update

docs/books/Algorithm.md

@@ -225,14 +225,13 @@ $$
     一般实现的要点：
 
     - 若队列大小为 `size`，则数组大小为 `size + 1`。
-    - 两个索引 `front` 和 `end` 分别指向队列头部元素和**尾部元素的一位**。
+    - 两个索引 `front` 和 `end` 分别指向队列头部元素和**尾部元素的后一位**。
         - 注意 `end` 上没有元素，这样可以区分队列为空和队列已满的情况。
     - 空队列时，`front == end`；满队列时，`front == (end + 1) % size`。总是有一个位置空余。
     - 实现时，注意对索引取模，模数为数组的大小（想想为什么）。
 
     留出的一个空位使得空队列和其他情况可以统一处理。如果要利用数组中的所有元素，则需要额外记录队列中元素的个数或设置标记位。
 
-<!-- prettier-ignore-start -->
 ??? success "队列练习"
 
     - [处理上溢和下溢](Algorithm/ds/10.1.4_queue_overflow.c)

docs/courses-zju/discrete-math.md

@@ -0,0 +1,314 @@
+# 离散数学
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! abstract "课程信息"
+
+    - 时间：2023-2024 学年 秋冬学期
+    - 授课教师：金小刚
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+## 逻辑与证明
+
+| 英文        | 中文 |
+| ----------- | ---- |
+| proposition | 命题 |
+| predicate   | 谓词 |
+| quantifier  | 量词 |
+| cardinality | 基数 |
+| hypothesis  | 假设 |
+| antecedent  | 前件 |
+| premise     | 前提 |
+| conclusion  | 结论 |
+| consequence | 结果 |
+
+### 逻辑
+
+从上到下，优先级递减。
+
+| 算符     | 名称              | 有关的运算性质 |
+| -------- | ----------------- | -------------- |
+| $\neg$   | 非 negation       | 无             |
+| $\wedge$ | 合取 conjunction  |                |
+| $\vee$   | 析取 disjunction  |                |
+| $\oplus$ | 异或 exclusive or |                |
+| $\rightarrow$     | 条件语句 condition statement<br>蕴含 implication       |                |
+| $\leftrightarrow$ | 双条件语句 biconditional statement<br>等价 equivalence |     
+
+-   从两个及以上命题构造新命题的逻辑运算符称为**联结词（connectives）**。
+-   逻辑中的蕴含与因果没有关系。
+-   逆命题、逆否命题、反命题
+-   两个复合命题，不论变量的取值如何，真值总是相同，则称这两个复合命题**等价**。
+
+### 优先级
+
+$\neg$ > $\wedge$ > $\vee$ > $\rightarrow$ > $\leftrightarrow$
+
+### 命题的等价与化简
+
+| 公式                  | 名称                       | 化简                                      |
+| --------------------- | -------------------------- | ----------------------------------------- |
+| $p \wedge \neg p$     | 矛盾式 contradiction       | F                                         |
+| $p \vee \neg p$       | 永真式 tautology           | T                                         |
+| $p \rightarrow q$     | 蕴含式 implication         | $\neg p \vee q$                           |
+| $p \leftrightarrow q$ | 等价式 equivalence         | $(p\wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)$ |
+| $\neg (p \wedge q)$   | 德摩根定律 De Morgan's law | $\neg p \vee \neg q$                      |
+| $\neg (p \vee q)$     | 德摩根定律 De Morgan's law | $\neg p \wedge \neg q$                    |
+
+-   $p \leftrightarrow q$ 永真，则称 $p$ 与 $q$ 等价，记 $p \equiv q$。注意：$\equiv$ 和 $\Leftrightarrow$ 不是逻辑联结词，而是代表这一语句。
+
+## 基本结构：集合、函数、序列、求和与矩阵
+
+|         Eng          |      中文       |
+| :------------------: | :-------------: |
+|    universal set     |      全集       |
+| open/closed interval |    开/闭区间    |
+|    singleton set     |    单元素集     |
+|     Venn diagram     |     维恩图      |
+|  **proper** subset   |   **真**子集    |
+|     cardinality      |      基数       |
+|      power set       |      幂集       |
+|  Cartesian product   |    笛卡尔积     |
+| ordered n-**tuple**  | 有序 n **元组** |
+|      truth set       |     真值集      |
+
+### 集合
+
+简单内容一笔带过：
+
+-   子集、韦恩图
+-   运算：交、并、补、差
+
+新内容：
+
+-   对称差 symmetric difference：$A \oplus B = (A - B) \cup (B - A)$
+    -   $A \oplus B = B \oplus A$
+    -   $A \oplus A = \emptyset$
+    -   $(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)$
+-   幂集 power set：$\mathcal{P}(A)$ 或 $2^A$。
+-   笛卡儿积 cartesian product：$A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$
+    -   笛卡儿积的子集称为从 $A$ 到 $B$ 的**关系**。
+-   基数 cardinality：$|A|$，有限集、无限集
+    -   容斥原理 inclusion-exclusion principle：$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|, |\cup^n_{i=1} A_i| = \sum^n_{i=1} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| + \dots + (-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n|$
+    -   集合基数相同称 equinumerous：如果两个集合之间存在双射，两个集合的基数相同。
+        -   等价关系
+        -   双射
+        -   无限集的真子集与自身基数相同（充要条件）
+-   无限集：
+    -   可数无限集：和正整数集有相同基数 $\aleph_0$ 的集合。
+        -   $Z$、$Q$、$N\times N$ 都是可数集。
+    -   不可数 denumerable 无限集：不是可数集的集合。
+    -   可数个可数集的并是可数集。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "集合基数有关的定理"
+
+    -   幂集的基数大于原集合的基数：$|2^A| > |A|$
+    -   实数集是不可数的：$|\mathbf{R}| = \aleph > \aleph_0$
+
+    ??? example "尝试证明"
+
+        -   $(0, 1)$ 不可数
+        -   
+
+!!! warning "注意：$\emptyset$ 的幂集不是 $\{\emptyset\}$，而是 $\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$。"
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+带量词的集合符号：
+
+$$
+\begin{align}
+\forall x \in S(P(x)) \equiv \forall x (x \in S \rightarrow P(x))\\
+\forall x \in \mathbf{R}(x^2 \geq 0)\\
+\exists x \in S(P(x)) \equiv \exists x (x \in S \wedge P(x))\\
+\exists x \in \mathbf{Z}(x^2=1)\\
+\end{align}
+$$
+
+真值集和量词：给定谓词 $P$ 和论域 $D$，真值集 $\{x \in D \mid P(x)\}$。
+
+集合运算，其实可以转化为命题逻辑的运算：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\overline{A\cap B} &= \{x \mid x \notin A \cap B\} \\
+&= \{x \mid \neg (x \in A \cap B)\} \\
+&= \{x \mid \neg (x \in A \wedge x \in B)\} \\
+&= \{x \mid \neg x \in A \vee \neg x \in B\} \\
+&= \{x \mid x \notin A \vee x \notin B\} \\
+&= \{x \mid x \notin A\} \cup \{x \mid x \notin B\} \\
+&= \overline{A} \cup \overline{B}
+\end{aligned}
+$$
+
+上面的方法可用于证明基础的集合恒等式。化简集合等式时，直接应用已知的恒等式即可。
+
+### 集合的基数
+
+-   衡量无限集的相对大小
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "基数"
+
+    当且仅当集合 $A$ 和 $B$ 之间存在双射时，称 $A$ 和 $B$ 的基数相同，记作 $|A|=|B|$。
+!!! note "可数集与不可数集"
+
+    - 可数集：和正整数集有相同基数 $\aleph_0$ 的集合
+
+    如果能将集合中的元素排成序列，那么这个集合就是可数集。正有理数集是可数集，就是通过排列的方式证明的。
+
+    - 不可数集：不是可数集的集合
+
+    通常使用反证法证明不可数集。假定实数集是可数的，那么可以将实数集排成一个序列，然后构造一个不在这个序列中的实数（通过取数字的方法），从而得到矛盾。
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   两个可数集合的并集是可数集
+
+根据集合是否有限，分三种情况证明即可。
+
+-   Schroder-Bernstein 定理：如果 $|A| \leq |B|$ 且 $|B| \leq |A|$，则 $|A|=|B|$
+    > 该证明较难：构造双射 $f:A \rightarrow B$ 和 $g:B \rightarrow A$，然后证明 $f \circ g$ 和 $g \circ f$ 都是恒等映射。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! example "证明 $|(0, 1)|=|(0, 1]|$"
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   不可计算性
+
+    1. 任何编程语言编写的计算机程序的集合是**可数的**。
+    2. 从一个特定的可数无限集到自身的函数有**不可数无限多个**。
+    3. 结合上面两个结论，可得到：存在不可计算的函数。
+
+-   连续统假设
+    1. $|\mathbf{P}(\mathbf{Z^+})|=|\mathbf{R}|=c$
+
+## 图
+
+| Eng            | 中文                      |
+| -------------- | ------------------------- |
+| pseuodgraph    | 伪图                      |
+| pendant vertex | 悬挂顶点 $\mathrm{deg}=1$ |
+| incident with  | 关联                      |
+| bipatite graph | 二分图                    |
+
+-   分类：simple、multi、pseudo、directed、directed multi。考虑边、平行边、环。
+-   基本概念：
+    -   度
+        -   无向图-握手定理：$\sum_{v \in V} \mathrm{deg}(v) = 2|E|$，因为每条边都会贡献两个顶点的度。
+        -   有向图：$\sum_{v \in V} \mathrm{deg^+}(v) = \sum_{v \in V} \mathrm{deg^-}(v) = |E|$
+-   特别的图：
+    -   完全图 $K_n$：$n$ 个顶点的无向图，每两个顶点之间都有边。$|E|=C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$
+    -   环 $C_n$
+    -   轮 $W_n$：在环的基础上添加一个顶点。
+    -   $n$ 立方体图 $Q_n$
+    -   二分图：$V=V_1 \cup V_2$，$E$ 中的每条边都连接 $V_1$ 和 $V_2$ 中的两个顶点。
+        -   举例：$C_6$ 是二分图，$K_3$ 不是二分图。
+    -   完全二分图 $K_{m,n}$：$V=V_1 \cup V_2$，$E$ 中的每条边都连接 $V_1$ 和 $V_2$ 中的两个顶点。每个 $V_i$ 中的顶点都与另一个 $V_j$ 中的顶点相连。
+        -   举例：$K_{3,3}$ 是完全二分图，$K_3$ 不是完全二分图。
+-   图的变化：
+    -   子图
+    -   span 子图
+    -   并
+-   图的表示：
+    -   邻接矩阵（adjacency matrix）：可表示简单图。若元素定义为关联的边数时，可以表示伪图。若非对称，可以表示有向图。
+    -   关联矩阵（incidentce matrix）：行为顶点，列为边。每列有两个 $1$，表示该边关联的两个顶点。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "连通性 connectivity"
+
+    $$
+    \begin{align}
+    A^r
+    \end{align}
+    $$
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   连通性：
+    -   路径：一系列边 $e_1, e_2, \dots$。
+    -   无向图的连通性、连通分量。
+    -   割点（cut vertex）：删除该顶点后，图不再连通。割边（cut edge）类似。
+    -   有向图的强连通性、强连通分量。
+    -   邻接矩阵的幂：$A^k$ 中的元素 $a_{ij}$ 表示从 $v_i$ 到 $v_j$ 的长度为 $k$ 的路径数。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "图同构 isomorphic"
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   图同构（isomorphic）：通俗的理解就是，两个图的顶点和边可以一一对应。
+    -   简单图：存在双射 $f:V_1 \rightarrow V_2$，使得 $u$ 和 $v$ 相邻当且仅当 $f(u)$ 和 $f(v)$ 相邻。
+    -   图形不变量：这些量在图同构时保持不变。因此可以用图形不变量来证明两个图不同构（但不能证明同构）。
+    -   证明图同构：找到指定的双射即可。但这样的双射有 $n!$ 个（顶点之间的映射关系）。
+    -   证明图不同构：常用以下图形不变量：
+        -   具有某长度的环。如果另一个图中找不到这么长的环，那么两个图不同构。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "欧拉回路和哈密顿路径 Eulerian and Hamiltonian"
+
+    $$
+    \begin{align}
+    \mathrm{deg}(v_k) \text{is even}\\
+    n\geq 3, \mathrm{deg}(v_k) \geq n/2
+    \end{align}
+    $$
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   欧拉回路和哈密顿路径：
+    -   欧拉路径：经过每条边一次且仅一次的路径。
+    -   欧拉回路：经过每条边一次且仅一次的回路。
+    -   欧拉回路充要条件：图连通且所有顶点的度都是偶数（even）。
+    -   哈密顿路径：经过每个顶点一次且仅一次的路径。
+    -   哈密顿回路：经过每个顶点一次且仅一次的回路。
+    -   哈密顿回路存在性：Dirac 定理：如果 $n \geq 3$ 且每个顶点的度都大于等于 $n/2$，则图存在哈密顿回路。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "Dijkstra 算法"
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   最短路径问题：
+    -   Dijkstra 算法
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "平面图 planar graph"
+
+    $$
+    \begin{align}
+    v-e+r=2\\
+    e \leq 3v-6\\
+    e \leq 2v-4\\
+    K_5, K_{3,3}
+    \end{align}
+    $$
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   Planar 图：可以画在平面上的图。
+    -   Euler 公式：$v-e+r=2$，其中 $v$ 为顶点数，$e$ 为边数，$r$ 为面数。
+    -   如果 $G$ 是一个简单连通平面图，且 $v \geq 3$，则 $e \leq 3v-6$。
+        -   区域的度：区域的边数。一个平面图把平面分成 $r$ 个区域。
+        -   每个区域的度至少为 $3$，无限区域的度至少是$3$，因为一个图至少有 $3$ 个顶点。
+        -   综上，$2e \geq 3r$。利用 Euler 公式，可得 $e \leq 3v-6$。
+        -   用这个结论证明：$K_5$ 不是平面图。
+    -   如果 $G$ 是一个简单连通平面图且不含有三角形，则 $e \leq 2v-4$。
+        -   用这个结论证明：$K_{3,3}$ 不是平面图。
+    -   检验 $G$ 是否是平面图：
+        -   初等细分：将边分成两条边。
+        -   同胚（homeomorphic）：可以从相同的图通过初等细分得到的图。
+        -   Kuratowski 定理：$G$ 是非平面图当且仅当 $G$ 含有 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 的同胚子图。
+
+<!-- prettier-ignore-start -->
+!!! note "图着色 coloring"
+
+    $$
+    \begin{align}
+    \chi(K_n) = n\\
+    \chi(K_{m,n}) = 2\\
+    \chi(C_n) = 2 \text{ if } n \text{ is even}\\
+    \chi(C_n) = 3 \text{ if } n \text{ is odd}
+    \end{align}
+    $$
+<!-- prettier-ignore-end -->
+
+-   图着色：
+    -   对偶图 dual：将平面图的每个区域看作顶点，如果两个区域有公共边，则在对偶图中连接这两个顶点。
+    -   问题：给对偶图着色，使得相邻的顶点着不同的颜色。最少色数为 $\chi(G)$。
+    -   四色定理：平面图着色数最多为 $4$。
+
+## 树