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讲义/专题/9 矩阵运算进阶.tex → 讲义/专题/10 矩阵运算进阶.tex

@@ -1124,184 +1124,6 @@ \section{秩等式与不等式}
     ——魏尔斯特拉斯
 \end{flushright}
 
-\centerline{\heiti A组}
-\begin{enumerate}
-    \item 设$\alpha,\beta$为三维列向量，且$\alpha\beta^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}
-                  -1 & 2  & 1  \\
-                  1  & -2 & -1 \\
-                  2  & -4 & -2
-              \end{pmatrix}$，求$\alpha^\mathrm{T}\beta$.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti B组}
-\begin{enumerate}
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：任一$n$阶方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和.
-              \item 设$A$是$n$阶复矩阵，若$\overline{A}^\mathrm{T}=A$，则称$A$是一个Hermite矩阵. 若$\overline{A}^\mathrm{T}=-A$，则称$A$是一个斜Hermite矩阵. 证明：任一$n$阶复矩阵都可以表示为一个Hermite矩阵与一个斜Hermite矩阵的和.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$A$为$m\times n$阶实矩阵，则$A^\mathrm{T}A=O$的充要条件为$A=O$.
-              \item 设$A$为$m\times n$阶复矩阵，则$\overline{A^\mathrm{T}}A=O$的充要条件为$A=O$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明以下两个命题：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$A$为$n$阶对称矩阵，证明：$A$是零矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
-              \item 设$A$为$n$阶方阵，证明：$A$为反对称矩阵的充要条件为对任意的$n$维向量$\alpha$，都有$\alpha^\mathrm{T}A\alpha=0$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 证明：设$A$是实对称矩阵，若$A^2=O$，则$A=O$.
-
-    \item 设$A,B$为$n$阶方阵，证明：
-          \begin{enumerate}
-              \item 若$A,B$为对称矩阵，则$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
-              \item 若$A$为对称矩阵，$B$为反对称矩阵，则$AB$为反对称矩阵的充要条件为$AB=BA$，$AB$为对称矩阵的充要条件为$AB=-BA$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 求矩阵$\begin{pmatrix}
-                  a  & b  & c  & d  \\
-                  -b & a  & d  & -c \\
-                  -c & -d & a  & b  \\
-                  -d & c  & -b & a
-              \end{pmatrix}$的逆.
-
-    \item 设 $V=\{(a_{ij})_{n \times n} \mid \forall i,j,\enspace a_{ij}=a_{ji}\}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$V$为$\mathbf{F}^{n \times n}$的子空间；
-
-              \item 求$V$的基和维数.
-          \end{enumerate}
-
-    \item $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$表示所有实$n$阶方阵构成的集合. 设$W=\{A\in \mathbf{M}_n(\mathbf{R}) \mid a_{ji}=ka_{ij},\enspace i \leqslant j\}$，求当$k=0,1,2$时，$W$的一组基和维数.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti A组}
-\begin{enumerate}
-    \item 给定$\mathbf{R}^4$的两组基
-          \begin{gather*}
-              \alpha_1=(1,1,1,1),\ \alpha_2=(1,1,-1,-1),\ \alpha_3=(1,-1,1,-1),\ \alpha_4=(1,-1,-1,1) \\
-              \beta_1=(1,1,0,1),\ \beta_2=(2,1,3,1),\ \beta_3=(1,1,0,0),\ \beta_4=(0,1,-1,-1)
-          \end{gather*}
-          求由基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$到基$\beta_1,\beta_2,\beta_3,\beta_4$的过渡矩阵，并求向量$\xi=(1,0,0,-1)$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$下的坐标.
-
-    \item 证明：矩阵添加一列（或一行），其秩或不变，或增加1.
-
-    \item 设$A$是$s \times n$矩阵，$B$是$A$前$m$行构成的$m \times n$矩阵，证明：$r(B) \geqslant r(A) + m - s$.
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti B组}
-\begin{enumerate}
-    \item 利用列向量线性相关性，证明矩阵秩不等式：\[|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B) \leqslant r(A)+r(B)\]
-
-    \item 设$W$是$n$维线性空间$V$的一个非平凡子空间，$W$中取一组基$\delta_1,\ldots,\delta_m$，按如下两种方式将其扩充为$V$的一组基：
-          \begin{align*}
-              B_1 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n\} \\
-              B_2 & =\{\delta_1,\ldots,\delta_m,\beta_{m+1},\ldots,\beta_n\}
-          \end{align*}
-          设基$B_1$到$B_2$的过渡矩阵为$P$，求商空间$V/W$的基$\alpha_{m+1}+W,\ldots,\alpha_n+W$到$\beta_{m+1}+W,\ldots,\beta_n+W$的过渡矩阵.
-
-    \item 证明：当$n$为奇数时，$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$线性无关的充要条件是$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\ldots,\alpha_n+\alpha_1$线性无关.
-
-    \item 设
-          \[B_1=\left\{\begin{pmatrix}
-                  1 & 0 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  0 & 1 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  0 & 0 \\ 1 & 0
-              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-                  0 & 0 \\ 0 & 1
-              \end{pmatrix}\right\},\]
-          \[B_2=\left\{\begin{pmatrix}
-                  1 & 0 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 0 & 0
-              \end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 1 & 0
-              \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-                  1 & 1 \\ 1 & 1
-              \end{pmatrix}\right\}.\]
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$B_2$也是线性空间$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的基；
-
-              \item 求基$B_2$变为基$B_1$的变换矩阵；
-
-              \item 求$\mathbf{M}_2(\mathbf{R})$的一组基$B_3=\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$，使得$A_i^2=A_i,\enspace i=1,2,3,4$；
-
-              \item 已知矩阵$A$关于基$B_2$的坐标为$(1,1,1,1)^\mathrm{T}$，求$A$关于基$B_3$的坐标.
-          \end{enumerate}
-
-    \item （利用相抵标准形）证明以下结论：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$列满秩矩阵，证明：存在$s$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=CB_1$；
-
-              \item 设$B_1,B_2$为$s \times n$行满秩矩阵，证明：存在$n$阶可逆矩阵$C$使得$B_2=B_1C$；
-
-              \item 任意秩为$r$的矩阵都可以被分解为$r$个秩为1的矩阵之和；
-
-              \item 已知$A$是$n$阶方阵，证明：存在$n$阶方阵$B$使得$A=ABA,\enspace B=BAB$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$B$是$3 \times 1$矩阵，$C$是$1 \times 3$矩阵，证明：$r(BC) \leqslant 1$. 反之，若$A$是秩为1的$3 \times 3$矩阵，证明：存在$3 \times 1$矩阵$B$和$1 \times 3$矩阵$C$，使得$A = BC$.
-
-    \item 设$\alpha,\beta$为$n$维列向量，且$A=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$r(A) \leqslant 2$；
-
-              \item 若$\alpha,\beta$线性相关，证明：$r(A) \leqslant 1$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设 $A \in \mathbf{M}_{m \times n}(\mathbf{F})$，$r(A)=r$，$k$ 是满足条件 $r \leqslant k \leqslant n$ 的任意整数，证明存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得 $AB=O$，且 $r(A)+r(B)=k$.
-
-    \item 设$A$是$m \times n$矩阵（$m \leqslant n$），$r(A)=m$，证明：存在$n \times m$矩阵$B$使得$AB=E$.
-
-    \item 设$A,B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F})$，$r(A)+r(B) \leqslant n$，证明：存在可逆矩阵$M$，使得$AMB=O$.
-
-    \item 设$S(A)=\{B \in \mathbf{M}_n(\mathbf{F}) \mid AB=0\}$.
-          \begin{enumerate}
-              \item 证明：$S(A)$为$\mathbf{M}_n(\mathbf{F})$的子空间；
-
-              \item 设$r(A)=r$，求$S(A)$的一组基和维数.
-          \end{enumerate}
-
-    \item 设$A$为$n$阶实方阵且$r(A)=r>0$，证明存在秩为$r$的实方阵$B$和$C$使得$AB=CA$. % 新题，需要答案
-
-    \item 设$r(A)=r$，证明：存在$n$阶矩阵$B$满足$r(B)=n-r$，使得$AB=O$. % 新题，需要答案
-
-    \item 设$A$和$B$是两个$n$阶实方阵，证明：$r(A)=r(AB)$当且仅当存在$n$阶实方阵$C$使得$A=ABC$. % 新题，需要答案
-\end{enumerate}
-
-\centerline{\heiti C组}
-\begin{enumerate}
-    \item （打洞法）已知$A$是一个$s \times n$矩阵，证明：$r(E_n-A^\mathrm{T}A)-r(E_s-AA^\mathrm{T})=n-s$.
-
-    \item 利用打洞法完成以下两个问题（\ref*{item:11:C:1} 也可以不使用打洞法，可以思考其他方式解决）：
-          \begin{enumerate}
-              \item 设$n$阶方阵$A,B,C,D$满足$AC+BD=E$，证明：$r(AB) = r(A)+r(B)-n$；
-
-              \item \label{item:11:C:1}
-                    $n$阶方阵$A,B$满足$AB=BA$，证明：$r(AB)+r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$.
-          \end{enumerate}
-
-    \item $f(x)=f_1(x)f_2(x)$是多项式，且$f_1(x)$与$f_2(x)$互素，则$f(A)=O$的充要条件是$r(f_1(A))+r(f_2(A))=n$. （注：此题的推论非常多，如$A^2=A$，$A^n=E$等形式的结论都可以利用这个例子推导出）
-
-    \item 设$A,B$分别为$3 \times 2$和$2 \times 3$实矩阵. 若$AB=\begin{pmatrix}
-                  8             & 0 & -4 \\[1ex]
-                  -\dfrac{3}{2} & 9 & -6 \\[1ex]
-                  -2            & 0 & 1
-              \end{pmatrix}$，求$BA$.
-
-    \item 设矩阵$A \in \mathbf{F}^{m \times n}$，$A$的秩$r(A)=r$，定义$\mathbf{F}^{n \times p}$到$\mathbf{F}^{m \times p}$的线性映射$\sigma$，使得$\forall X \in \mathbf{F}^{n \times p}$，$\sigma(X)=AX$. 求$\sigma$核空间的维数.
-\end{enumerate}
-
 \centerline{\heiti A组}
 \begin{enumerate}
     \item 设方阵$A$满足$A^2-A-2E=O$，证明：
@@ -1319,6 +1141,12 @@ \section{秩等式与不等式}
 
               \item $r(A)=r(B)$.
           \end{enumerate}
+
+    \item 求下列矩阵的可逆的条件与逆矩阵：$\begin{pmatrix}
+            A & B \\ O & D
+        \end{pmatrix},\enspace \begin{pmatrix}
+            O & B \\ C & D
+        \end{pmatrix}$.
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti B组}
@@ -1370,6 +1198,19 @@ \section{秩等式与不等式}
               \item $(A+E)^{-1}$.
           \end{enumerate}
           % 新题，需要答案
+
+    \item 利用列向量线性相关性，证明矩阵秩不等式：\[|r(A)-r(B)|\leqslant r(A\pm B) \leqslant r(A)+r(B)\]
+
+    \item 设$B$是$3 \times 1$矩阵，$C$是$1 \times 3$矩阵，证明：$r(BC) \leqslant 1$. 反之，若$A$是秩为1的$3 \times 3$矩阵，证明：存在$3 \times 1$矩阵$B$和$1 \times 3$矩阵$C$，使得$A = BC$.
+
+    \item 设$\alpha,\beta$为$n$维列向量，且$A=\alpha\alpha^\mathrm{T}+\beta\beta^\mathrm{T}$.
+        \begin{enumerate}
+            \item 证明：$r(A) \leqslant 2$；
+
+            \item 若$\alpha,\beta$线性相关，证明：$r(A) \leqslant 1$.
+        \end{enumerate}
+
+    \item 设$A$和$B$是两个$n$阶实方阵，证明：$r(A)=r(AB)$当且仅当存在$n$阶实方阵$C$使得$A=ABC$. % 新题，需要答案
 \end{enumerate}
 
 \centerline{\heiti C组}
@@ -1399,4 +1240,34 @@ \section{秩等式与不等式}
                               &   &   &        & 0
                         \end{pmatrix}$可交换的矩阵$A$都可以写成$J$的一个多项式，即$A=a_{11}E+a_{12}J+a_{13}J^2+\cdots+a_{1n}J^{n-1}$.
           \end{enumerate}
+
+    \item 证明：若$n$阶矩阵$A$的各阶左上角子块矩阵都可逆，则存在$n$阶下三角矩阵$B$，使得$BA$为上三角矩阵.
+
+    \item 设$A$是数域$\mathbf{F}$上的$n$阶可逆矩阵，把$A$和$A^{-1}$做如下分块：
+        \[A=\begin{pmatrix}
+                A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
+            \end{pmatrix},\enspace A^{-1}=\begin{pmatrix}
+                B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}
+            \end{pmatrix}\]
+        其中$A_{11}$是$l \times k$矩阵，$B_{11}$是$k \times l$矩阵，$l$，$k$是小于$n$的正整数. 用$W$表示$A_{12}X=0$的解空间，$U$表示$B_{12}Y=0$的解空间，其中$X$和$Y$为列向量，证明$W$与$U$同构.
+
+    \item $A$的Schur补以及商等式$A/B=(A/C)/(B/C)$% 新题，需要答案
+
+    \item 已知$A$是一个$s \times n$矩阵，证明：$r(E_n-A^\mathrm{T}A)-r(E_s-AA^\mathrm{T})=n-s$.
+
+    \item 利用打洞法完成以下两个问题（\ref*{item:11:C:1} 也可以不使用打洞法，可以思考其他方式解决）：
+          \begin{enumerate}
+              \item 设$n$阶方阵$A,B,C,D$满足$AC+BD=E$，证明：$r(AB) = r(A)+r(B)-n$；
+
+              \item \label{item:11:C:1}
+                    $n$阶方阵$A,B$满足$AB=BA$，证明：$r(AB)+r(A+B)\leqslant r(A)+r(B)$.
+          \end{enumerate}
+
+    \item $f(x)=f_1(x)f_2(x)$是多项式，且$f_1(x)$与$f_2(x)$互素，则$f(A)=O$的充要条件是$r(f_1(A))+r(f_2(A))=n$. （注：此题的推论非常多，如$A^2=A$，$A^n=E$等形式的结论都可以利用这个例子推导出）
+
+    \item 设$A,B$分别为$3 \times 2$和$2 \times 3$实矩阵. 若$AB=\begin{pmatrix}
+                  8             & 0 & -4 \\[1ex]
+                  -\dfrac{3}{2} & 9 & -6 \\[1ex]
+                  -2            & 0 & 1
+              \end{pmatrix}$，求$BA$.
 \end{enumerate}