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讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -387,7 +387,7 @@ \section{线性空间的定义}
 
 这两条性质将进一步加深``一一对应''的含义. 第一条关于加法的性质实际上说明了，在$\mathbf{R}$中任意两个元素$x$和$y$做$\mathbf{R}$中的加法的结果，与$x$和$y$``凑对''的元素$\varphi(x)$和$\varphi(y)$做$\mathbf{R}^+$中的加法的结果也是``凑对''的，也就是说，$\mathbf{R}$中两个元素做了加法，正好对应于$\mathbf{R}^+$中的两个元素也做了加法. 例如，$\mathbf{R}$中元素$2$和$3$做加法后结果为$5$，而$\mathbf{R}^+$中元素$e^2$和$e^3$做$\mathbf{R}^+$中加法后结果为$e^5$，所有参与加法的三个元素是完全对应的. 事实上数乘也是如此，对$\mathbf{R}$中元素的数乘运算也对应于$\mathbf{R}^+$中对应的元素做数乘运算. 具有这样保持两个代数结构运算的性质的映射$\varphi$我们称之为``同态''，特别地，若代数结构为线性空间，则称之为``线性映射''. 更进一步地，若映射$\varphi$是双射，则称之为``同构''，特别地，若代数结构为线性空间，则称之为``线性同构''（或者在线性代数的讨论场景下，不产生歧义时简称同构）. 我们在此给出一个初步的定义：
 \begin{definition}{}{同构}
-    设$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，若映射$\varphi\colonV(\mathbf{F})\to W(\mathbf{F})$满足
+    设$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，若映射$\varphi\colon V(\mathbf{F})\to W(\mathbf{F})$满足
     \begin{gather*}
         \varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta),\enspace\forall\alpha,\beta\in V(\mathbf{F}) \\
         \varphi(\lambda\alpha)=\lambda\varphi(\alpha),\enspace\forall\alpha\in V(\mathbf{F}),\enspace\forall\lambda\in\mathbf{F}