docs: 修改第二、七、八、九章教材引用部分 (#82)

* docs: 修改第 2，7，8，9 章中教材引用部分

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讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -239,7 +239,7 @@ \section{线性空间的定义}
                    & = \lambda(a_1+b_1\i)+\lambda(a_2+b_2\i) = \lambda \alpha_1 + \lambda \alpha_2.
               \end{align*}
     \end{enumerate}
-    所以$\mathbf{C}(\mathbf{C})$和$\mathbf{C}(\mathbf{R})$均构成线性空间.同理我们应当对八条性质逐条验证，但我们在第一讲以及说明了全体复数构成一个域，因此$\mathbf{C}(\mathbf{C})$自动满足线性空间的所有条件，此处不再赘述. 除此之外，$\mathbf{C}(\mathbf{R})$的加法运算与实数无关（回顾线性空间定义，实数只用来参与数乘运算），因此加法Abel群事实上与$\mathbf{C}(\mathbf{C})$一致，都是群$\langle \mathbf{C}:+\rangle$，此处也不再验证. 因此这里只验证$\mathbf{C}(\mathbf{R})$数乘运算是否满足线性空间定义的要求：
+    所以$\mathbf{C}(\mathbf{C})$和$\mathbf{C}(\mathbf{R})$均构成线性空间. 同理我们应当对八条性质逐条验证，但我们在第一讲以及说明了全体复数构成一个域，因此$\mathbf{C}(\mathbf{C})$自动满足线性空间的所有条件，此处不再赘述. 除此之外，$\mathbf{C}(\mathbf{R})$的加法运算与实数无关（回顾线性空间定义，实数只用来参与数乘运算），因此加法Abel群事实上与$\mathbf{C}(\mathbf{C})$一致，都是群$\langle \mathbf{C}:+\rangle$，此处也不再验证. 因此这里只验证$\mathbf{C}(\mathbf{R})$数乘运算是否满足线性空间定义的要求：
     \begin{enumerate}
         \item 取定 $1 \in \mathbf{R}, \forall \alpha = a+b\i \in \mathbf{C},\enspace a, b \in \mathbf{R},\enspace 1 \cdot \alpha = 1 \cdot (a+b\i) = a+b\i = \alpha$.
 
@@ -429,7 +429,16 @@ \section{线性子空间}
     \item 我们根据上面的原则对8条性质一一验证，发现加法单位元和逆元仍不能保证存在，因为这不仅与运算法则相关，更与集合中元素的存在相关——取子集可能使得加法单位元和逆元被拿掉. 但在定理要求的数乘封闭性下这是不可能的：由于$\mathbf{F}$是数域，因此所有有理数都是其子集，因此$0,-1\in\mathbf{F}$. $\forall \alpha\in V$，我们由于数乘封闭性可知，$0\cdot\alpha=0\in W$，$(-1)\cdot\alpha=-\alpha\in W$，因此$W$中也有加法单位元和逆元.
 \end{enumerate}
 
-证明具体书写见教材62--63页. 下面我们来看两个常见的例子体会子空间的判别方法：
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+        \item 必要性显然，否则 $W$ 关于 $V$ 的运算不构成线性空间，所以只需证明充分性.
+        \item 由于 $W$ 是 $V$ 的子集，所以 $V(\mathbf{F})$ 中数乘满足的4条性质及加法的交换律与结合律对 $W$ 都成立. 因此只要再证 $V$ 的零元 $0\in W$，$W$中每个元 $\alpha$ 的负元 $(-\alpha)\in W$. 由于 $W$ 对数乘封闭，所以取 $\lambda=0$和$\lambda=-1$，即得：
+              \[ 0\cdot\alpha=0\in W,(-1)\cdot\alpha=-\alpha\in W \]
+              故 $W$ 是 $V(\mathbf{F})$ 的线性子空间.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+下面我们来看两个常见的例子体会子空间的判别方法：
 \begin{example}{}{常见子空间}
     回答下列关于子空间的判定问题：
     \begin{enumerate}
@@ -582,10 +591,39 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
                       \lambda\cdot(a_1,\ldots,a_n)=(a_1^\lambda,\ldots,a_n^\lambda)
                   \end{gather*}
 
-            \item 请继续完成教材P86第二章习题第1题第(9)--(11)问关于函数的加法数乘定义线性空间的问题.
+            \item 集合 $V$ 为区间 $[a, b]$ 上所有函数值 $\geq 0$ 的是变量函数，即：
+                  \[V=\{f \mid f(x) \geq 0, \forall x \in [a, b] \}\]
+                  对通常的函数加法和数与函数的乘法，即：
+                  \begin{gather*}
+                      (f \oplus g)(x) = f(x) + g(x) \\
+                      (\lambda \circ f)(x) = \lambda f(x)
+                  \end{gather*}
+
+            \item \[V_1= \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{R}, f(-x)=-f(x)\}\]
+                  \[V_2= \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{R}, f(0)=1, f(-x)=f(x)\}\]
+                  对题(4)所定义的加法和数量乘法.
+
+            \item $V = \{f \mid x \in \mathbf{R}, f(x) \in \mathbf{C}, f(-x)= \overline{f(x)} \}$.
+                  对题(4)所定义的加法和数量乘法.
         \end{enumerate}
 
-        \item 请完成教材P86--87第二章习题第3题. 第(5)问平常问题较多，实际上就是要判断满足一定条件的多项式是否构成子空间.
+        \item 判断下列子集是否为给定线性空间的子空间：
+        \begin{enumerate}
+            \item $W = \{(x_1,\ldots,x_n) \in F^n \mid a_1 x_1+\cdots +a_n x_n =0\}$, 其中 $a_1, \ldots, a_n$ 为域 $F$ 中的固定数量.
+
+            \item $W_1 = \{(x,1,0) \in \mathbf{R}^3 \}$, $W_2 = \{(x,y,0) \in \mathbf{R}^3\}$.
+
+            \item $W_1 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-3y+z = 0\}$, $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-3y+z = 1\}$.
+
+            \item $W_1 = \left\{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \middle|\ \dfrac{x}{2} = \dfrac{y-4}{1} = \dfrac{z-1}{-3}\right\}$,
+
+                  $W_2 = \{(x,y,z) \in \mathbf{R}^3 \mid x-y = 0, x+y+z = 0\}$.
+
+            \item $W_1 = \{p(x) \in R[x] \mid p(1) = 0\}$, $W_2 = \{P(x) \in R[x]_n \mid p(1) = p(0)\}$（此题主要就是要判断满足一定条件的多项式是否构成子空间）.
+
+            \item $W = \{f \in F(-\infty, +\infty) \mid f(-x)=f(x), \forall x \in R\}$, 其中 $F(-\infty, +\infty)$ 是所有定义在 $(-\infty, +\infty)$ 上的实值函数对通常的函数加法及数与函数的乘法在实数域上构成的线性空间.
+
+        \end{enumerate}
     \end{exgroup}
 
     \begin{exgroup}

讲义/专题/7 矩阵运算基础.tex

@@ -12,7 +12,32 @@ \subsection{矩阵乘法的定义与基本性质}
     \[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{im}b_{mj}\enspace(i=1,\ldots,p,\enspace j=1,\ldots,n).\]
 \end{definition}
 
-事实上，这一定义带给我们的感受与我们在上一讲定义矩阵加法和数乘时的直观不同，在我们初看这一定义时必然会产生一个疑惑：为什么矩阵乘法定义得如此复杂，为什么不定义成两个矩阵对应元素相乘就可以了呢？事实上，这是因为矩阵乘法的定义来源于线性映射的复合的矩阵表示. 教材124--125页的推导通过线性映射的复合运算定义了矩阵的乘法运算，由于篇幅的限制，我们这里不再将教材中已有的内容重复. 在此我们给出两个线性映射的角度来理解矩阵乘法：
+这一定义带给我们的感受与我们在上一讲定义矩阵加法和数乘时的直观不同，在我们初看这一定义时必然会产生一个疑惑：为什么矩阵乘法定义得如此复杂，为什么不定义成两个矩阵对应元素相乘就可以了呢？事实上，这是因为矩阵乘法的定义来源于线性映射的复合的矩阵表示：
+
+\begin{enumerate}
+    \item 设线性空间 $V_1(F), V_2(F), V_3(F)$ 的基分别为 $B_1=\{\varepsilon, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n\},B_2=\{e_1,e_2,\ldots,e_m\},B_3=\{\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_p\}$, $\sigma \in L(V_1,V_2), \tau \in L(V_2,v_3)$，且 $\sigma, \tau$ 分别关于基 $B_1$ 和 $B_2$ 及基 $B_2$ 和 $B_3$ 的矩阵为 $B=(b_{i,j})_{m \times n}$ 和 $A=(a_{ij})_{p\times m}$，即：
+
+          $M(\tau)=A=\begin{pmatrix}
+                  a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
+                  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
+                  \vdots &        &        & \vdots \\
+                  a_{p1} & a_{p2} & \cdots & a_{pm}
+              \end{pmatrix}$,
+          $M(\sigma)=B=\begin{pmatrix}
+                  b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
+                  b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
+                  \vdots &        &        & \vdots \\
+                  b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
+              \end{pmatrix}$.
+
+    \item 则 $\tau\sigma \in L(V_1,V_3)$ 关于基 $B_1$ 和 $B_3$ 的矩阵 $C=(c_{ij})_{p\times n}$ 中第 $j$ 列元素 $c_{1j},c_{2j},\ldots,c_{pj}$ 是 $\tau\sigma(\varepsilon_j)$ 在基 $B_3$ 下的坐标. 于是有：
+
+          $\tau\sigma(\varepsilon_j)=\tau(\sigma(\varepsilon_j))=\tau(\sum_{k=1}^{m}b_{kj}e_k)=\sum_{k=1}^{m}b_{kj}\tau(e_k)=\sum_{k=1}^{m}b_{kj}(\sum_{i=1}^{p}a_{ik}\zeta_i)=\sum_{i=1}^{p}(\sum_{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj})\zeta_i$.
+
+          即得：$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{im}b_{mj}$.
+\end{enumerate}
+
+接下来我们再给出两个线性映射的角度来理解矩阵乘法：
 \begin{enumerate}
     \item 回顾上一节中提到的旋转$\theta$角的线性映射对应的矩阵$M_{\theta}=\begin{pmatrix}
                   \cos\theta & -\sin\theta \\
@@ -53,10 +78,25 @@ \subsection{矩阵乘法的定义与基本性质}
 \end{example}
 
 \begin{solution}
-    见教材126页例1.
+    $AB =\begin{pmatrix}
+            0-3 & 3-1   \\
+            1-9 & 3+2-3
+        \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+            -3 & 2 & -8 & 2
+        \end{pmatrix}$,
+
+    $BA=\begin{pmatrix}
+            0+3 & 0+3 & 0-9  \\
+            1+2 & 0+2 & -1-6 \\
+            3+1 & 0+1 & -3-3
+        \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+            3 & 3 & -9 \\
+            3 & 2 & -7 \\
+            4 & 1 & -6
+        \end{pmatrix}$.
 \end{solution}
 
-教材125页下方也介绍了几个矩阵运算的基本性质：
+接下来给出矩阵运算的几个基本性质：
 \begin{enumerate}
     \item $(AB)C=A(BC)$（结合律）
 
@@ -66,7 +106,7 @@ \subsection{矩阵乘法的定义与基本性质}
 
     \item $(B+C)P=BP+CP$（右分配律）
 \end{enumerate}
-证明方法十分简单暴力：直接设出矩阵元素然后暴力计算证明等号两边对应位置（如第$i$行第$j$列元素）相等即可. 125页下方给出了结合律的证明，感兴趣的同学可以参考，实际上记住结论即可.
+证明方法十分简单暴力：直接设出矩阵元素然后暴力计算证明等号两边对应位置（如第$i$行第$j$列元素）相等即可.
 
 实际上，由矩阵加法和乘法满足的运算律可知，全体$n$阶方阵构成的集合$\mathbf{F}^{n\times n}$关于矩阵加法和乘法构成环.
 
@@ -328,10 +368,25 @@ \subsection{可逆的基本概念}
     可逆矩阵$A$的逆矩阵唯一.
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+    若存在两个不同的矩阵 $B,C$ 使得 $BA=AB=CA=AC=E$，则必有 $B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C$，与假设矛盾.
+\end{proof}
+注意这个唯一性的证明，我们在证明群的单位元唯一时使用了完全一致的思想，请务必掌握.
+
 \begin{theorem}{}{}
     设$A,B\in \mathbf{M}_n(\mathbf{F})$，则$AB=E \iff A$与$B$互为逆矩阵（即对于方阵而言，$AB=E\iff BA=E\iff A,B$可逆）.
 \end{theorem}
-这两个定理的证明见教材130页. 特别注意唯一性的证明，我们在证明群的单位元唯一时使用了完全一致的思想，请务必掌握.
+
+\begin{proof}
+    只需证：若 $AB=E$，则必有 $BA=E$.
+    设 $A,B$ 分别是 $\sigma, \tau \in L(V,V)$ 关于 $V$ 的基 $B=\{\epsilon_1,\epsilon_2,\ldots,\epsilon_n\}$ 所对应的矩阵，则：$AB=E \iff \sigma\tau = I_V$.
+
+    因此要证明 $BA=E$，只需证明 $\tau\sigma=I_V$，由 $r(\sigma\tau)=r(I_V)=n \leq \min(r(\sigma),r(\tau))$，得：$r(\sigma)=r(\tau)=n$.
+
+    因此 $\forall \alpha \in V$，均存在唯一的 $\beta \in V$，使得 $\tau(\beta)=\alpha$，从而 $(\tau\sigma)(\alpha)=(\tau\sigma)(\tau(\beta))=\tau(\sigma\tau(\beta))=\tau(\beta)=\alpha$.
+
+    故 $\tau\sigma=I_V$，命题得证.
+\end{proof}
 
 \subsection{基本性质}
 
@@ -367,7 +422,33 @@ \subsection{逆矩阵的求解（基本方法I）}
 \end{example}
 
 \begin{solution}
-    见教材132页例3.
+    以 $A$ 为系数矩阵的非齐次线性方程组 $AX=b$，对于任意的 $b=(b_1,b_2,b_3)$，可以用高斯消元法将其增广矩阵
+
+    \[(A,b)=\left(\begin{array}{ccc:c}
+                1 & -1 & 1 & b_1 \\
+                0 & 1  & 2 & b_2 \\
+                1 & 0  & 4 & b_3
+            \end{array}\right)\] 化为：
+
+    \[\left(\begin{array}{ccc:c}
+                1 & 0 & 0 & 4b_1+4b_2-3b_3 \\
+                0 & 1 & 0 & 2b_1+3b_2-2b_3 \\
+                0 & 0 & 1 & -b_1-b_2+b_3
+            \end{array}\right)\].
+
+    因此，对任意的 $b$，方程组 $AX=b$ 有唯一解：
+    \[X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+            4b_1+4b_2-3b_3 \\2b_1+3b_2-2b_3\\-b_1-b_2+b_3
+        \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
+            4  & 4  & -3 \\
+            2  & 3  & -2 \\
+            -1 & -1 & 1
+        \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\] 即：
+    \[A^{-1}=\begin{pmatrix}
+            4  & 4  & -3 \\
+            2  & 3  & -2 \\
+            -1 & -1 & 1
+        \end{pmatrix}\]
 \end{solution}
 
 关于逆矩阵的求解问题，我们将在介绍完初等变换后介绍第二种基本方法，剩余的进阶解法将在\nameref{chap:矩阵运算进阶}中介绍更多手段，以及我们会介绍矩阵方程求解的方法. 本节我们囿于一些计算技巧和基本概念暂未引入所以无法完全展开这些技巧.