Add seminars in Cybernetics

Cybernetics/cybernetics_sem.org

@@ -0,0 +1,218 @@
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{amsmath}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{esint}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage[english,russian]{babel}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{mathtools}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage{amsthm}
+#+LATEX_HEADER:\usepackage[top=0.8in, bottom=0.75in, left=0.625in, right=0.625in]{geometry}
+
+#+LATEX_HEADER:\def\zall{\setcounter{lem}{0}\setcounter{cnsqnc}{0}\setcounter{th}{0}\setcounter{Cmt}{0}\setcounter{equation}{0}}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{lem}\setcounter{lem}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\lm{\par\smallskip\refstepcounter{lem}\textbf{\arabic{lem}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Lemma}{Лемма \lm}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{th}\setcounter{th}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\th{\par\smallskip\refstepcounter{th}\textbf{\arabic{th}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Theorem}{Теорема \th}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{cnsqnc}\setcounter{cnsqnc}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\cnsqnc{\par\smallskip\refstepcounter{cnsqnc}\textbf{\arabic{cnsqnc}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Consequence}{Следствие \cnsqnc}
+
+#+LATEX_HEADER:\newcounter{Cmt}\setcounter{Cmt}{0}
+#+LATEX_HEADER:\def\cmt{\par\smallskip\refstepcounter{Cmt}\textbf{\arabic{Cmt}}}
+#+LATEX_HEADER:\newtheorem*{Note}{Замечание \cmt}
+
+* Задача 1
+Построить СДНФ функции:
+|-------+-------+-------+---|
+| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | f |
+|-------+-------+-------+---|
+|     0 |     0 |     0 | 1 |
+|     0 |     0 |     1 | 0 |
+|     0 |     1 |     0 | 1 |
+|     0 |     1 |     1 | 1 |
+|     1 |     0 |     0 | 0 |
+|     1 |     0 |     1 | 1 |
+|     1 |     1 |     0 | 0 |
+|     1 |     1 |     1 | 1 |
+|-------+-------+-------+---|
+** Решение
+   #+begin_export latex
+   \begin{equation}
+D_f^s(x_1, x_2, x_3) = \overline{x_1}\overline{x_2}\overline{x_3}\vee\overline{x_1}x_2\overline{x_3}
+\vee\overline{x_1}x_2x_3\vee x_1\overline{x_2}x_3
+   \end{equation}
+\begin{equation}
+K_f^s(x_1, x_2, x_3) = (x_1\vee x_2\vee\overline{x_3})(\overline{x_1}\vee x_2\vee x_3)
+(\overline{x_1}\vee\overline{x_2}\vee x_3)(\overline{x_1}\vee\overline{x_2}\vee\overline{x_3})
+\end{equation}
+   #+end_export
+* Задача 2
+  #+begin_export latex
+  \begin{equation}
+f = (00101111). \text{ Найти простые импликанты.}
+  \end{equation}
+  #+end_export
+** Решение
+   #+begin_export latex
+   \begin{equation}
+A = \{x_1, \overline{x_3}, x_1x_2, x_2\overline{x_3}\}\text{ - импликанты $f$.}
+   \end{equation}
+$x_1x_2$ - не простая импликанта.
+   #+end_export
+* Задача 3
+  #+begin_export latex
+Найти простые импликанты функции
+  \begin{equation}
+f = (01111110).
+  \end{equation}
+  #+end_export
+** Решение
+   #+begin_export latex
+   \begin{equation}
+A = \{x_1\overline{x_2}, x_2x_3, x_1x_2x_3\}\text{ - импликанты}
+   \end{equation}
+$x_1\overline{x_2}$ - простая импликанта, $x_2x_3$ и $x_1x_2x_3$ - не импликанты.
+   #+end_export
+* Задача 4
+Построить сокращённую ДНФ функции
+  #+begin_export latex
+\begin{equation}
+\tilde{\alpha_f} = (1111 1000 0100 1100)
+\end{equation}
+  #+end_export
+** Решение
+Код максимальной грани: $(0022)$, соответствующая простая импликанта $\overline{x_1}\overline{x^2}$.
+Далее идёт ребро $(0200)$, соответствующее импликанте $\overline{x_1}\overline{x_2}\overline{x_3}$.
+Далее идёт ребро $(2100)$, соответствующее импликанте $x_2\overline{x_3}\overline{x_4}$.
+Следующее ребро $(1102) \rightarrow x_1x_2\overline{x_3}$,
+$(1201) \rightarrow x_1\overline{x_3}x_4$, $(2001) \rightarrow \overline{x_2}\overline{x_3}x_4$.
+* Задача 2.6
+Найти сокращённую ДНФ методом карты:
+#+begin_export latex
+\begin{equation}
+\tilde{\alpha_f} = (0101 0111)
+\end{equation}
+#+end_export
+** Решение
+|-----------+---+---|
+| x_1x_2x_3 | 0 | 1 |
+|-----------+---+---|
+|        00 | 0 | 1 |
+|        01 | 0 | 1 |
+|        11 | 1 | 1 |
+|        10 | 0 | 1 |
+|-----------+---+---|
+Откуда $D_f = x_3\vee x_1x_2$.
+* Задача 2.6(5)
+  #+begin_export latex
+  \begin{equation}
+\tilde{\alpha_f} = (0001 1011 1101 1111)
+  \end{equation}
+  #+end_export
+** Решение
+|-------+-------+-------+-------+-----|
+| $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $x_4$ | $f$ |
+|-------+-------+-------+-------+-----|
+|     0 |     0 |     0 |     0 |   0 |
+|     0 |     0 |     0 |     1 |   0 |
+|     0 |     0 |     1 |     0 |   0 |
+|     0 |     0 |     1 |     1 |   1 |
+|     0 |     1 |     0 |     0 |   1 |
+|     0 |     1 |     0 |     1 |   0 |
+|     0 |     1 |     1 |     0 |   1 |
+|     0 |     1 |     1 |     1 |   1 |
+|     1 |     0 |     0 |     0 |   1 |
+|     1 |     0 |     0 |     1 |   1 |
+|     1 |     0 |     1 |     0 |   0 |
+|     1 |     0 |     1 |     1 |   1 |
+|     1 |     1 |     0 |     0 |   1 |
+|     1 |     1 |     0 |     1 |   1 |
+|     1 |     1 |     1 |     0 |   1 |
+|     1 |     1 |     1 |     1 |   1 |
+|-------+-------+-------+-------+-----|
+Тогда карта Карно будет иметь вид:
+|----------------+----+----+----+----+-----------------------------|
+| $x_1x_2x_3x_4$ | 00 | 01 | 11 | 10 |                             |
+|----------------+----+----+----+----+-----------------------------|
+|             00 |  0 |  0 |  1 |  0 | $x_2x_3, x_2\overline{x_4}$ |
+|             01 |  1 |  0 |  1 |  1 | $x_1x_2, x_1\overline{x_3}$ |
+|             11 |  1 |  1 |  1 |  1 | $x_1x_4$                    |
+|             10 |  1 |  1 |  1 |  0 | $x_3x_4$                    |
+|----------------+----+----+----+----+-----------------------------|
+Тогда сокращённая ДНФ имеет вид:
+#+begin_export latex
+\begin{equation}
+D_f = x_2\overline{x_4}\vee x_2x_3\vee x_1x_2\vee x_1x_4\vee x_3x_4\vee x_1\overline{x_3}
+\end{equation}
+#+end_export
+* Задача 2.3(1)
+Получить сокращённую ДНФ по КНФ:
+#+begin_export latex
+\begin{equation}
+(x_1\vee x_2\vee\overline{x_3})(\overline{x_1}\vee x_2\vee x_3)(\overline{x_2}\vee\overline{x_3})
+\end{equation}
+#+end_export
+** Решение
+   #+begin_export latex
+\begin{multline}
+   (x_1\vee x_2\vee\overline{x_3})(\overline{x_1}\vee x_2\vee x_3)(\overline{x_2}\vee\overline{x_3})
+= (x_1x_2\vee x_1x_3 \vee x_2\overline{x_1}\vee x_2\vee x_2x_3\vee\overline{x_1}\overline{x_3}
+\vee x_2\overline{x_3})(\overline{x_2}\vee\overline{x_3}) = \\
+= (x_2\vee x_1x_3\vee\overline{x_1}\overline{x_3})(\overline{x_2}\vee\overline{x_3})
+= x_2\overline{x_3}\vee x_1\overline{x_2}x_3\vee\overline{x_1}\overline{x_2}\overline{x_3}
+\vee\overline{x_1}\overline{x_3} = x_2\overline{x_3}\vee\overline{x_1}\overline{x_3}\vee x_1\overline{x_2}x_3
+\end{multline}
+   #+end_export
+* Задача 2.2(1)
+Построить сокращённую ДНФ по данной ДНФ методом Блейка:
+#+begin_export latex
+\begin{equation}
+\overline{x_1}\overline{x_2}\vee x_1\overline{x_2}x_4\vee x_2\overline{x_3}x_4\vee\overline{x_2}x_4|
+\vee\overline{x_1}\overline{x_3}x_4\vee x_1\overline{x_3}x_4|\vee\overline{x_2}\overline{x_3}x_4
+\vee\overline{x_3}x_4 = \overline{x_1}\overline{x_2}\vee\overline{x_2}x_4\vee\overline{x_3}x_4
+\end{equation}
+#+end_export
+* Задача 2.2(2)
+  #+begin_export latex
+  \begin{equation}
+x_1\overline{x_2}x_3\vee\overline{x_1}x_2\overline{x_4}\vee\overline{x_2}\overline{x_3}x_4|
+\vee x_1\overline{x_2}x_4
+  \end{equation}
+  #+end_export
+* Задача 2.9(1)
+  #+begin_export latex
+  \begin{equation}
+f(\tilde{x_n}) = x_1\oplus\ldots\oplus x_n
+  \end{equation}
+Длина сокращённой ДНФ - ?
+  #+end_export
+** Решение
+   #+begin_export latex
+   Максимальные грани - точки $\Rightarrow$ длина сокращённой ДНФ, она же длина СДНФ равна
+$2^n - 1$.
+   #+end_export
+* Задача 2.9(2)
+Найти длину сокращённой ДНФ функции:
+  #+begin_export latex
+  \begin{equation}
+f(\tilde{x_n}) = (x_1\vee x_2\vee x_3)(\overline{x_1}\vee\overline{x_2}\overline{x_3})\oplus
+x_4\oplus\ldots\oplus x_n
+  \end{equation}
+  #+end_export
+** Решение
+   #+begin_export latex
+\begin{equation}
+f(\tilde{\alpha}) = 1 \Leftrightarrow \begin{cases}
+g(\tilde{\alpha}) = 1, \\
+h(\tilde{\alpha}) = 0, \\
+g(\tilde{\alpha}) = 0, \\
+h(\tilde{\alpha}) = 1.
+   \end{cases}
+\end{equation}
+Первому случаю соответствует $2^{n - 4}\cdot6$ максимальных грани, второму - $2\cdot2^{n - 4}$,
+итого длина ДНФ составляет $2^{n - 1}$.
+   #+end_export
+
+http://mk.cs.msu.ru, лекционные курсы, ОКи, домашние задания там.