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讲义/专题/1 预备知识.tex

@@ -149,7 +149,7 @@ \section{基本代数结构}
     \begin{enumerate}
         \item 由于 $\mathbf{F}$ 是一个数域，它至少包含乘法单位元 $1 \neq 0$.通过交换律和结合律，我们可以反复使用加法构造正整数：
         \[
-        1, \ 1 + 1 = 2, \ 1 + 1 + 1 = 3, \dots
+        1, \enspace 1 + 1 = 2, \enspace 1 + 1 + 1 = 3, \ldots
         \]
         因此，所有正整数都属于 $\mathbf{F}$.对于负整数，由于加法逆元的存在性，对于每个正整数 $n$，$-n \in \mathbf{F}$，即负整数也在数域 $\mathbf{F}$ 中.因此，所有整数 $\mathbf{Z}$ 都在 $\mathbf{F}$ 中.
         \item 由于 $\mathbf{F}$ 是一个数域，所以它对乘法和除法（除数不为 $0$）封闭，故 $\forall p,q \in \mathbf{Z}, p,q \in \mathbf{F}, \dfrac{p}{q} \in \mathbf{F}$，故 $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{F}$.

讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -591,30 +591,30 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
 
         \begin{answer}
             \begin{enumerate}
-                \item 对于集合 \( W = \{(x_1, \dots, x_n) \in F^n \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0\} \)：
+                \item 对于集合 \( W = \{(x_1, \ldots, x_n) \in F^n \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0\} \)：
 
                 首先，我们来判断该集合是否为线性空间的子空间. 判断一个集合是否为线性空间的子空间需要满足以下三个条件：
 
                 \begin{enumerate}
                     \item \text{零向量在其中}：
 
-                    当 \( x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 \) 时，方程 \( a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \) 显然成立，因此零向量 \( (0, 0, \dots, 0) \) 属于 \( W \).
+                    当 \( x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0 \) 时，方程 \( a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \) 显然成立，因此零向量 \( (0, 0, \ldots, 0) \) 属于 \( W \).
 
                     \item \text{封闭性（加法）}：
 
-                    假设 \( \mathbf{v} = (x_1, \dots, x_n) \) 和 \( \mathbf{w} = (y_1, \dots, y_n) \) 属于 \( W \)，即：
+                    假设 \( \mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n) \) 和 \( \mathbf{w} = (y_1, \ldots, y_n) \) 属于 \( W \)，即：
                     \[
                     a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \quad \text{且} \quad a_1y_1 + \cdots + a_ny_n = 0.
                     \]
-                    那么，对于 \( \mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n) \)，有：
+                    那么，对于 \( \mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) \)，有：
                     \[
                     a_1(x_1 + y_1) + \cdots + a_n(x_n + y_n) = (a_1x_1 + \cdots + a_nx_n) + (a_1y_1 + \cdots + a_ny_n) = 0 + 0 = 0.
                     \]
                     因此，\( \mathbf{v} + \mathbf{w} \in W \).
 
                     \item \text{封闭性（数乘）}：
 
-                    对于任意 \( \mathbf{v} = (x_1, \dots, x_n) \in W \) 和任意 \( \lambda \in F \)，有：
+                    对于任意 \( \mathbf{v} = (x_1, \ldots, x_n) \in W \) 和任意 \( \lambda \in F \)，有：
                     \[
                     a_1(\lambda x_1) + \cdots + a_n(\lambda x_n) = \lambda (a_1x_1 + \cdots + a_nx_n) = \lambda \cdot 0 = 0.
                     \]

讲义/专题/24 多重线性映射与张量的计算.tex

@@ -49,7 +49,7 @@ \section{多重线性映射}
 \]
 则它就是一个 $V_2 \to W$ 的线性映射. 设它所对应的矩阵为 $M_i$，考虑 $V_1$ 中的向量 $v_1 = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots \lambda_n e_n$，其中 $n = \dim V_1$，则
 \[
-f(v_1, v_2) = f(\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \dots + \lambda_n e_n, v_2) = \lambda_1 f_1 (v_2) + \lambda_2 f_2 (v_2) + \cdots + \lambda_n f_n (v_2)
+f(v_1, v_2) = f(\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \ldots + \lambda_n e_n, v_2) = \lambda_1 f_1 (v_2) + \lambda_2 f_2 (v_2) + \cdots + \lambda_n f_n (v_2)
 \]
 将线性映射翻译成矩阵，我们就有：
 \[
@@ -85,7 +85,7 @@ \section{张量积}
 实际上，这个命题的证明无非就是把我们在最开始所做的关于多重线性映射的表示的讨论重述一遍.
 
 \begin{proof}
-    设 $V$ 有一组基 $\{e_1, e_2, \dots, e_n\}$，$f \in \mathcal{L}(V, W^*; \R)$. 记
+    设 $V$ 有一组基 $\{e_1, e_2, \ldots, e_n\}$，$f \in \mathcal{L}(V, W^*; \R)$. 记
     \[
     f_i (\rho) = f(e_i, \rho), \forall \rho \in W^*
     \]

讲义/专题/4 线性空间的运算.tex

@@ -645,7 +645,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
           假设 $r = k-1$ 时也成立, 即存在 $\alpha \in V$
           使得 $\alpha$ 同时不属于 $V_i (i=1,2,\ldots,k-1)$
           下面证明 $r=k$ 时也成立. 显然当此 $\alpha \notin V_k$ 则 $\alpha$ 即为所求.
-           若 $\alpha \in V_k$, 由于 $V_k$ 是 $V$ 的真子空间, 故有 $\beta \notin V_k$, 易知对任意 $V_i (i=1,2,\ldots,k-1)$ 都至多有一个 $k_i$, 使得 $\beta + k_i \alpha \notin V_i; i=1,2,\ldots,k-1$, 我们取异于 $k_i$ 的数 $k$, 则必有 $\beta + k \alpha \notin V_i; i=1,2,\ldots,k-1$. 又由于 $\alpha \in V_k, \beta \notin V_k$ 故有 $\beta + k \alpha \notin V_k$, 故 $\beta + k \alpha \notin V_k (i = 1,2,\dots,k)$.
+           若 $\alpha \in V_k$, 由于 $V_k$ 是 $V$ 的真子空间, 故有 $\beta \notin V_k$, 易知对任意 $V_i (i=1,2,\ldots,k-1)$ 都至多有一个 $k_i$, 使得 $\beta + k_i \alpha \notin V_i; i=1,2,\ldots,k-1$, 我们取异于 $k_i$ 的数 $k$, 则必有 $\beta + k \alpha \notin V_i; i=1,2,\ldots,k-1$. 又由于 $\alpha \in V_k, \beta \notin V_k$ 故有 $\beta + k \alpha \notin V_k$, 故 $\beta + k \alpha \notin V_k \enspace (i = 1,2,\ldots,k)$.
         \end{answer}
     \end{exgroup}
 

讲义/专题/8 相抵标准形.tex

@@ -611,7 +611,7 @@ \subsection{从初等变换到相抵标准形}
 定理的证明很简单，只需对各个初等变换逐一通过计算验证即可，具体证明如下：
 
 \begin{proof}
-    初等列变换和初等行变换的证明是完全类似的，所以我们仅就初等行变换的情形给以证明. 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量为 $\{ a_1, a_2, \dots, a_m \}$.
+    初等列变换和初等行变换的证明是完全类似的，所以我们仅就初等行变换的情形给以证明. 设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 的 $m$ 个行向量为 $\{ a_1, a_2, \ldots, a_m \}$.
     \begin{enumerate}
         \item 将 $A$ 的第 $i, j$ 行对换得到 $B$，则 $B$ 与 $A$ 的行向量组相同，故 $A, B$ 的行秩相等.
         \item 将 $A$ 的第 $i$ 行乘非零常数 $c$ 得到 $B$，则 $B$ 的行向量组：$\beta_i = c\alpha_i, \beta_k = \alpha_k \enspace (k \neq i)$. 因此 $B$ 与 $A$ 的行向量组可以互相线性表示. 所以 $A$ 与 $B$ 的行秩相等.