Найдите начальные члены разложения всех ветвей алгебраической кривой вблизи нуля. Графически сравните полученные решения с точными значениями
Найдите все решения системы с использованием базиса Грёбнера.
1)Построить её рациональную параметризацию.
2)Получить её уравнение в неявном виде, т. е. в виде функции от переменных $ x,y,z $.
3)Найти и исследовать её множество особых точек, т.е. точек, в которых обращается в нуль уравнение поверхности вместе со всеми частными производными.
4)Проверьте, позволяет ли указанная параметризация поверхности полностью описать особые точки соответствующего афинного многообразия.
Коническая кромка Уоллиса $$ x = u\cos v, y = u\sin v, z = \sin v.$$
Для рассмотренных ниже примеров, постройте многоугольник Ньютона и попробуйте по нему выяснить, какие виды разложений решений возмущённых уравнений могут у них быть
а)
б)
Выясните, является ли следующая последовательность ниже последовательностью калибровочных функций. Если нет, то можно ли так определить их порядок, чтобы эту последовательность использовать в качестве калибровочной?
-
Полагая
$f \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta$ найти$\alpha$ ,$\beta$ и ненулевые коэффициенты$a_1$ ,$a_2$ :$f = (1 + \varepsilon{x})^{1/\varepsilon}$ для 0 < x <$\infty$ . -
Найти асимптотические разложения вида
$x \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta + ...$ всех корней следующих регулярно возмущенных уравнений $ x^2 - (3+\varepsilon)x + 1 + \varepsilon = 0$ -
Найти асимптотические разложения вида
$x \sim a_1\varepsilon^\alpha + a_2\varepsilon^\beta + ...$ всех корней следующих сингулярно возмущенных уравнений $ \varepsilon{x^3} - 3x + 1 = 0$
Для малых
Используя прямое разложение и метод Линдштеда-Пуанкаре получите первые три члена разложения, а также поправки к частоте колебаний. Определите, на каком интервале прямое разложение ведёт себя удовлетворительно.
Рассмотрите уравнение осциллятора
Морса
Для системы
Для одного из нелинейных ОДУ вычислите НФ первого порядка. Найдите поправки к амплитуде и частоте колебаний.
Найти равномерное разложение решения до второго порядка включительно для уравнений колебательного типа:
Для указанных систем вычислить НФ до 2-го порядка, найти её первый интеграл
Вычислить НФ системы
Нарисуйте бифуркационную диаграмму на плоскости (a,x), указав характер устойчивости ПР и тип его бифуркации
Найдите устойчивые и неустойчивые многообразия особой точки для линеаризованной и полной системы
Вычислите нормальную форму системы и определите характер бифуркации особой точки при
а) построить фазовый портрет и нарисовать траектории для двух начальных условий;
б) найти особые точки и проанализировать их устойчивость с помощью фазового портрета;
Для функции Гамильтона осциллятора Дюффинга
Рассмотрите ангармонический осциллятор с потенциалом П =
Найти каноническое преобразование, приводящее гамильтониан к нормальной форме. Записать полученный гамильтониан в комплексной нормальной форме.