supression du chapitre 0 sur la denombrabilité, début de chapitre sur

les mesures complexes

integration-06.tex

@@ -0,0 +1,12 @@
+\documentclass{article}
+
+\newif\ifsolo
+\solotrue
+\input{src/preamble.tex}
+
+\begin{document}
+
+\input{src/integration-06.tex}
+
+\printindex
+\end{document}

integration.tex

@@ -4,7 +4,6 @@
 \solofalse
 
 \input{src/preamble.tex}
-\setcounter{chapter}{-1}
 
 \begin{document}
 
@@ -49,7 +48,7 @@
 
 \pagestyle{main}
 
-\foreach \i in {00, 01, 02, 03, 04, 05, 06} {%
+\foreach \i in {01, 02, 03, 04, 05, 06} {%
     \edef\FileName{integration-\i}%
     \IfFileExists{\FileName}{%
        \input{src/\FileName}%

src/integration-00.tex

@@ -8,6 +8,7 @@
     \end{center}
     \tableofcontents
 \else
+    \setcounter{chapter}{-1}
     \chapter{Notion de dénombrabilité}
 
     \minitoc

src/integration-05.tex

@@ -398,4 +398,8 @@ \section{Approximation de l'unité}
 &= \frac{1}{(N+1)\sin(\sfrac{x}{2})^2}\Im \left( e^{i \sfrac{N+1}{2}x}\frac{e^{i \sfrac{N+1}{2}x}-e^{i \sfrac{N+1}{2}x}}{2i}\right)\\
 &= \frac{\sin(\sfrac{N+1}{2})x}{(N+1)\sin(\sfrac{x}{2})^2}\geq 0
 \end{align*}
+donc par convergence dominée \[
+    \int_\delta^{2\pi-\delta} F_N(x)\diff x \xrightarrow[N\to +\infty]{}0
+\] 
+et en adaptant à ce contexte la preuve ci-dessus, $F_N\star f \longrightarrow f$ uniformément sur $[0,2\pi]$ donc sur $\R$..
 \end{proof}

src/integration-06.tex

@@ -0,0 +1,54 @@
+\ifsolo
+    ~
+
+    \vspace{1cm}
+
+    \begin{center}
+        \textbf{\LARGE Mesures complexes} \\[1em]
+    \end{center}
+    \tableofcontents
+\else
+    \chapter{Mesures complexes}
+
+    \minitoc
+\fi
+\thispagestyle{empty}
+
+\section{Définitions et propriétés de base}
+
+\begin{dfn}
+    Soit $(X, \mathcal  A)$ un espace mesurable. Une mesure complexe\index{mesure complexe} sur $(X, \mathcal  A)$ est une fonction $\nu: \mathcal  A \longrightarrow  \C$ telle que \begin{itemize}
+        \item $\nu(\emptyset)=0$
+        \item Si  $(A_i)_{i \in  I}$ est une famille dénombrable d'éléments de $\mathcal  A$ deux à deux disjoints, \[
+                \nu \left( \bigcup_{i \in  I} A_i\right) = \sum_{i \in  I}\nu(A_i)
+        \] 
+        où la convergence est supposée indépendante du choix d'ordre sur $I$
+    \end{itemize}
+\end{dfn}
+
+\begin{rem}
+On admet que l'indépendance par permutation de la convergence entraine la convergence absolue.
+\end{rem}
+
+\begin{ex}
+    Soit $(X, \mathcal  A, \mu)$ un espace mesuré avec $\mu$ une mesure usuelle positive, et soit  $f \in  \L^1_{\C}(X, \mathcal  A, \mu)$. Alors \[
+        \nu(\mathcal  A)=\int_A f\diff \mu
+    \] 
+    est une mesure complexe (notée $f\diff \mu$). Clairement, $\nu(\emptyset)=0$ et  \[
+        \nu \left(\bigcup_{n \in  \N}A_n)=\int_{X}f\diff \mu \1_{\bigcup A_i}=\int_{X}\sum_{n \in  \N}\underbrace{f\1_{A_n}}_{\mathclap{\text{dominée par }|f|\text{ intégrable }}}\diff \mu = \sum_{n \in  N}\int_{A_n} f\diff \mu=\sum_{n \in  \N}\nu(A_n)
+    \] 
+\end{ex}
+
+\begin{dfn}
+    Soit $\nu$ une mesure complexe. La mesure de variation totale de  $\nu$ \index{variation totale (mesure)} est la fonction  $|\nu|:\mathcal  A \longrightarrow \R_+\cup \left\{ \infty \right\} $ définie par \[
+        |\nu|(A) = \sup \left\{ \sum_{i \in  N}|\nu(A_i)|, \quad  (A_i)_{i \in  \N} \text{ deux à deux disjoints, d'union } A\right\} 
+    \] 
+\end{dfn}
+
+\begin{prop}
+Si $\nu$ est une mesure complexe, alors  $|\nu|$ est une mesure.
+\end{prop}
+
+\begin{proof}
+
+\end{proof}