README.md

Задачи по курсу «Введение в методы возмущений для гамильтоновых систем»

Задание к лекции 1 «Основы нелинейного анализа»

Задание 1:

Найдите начальные члены разложения всех ветвей алгебраической кривой вблизи нуля. Графически сравните полученные решения с точными значениями $(x^2+y^2)^2+3yx^2-y^3$

Задания к лекции 2 «Полиномиальные идеалы и базисы Гребнера»

Задание 1:

Найдите все решения системы с использованием базиса Грёбнера.

$x^3yz-xz^2=0$, $xy^2z-xyz=0$, $x^2y^2-z=0.$

Задание 2: Для заданной в параметрической форме поверхности

1)Построить её рациональную параметризацию.

2)Получить её уравнение в неявном виде, т. е. в виде функции от переменных $ x,y,z $.

3)Найти и исследовать её множество особых точек, т.е. точек, в которых обращается в нуль уравнение поверхности вместе со всеми частными производными.

4)Проверьте, позволяет ли указанная параметризация поверхности полностью описать особые точки соответствующего афинного многообразия.

Коническая кромка Уоллиса $$ x = u\cos v, y = u\sin v, z = \sin v.$$

Задания к лекции 3. Виды возмущений. Прямые разложения и причины их расходимостей

Задание 1:

Для рассмотренных ниже примеров, постройте многоугольник Ньютона и попробуйте по нему выяснить, какие виды разложений решений возмущённых уравнений могут у них быть

а) $x^2 + 2\varepsilon{x} - 1 = 0$

б) $\varepsilon x^2 + 2x - 1 = 0$

Задание 2:

Выясните, является ли следующая последовательность ниже последовательностью калибровочных функций. Если нет, то можно ли так определить их порядок, чтобы эту последовательность использовать в качестве калибровочной?

${\phi}_1 = 1$, $\varphi_2 = \varepsilon$, $\varphi_3 = {\varepsilon}^2$, $\varphi_4 = \varepsilon ln(\varepsilon)$, $\varphi_5 = {\varepsilon}^2 ln(\varepsilon)$, $\varphi_6 = \varepsilon ln^2(\varepsilon)$, $\varphi_7 = {\varepsilon}^2 ln^2(\varepsilon)$,

Задание 3:

1. Полагая $f \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta$ найти $\alpha$, $\beta$ и ненулевые коэффициенты $a_1$, $a_2$: $f = (1 + \varepsilon{x})^{1/\varepsilon}$ для 0 < x < $\infty$.

2. Найти асимптотические разложения вида $x \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta + ...$ всех корней следующих регулярно возмущенных уравнений $ x^2 - (3+\varepsilon)x + 1 + \varepsilon = 0$

3. Найти асимптотические разложения вида $x \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta + ...$ всех корней следующих сингулярно возмущенных уравнений $ \varepsilon{x^3} - 3x + 1 = 0$

Задания к теме 4

Задание 1:

Для малых $\varepsilon$ найти асимптотическое разложение каждого решения уравнения и определить равномерность найденной асимптотики для указанного интервала переменной.

$y^2 + (1 + \varepsilon - x)y - x = 0$, для $0 &lt; x &lt; 1$

Задание 2:

Используя прямое разложение и метод Линдштеда-Пуанкаре получите первые три члена разложения, а также поправки к частоте колебаний. Определите, на каком интервале прямое разложение ведёт себя удовлетворительно.

$\ddot{x} + x - \varepsilon{x^3} = 0$, $x_0 = 0$, $\dot{x}_0 = b$

Задание 3:

Рассмотрите уравнение осциллятора $\ddot{x}+\Pi^{\prime}(x)=\beta \dot{x}^2$ в поле с потенциалом $\Pi(x)$ при наличии квадратичной диссипация с начальными условиями $x(0)=x_0+\varepsilon, \dot{x}(0)=0$, где $x_0$ — положение равновесия. Методом осреднения получите поправку первого порядка к частоте колебаний вблизи положения равновесия для потенциалов:

Морса $\Pi(x)=(1 - e^{-\alpha x})^2$, $\alpha&gt;0$

Задания к теме 5 «Нормальная форма системы двух дифференциальных уравнений»

Задание 1:

Для системы $\dot{x} = ax - 4y + (x+y)^4$, $\dot{y} = x - (x-y)^4$ определить, какие резонансные члены останутся в НФ при a = 3,4,5,6

Задание 2:

Для одного из нелинейных ОДУ вычислите НФ первого порядка. Найдите поправки к амплитуде и частоте колебаний.

$\ddot{x} + x + \varepsilon{x^5} = 0$, $x_0 = a$, $\dot{x}_0 = 0$

Задания к теме 6 «Вычисление нормальной формы ОДУ»

Задание 1:

Найти равномерное разложение решения до второго порядка включительно для уравнений колебательного типа:

$\ddot{x} + \omega{x} + \varepsilon{x^2}\dot{x} = 0$

Задание 2:

Для указанных систем вычислить НФ до 2-го порядка, найти её первый интеграл

$\dot{x} = -x + y + {\alpha_1}x^2$

$\dot{y} = -x - y + {\alpha_2}y^2$

Задание к теме 7 «Сходимость нормализующего преобразования»

Задание 1:

Вычислить НФ системы $\dot{x_1} = x_2 + 5x_1 + x_1{x_2}^2$, $\dot{x_2} = -4x_1 - 2{x_1}^2x_2 + {x_2}^3$

Задания к теме 8 «Бифуркации особой точки систему ОДУ»

Задание 1:

Нарисуйте бифуркационную диаграмму на плоскости (a,x), указав характер устойчивости ПР и тип его бифуркации $\dot{x}=2(a^2 - x^2) - (a^2 + x^2)^2$

Задание 2:

Найдите устойчивые и неустойчивые многообразия особой точки для линеаризованной и полной системы $\dot{x_1} = x_2, \dot{x_2} = x_1 + x_1^3$

Задание 3:

Вычислите нормальную форму системы и определите характер бифуркации особой точки при $\mu = 0$

$\dot{x} = \mu{x} - y + {x}y^2$

$\dot{y} = x + {\mu}y$

Задание к теме 9 «Численное интегрирование и построение фазовых портретов систем ДУ»

Задание 1:

а) построить фазовый портрет и нарисовать траектории для двух начальных условий;

б) найти особые точки и проанализировать их устойчивость с помощью фазового портрета;

$\dot{x} = 1 - x$, $\dot{y} = y^2$

Задания к теме 10 «Нормальная форма системы Гамильтона»

Задание 1:

Для функции Гамильтона осциллятора Дюффинга $H = \frac{1}{2}(p^2 + q^2) - \varepsilon{k}q^4$ с помощью метода производящего гамильтониана вычислить с точностью до 2-го порядка по замены переменных $q \Rightarrow Q$, $p \Rightarrow P$ и новый гамильтониан H, если генератор Ли имеет вид $G = \varepsilon{G_1} + \varepsilon^2{G_2}$, где $G_1 = \frac{1}{3}kP(2P^2 + 3Q^2)$, $G_2 = \frac{3}{16}kPQ(5P^2 + 3Q^2)$

Задание 2:

Рассмотрите ангармонический осциллятор с потенциалом П = $\frac{1}{4}\varepsilon{q^4}$ как возмущение свободной частицы массы m = 1. С помощью канонической теории возмущений найдите решение с НУ q = a, p = 0 с точностью до 3 - го порядка по $\varepsilon$.

Задание к теме 11 «Комплексная нормальная форма системы Гамильтона и её вычисление»

Задание 1:

Найти каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к нормальной форме. Записать полученный гамильтониан в комплексной нормальной форме.

$H = \frac{1}{2}\left( p_1^2 + 2p_1p_2 + 6p_1q_1 + 2p_1q_2 + p_2^2 - 2p_2q_1 + q_1^2 + 4q_1q_2 + 2q_2^2 \right)$