end{cases}$ 的解空间，求 $W$ 的一组单位正交基，并将其扩充成 $\mathbf{R}^4$ 的单位正交基，这里 $\mathbf{R}$ 是实数域. + \item[五、]（10分）设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是线性空间$V$的一组基，$T\in\mathcal{L}(V)$，且$T(\alpha_1)=\alpha_1+\alpha_2$，$T(\alpha_2)=\alpha_1-\alpha_2$，$T(\alpha_3)=\alpha_1+2\alpha_2$. 求$T$的像空间和核空间，以及$T$的秩. + \item[六、]（10分）设 $T$ 是次数小于等于 2 的实多项式线性空间 $V$ 上的变换，对任意 $f(x) \in V$，定义 + \[T(f(x))=\frac{\textup{d}((x-2)f(x))}{\textup{d}x}.\] + 证明 $T$ 是 $V$ 上的线性变换，并求 $T$ 的特征值以及对应的特征子空间. + \item[七、]（10分）设在$\mathbf{F}[x]_3$中有两组基： + \[(A)\alpha_1=1-x,\alpha_2=-x+x^2,\alpha_3=3x-2x^2;\] + \[(B)\beta_1=4x+5x^2,\beta_2=-1,\beta_3=3x+4x^2.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求基$(A)$到基$(B)$的过渡矩阵； + + \item 设$\alpha$在基$(A)$下的坐标为$(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，求$\alpha$在基$(B)$下的坐标. + \end{enumerate} + +\item[八、]（10分）已知实对称矩阵 $A$ 有两个特征值 1 和 $-1$，对应的特征向量分别是 $(1,\ -1,\ 0)^\mathrm{T}$ 和 $(1,\ 1,\ -2)^\mathrm{T}$，假如该矩阵与对角矩阵 $\textup{diag}(1,\ 2,\ -1)$ 相似，求 $A^n$，其中 $n$ 为自然数. + \item[九、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 设 $A$ 和 $B$ 都是正定矩阵，那么矩阵 $AB$ 也是正定矩阵； + + \item 设 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，那么矩阵 $\begin{pmatrix}0 & B \\ A & C\end{pmatrix}$ 也是可逆矩阵； + + \item 若 $M$ 表示区间 $[0,\ 1]$ 上所有可积实值函数全体关于通常函数加法和数乘所构成的实线性空间，在 $M$ 上定义 $(f(x),\ g(x))=\int_0^1f(x)g(x)\textup{d}x$，那么 $M$ 关于该运算成为欧氏空间； + + \item 对任何 $m \times n$ 实矩阵 $A$ 和实列向量 $b$，方程组 $A^\mathrm{T}AX=A^\mathrm{T}b$ 总有解. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2018-2019-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2018-2019-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..f62a88d --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2018-2019-1final.tex" @@ -0,0 +1,66 @@ +\phantomsection +\section*{2018-2019学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2018-2019学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）设 $\mathbf{R}[x]_4$ 是数域 $\mathbf{R}$ 上次数小于 4 的多项式所构成的线性空间 ( 约定零多项式次数为 $-\infty$ ). $\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 是 $\mathbf{R}$ 上 2 阶方阵所构成的线性空间，定义 $T : \mathbf{R}[x]_4 \to \mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 如下，对 $f(x) \in \mathbf{R}[x]_4$， + \[T(f(x))=\begin{pmatrix}f(0) & f(1) \\ f(-1) & f(0)\end{pmatrix}.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求出 $T$ 的核空间 $N(T)$ 和像空间 $R(T)$； + + \item 验证关于 $T$ 的维数公式. + \end{enumerate} + \item[二、]（10分）已知矩阵 $A$ 与 $B=\begin{pmatrix}2 & 8 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$ 相似，求： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 行列式 $|A^2-9A+4E_4|$ 的值； + + \item $r(A^*)+r(9E_4-A)$，其中 $A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵. + \end{enumerate} + \item[三、]（10分）设 $\mathbf{R}^4$ 是 4 维欧氏空间（标准内积），$\alpha=(1,\ 1,\ 1,\ 1),\ \beta=(-1,\ -1,\ 0,\ 2),\ \gamma=(1,\ -1,\ 0,\ 0) \in \mathbf{R}^4$，求： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 与 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ 都正交的一个单位向量 $\delta$； + + \item $||\alpha+\beta+\gamma+\delta||$. + \end{enumerate} + \item[四、]（10分）设实二次型 $f(x_1,\ x_2,\ x_3)=ax_1^2+2x_2^2-2x_3^2+2bx_1x_3(b > 0)$，二次型对应的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1，特征值之积为 $-12$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求参数 $a,\ b$； + + \item 用正交变换将二次型 $f$ 化为标准形，并写出所用的正交变换及标准形； + + \item 判断此二次型是否是正定二次型. + \end{enumerate} + \item[五、]（10分）设 $A$ 是数域 $\mathbf{F}$ 上一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，$\beta$ 是一个 $n$ 维非零列向量，$X_0$ 是线性方程组 $AX=\beta$ 的一个解，$X_1,\ \dots,\ X_s$ 是它的导出组 $AX=0$ 的一组线性无关解. + \begin{enumerate} + \item 证明：向量组 $\{X_0, X_1,\ \dots,\ X_s\}$ 线性无关； + + \item 求出包含 $AX=\beta$ 解集的最小线性空间 $W$（需写出基和维数）. + \end{enumerate} + \item[六、]（10分）线性变换 $T : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}^3$ 的定义是： + \[T(x_1,\ x_2,\ x_3)=(4x_1+x_3,\ 2x_1+3x_2+2x_3,\ x_1+4x_3).\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求出 $T$ 的特征多项式及特征值； + + \item 判断 $T$ 是否可对角化，并给出理由. + \end{enumerate} + \item[七、]（10分）设 $A \in M_{m \times n}(\mathbf{F})$，$r(A)=r$，$k$ 是满足条件 $r \leq k \leq n$ 的任意整数，证明存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=0$，且 $r(A)+r(B)=k$. + + \item[八、]（10分）设 $A$ 是数域 $\mathbf{F}$ 上一个 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\alpha_1 \in \mathbf{F}^n$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量，向量组 $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \dots,\ \alpha_s$ 按如下方式产生：$(A-\lambda E)\alpha_{i+1}=\alpha_i(i=1,\ 2,\ \dots,\ s-1)$. 证明向量组 $\{\alpha_1,\ \alpha_2,\ \dots,\ \alpha_s\}$ 线性无关. + + \item[九、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2-5A+5E_n=0$，则对所有的有理数 $r$，$A+rE_n$ 都是可逆阵； + + \item 在 5 维欧氏空间 $V$ 中，存在两组线性无关向量 $S_1=\{v_1,\ v_2,\ v_3\}$ 和 $S_2=\{w_1,\ w_2,\ w_3\}$，使其满足内积 $(v_i,\ w_j)=0\ (1 \leq i,\ j \leq 3)$； + + \item 不存在 2 阶方阵 $A$ 使得 $r(A)+r(A^*)=3$，其中$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵； + + \item 设 $n$ 阶方阵 $A$ 的每一行元素之和是 10，则 $2A^3+A+9E_n$ 的每一行元素之和是 2019. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2019-2020-1final.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2019-2020-1final.tex" new file mode 100644 index 0000000..d070d24 --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2019-2020-1final.tex" @@ -0,0 +1,53 @@ +\phantomsection +\section*{2019-2020学年线性代数I（H）期末} +\addcontentsline{toc}{section}{2019-2020学年线性代数I（H）期末} + +\begin{center} + 任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）设 $D=|a_{ij}|=\begin{vmatrix}3 & 6 & 9 & 12 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\1 & 2 & 0 & 3 \\ 5 & 6 & 4 & 3\end{vmatrix}$，求$A_{41}+2A_{42}+3A_{44}$，这里 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式. + \item[二、]（10分）设 $A \in M_{m \times s}(\mathbf{R})$，且 $r(A)=r$，证明：存在矩阵 $B \in M_{s \times n}(\mathbf{R})$，且 $r(B)=\min\{s-r,\ n\}$，使得 $AB=0$. + \item[三、]（10分）设 $\alpha$ 为 $\mathbf{R}^3$ 中的非零向量，$\sigma(x)=(x,\ \alpha)\alpha$，这里 $(\cdot\ ,\ \cdot)$ 是 $\mathbf{R}^3$ 的标准内积. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：$\sigma$ 为 $\mathbf{R}^3$ 上的线性变换，并求其像空间； + + \item 设 $\alpha=(1,\ 0,\ -2)$，分别求 $\sigma$ 在基 $\mathbf{B}_1=\{(1,\ 0,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1)\}$ 和 $\mathbf{B}_2=\{(1,\ 1,\ 1),\ (1,\ 1,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0)\}$ 下的矩阵. + \end{enumerate} + \item[四、]（10分） + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵且 $E-A$ 可逆，证明：$A$ 与 $(E-A)^{-1}$ 相乘可交换； + + \item 设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵且 $E+A$ 可逆，证明：$(E-A)(E+A)^{-1}$ 为正交矩阵，且 $-1$ 不为其特征值. + \end{enumerate} + \item[五、]（10分）已知 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_s$ 是齐次线性方程组 $AX=\vec{0}$ 的一组基础解系，向量组 + \[\beta_1=t_1\alpha_1+t_2\alpha_2,\ \beta_2=t_1\alpha_2+t_2\alpha_3,\ \ldots,\ \beta_{s-1}=t_1\alpha_{s-1}+t_2\alpha_s\] + 试问当实数 $t_1,t_2$ 满足何条件时，$AX=\vec{0}$ 有基础解系包含向量 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{s-1}$，并写出该基础解系中的其余向量. + \item[六、]（15分）已知二次型 $X^{\mathrm{T}}AX=ax_1^2+ax_2^2+ax_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3$ 的秩为 2. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求实数 $a$ 的值； + + \item 用正交变换 $X=QY$ 将 $X^{\mathrm{T}}AX$ 化为标准形，给出 $Q$，并求二次型的正、负惯性指数. + \end{enumerate} + \item[七、]（15分）记 $X=\Bigg\{\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \in M_{3 \times 3}(\mathrm{R}) \Bigg| \sum\limits_{j=1}^3a_{1j}=\sum\limits_{j=1}^3a_{2j}=\sum\limits_{j=1}^3a_{3j}=\sum\limits_{j=1}^3a_{jj}\Bigg\}$，证明： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $X$ 是 $M_{3 \times 3}(\mathbf{R})$ 的一个子空间，并求该子空间的维数； + + \item 对任意可逆矩阵 $A \in X$，$(1,\ 1,\ 1)^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 和 $A^{-1}$ 的特征向量； + + \item 对任意可逆矩阵 $A \in X$，$A^{-1} \in X$. + \end{enumerate} + \item[八、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 设 $A_1,\ A_2,\ \dots,\ A_{n+1}$ 是任意 $n+1$ 个 $n$ 阶矩阵，必存在不全为 0 的实数 $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \dots,\ \lambda_{n+1}$，使得矩阵 $\lambda_1A_1+\lambda_2A_2+\dots+\lambda_{n+1}A_{n+1}$ 不可逆； + + \item 复数集 $\mathbf{C}$ 关于复数的加法与复数的乘法构成的复数域上的线性空间与 $\mathbf{C}^2$ 同构； + + \item 设 $x \in \mathbf{R}^n$，对任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，$E+\lambda xx^{\mathrm{T}}$ 为正定矩阵； + + \item 若 $A,\ B$ 为 $n$ 阶上三角矩阵，且对角线上元素都相同，则 $A$ 与 $ B$ 相似. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy1.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy1.tex" new file mode 100644 index 0000000..ad945be --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy1.tex" @@ -0,0 +1,48 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数I（H）小测1} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数I（H）小测1（谈之奕老师）} + +\begin{center} + 任课老师：谈之奕\hspace{4em} 考试时长：90分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）求全部实数$a$，使线性方程组$\begin{cases} + 3x_1+2x_2+x_3=2 \\ x_1-x_2-2x_3=-3 \\ ax_1-2x_2+2x_3=6 + \end{cases}$的解集非空. + \item[二、]（10分）设 $\mathbf{R}^4$ 是 4 维欧氏空间（标准内积），$\alpha=(1,1,1,1),\ \beta=(-1,-1,0,2),\ \gamma=(1,-1,0,0) \in \mathbf{R}^4$，求： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 与 $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ 都正交的一个单位向量 $\delta$； + + \item $||\alpha+\beta+\gamma+\delta||$. + \end{enumerate} + \item[三、]（15分）记线性映射$\sigma$的核为$\ker\sigma$，像为$\im\sigma$. 设$\sigma_1,\sigma_2:V\to V$是线性映射，证明： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $\ker\sigma_1\subseteq\ker(\sigma_2\circ\sigma_1)$； + + \item $\im(\sigma_2\circ\sigma_1)\subseteq\im\sigma_2$. + \end{enumerate} + \item[四、]（15分）设$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是线性空间$V$的一组基，$T\in\mathcal{L}(V)$，且$T(\alpha_1)=\alpha_1+\alpha_2$，$T(\alpha_2)=\alpha_1-\alpha_2$，$T(\alpha_3)=\alpha_1+2\alpha_2$. 求$T$的像空间和核空间，以及$T$的秩. + \item[五、]（15分）设 $W$ 是线性方程组 $\begin{cases} + x_1-x_2+4x_3-x_4=0 \\ x_1+x_2-2x_3+3x_4=0 + \end{cases}$ 的解空间，求 $W$ 的一组单位正交基，并将其扩充成 $\mathbf{R}^4$ 的单位正交基，这里 $\mathbf{R}$ 是实数域. + \item[六、]（15分）设 $\mathbf{R}[x]_4$ 是数域 $\mathbf{R}$ 上次数小于 4 的多项式所构成的线性空间（约定零多项式次数为 $-\infty$）. $\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 是 $\mathbf{R}$ 上 2 阶方阵所构成的线性空间，定义 $T : \mathbf{R}[x]_4 \to \mathbf{M}_2(\mathbf{R})$ 如下，对 $f(x) \in \mathbf{R}[x]_4$， + \[T(f(x))=\begin{pmatrix}f(0) & f(1) \\ f(-1) & f(0)\end{pmatrix}\] + \begin{enumerate} + \item 求出 $T$ 的核空间 $N(T)$ 和像空间 $R(T)$； + + \item 验证关于 $T$ 的维数公式. + \end{enumerate} + \item[七、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 若$S$是线性空间$V$的线性相关子集，则$S$的每个向量都是$S$的其他向量的线性组合； + + \item 若线性映射$T:V\to W$的核是$K$，则$\dim V=\dim W+\dim K$； + + \item 线性空间$V$的任何子空间$W$都是某个映射$T:V\to V$的核； + + \item 在5维欧式空间$V$中，存在两组线性无关向量$S_1=\{v_1,v_2,v_3\}$和$S_2=\{w_1,w_2,w_3\}$，使其满足内积$\langle v_i,w_j\rangle=0$，其中$i,j=1,2,3$. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy2.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy2.tex" new file mode 100644 index 0000000..5f413bb --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1extzy2.tex" @@ -0,0 +1,59 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数I（H）小测2} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数I（H）小测2（谈之奕老师）} + +\begin{center} + 任课老师：谈之奕\hspace{4em} 考试时长：90分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）称实矩阵$A=(a_{ij})$是整数矩阵，如果每个$a_{ij}$都是整数. 设$M$是整数矩阵，且可逆（作为实矩阵）. 证明：$M$的逆矩阵也是整数矩阵的充要条件是$M$的行列式等于$\pm 1$. + \item[二、]（15分）设$B=\{v_1,v_2,v_3\}$是线性空间$V$的一组基，线性映射$\sigma:V\to V$定义如下： + \[\sigma(v_1)=v_2+v_3,\sigma(v_2)=v_3,\sigma(v_3)=v_1-v_2.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求$\sigma$在基$B$下的矩阵； + + \item 证明：$B'=\{v_2,v_3+v_1,v_1-v_2\}$是$V$的另一组基； + + \item 求$\sigma$在基$B'$下的矩阵. + \end{enumerate} + \item[三、]（15分）设 + \[P=\begin{pmatrix} + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix},\enspace Q=\begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ 1 & 0 + \end{pmatrix},\] + 定义$\mathbf{R}^{3\times 2}$上映射$\sigma$： + \[\sigma(A)=PAQ.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 验证$\sigma$是线性映射； + + \item 求$\im\sigma$和$\ker\sigma$； + + \item 验证关于$\sigma$的维数公式. + \end{enumerate} + \item[四、]（15分）求参数 $a,\ b$ 的值，使得 $\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=1,\ \begin{vmatrix}1 & 2 & -5 \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=2,\ \begin{vmatrix}2 & 3 & b \\ x & y & z \\u & v & w\end{vmatrix}=a$ 都成立，并求$\begin{vmatrix}x & y & z \\ 1 & -1 & 5 \\u & v & w\end{vmatrix}$. + \item[五、]（15分）设在$\mathbf{F}[x]_3$中有两组基： + \[(A)\alpha_1=1-x,\alpha_2=-x+x^2,\alpha_3=3x-2x^2;\] + \[(B)\beta_1=4x+5x^2,\beta_2=-1,\beta_3=3x+4x^2.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求基$(A)$到基$(B)$的过渡矩阵； + + \item 设$\alpha$在基$(A)$下的坐标为$(1,1,-1)^{\mathrm{T}}$，求$\alpha$在基$(B)$下的坐标. + \end{enumerate} + \item[六、]（10分）设 $A \in M_{m \times n}(\mathbf{F})$，$r(A)=r$，$k$ 是满足条件 $r \leq k \leq n$ 的任意整数，证明存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=0$，且 $r(A)+r(B)=k$. + \item[七、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 域$\mathbf{F}$上的全体$n$阶可逆矩阵构成$M_n(\mathbf{F})$的一个子空间； + + \item 设$A$和$B$都是可逆矩阵，则矩阵$\begin{pmatrix} + O & B \\ A & C + \end{pmatrix}$也是可逆矩阵； + + \item 可逆矩阵$A$的伴随矩阵$A^*$的行列式等于1； + + \item 若对于任何正整数$n$，方阵$A$（阶数大于1）的$n$次乘积$A^n$都是非零方阵，则$A$可逆. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1midwzx.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1midwzx.tex" new file mode 100644 index 0000000..e868580 --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-1midwzx.tex" @@ -0,0 +1,75 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数I（H）期中} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数I（H）期中（吴志祥老师）} + +\begin{center} + 任课老师：吴志祥\hspace{4em} 考试时长：120分钟 +\end{center} +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）设方程组： + \[\begin{cases} + x_1-x_2+x_3-x_4=0 \\ 2x_1+4x_2-5x_3+7x_4=0\\ax_1+3x_2-4x_3+6x_4=0 + \end{cases}\] + 的解空间为 $V_1$，方程组： + \[\begin{cases} + 4x_1+2x_2-3x_3+bx_4=0 \\ 5x_1+7x_2-9x_3+13x_4=0\\3x_1-3x_2+3x_3-2x_4=0 + \end{cases}\] + + 的解空间为 $V_2$ ，问 $a,b$ 为何值时，$\mathbf{R}^4=V_1 \oplus V_2$. + \item[二、]（10分）设 $V=\{(a_{ij})_{n \times n}\ |\ \forall i,\ j,\ a_{ij}=a_{ji}\}$ + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：$V$ 为 $F^{n \times n}$ 的子空间； + + \item 求 $V$ 的基和维数. + \end{enumerate} + \item[三、]（10分）设 $f_1=-1+x,\ f_2=1-x^2,\ f_3=1-x^3,\ g_1=x-x^2,\ g_2=x+x^3,\ V_1=L\left(f_1,\ f_2,\ f_3\right),\ V_2=L\left(g_1,\ g_2\right)$，求： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $V_1+V_2$ 的基和维数； + + \item $V_1 \cap V_2$ 的基和维数； + + \item $V_2$ 在 $\mathbf{R}[x]_4$ 空间的补. + \end{enumerate} + \item[四、]（10分）设 $\epsilon_1,\ \epsilon_2$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个单位正交向量，定义 + \[\sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha,\epsilon_1)\epsilon_1-2(\alpha,\epsilon_2)\epsilon_2\] + 证明： + \begin{enumerate} + \item $\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换； + + \item $\forall \alpha,\ \beta \in V,\ \left(\sigma (\alpha),\sigma (\beta) \right)=\left(\alpha,\beta\right)$. + \end{enumerate} + \item[五、]（10分）已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 1 ，证明：$A^k=\textup{tr}(A)^{k-1}A$.（注：$\textup{tr}$ 为矩阵的迹，即矩阵的对角线元素之和） + \item[六、] （10分）已知矩阵 $A=\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ h & x & y\end{pmatrix}$ 的逆是 $A^{-1}=\begin{pmatrix}-1 & -2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -1\end{pmatrix}$，且已知矩阵$B=\begin{pmatrix}a-2b & b-3c & -c \\ d-2e & e-3f & -f \\ h-2x & x-3y & -y\end{pmatrix}$. 求矩阵 $X$ 满足： + \[X+(B(A^\mathrm{T}B^2)^{-1}A^\mathrm{T})^{-1}=X(A^2(B^\mathrm{T}A)^{-1}B^\mathrm{T})^{-1}(A+B).\] + \item[七、]（10分）设 $V(\mathbf{F})$ 是一个 $n$ 维线性空间，$\sigma \in L(V,V)$，证明： + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 在 $\mathbf{F}[x]$ 中有一个次数不高于 $n^2$ 的多项式 $p(x)$ 使 $p(\sigma)=0$； + + \item $\sigma$ 可逆$\iff$有一常数项不为 0 的多项式 $p(x)$ 使 $p(\sigma)=0$. + \end{enumerate} + +\item[八、]（10分）已知三维线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 关于基 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 所对应的矩阵为 + \[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix}\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求 $\sigma$ 在基 $\{\beta_1,\ \beta_2,\ \beta_3\}$ 下对应的矩阵 $B$，其中： + \[\beta_1=2\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3,\ \beta_2=\alpha_1+\alpha_2+2\alpha_3,\ \beta_3=-\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\] + + \item 求 $\sigma$ 的值域 $\sigma(V)$ 和核 $\textup{ker}\sigma$； + + \item 把 $\sigma(V)$ 的基扩充为 $V$ 的基，并求 $\sigma$ 在这组基下对应的矩阵； + + \item 把 $\textup{ker}\sigma$ 的基扩充为 $V$ 的基，并求 $\sigma$ 在这组基下对应的矩阵. + \end{enumerate} + \item[九、]（20分）判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 若 $\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3$ 线性相关，则 $\alpha_1+\alpha_2,\ \alpha_2+\alpha_3,\ \alpha_3+\alpha_1$ 也线性相关； + + \item 一个有限维线性空间只包含有限个子空间； + + \item 已知 $\sigma \in L(V,\ V)$，$\textup{dim}V=n$，则由 $r(\sigma)+\textup{dim(ker}\sigma)=n$ 可得$\textup{Im}\sigma+\textup{ker}\sigma=V$； + + \item 若对于任何正整数 $n$，方阵 $A$ ( 阶数大于 1 ) 的 $n$ 次乘积 $A^n$ 都是非零方阵，则 $A$ 是可逆的. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2exlks.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2exlks.tex" new file mode 100644 index 0000000..268157d --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2exlks.tex" @@ -0,0 +1,26 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数II（H）小测} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数II（H）小测（刘康生老师）} + +\begin{center} + 任课老师：刘康生\hspace{4em} 考试时长：45分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]叙述复内积空间上正规变换的等价刻画（越多越好）. + \item[二、]叙述实内积空间上正规变换的等价刻画（越多越好）. + \item[三、]设$T,S\in\mathcal{L}(V)$，$V$是内积空间，且满足$||Tv||=||Sv||,\enspace \forall v\in V$. 问是否存在等距同构$U\in\mathcal{L}(V)$，使得$T=US$？若存在，证明之；若不存在，举反例. + \item[四、]设$A=\begin{pmatrix} + 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 + \end{pmatrix}$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 验证$A$是正规的； + + \item 求实正交矩阵$P$使得 + \[P^{\mathrm{T}}AP=\begin{pmatrix} + \sqrt{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\sqrt{2} \\ 0 & 0 & \sqrt{2} & 0 + \end{pmatrix}.\] + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midlks.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midlks.tex" new file mode 100644 index 0000000..6a864c5 --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midlks.tex" @@ -0,0 +1,30 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数II（H）期中} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数II（H）期中（刘康生老师）} + +\begin{center} + 任课老师：刘康生\hspace{4em} 考试时长：60分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]设$V=\mathbf{R}^{2\times 2}$，$W=\mathbf{R}^{3\times 2}$，$T\in\mathcal{L}(V,W)$由下面的矩阵乘法定义： + \[T(A)=\begin{pmatrix} + 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 + \end{pmatrix}A,\enspace \forall A\in V.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求$T$的像空间与核空间； + + \item 求$V$和$W$的一组基，使得$T$在这两组基下的矩阵为$\begin{pmatrix} + E_r & O \\ O & O + \end{pmatrix}\in\mathbf{R}^{6\times 4}$，其中$E_r$为$r$阶单位矩阵，$r=\dim\im T$. + \end{enumerate} + \item[二、]设$V=\mathbf{R}^3$，$U=\{(x_1,x_2,x_3)\in V\mid x_1+x_2+x_3=0\}$，$\alpha_1=(1,1,1)$，求$f\in V'$使得 + \[f(\alpha_1)=1,f(\alpha)=0,\forall\alpha\in U.\] + \item[三、]设$A\in\mathbf{R}^{n\times n}$满足$A^2=A$，证明：存在可逆矩阵$P$使得 + \[P^{-1}AP=\begin{pmatrix} + E_r & O \\ O & O + \end{pmatrix}\in\mathbf{R}^{n\times n},\] + 其中$r$为$A$的秩. +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midtzy.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midtzy.tex" new file mode 100644 index 0000000..66994ff --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2020-2021-2midtzy.tex" @@ -0,0 +1,33 @@ +\phantomsection +\section*{2020-2021学年线性代数II（H）期中} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数II（H）期中（谈之奕老师）} + + +\begin{center} + 任课老师：谈之奕\hspace{4em} 考试时长：90分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（10分）设$g(x)=ax+b,\enspace a,b\in\mathbf{F},\enspace a\neq 0,\enspace + f(x)\in \mathbf{F}[x]$，证明：$g(x)$是$f^2(x)$的因式的充要条件是$g(x)$是$f(x)$的因式. + \item[二、]（10分）设$\lambda$是$n$阶实矩阵$A$的特征值，$\lambda^3=1$且$\lambda\notin\mathbf{R}$，$A$的极小多项式次数为2，证明：矩阵$A+I$可逆. + \item[三、]（15分）设算子$T$的特征值仅为1，代数重数为5，几何重数为3，求$T$的所有可能的若当标准形及相应的极小多项式. + \item[四、]（20分）设$V$为$n$维复向量空间，$T\in L(V)$，$T$在$V$的一组基$e_1,e_2,\ldots,e_n$ + 下的矩阵为对角矩阵$\textup{diag}\{d_1,\ldots,d_n\}$，且$d_i\neq d_j(i\neq j)$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求$T$的所有一维不变子空间； + + \item 求$T$的所有不变子空间. + \end{enumerate} + \item[五、]（20分）设$V$为$n$维复向量空间，$S,T\in L(V)$，$ST=TS$，则 + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $S,T$至少有一个公共的特征向量； + + \item 存在$V$的一组基，使得$S$和$T$在此基下的矩阵均为上三角矩阵. + \end{enumerate} + \item[六、]（25分）设$A=\begin{pmatrix} + 2 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 + \end{pmatrix}$，求$A$的若当标准形$J$和矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J$. +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2021-2022-1exlks.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2021-2022-1exlks.tex" new file mode 100644 index 0000000..9efeb9b --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2021-2022-1exlks.tex" @@ -0,0 +1,49 @@ +\phantomsection +\section*{2021-2022学年线性代数I（H）小测} +\addcontentsline{toc}{section}{2020-2021学年线性代数I（H）小测（刘康生老师）} + +\begin{center} + 任课老师：刘康生\hspace{4em} 考试时长：90分钟 +\end{center} +\begin{enumerate} + \item[一、] 设矩阵$A=\begin{pmatrix} + a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a + \end{pmatrix}$，$\beta=\begin{pmatrix} + 0 \\ 1 \\ 1 + \end{pmatrix}$. 假设线性方程组$Ax=\beta$有解但解不唯一. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求$a$的值； + + \item 给出$Ax=\beta$的一般解. + \end{enumerate} + \item[二、]设 + \[P=\begin{pmatrix} + 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 + \end{pmatrix},\enspace Q=\begin{pmatrix} + 0 & 0 \\ 1 & 0 + \end{pmatrix},\] + 定义$\mathbf{R}^{3\times 2}$上映射$\sigma$： + \[\sigma(A)=PAQ.\] + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 验证$\sigma$是线性映射； + + \item 求$\im\sigma$和$\ker\sigma$； + + \item 验证关于$\sigma$的维数公式. + \end{enumerate} + \item[三、]设$B$是$3\times 1$矩阵，$C$是$1\times 3$矩阵，证明：$r(BC)\leqslant 1$；反之，若$A$是秩为1的$3\times 3$矩阵，证明：存在$3\times 1$矩阵$B$和$1\times 3$矩阵$C$，使得$A=BC$. + \item[四、]设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是实数域$\mathbf{R}$上线性空间$V$的一组基，$T\in\mathcal{L}(V)$，$T(\beta_1)=\beta_2$，$T(\beta_2)=\beta_3$，$\cdots$，$T(\beta_{n-1})=\beta_n$，$T(\beta_n)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\beta_i(a_i\in\mathbf{R})$. 求$T$在$B$下的表示矩阵. 在什么条件下$T$是同构映射？ + \item[五、]设$A^*$是$n$阶方阵$A$的伴随矩阵，求$A^*$的秩. + \item[六、]判断下列命题的真伪，若它是真命题，请给出简单的证明；若它是伪命题，给出理由或举反例将它否定. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 给定线性空间$V$的非零向量$v$和线性空间$W$的向量$w$，总存在线性映射$T:V\to W$，使得$T(v)=w$； + + \item 若线性方程组有$m$个方程，$n$个变量，且$m0). \] + 其中 $ \boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3) $，$ \boldsymbol{y} = (y_1, y_2, y_3) $. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 验证 $ \langle \cdot, \cdot \rangle_V $ 是 $ \mathbf{R}^3 $ 上的一个内积; + + \item 求 $ \mathbf{R}^3 $ 在 $ \langle \cdot, \cdot \rangle_V $ 下的一组标准正交基; + + \item 求 $ \boldsymbol{\beta} \in V $ 使得 $ \forall \boldsymbol{x} \in V: x_1 + x_2 + x_3 = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\beta} \rangle_V $. + \end{enumerate} + +\item[八、]考虑二直线 + \[l_1:\begin{cases} + x=t \\ y=-t-1 \\ z=3t + \end{cases},\enspace l_2:\begin{cases} + ax+2y+z=0 \\ x-y-z+d=0, + \end{cases}\] + 求$a$，$d$满足的条件，使得二直线 + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 平行； + + \item 重合； + + \item 相交； + + \item 异面. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midlks.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midlks.tex" new file mode 100644 index 0000000..07e339b --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midlks.tex" @@ -0,0 +1,37 @@ +\phantomsection +\section*{2022-2023学年线性代数II（H）期中} +\addcontentsline{toc}{section}{2022-2023学年线性代数II（H）期中（刘康生老师）} + +\begin{center} + 任课老师：刘康生\hspace{4em} 考试时长：45分钟 \\ + 注：上午班考察1-3题，下午班考察2-4题 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]设$V=\mathbf{R}[x]_4$（即次数不超过4的实系数多项式全体构成的线性空间），$T\in\mathcal{L}(V)$，$T'$是$T$的对偶映射. 已知$\ker T'=\spa(\varphi)$，$\varphi\in V'$，$\varphi(p)=p(18),\enspace\forall p\in V$. 求$\im T$. + \item[二、]设$e_1,e_2,e_3,e_4$是欧式空间$\mathbf{R}^4$的标准正交基，设$\alpha_1=e_1-e_2,\alpha_2=e_2-e_3,\alpha_3=e_3-e_4,\beta_1=e_4,\beta_2=e_1+e_2+e_3,\beta_3=e_4-e_1-2e_2-3e_3$. 求$w\in\mathbf{R}^4$使得$\langle\alpha_j,w\rangle<0$且$\langle\beta_j,w\rangle>0,\enspace j=1,2,3$. + \item[三、]已知平面方程 + \[\pi_1:x-2y+2z+d=0,\enspace \pi_2:-2x+4y+cz+1=0.\] + 分别求$c$，$d$使分别满足 + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item $\pi_1$与$\pi_2$平行； + + \item $\pi_1$与$\pi_2$重合； + + \item $\pi_1$与$\pi_2$垂直； + + \item $\pi_1$与$\pi_2$相交，并求交线的参数方程； + + \item 原点到交线的最短距离为1. + \end{enumerate} + \item[四、]对$x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)^\mathrm{T}\in\mathbf{C}^n$，定义1范数为$||x||_1=\sum\limits_{i=1}^n|x_i|$，设$A=(a_{ij})_{n\times n}\in\mathbf{C}^{n\times n}$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 求$A$关于1范数的矩阵范数，即$||A||_1=\max\{||AX||_1\mid ||X||_1=1\}$； + + \item 已知$B=(b_{ij})_{n\times n}\in\mathbf{C}^{n\times n}$，$|a_{ij}|\leqslant b_{ij},\enspace 1\leqslant i,j\leqslant n$. 证明：对任何正整数$m$，有$||A^m||_1\leqslant||B^m||_1$； + + \item 设$|a_{ii}|<1,\enspace 1\leqslant i\leqslant n$，$a_{ij}=0(i>j)$. 证明：$||A^m||_1\to 0(m\to\infty)$.(提示：若$a_{ij}=0(i>j)$，则$A^n=O$) + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midwzx.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midwzx.tex" new file mode 100644 index 0000000..1c67f3f --- /dev/null +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\345\216\206\345\271\264\345\215\267/2022-2023-2midwzx.tex" @@ -0,0 +1,41 @@ +\phantomsection +\section*{2022-2023学年线性代数II（H）期中} +\addcontentsline{toc}{section}{2022-2023学年线性代数II（H）期中（吴志祥老师）} + +\begin{center} + 任课老师：吴志祥\hspace{4em} 考试时长：90分钟 +\end{center} + +\begin{enumerate} + \item[一、]（15分）求通过直线$L:\begin{cases} + 2x+y-3z+2=0 \\ 5x+5y-4z+3=0 + \end{cases}$的两个互相垂直的平面$\pi_1$和$\pi_2$，使$\pi_1$过点$(4,-3,1)$. + \item[二、]（15分）求直线$l_1:\begin{cases} + x-y=0 \\ z=0 + \end{cases}$与直线$l_2:\cfrac{x-2}{4}=\cfrac{y-1}{-2}=\cfrac{z-3}{-1}$的距离. + \item[三、]（15分）设$\mathbf{R}[X]$是实系数多项式构成的线性空间，令$W=\{(x^3+x^2+1)h(x)\mid h(x)\in\mathbf{R}[x]\}$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：$W$是$\mathbf{R}[x]$的子空间； + + \item 求$\mathbf{R}[x]/W$的一组基和维数. + \end{enumerate} + \item[四、]（15分）设$V$和$W$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，$V_1,V_2,\ldots,V_n$是$V$的$n$个子空间且$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_n$. 证明：$\mathcal{L}(V,W)$和$\mathcal{L}(V_1,W)\times\mathcal{L}(V_2,W)\times\cdots\times\mathcal{L}(V_n,W)$同构. + \item[五、]（10分）设$V$是一个有限维线性空间，$T\in\mathcal{L}(V)$是同构映射，记其逆映射为$T^{-1}$. 设$W$是$T$的不变子空间，证明：$W$是$T^{-1}$的不变子空间. + \item[六、]（15分）设$M_n(\mathbf{C})$是$n$阶复矩阵全体构成的线性空间，$U=\{A\in M_n(\mathbf{C})\mid A^{\mathrm{T}}=A\},W=\{B\in M_n(\mathbf{C})\mid B^{\mathrm{T}}=-B\}$. 在$M_n(\mathbf{C})$上定义二元映射$\langle,\rangle: M_n(\mathbf{C})\times M_n(\mathbf{C})\to\mathbf{C}$，使得对于任意的$A,B\in M_n(\mathbf{C})$，有$\langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(AB^{\mathrm{H}})$，其中$B^{\mathrm{H}}$表示$B$的共轭转置矩阵. + \begin{enumerate} + \item 证明：$(M_n(\mathbf{C}),\langle\rangle)$是复内积空间； + + \item 证明：$U=W^{\perp}$； + + \item 设$A\in M_n(\mathbf{C})$，试求$B\in U$使得$\forall D\in U$，有$||A-B||\leqslant||A-D||$，其中$||A||=\sqrt{\langle A,A\rangle}$. + \end{enumerate} + + \item[七、]（15分）设$\mathbf{R}[x]_3$是由次数小于3的实系数多项式构成的线性空间. 对于$g(x)\in\mathbf{R}[x]_3$，定义$f_1(g(x))=\int_0^1g(x)dx$，$f_2(g(x))=\int_0^2g(x)dx$，$f_3(g(x))=\int_0^{-1}g(x)dx$. + \begin{enumerate}[label=(\arabic*)] + \item 证明：$f_1,f_2,f_3$是$\mathbf{R}[x]_3$对偶空间的一组基； + + \item 求$\mathbf{R}[x]_3$的一组基$g_1(x),g_2(x),g_3(x)$，使得$f_1,f_2,f_3$是$g_1(x),g_2(x),g_3(x)$的对偶基. + \end{enumerate} +\end{enumerate} + +\clearpage diff --git "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" "b/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" index 5c0965d..c4832fd 100644 --- "a/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" +++ "b/\350\256\262\344\271\211/\347\272\277\346\200\247\344\273\243\346\225\260\350\215\243\350\252\211\350\257\276\350\276\205\345\255\246\350\256\262\344\271\211.tex" @@ -38,13 +38,6 @@ title={符号索引} ] % 符号索引 -% 嵌套 enumerate 环境的 label -\setlist[enumerate,2]{label=(\arabic*)} -\setlist[enumerate,3]{label=\roman*.} - -\usepackage{xparse} -\NewDocumentCommand{\term}{m}{{\sffamily\heiti\bfseries{#1}}} - % 标题格式 % \chapter 正常专题 % \LUchapter 未竟专题 @@ -82,13 +75,16 @@ \LUgroupsancheck% \@std@chapter } +\let\@std@chaptermark\chaptermark +\def\chaptermark#1{\def\@LALU@chaptername{#1}\@std@chaptermark{#1}} \makeatother % 内容总结 \newenvironment{summary}{% \hypersetup{bookmarksnumbered=false}% \titleformat{\subsection}[block]{\centering\heiti\Large}{}{1em}{}% - \subsection{内容总结}% + \phantomsection% + \subsection*{内容总结}% }{} % 习题环境 @@ -103,35 +99,55 @@ % \end{exgroup} % \end{exercise} \newcounter{exgroupcounter} -\newenvironment{exercise}{% - \setcounter{exgroupcounter}{0}% - \NewDocumentEnvironment{exgroup}{so}{% - \IfBooleanF{##1}{% - \IfValueTF{##2}{% - \setcounter{exgroupcounter}{##2}% - }{% - \refstepcounter{exgroupcounter}% - }% - \subsection{\Alph{exgroupcounter} 组}% - }% - \begin{enumerate}% - }{% - \end{enumerate}% - }% - \NewDocumentCommand{\exquote}{om}{% - \vspace{2ex}% - {\sffamily\kaishu ##2}% - 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