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docs: 修订对偶、行列式、线性方程组，新增几何与优化模块
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@yhwu-is
yhwu-is committed Oct 15, 2024
1 parent a939f91 commit eee2e9f
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81 changes: 43 additions & 38 deletions 讲义/专题/10 行列式.tex
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Expand Up @@ -759,7 +759,7 @@ \subsection{范德蒙（Vandermonde）行列式}
由于$V_1,V_2,\ldots,V_s$是$V$的非平凡子空间，因此每个子空间最多包含$\{\beta_k\}$中$n-1$个向量，进而$V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$只包含$\{\beta_k\}$中有限个向量，所以必然存在一个向量$\beta_j$使得$\beta_j \notin V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s$.
\end{proof}

行列式计算的核心思想：观察行列式的特征，通过用一行消去其它所有行或者通过逐行相减化出更多的 $0$，得到模板行列式（例如上三角、箭形等）求解；或者通过一些明显的技巧性方法（例如递推法）来求解.
下面我们将介绍行列式运算的一些技巧，这些技巧有一些可以总结的核心思想：观察行列式的特征，通过用一行消去其它所有行或者通过逐行相减化出更多的 $0$，得到模板行列式（例如上三角、箭形等）求解；或者通过一些明显的技巧性方法（例如递推法）来求解.

\subsection{化三角形法}

Expand Down Expand Up @@ -837,26 +837,26 @@ \subsection{连加法}
观察到每一行的和都是相同的，所以我们可以将每一列都累加到第一列上，得到
\begin{align*}
D_n & =\begin{vmatrix}
\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i-m & x_2 & \cdots & x_n \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i-m & x_2-m & \cdots & x_n \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m & x_2 & \cdots & x_n \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m & x_2-m & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i-m & x_2 & \cdots & x_n-m
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m & x_2 & \cdots & x_n-m
\end{vmatrix} \\
& =\left(\sum_{i=1}^{n} x_i-m\right)
& =\left(\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m\right)
\begin{vmatrix}
1 & x_2 & \cdots & x_n \\
1 & x_2-m & \cdots & x_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_2 & \cdots & x_n-m
\end{vmatrix} \\
& =\left(\sum_{i=1}^{n} x_i-m\right)
& =\left(\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m\right)
\begin{vmatrix}
1 & x_2 & \cdots & x_n \\
& -m & & \\
& & \ddots & \\
& & & -m
\end{vmatrix} \\
& =(-m)^{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i-m\right).
& =(-m)^{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}\limits x_i-m\right).
\end{align*}
\end{solution}

Expand Down Expand Up @@ -1503,7 +1503,7 @@ \section{Laplace定理}

\section{Cauchy-Binet 公式}

我们已经证明，方阵乘积的行列式等于各方阵行列式之积. 现在的问题是：如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，$AB$ 是 $m$ 阶方阵，则行列式 $|AB|$ 应该等于什么？Cauchy-Binet（柯西–毕内）公式回答了这个问题. 它可以看成是矩阵乘法的行列式定理的推广.
我们已经证明，方阵乘积的行列式等于各方阵行列式之积. 现在的问题是：如果 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，$AB$ 是 $m$ 阶方阵，则行列式 $|AB|$ 应该等于什么？Cauchy-Binet 公式回答了这个问题. 它可以看成是矩阵乘法的行列式定理的推广.

\begin{theorem}{Cauchy-Binet 公式}{Cauchy-Binet 公式}
设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵.
Expand All @@ -1516,9 +1516,9 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
表示 $A$ 的一个 $s$ 阶子式，它由 $A$ 的第 $i_1, \cdots, i_s$ 行与第 $j_1, \cdots, j_s$ 列交点上的元素按原次序排列组成的行列式. 同理可定义 $B$ 的 $s$ 阶子式.
\begin{enumerate}
\item 若 $m > n$，则必有 $|AB| = 0$；
\item 若 $m \leq n$，则必有
\item 若 $m \leqslant n$，则必有
$$
|AB| = \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leq n} A
|AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
Expand Down Expand Up @@ -1557,9 +1557,9 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
|M| = (-1)^{(n+1)+(n+2)+\cdots+(n+m)} \cdot I_n ||AB| = (-1)^{n(m+1)} |AB|.
$$

再来计算 $|C|$，用 Laplace 定理按前 $m$ 行展开. 这时若 $m > n$，则前 $m$ 行中任意一个 $m$ 阶子式至少有一列全为零，因此行列式值等于零，即 $|AB| = 0$. 若 $m \leq n$，则由 Laplace 定理得
再来计算 $|C|$，用 Laplace 定理按前 $m$ 行展开. 这时若 $m > n$，则前 $m$ 行中任意一个 $m$ 阶子式至少有一列全为零，因此行列式值等于零，即 $|AB| = 0$. 若 $m \leqslant n$，则由 Laplace 定理得
$$
|C| = \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leq n} A
|C| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
Expand Down Expand Up @@ -1595,7 +1595,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}

注意到 $ (i_1 + i_2 + \cdots + i_{n-m}) + (j_1 + j_2 + \cdots + j_m) = 1 + 2 + \cdots + n $.综合上面的结论，经过简单计算不难得到

$$ |AB| = \sum_{1 \leq j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leq n} A
$$ |AB| = \sum_{1 \leqslant j_1 < j_2 < \cdots < j_m \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & m \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_m
Expand All @@ -1611,17 +1611,18 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
下面的定理是 Cauchy-Binet 公式的进一步推广，它告诉我们如何求矩阵乘积的 $r$ 阶子式.

\begin{theorem}{}{Cauchy-Binet 公式推广}
设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵，$r$ 是一个正整数且 $r \leq m$.
设 $A = (a_{ij})$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B = (b_{ij})$ 是 $n \times m$ 矩阵，$r$ 是一个正整数且 $r \leqslant m$.
\begin{enumerate}
\item 若 $r > n$，则 $AB$ 的任意一个 $r$ 阶子式等于零；
\item 若 $r \leq n$，则 $AB$ 的 $r$ 阶子式
$$
\item 若 $r \leqslant n$，则 $AB$ 的 $r$ 阶子式
\end{enumerate}
\[
AB
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{pmatrix}
= \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leq n} A
= \sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
k_1 & k_2 & \cdots & k_r
Expand All @@ -1631,8 +1632,7 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
k_1 & k_2 & \cdots & k_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{pmatrix}.
$$
\end{enumerate}
\]
\end{theorem}

\begin{proof}
Expand Down Expand Up @@ -1665,14 +1665,14 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{pmatrix} = 0$；当 $r \leq n$ 时，
\end{pmatrix} = 0$；当 $r \leqslant n$ 时，
$$
C
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
j_1 & j_2 & \cdots & j_r
\end{pmatrix} $$
$$ =\sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leq n} A
$$ =\sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
k_1 & k_2 & \cdots & k_r
Expand All @@ -1693,36 +1693,36 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}
如果满足条件 $i_1 = j_1, i_2 = j_2, \cdots, i_r = j_r$，则称为主子式.

\begin{corollary}{}{}
设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，则矩阵 $AA'$ 的任一主子式都非负.
设 $A$ 是 $m \times n$ 实矩阵，则矩阵 $AA\mathrm{T}$ 的任一主子式都非负.
\end{corollary}

\begin{proof}
若 $r \leq n$，则由 \autoref{thm:Cauchy-Binet 公式推广} 得到：
$$ AA'
若 $r \leqslant n$，则由 \autoref{thm:Cauchy-Binet 公式推广} 得到：
$$ AA\mathrm{T}
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
i_1 & i_2 & \cdots & i_r
\end{pmatrix}
= \sum_{1 \leq k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leq n} A
= \sum_{1 \leqslant k_1 < k_2 < \cdots < k_r \leqslant n} A
\begin{pmatrix}
i_1 & i_2 & \cdots & i_r \\
k_1 & k_2 & \cdots & k_r
\end{pmatrix}^2 \geq 0; $$
若 $r > n$，则 $AA'$ 的任一 $r$ 阶主子式等于零，结论也成立.
\end{pmatrix}^2 \geqslant 0; $$
若 $r > n$，则 $AA\mathrm{T}$ 的任一 $r$ 阶主子式等于零，结论也成立.
\end{proof}

下面介绍 Cauchy-Binet 公式的两个重要应用. 它们分别是著名的 Lagrange (拉格朗日) 恒等式和 Cauchy-Schwarz (柯西-许瓦茨) 不等式. 这两个结论也可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁.
下面介绍 Cauchy-Binet 公式的两个重要应用. 它们分别是著名的 Lagrange 恒等式和 Cauchy-Schwarz 不等式. 这两个结论也可以用其他方法证明，但用矩阵方法显得非常简洁.

\begin{example}{}{}
证明 Lagrange 恒等式 $(n \geq 2)$：
$$ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. $$
证明 Lagrange 恒等式 $(n \geqslant 2)$：
$$ \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2 = \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2. $$
\end{example}

\begin{solution}
左边的式子等于
$$ \begin{vmatrix}
\sum_{i=1}^{n} a_i^2 & \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\
\sum_{i=1}^{n} a_i b_i & \sum_{i=1}^{n} b_i^2
\sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\
\sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2
\end{vmatrix}, $$

这个行列式对应的矩阵可化为：
Expand All @@ -1740,22 +1740,22 @@ \section{Cauchy-Binet 公式}

$$
\begin{vmatrix}
\sum_{i=1}^{n} a_i^2 & \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \\
\sum_{i=1}^{n} a_i b_i & \sum_{i=1}^{n} b_i^2
\sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 & \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \\
\sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i & \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2
\end{vmatrix}
= \sum_{1 \leq i < j \leq n}
= \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n}
\begin{vmatrix}
a_i & a_j \\
b_i & b_j
\end{vmatrix}^2
= \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j - a_j b_i)^2.
= \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} (a_i b_j - a_j b_i)^2.
$$
\end{solution}

\begin{example}{}{}
设 $a_i, b_i$ 都是实数，证明 Cauchy-Schwarz 不等式：
$$
\left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2.
\left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\limits b_i^2 \right) \geqslant \left( \sum_{i=1}^{n}\limits a_i b_i \right)^2.
$$
\end{example}

Expand Down Expand Up @@ -2581,7 +2581,7 @@ \subsection{关于秩的总结}
& & & a_n
\end{vmatrix} \\
= & \left(\prod_{k=1}^{n} a_{k}+\frac{1}{a_{2}}
\prod_{k=1}^{n} a_{k}\right)\left(1+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}}\right).
\prod_{k=1}^{n} a_{k}\right)\left(1+\sum_{i=1}^{n}\limits \frac{1}{a_{i}}\right).
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{answer}
Expand Down Expand Up @@ -3411,6 +3411,11 @@ \subsection{关于秩的总结}
\end{exgroup}

\begin{exgroup}
\item 证明：无法定义非方阵的行列式，使其与方阵行列式的定义相容.
\begin{answer}

\end{answer}

\item 设$A=(a_{ij})$是$n\enspace(n\geqslant 2)$阶整数方阵，满足对任意的$i,j$，$|A|$均可整除$a_{ij}$，证明：$|A|=\pm 1$.
\begin{answer}
设 $a_{ij} = |A| b_{ij}$，其中 $b_{ij}$ 为整数，则
Expand Down
32 changes: 14 additions & 18 deletions 讲义/专题/11 朝花夕拾.tex
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Expand Up @@ -11,8 +11,16 @@ \subsection{线性方程组解的一般理论}
\begin{theorem}{线性方程组有解的充要条件}{有解条件}
线性方程组有解的充分必要条件是其系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.
\end{theorem}
定理的证明非常简单，这里简要介绍思路：将方程组视为$x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots+x_n\beta_n=\vec{b}$（$\beta_i$就是系数矩阵的第$i$列），则有解的条件为$\vec{b}$可以被$\beta_1,\ldots,\beta_n$线性表示，这等价于向量组$(\beta_1,\ldots,\beta_n)$与$(\beta_1,\ldots,\beta_n,\vec{b})$等价，故定理成立.
定理的证明非常简单，这里简要介绍思路：将方程组视为$x_1\beta_1+x_2\beta_2+\cdots+x_n\beta_n=\vec{b}$（$\beta_i$就是系数矩阵的第$i$列），则有解的条件为$\vec{b}$可以被$\beta_1,\ldots,\beta_n$线性表示，这等价于向量组$(\beta_1,\ldots,\beta_n)$与$(\beta_1,\ldots,\beta_n,\vec{b})$等价，故定理成立. 下面是一个应用的例子：

\begin{example}{}{}
设$n$阶矩阵$A$的行列式$|A|\neq 0$，记$A$的前$n-1$列形成的矩阵为$A_1$，$A$的第$n$列为$\vec{b}$，问：线性方程组$A_1X=\vec{b}$是否有解？
\end{example}
\begin{solution}
无解；$|A|\neq 0$可知$r(A)=n$，$r(A_1)=n-1$，因此系数矩阵$A_1$的秩小于增广矩阵$A$的秩$n$，故无解.
\end{solution}

下面这一定理讨论方程组有解的情况下，唯一解和无穷解的条件，根据高斯消元法这一定理是很显然的：
\begin{theorem}{}{方程组解}
当方程组有解时（注意这个前提），以下定理成立：
\begin{enumerate}
Expand All @@ -21,18 +29,8 @@ \subsection{线性方程组解的一般理论}
\item 如果$A$的秩小于$n$，则方程组有无穷多个解.
\end{enumerate}
\end{theorem}
实际上，当系数矩阵为方阵时，这一定理就是 \nameref{thm:Cramer}结论的一部分，我们不再赘述其证明. 实际上，通过上面两个定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.
\begin{example}{}{}
设$n$阶矩阵$A$的行列式$|A|\neq 0$，记$A$的前$n-1$列形成的矩阵为$A_1$，$A$的第$n$列为$\vec{b}$，问：线性方程组$A_1X=\vec{b}$是否有解？
\end{example}

\begin{solution}
无解；$|A|\neq 0$可知$r(A)=n$，$r(A_1)=n-1$，因此系数矩阵$A_1$的秩小于增广矩阵$A$的秩$n$，故无解.
\end{solution}

\section{Cramer法则}

从历史角度来开，引入行列式是用于求解线性方程组的. 瑞士数学家克莱姆（Cramer）于1750年在他的《线性代数分析导言》中发表了这一方法. 事实上莱布尼兹〔1693〕，以及麦克劳林〔1748〕亦研究了这一法则，但他们的记法不如克莱姆清晰. 接下来我们介绍这一充满历史底蕴的定理：
当系数矩阵为方阵时，这一定理就是著名的\nameref{thm:Cramer}结论的一部分. 从历史角度来开，引入行列式是用于求解线性方程组的. 瑞士数学家克莱姆（Cramer）于1750年在他的《线性代数分析导言》中发表了这一方法. 事实上莱布尼兹〔1693〕，以及麦克劳林〔1748〕亦研究了这一法则，但他们的记法不如克莱姆清晰. 接下来我们介绍这一充满历史底蕴的定理：
\begin{theorem}{Cramer法则}{Cramer} \index{Cramer@Cramer 法则 (Cramer's rule)}
对线性方程组
\begin{gather}
Expand Down Expand Up @@ -140,7 +138,7 @@ \section{Cramer法则}
\[x_1=\dfrac{D_1}{D}=\dfrac{a_2a_3}{(a_2-a_1)(a_3-a_1)},\]\[x_2=\dfrac{D_2}{D}=\dfrac{a_1a_3}{(a_1-a_2)(a_3-a_2)},\]\[x_3=\dfrac{D_3}{D}=\dfrac{a_1a_2}{(a_1-a_3)(a_2-a_3)}.\]
\end{solution}

事实上，Cramer法则在定理内容中已经给我们提供了关于线性方程组解的理论的重要结论——它实现了我们第一讲中提到的方程组解的情况的更一般化的讨论，即不需要化为简化阶梯矩阵就可以利用更为一般化的结论判断方程组解的情况，我们将在朝花夕拾中进行更完整的讨论.
因此通过上述定理我们首先了解了线性方程组有无解的一般准则，然后讨论了有解前提下唯一解、无穷解对应于什么情况，并且给出了求解的方法. 事实上，有关线性方程组解的情况的讨论至此文意已尽. 无论是理论层面或是解决题目的方面，这两个定理都为我们提供了足量的信息.

\subsection{齐次线性方程组解的一般理论}

Expand Down Expand Up @@ -269,7 +267,7 @@ \subsection{非齐次线性方程组解的一般理论}
即$\eta_2-\eta_1,\eta_3-\eta_1,\ldots,\eta_{n-r+2}-\eta_1$线性无关，因此$AX=\vec{0}$的解向量至少有$n-r+1$个线性无关，这与$AX=\vec{0}$的解空间维数为$n-r$矛盾，故假设不成立，命题得证.
\end{proof}

\subsection{从对偶到线性方程组}
\section{线性方程组解的几何解释}

接下来从对偶空间的角度探讨一下线性方程组的结构问题. 考虑方程组 $Ax = b$，我们将其写开：

Expand Down Expand Up @@ -298,7 +296,7 @@ \subsection{从对偶到线性方程组}

我们知道，这样的一组纤维构成一个仿射子集，而仿射子集无非就是一个超平面，所以，现在上面的直观已经被用代数的语言描述了. 接下来，让我们考察仿射子集的交，也就是以下引理：

\begin{lemma}
\begin{lemma}{}{}
仿射子集的交如果非空，则它依然是仿射子集.
\end{lemma}

Expand Down Expand Up @@ -338,9 +336,7 @@ \subsection{从对偶到线性方程组}
\bigcap_{i = 1}^m \varphi_i^{-1} (b_i) = v_0 + \bigcap_{i = 0}^m \ker \varphi_i
\]

我们将前面部分称为特解，后面部分称为通解. 而通解如我们所见就是 $Ax = 0$ 的解. 于是，参照我们在 1.3 节末尾给出的评述，$Ax = 0$ 的解空间的维数就是 $\dim N(\mathop{\mathrm{span}} \{\varphi_i\}) = \dim V - \mathop{\mathrm{span}} \{\varphi_i\}$. 因此，我们只需考察在 $m$ 个线性泛函当中，有多少个是线性无关的. 而在我们给出了对偶空间中的坐标之后，这就等价于是一个求矩阵秩的问题了.

最后的一个反思是，对偶空间的意义到底在哪？在最开始，我们已经提到过，线性泛函就是超平面，超平面与点具备对偶关系. 而这样的对偶关系延伸开去，就是两种对线性方程组的视角，其中，超平面的交的视角在上文中已经得到了充分的解释，而点的视角还没说明.如果将 $(a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in})$ 视作一个点，那么我们的求解任务就是找一个超平面过 $m$ 个点. 而我们在中学阶段就已经知道，要证明一组点共面是一个比较麻烦的事情，但是求一组面是否有交点往往来说是比较轻松的. 因此，我们通过对偶空间进行了一个翻译工作，将求一组点所共的那些面转化成了一些面所交的那些点，进而对问题完成了简化.
我们将前面部分称为特解，后面部分称为通解. 而通解如我们所见就是 $Ax = 0$ 的解. 于是，参照\autoref{thm:零化子维数}以及\autoref{lem:NU性质}，$Ax = 0$ 的解空间的维数就是 $\dim N(\mathop{\mathrm{span}} \{\varphi_i\}) = \dim V - \mathop{\mathrm{span}} \{\varphi_i\}$. 因此，我们只需考察在 $m$ 个线性泛函当中，有多少个是线性无关的. 而在我们给出了对偶空间中的坐标之后，这就等价于是一个求矩阵秩的问题了.

\section{理论应用}

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