docs: 二次型重新修改

讲义/专题/10 行列式.tex

@@ -1915,7 +1915,7 @@ \section{行列式的秩}
 \subsection{行列式的秩}
 
 首先我们需要给出矩阵的子式、主子式的定义，然后给出相关的顺序主子式的定义.
-\begin{definition}{}{}
+\begin{definition}{}{子式、主子式、顺序主子式}
     矩阵$A=(a_{ij})_{n \times n}$的任意$k$行（$i_1<i_2<\cdots<i_k$行）和任意$k$列（$j_1<j_2<\cdots<j_k$列）的交点上的$k^2$个元素排成的行列式
     \[\begin{vmatrix}
             a_{i_1j_1} & a_{i_1j_2} & \cdots & a_{i_1j_k} \\

讲义/专题/19 内积空间.tex

@@ -93,6 +93,15 @@ \subsection{正交的定义 \quad 基于正交的性质}
     设 $u, v$ 是 $V$ 中的正交向量，则 $\lVert u + v \rVert^2 = \lVert u \rVert^2 + \lVert v \rVert^2 $.
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+    因为 $u, v$ 互相正交，所以 $\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle = 0$.
+    \begin{align*}
+        \lVert u + v \rVert^2 & = \langle u + v, u + v \rangle \\
+                              & = \langle u, u \rangle + \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle \\
+                              & = \lVert u \rVert^2 + \lVert v \rVert^2
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
 注意勾股定理的逆定理仅在实内积空间上成立.
 
 借助于正交的性质，我们能够简化很多与内积相关的计算，进而会很自然的思考这样一个问题：一个向量能否分解两个互相正交的向量？